方差教学获奖

方差教学获奖（通用14篇）

篇1：方差教学获奖

“方差”属于数学中的概率统计范畴，它的特点是与生产及日常生活中的实际问题紧密联系，对学生统计观念的形成有着举足轻重的作用。实现教学目标的措施。为了使学生对分析数据的知识和方法形成整体认识，本节课沿着实际问题的提出——产生方差的必要性——方差公式的探索和推导——方差公式的使用——解决实际问题——巩固练习——总结反思，这样的主线设计的。

问题的提出：课本是由国家射击队选拔运动员的问题引入的，创设了一个很好的问题情境和统计知识的背景，但数据比较复杂。所以我改用了甲、乙两人五次考试的成绩，甲：85，90，90，90，95;乙：95，85，95，85，90;那学生计算起来比较简单。

方差公式的探索和推导：学生会对下列问题有疑惑：为什么不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢?

1、求平均数：甲=90，甲同学成绩与平均成绩的差=0

乙=90，乙同学成绩与平均成绩的差=0

所以不能用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小。

2、为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢?各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方后还是不能比较它们波动的大小。

3、如果两组数据不一样多，怎么解决数据个数的影响?

可去掉甲中的一个90分。从而推导出方差的概念和公式。

这样层层设疑，步步推进，教师和学生一起解决问题，确定知识点，使学生在一次次的解决问题中体会方差概念的发生发展形成过程。学生对于公式比较难记住，可让学生分成四个步骤：①求平均数②求差③求差的平方和④再求平均数。

解决实际问题：为了培养学生会应用方差解决实际问题的能力，在对例1的教学中，我始终只做一个引领者，学生是解决问题的主人。在解决问题时，学生会容易漏写最后两步，因为<，所以甲比乙更整齐。

巩固练习：学生独立完成课本后的练习，时间充裕的时候还可以多在练习册上练几题。加深学生对方差的理解和提高他们运用知识的能力。

以上过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进的教学风格，注重培养了学生的能力和良好的学习态度，很好地完成了这节课的教学任务，达到了既定的教学目标。更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维。

心得体会：

1、创造性的用教材，在使用教材的过程中融入了自己的科学精神和智慧，对教材知识进行重组和整合，选取了更好的内容对教材深加工。

2、整个教学活动始终建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的，体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程。

3、在整个过程中，老师自始至终地充当引导者，由浅入深、层层递进，学生作为学习的主人，注重学生能力的培养和探究精神。

4、比较遗憾的是时间把握不是很好，学生的巩固练习做得比较少。应在讲课时节奏更紧凑，可让学生有更多的时间练习。

篇2：方差教学获奖

怎样的课堂教学是有效的？我们认为：适合的就是有效的；参与度高的就是有效的；有序的就是有效的。从这三个角度我们来审视本节课，我们会有这样一些启发和借鉴：

1、本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体地位把握地恰当、到位。

2、本节课采取的教学组织形式，以学生操作和独立思考为主，从概念的建立形成到，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑问解决到位。这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律。

3、在合作探索中体现了一个数形结合的思想方法，而且利用变式，知识有一定的梯度性。

另外在探讨方差的过程中，对于求差后出现有正有负的情况，有些同学首先想到求这些差的绝对值，对此在教学中虽然给予了肯定，但对于这种方法与平方相比的劣势解释不够清楚，需要思考分析，用更简洁的语言来解释。

篇3：平方差与完全平方公式的教学策略

一、学生出错的主要原因

1.类比错误

在学习这两个公式之前, 学生已经掌握了分配律和幂的性质, 知道2 (a+b) =2a+2b, (ab) 2=a2b2, 因此学生容易依据经验类比出 (a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2=a2-b2等错误性的结论.

2.思维的定向性

学生在思维上有一种追求简易对称的倾向, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 当然比 (a+b) 2=a2+2ab+b2与 (a-b) 2=a2-2ab+b2要简易对称.

3.用特殊代替一般

(a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 并非永远不能成立, 在特殊情形下有可能成立, 如当a≠0, b=0时就成立, 这就是学生常犯的将特殊结论一般化的错误.

4.不理解相关代数式的意义

对出现在公式两端中几个整式的意义未能细加分辨, 即和的平方不同于平方和, 差的平方不同于平方差.

5.缺乏验证意识

验证意识的缺乏缘于两个方面, 一是由于字母无确定的指定数值, 给验算验证带来了困难, 学生无法从数值上来发现错误;二是由于学生有一种只注重结论而忽视过程的倾向, 尽管在引入公式时以整式乘法和图形面积两种方法作了验证, 但在运用公式时并非时时处处都能联想到这个验证过程.

6.心理环境因素

在实际教学中发现, 并非学习较差的学生发生上述错误, 即使数学学习较好者也经常出现类似错误, 其主要原因在于注意力不集中, 受知识背景和客观环境的影响等.

二、如何有效地实施两个公式的教学

1.熟练公式

熟练公式是运用公式的前提, 在初学阶段, 不仅要使学生理解用整式乘法和图形验证公式的方法, 凸现知识背景, 加深印象, 而且要强制记忆, 记忆可以采用歌诀的形式, 务必使学生掌握特征, 烂熟于心.

2.从意义和算理上帮助学生辨识

(1) (a±b) 2的意义是和的平方或差的平方, (a2±b2) 的意义是平方和或平方差, 意义不同, 其结果不可能相同.

(2) (ab) 2=a2b2的依据是积的乘方, 2 (a+b) =2a+2b的依据是分配律, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) =a2-b2无所依据, 其正确性须经过推敲.

3.提高验证意识, 掌握验证方法

学生之所以出现上述错误并且不能发现错误, 主要原因是由于缺乏验证习惯, 为了强化验证意识, 一要经常要求学生回顾或重做公式的验证过程, 二要教会学生用特值法来判断错误.

4.加强运用

学生对知识的真正理解掌握是在运用中完成的, 加强运用是掌握公式的根本方法, 对公式的运用训练要分层进行, 首先要加强基本训练, 使学生对初级运用 (指一次性运用公式) 达到熟练无误的程度;其次提高运用的层次, 在拓展训练中, 深化对公式的理解, 能够将多项和或差的算式化归为两项和或差的形式, 如 (a+b+c) 2, (a+b-c) (a-b+c) 等, 还有变形训练, 能够将公式进行适当的变形, 例如由完全平方公式求a2+b2或ab等, 在这样的化归、变形和运算中, 学生能够对公式中字母的指代对象, 公式结构及其相互区别达到透彻理解.另外, 还要注重应用, 要跳出单纯计算的死圈子, 向学生提供一些具有知识背景和实际情景的问题, 如连续奇数的平方差, 绳子绕圆周等问题, 使学生感受公式的完整性及所得到的结论的奇妙性, 增加学习的趣味性和自觉性.

篇4：方差教学获奖

第一环节：问题导入之“故事导入”

根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点，在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”，同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导.

[片段实录]

师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.（课件出示故事和“问题1”）

一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看看吧！（见图1、图2两个示意图）

羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！

问题1：羊二吃亏了吗？

师：羊二吃亏了吗？

生：（异口同声）吃亏了！

师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷高举着手）

在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课，自然地将实际问题抽象为数学问题；运用数形结合思想，将土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路.

第二环节：新知探究之“数形结合探究”

教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为此设计了三个逐层递进的变式题.

[片段实录]

师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1的“变式题1”）

生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

师：若向东增加5米，向北减少5米呢？（“变式题2”）

生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏.

师：若向东增加b米，向北减少b米呢？（“变式题3”）

生1：也是一样的.

师：同学们同意吗？

生：（大声，整齐）同意.

师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下，这样才好推广吧？（师课件出示图3示意图，并带领学生进行计算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算，我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？

生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4所示的矩形，再向东增加一个如图5所示的矩形，由图我们很容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6所示、边长为3的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b向北减少b，则面积减少b2.

老师竖起大拇指；其他同学对这一直观的方法非常佩服，报以热烈掌声.

师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项呢？

生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了.

师：为什么能互相抵消呢？

生：（齐声）因为b与-b互为相反数.

师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？

生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项，一个二项式是a+b，一个二项式是a-b，等式右边是a与b的平方差.

师：看来同学们都是“说理大师”啊.（生笑）

在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的知识点.

第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计”

从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.

[片段实录]

师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将——

生：（齐声）应用.

师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）

课件出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”.

nlc202309090405

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

问题2：计算（+3）（-3）

师：问题2是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？

生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？比较这一题与上一题发生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如下.

问题2：（a+3）（a-3）

系数变↓

变式1：（2a+3）（2a-3）

符号变↓

变式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置变↓

变式3：（3-2a）（-2a-3）

指数变↓

变式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式变↓

变式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

项数变↓（相对于公式而言）

变式6：（a+b+c）（a-b+c）

师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示数，可以表示单独的一个字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式.

师：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我们已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式.

师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有了哪些了解？

生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变式.

师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质，问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的“变式大赢家”！（生喜形于色）

引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么，能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策略，认清变化的规律，抓住不变的本质.

第四环节：总结升华之“思维导图归纳法”

用问题3的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力.最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质.

[片段实录]

师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的“归纳之王”呢？（课件出示“问题3”）

问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2）本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？

生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b这两项的差的乘积，结果等于a、b的平方之差，而且是符号相同的项a的平方减去符号相反的项b的平方，前后不能颠倒.

生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运用平方差公式一定要准确地找出公式中的a和b；第二，对于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结合，构造出平方差公式的结构.

两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括，这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌声.

师：好，她们都是“归纳之王”！

接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8）.

教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分尊重学生在学习中的主体地位.

本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”，从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”，并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.

（责编 白聪敏）

篇5：平方差教学反思

如同勾股定理在全世界数学基础教学中地位显著，全世界各地数学教科书都要求学生掌握一样，平方差公式与完全平方公式也是全世界以致全国各地教科书都必讲必学的内容之一，作为整式的乘法公式，人教版教科书把平方差公式与完全平方公式安排在整式的乘法这一章的第二节，在第一节内容上先让学生掌握整式乘法的各项法则，当学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，再由此让学生来学生我们的乘法公式，本节内容分两部分，先介绍平方差公式，再介绍完全平方公式。

在学生熟练掌握多项式与多项式的乘法后，开始介绍平方差公式，教科书上是由找规律开始，让学生利用多项式乘法法则计算，从而发现平方差公式，由找规律得出公式的猜想，再介绍平方差公式的几何面积验证方法，来验证公式猜想的正确性，从而由代数探究及几何论证来得出平方差公式，得出公式后再来实际应用。

篇6：平方差公式教学反思

1.平方差公式的代数形式学生能够利用乘法法则马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握．因此，在课堂上应该给学生更多的时间，让学生自己动手，亲手拼一拼，动一动手来验证平方差公式．通过拼图的方式和学生一起探索平方差公式的由来，让学生对公式进行了解．同时给学生渗透数形结合的思想．在此环节中各组把归纳总结出来的方法，派中心发言人在班内交流展示，其他组进行补充完善，如果概括的还不够全面，这时教师就要根据学生总结的情况加以引导、点拨、补充，从而使问题的结论正确呈现。

2.让学生体会平方差公式的特点：第一是直接运用公式，第二是交换两个括号或思考括号内各项的位置后再运用公式进行探究，第三个是平方差公式的灵活应用。通过做题学生归纳出平方差公式的运用技巧：

①两个括号内其中一组相同字母的符号相同，另一组相同字母的符号相反才能运用平方差公式；

②运用平方差公式的结果等于符号相同的字母的平方减去符号相反的字母平方．

篇7：平方差公式教学反思

孙磊

作为年轻教师的我，今年很荣幸在开学初参加学校数学教研组的讲课活动，我讲课的内容是北师大版七年级下册第一章第七节平方差公式，《平方差公式》是一节公式课，是各位老师非常熟悉的一个课题，对大家更熟悉，我深深感到一种压力。为此，我作了如下努力：

本节课我的设计理念是：遵循“三-四-五“教学模式，重组教材，恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断发现和提出问题，分析并解决问题，使学生在领悟数学对象本质的同时，真正经历知识的“生长过程”。例如：(1)联旧启新，导入新课里教学设计：计算下列各题，看谁做得又快又准?(1)(3a+1)(3a-1)(2)(x+2)(x-2)(3)(x+5y)(x-5y)(4)(y+3z)(y-3z)通过做这一组有梯度的与推导平方差有关的问题，让学生计算并比速度目的在于激发学生好奇争胜性，为建立公式搭建平台，为学生舒展灵性创设探究空间。(2)抓住学生的好胜性，放手让学生探究、讨论、猜想，凸显学生学习的主体地位。教学设计：由于前面的启发引导，学生的思维正处在活跃阶段，对获得公式的愿望十分强烈，于是引导小组进行讨论、分析公式特征结构。①等式左边的两个多项式有什么特点？学生活动探讨答案。②等式右边的多项式有什么规律？③你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？全班展示交流结果，引导学生得出平方差公式至此平方差公式浮出水面学生找到规律所在。教(3)趁胜追击，维系学生的学习兴趣，高涨学生学习的情绪。教学设计：经过前面的解释，学生对平方差公式有了进一步的理解，个个磨拳擦掌跃跃欲试，于是我出示问题三：此目的让学生熟悉公式，找准a、b，学会公式的应用。接着进一步出示问题，使学生独立思考，巩固公式，学会计算。

计算：

1、（2x+y)(2x-y)=

2、(9x+5y)(9x-5y)= 经过前面两个问题的引导，学生表现出了强烈的自信心，调动了学生的兴趣，接着出示思考问题，进一步激发学生的好奇心和求知欲.新课程倡导课堂应以学生为主体，教师只是引导者、促进者，然而很多时候我们教师却不肯放手，生怕自己不讲，学生就不会。本节课平方差公式的特点描述，以及能不能运用公式计算是难点和关键，所以在处理上但还有一些不足的地方：

(1)学生上台的时间把握的不够好，后面显得有点紧，以至于拔高题没能展示上。

(2)小组讨论后请代表出来发言不够完整时应让其他小组来补充，再由老师引导归纳总结。

（3）作为年轻教师，在贴近学生的基础上，还应该注意课堂教学语言的严谨和规范。多使用标准的数学语言和精确的数学语言。再有欠缺临场经验，以后在教学中我要不断提高处理临时性问题的能力。

（4）提问要明确，本节课中出现个别问题，提问比较模糊，使得学生很难掌握回答的方向。

篇8：方差教学获奖

师:我们已经学过了多项式的乘法, 哪个小组能告诉我, “两个二项式相乘, 在合并同类项之前应该有几项?”

生A (抢答) :我认为应该有四项.

师:我也同意A同学的说法 (教师给这个小组加上一颗五角星) .

但不知同学们有没有注意到我刚才说的是合并同类项之前, 那么在合并同类项之后会出现什么情况呢?

(教师多媒体给出问题串:两个二项式相乘, 在没有合并同类项之后, 有没有只有三项的?有没有只有两项的?举例说明.独立完成后, 今天的小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

师:哪个组来回答? (话一说完就有很多组的同学站了起来, 最后决定用剪刀石头布的方式来确定哪个组来回答)

生B:我回答第一个问题, 我组分别写出了以下四种情况. (通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

生C:我回答第二个问题, 我们组写出了以下四种情况:

1. (x+1) (x-1) =x2-x+x-1=x2-1;

2. (x+2) (x-2) =x2-2x+2x-4=x2-4;3. (x+y) (x-y) =x2-xy+xy-y2=x2-y2;4. (x-3) (x+3) =x2+3x-3x-9=x2-9.

(通过实物投影展示, 接着又有几个组的同学把结果通过实物投影仪展示出来, 教师对学生的回答进行及时有效的评价, 并对相应的组打上星)

……

师:从上面的例子可以看出两个二项式相乘, 合并同类项后积可以是二项式, 那么具备什么样的特征时积才会是二项式呢?它们的积有什么特征? (媒体给出问题串, 要求学生独立完成后, 小组长组织小组成员交流, 记录员把各成员的结果以自己的方式记在记录本上)

……

生D:我们组交流后, 认为两个因式的两项中分别有一项相同, 而另一项互为相反数, 积一定是二项式.

生E:我们组交流后认为, 当乘式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式.

师:我也同意他们的意见.他们从不同的角度分析了乘式的特征, 用两数和及这两数的差表达乘式的特征既简单又确切 (教师给这两组打上星) .那么它们的积有什么特征呢?

生G:积等于乘式中这两数的平方差.

师:我也同意他们的意见.这组同学特别是用了“这两个数”四个字实在是太好了, 说明他观察得很仔细, 表达也很贴切 (教师给这组打上一颗星) .

师:我们再看一下, 为什么具备以上特点的两个二项式相乘, 积会是两项呢?

生F:具备这样特点的两个二项式相乘时, 积的四项中会出现互为相反数的两项, 而这两项合并后为零, 所以就剩下两项了.

师:很好, 假如我们用a, b来表示这两个数, 你能用这两个字母表达出刚才我们所说的等式吗?

生H: (a-b) (a+b) =a2-b2.

师:非常好, 这就是我们今天要学习的平方差公式.

师:你们能算出下面两图中第Ⅰ块和第Ⅲ块的面积之和吗? (几何画板给出)

二、案例评析

1.设置疑问, 引入课题

鲁宾斯坦说过, 思维通常总是开始于疑问或者问题, 开始于惊奇或者疑惑, 开始于矛盾.适当的悬念, 巧布某种卡壳, 引起学生的好奇, 能激发学生的学习兴趣和动机, 而学习兴趣能使学生的主动性积极性剧增, 产生良好的效果.本案例将“两个二项式相乘, 积可能有几项”的问题作为课题引入, 目的是激发学生的学习兴趣.

2.突出了数学课堂教学中的探索性

通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳, 得出为什么有的两个二项式相乘其积为两项, 因为其中两项是两个数的平方差, 而另两项恰是相反数, 合并同类项时为零.让学生经历前人发现这个概念的“浓缩”过程, 让学生尝到了成功的喜悦, 激发了学生发现思维的火花.从而培养了学生的观察、概括能力, 发展学生的符号感和推理能力;

3.引进了计算机 (“几何画板”) 技术

通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释, 目的是使学生对此公式有一个更直观的认识.

4.恰当地处理自主、探究、合作的关系

自主探究合作学习是新课程改革中追求的一种学习方法, 但合作学习必须建立在学生的独立探索的基础上, 否则合作学习将会流于形式, 不能起到应有的效果, 所以我在上课时强调学生先独立思考, 再由当天的小组长组织进行, 并由当天的记录员记录小组成员的活动情况.

5.把竞争机制引入课堂, 同时进行恰当地评价

让学生在合作中学习, 在竞争中收获, 及时对各小组的发言进行恰当地评价, 能调节课堂的气氛, 同时也是时代对我们的要求.

6.充分发挥课堂教学的民主

在课堂教学中多次用到“你们同意吗?”、“我同意”的话语, 让学生体验到他们才是学习的主人, 教师是他们平等的合作者.

摘要：初中数学课的教学应结合具体的数学内容采用“创设问题情境、建立知识的模型”的模式展开.特别对于抽象的概念教学, 要关注概念的实际背景与形成过程, 帮助学生克服记忆概念的学习方式.本文以“平方差公式的概念”为例, 阐述如何“创设问题情境、建立知识的模型”的过程.

篇9：方差的应用

在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查。四个城市5个月白菜价格的平均值为3.50元，方差分别为S2甲=18.3，S2乙=17.4，S2丙=20.1，S2丁=12.5。一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析 因为四个城市5个月白菜价格的平均值都是为3.50元，且S2丙>S2甲>S2乙>S2丁，所以一至五月份白菜价格最稳定的城市是丁，故答案选D。

某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲=610千克，x乙=608千克，亩产量的方差分别是S2甲=29.6，S2乙=2. 7。则关于两种小麦推广种植的合理决策是（ ）

A.甲的平均亩产量较高，应推广甲

B.甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广

C.甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲

D.甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙

解析 甲、乙两种小麦试验田的平均亩产量分别是x甲=610千克、x乙=608千克， 平均亩产量相差不大，亩产量的方差分别是S2甲=29. 6，S2乙=2. 7。所以乙的亩产量比较稳定，应推广乙。故选项D正确。

王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现。为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示。

（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；

（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？

分析 （1）首先根据折线统计图读取4棵树的产量：甲山上4棵树的产量分别为50千克、36千克、40千克、34千克；乙山上4棵树的产量分别为36千克、40千克、48千克、36千克；然后求平均产量，估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）杨梅产量的稳定与否可通过方差作比较。

解 （1）x甲=40（千克），x乙=40（千克），总产量为40×100×98%×2=7 840（千克）；

（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当，但甲的6次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适。

篇10：《平方差公式》教学反思

(1)(x+1)(x-1)= _____，

(2)(+2)(-2)=_____，

(3)(2x+1)(2x-1)=____，

(4)(+3z)(-3z)=_____.

激发学生的好胜心并为进一步探索新知搭建好有力的平台，然后我又让学生讨论交流上面几个等式左、右两边各有什么特点，你能用字母表示你发现的规律吗?你能用语言叙述这个规律吗?给学生充分的观察、分析、讨论交流的时间，老师应及时的给与必要的指导、鼓励和由衷的赞美，这一点我做的还很不够，今后要多多注意。然后我有设计了这样一道题：下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是

(1)(x+1)(1+x),

(2)(2x+)(-2x),

(3)(a-b)(-a+b),

(4)(-a-b)(-a+b)

篇11：《平方差公式》教学反思

会推导公式(a+b)(a-b)=a2-b2

二、运用平方差公式进行简单的计算。

通过教学我对本节课的反思如下：

1、本节课我从复习旧知入手，在教学设计时提供充分探索与交流的空间，使学生经历观察，猜测、推理、交流、等活动。对于平方差公式的教学要重视结果更要重视其发现过程，充分发挥其教育价值。不要回到传统的“讲公式、用公式、练公式、背公式”学生被动学习的局面。我在教学时没有直接让学生推导平方差公式，而是设置了一个做一做，让学生通过计算四个多项式乘以多项式的题目，让学生通过运算并观察这几个算式及其结果，自己发现规律。目的是让学生经历观察、归纳、概括公式的全过程，以培养学生学习数学的一般能力，让学生体会发现的愉悦，激发学生学习数学的兴趣，感觉效果很好。

不足：在学生将4个多项式乘多项式做完评价后，应及时把他们归纳为某式的平方差的形式，以便学生顺理成章的猜测公式的结果。

2、学生刚接触这类乘法，我设计了两个问题(1)等号左边是几个因式的积，两个因式中的每一项有什么相同或不同之处。(2)等号右边两项有什么特点?便于学生发现总结。在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特点，这两个数分别是什么，其次要区别相同的项和相反的项，表示两数平方差时要加括号。平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2，它是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果.我很细地给学生讲了以上特点，学生容易接受，课堂气氛活跃，收到了一定的效果。

3、本节课如能将平方差公式的几何意义简要的结合说明，更能体会数学中数形结合的特点，因时间关系放在下一课时。

4、学生错误主要是：

(1)判断不出哪些项是公式中的a，哪些项是公式中的b;

(2)平方时忽视系数的平方，如(2m)2=2m2。针对这一点在课堂教学中应着重对于共性的或思维方式方面的错误及时指正，以确保达到教学效果。平方差公式是乘法公式中一个重要的公式，形式虽然简单，学生往往学起来容易，真正掌握起来困难。部分学生只是死记硬背公式，不能完全理解其含义和具体应用。

篇12：平方差公式教学设计

教学目标：

1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点：平方差公式的推导和应用

教学难点：用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式 教学过程

一、复习旧知，引入新课

1、回顾多项式与多项式相乘的运算法则

2、故事引入新课（课件出示

题目略）

二、探索规律，发现结论

1、看谁算得又对又快

计算下列多项式的积,你能发现什么规律?(1)(x+2)(x-2)= ___________;(2)(1+3a)(1－3a)=__________;(3)(x+5y)(x－5y)=_________.观察以上等式的左边与右边,你发现了什么规律？请用一句话归纳总结出等式的特点.2、验证猜想，得出结论 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式：(a+b)(a−b)＝a2−b2 两数和与两数差的积，等于它们的平方差.三、巩固练习，讲解例题

1、找一找，填一填（用课件出示表格题目，让学生填写，并学会用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式）

2、判断下面计算是否正确

111（1）(x1)(x1)=x2

1（）

222（2）（3x－y）（－3x+y）=9x2－y2

（）（3）（m+n）（－m－n）=m2－n2

（）

3、教学例题

例1 利用平方差公式计算：

（1）（5+6x）（5－6x）；

（2）（x－2y）（x+2y）（3）（－m+n）（－m－n）巩固练习

利用平方差公式计算：

（1）（a+2）（a－2）；

（2）（3a+2b）（3a－2b）

例2 利用平方差公式计算：（1）(11xy)(xy)；

（2）（ab+8）（ab－8）

44巩固练习

利用平方差公式计算：（1）(x11y)(xy)；

（2）（－mn+3）（－mn－3）3

3（四）观察思考、拓展延伸

1、想一想

（a−b）（－a−b）=？你是怎样做的？

2、练一练

计算

1、（5m－n）（－5m－n）

2、（a+b）（a－b）（a2+b2）

（五）当堂达标、自我检测

利用平方差公式计算：（1）（－x－1）（1－x）（2）（0.3x+2y）（0.3x－2y）

111（3）(x)(x)(x2)

4（六）课堂小结、布置作业

1.平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；

右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式

3）注意计算过程中的符号和括号

3、作业：

1.教材习题1.9 第1题（2）、（4）、（6）；第2题

篇13：方差教学获奖

教学案例 (片段1)

平方差公式的验证与推导 (实录1)

教师:请同学们把制作好的两个正方形, 按幻灯片的样式叠放在一起, 若设大正方形ABCD的边长为a, 小正方形EBGF的边长为b, 分别用两种方式求出没有重叠的面积 (阴影面积) .

学生 (甲) :S阴=a2-b2. (1)

教师:如果连接DF则把阴影部分分成两个什么图形?

学生 (乙) :两个梯形.

教师:能不能根据梯形的面积公式求阴影的面积?

学生:能 (一起回答)

教师:同学们, 试着写一写.

教师:从 (1) (2) 可得到什么规律?

学生 (丁) : (a+b) (a-b) =a2-b2.

评析:1.教法:创设情景, 关键处激疑, 迷茫时引导, 无能为力时牵线搭桥 (如作辅助线) .

2.学法:用眼观察, 动脑思考, 动手操作, 自主建构知识体系.

教学案例 (片段2)

平方差公式的直接应用 (实录2)

教师:请同学们讨论平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2的特点.

学生 (甲) :左边是两数的和乘以这两数差的积, 右边是这两数的平方差.

教师:板书特点 (略) .请同学们根据平方差公式计算 (5+3) (5-3) =?

学生 (乙) : (5+3) (5-3) =52-32, 其中5相当于公式中的a, 3相当于公式的中的b.

教师:请同学们根据平方差公式计算 (x+y) (x-y) =?

学生 (丙) : (x+y) (x-y) =x2-y2, 其中x相当于公式中的a, y相当于公式中的b.

教师:请同学们根据平方差公式计算 (5x+3y) (5x-3y) =?学生 (丁) : (5x+3y) (5x-3y) =5x2-3y2.

教师:5x2要加括号写成 (5x) 2, 3y2写成 (3y) 2, 其中5x相当于公式中的a, 3y相当于公式中的b.

教师:要注意公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应. (板书)

请做以下练习: (多媒体字幕)

判断题:1. (3x+4y) (3x-4y) =3x2+4y2 ()

2. (3x+4y) (3x-4y) = (3x) 2- (4y) 2=6x2-8y2 ()

3.请说出公式中的a、b分别与题目中的那一项对应, 再作练习:

教师点评:1.注意公式中的a, b与题目中的哪一项对应. (渗透对应思想)

2.当a, b含有系数时, 注意加括号.

评析

1.教法:探索活动节奏的快慢, 教学活动的轻重缓急, 应由教师根据情况灵活驾驭;设置问题的难易梯度应适合全体学生, 特别关注后进生的情况;要针对学生易出现错误的地方, 有针对性的重点探索, 如公式中的a、b分别与题目中的哪一项对应等, 逐步渗透对应思想方法.

2.学法:根据教师所给的材料, 反复操作、练习、讨论、思考等, 在自主建构知识体系的同时, 形成技能.

教学案例 (片段3)

平方差公式的变式应用 (实录3)

教师:平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2中, 若a=-2, b=3, 则 (-2+3) (-2-3) = (-2) 2-32, 则 (-x+y) (-x-y) =?

学生: (-x+y) (-x-y) = (-x) 2-y2=x2-y2. (1)

教师:若将 (1) 式左边变为 (y-x) (-y-x) =?或 (-x+y) · (-y-x) =?请同学们分组讨论后再回答.

学生: (y-x) (-y-x) = (-x+y) (-x-y) = (-x) 2-y2=x2-y2.

教师:若题目不能直接应用公式, 要通过交换两数的位置, 转换成公式的形式.

练习

评析

1.教法:从具体到一般.如a=-2, b=3, 则 (-2+3) (-2-3) = (-2) 2-32, 让学生把抽象的内容链接感性的经验上.

2.学法:把新知识建构在已有的知识经验上.

教学案例反思

一、教师创设问题情景, 学生积极思考

古人云:学起于思, 思源于疑.学生的积极思维往往是由问题开始, 又在解决问题中得到发展.课堂环节中的适时提问:“请同学们把制作好的两个正方形, 按幻灯片的样式叠放在一起, 若设大正方形的边长为a, 小正方形的边长为b, 分别用两种方式分别求出没有重叠的面积.”引起学生积极思维.

二、学生自主探究, 教师循循善诱

任何一项科学研究活动或发明创造都要经历自主探究过程.自主探究贯穿案例始终.本案例中从公式的推导、直接应用、变式应用到应用公式的拓展延伸, 都是在学生自主探究或分组讨论中进行.但由于初一年级学生的年龄特征, 探索问题的能力相对有限, 每一步探究都需在教师的循循善诱中进行.

三、教师渗透数学思想方法, 学生潜移默化

数学思想方法, 是数学教学的根本, 是学生思维的基础, 学生只有掌握了思想方法, 才能增加发展的潜力, 提高创新思维能力.案例中渗透了“对应思想方法”, 如, “要注意公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应 (板书) ”以及“请说出公式中的a, b分别与题目中的哪一项对应, 再做练习”等等, 都渗透了对应思想方法;还渗透了“化归思想”, 如比较大小转化为比较两数的差.学生在不知不觉中, 潜移默化地接受了抽象的数学思想方法, 达到了润物细无声的效果.

四、教师从具体到一般, 学生从形象思维中发展抽象思维

篇14：概率、统计·期望与方差

1. 某射手射击所得环数[X]的分布列为：

[[X]＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&10＼&[P]＼&0.02＼&0.04＼&0.06＼&0.09＼&0.28＼&0.29＼&0.22＼&]

则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（ ）

A. 0.28 B. 0.88

C. 0.79 D. 0.51

2. 样本中共有五个个体，其值分别为[a]，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）

A. [65] B. [65]

C. [2] D. 2

3.设随机变量[X～N（μ，σ2）]，且[P（X≥a）=P（X

A. [σ] B. [μ]

C. [-μ] D. [0][[X]＼&[1]＼&[2]＼&[4]＼&[P]＼&[0.4]＼&[0.3]＼&[0.3]＼&]

4. 随机变量[X]的分布列为

则[E（5X+4）=]（ ）

A. 15 B. 11

C. 2.2 D. 2.3

5. 设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为[67]，则口袋中白球的个数为（ ）

A. 3 B. 4

C. 5 D. 2

6. 设[ξ]是离散性随机变量，[Pξ=x1=23，][Pξ=x2=13，且x1

A.[53] B.[73]

C.3 D.[113]

7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为[x，y]，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则[|x-y|]的值为（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

8. 若[P（X≤n）=1-a]，[P（X≥m）=1-b]，其中[m

A. [（1-a）（1-b）] B. [1-a（1-b）]

C. [1-（a+b）] D. [1-b（1-a）]

9. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体. 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为[X]，则[X]的均值[E（X）=]（ ）

A. [126125] B. [65]

C. [168125] D. [75]

10. 设离散型随机变量[ξ]满足[Eξ=-1]，[Dξ=3]，则[E[3（ξ2-2）]]等于（ ）

A. 9 B. 6

C. 30 D. 36

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[ξ]的分布列如下表， 则[Eξ=] ，[Dξ=] .

[[ξ]＼&0＼&1＼&[P]＼&[p]＼&[1-p]＼&]

12. 若随机变量[X～N（μ，σ2）]，则[P（X≤μ）=] .

13. 已知离散型随机变量[X]的分布列如下表.

[[X]＼&-1＼&0＼&1＼&2＼&[P]＼&[a]＼&[b]＼&[c]＼&[112]＼&]

若[EX=0]，[DX=1]，则[a=] ，[b=] .

14. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以[A1，A2]和[A3]表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以[B]表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 .

①[P（B）=25] ②[P（B|A1）=511] ③事件[B]与事件[A1]相互独立 ④[A1，A2，A3]是两两互斥的事件 ⑤[P（B）]的值不能确定，因为它与[A1，A2，A3]中哪一个发生有关

三、解答题（共4小题，44分）

[时间][频率/组距][0.025][0.0065][0.003][20 40 60 80 100] 15. （10分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）.

（1）求直方图中[x]的值；

（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为[X]，求[X]的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）

16. （10分）某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在[A]区射击3次或选择在[B]区射击2次，在[A]区每射中一次得3分，射不中得0分；在[B]区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在[A]区和[B]区每次射中移动靶的概率分别是[14]和[p（0

（1）若选手甲在[A]区射击，求选手甲至少得3分的概率；

（2） 我们把在[A，B]两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在[B]区射击，求[p]的取值范围.

17. （12分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球.

（1）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；

（2）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；

（3）记[X]为取出的3个球中编号的最大值，求[X]的分布列与数学期望.

18. （12分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为[14，12]；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为[12，14]；两人租车时间都不会超过三小时.

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量[ξ]，求[ξ]的分布列与数学期望[Eξ].