方差数学教学设计

方差数学教学设计（共11篇）

篇1：方差数学教学设计

知识与技能

1、了解方差的定义和计算公式。

2.理解方差概念的产生和形成的过程。

3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

过程与方法

经历探索方差的应用过程，体会数据波动中的方差的求法，积累统计经验。

情感态度与价值观

1、通过小组活动，提高与人合作、交流的团队意识。

2、培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

掌握方差的概念、公式、计算及其运用

理解方差的意义，会求一组数据的方差。

问题与情境

师生行为设计意图

活动一

课前小测：

1、什么是极差？

2、极差用来描述数据的什么性质？

教师检查学生小测题的情况，并注意存在的问题。检查学生对上一节课基础知识的掌握情况，也为本节课的学习做一些铺垫。

活动二

自主探究：

请同学们阅读课本第138—140页的内容，回答下列问题：

1、哪个队参赛选手年龄的波动大？你是怎么知道的？

2、我们除了用极差来度量数据波动大小，是否还有其它方法呢？学生先独立阅读、思考，小组再进行讨论、交流。教师进行巡视，关注学生的情况，并适当给以答疑。培养学生的阅读能力和自学能力。提高学生合作交流意识。

活动三

思考与交流：

1、方差的定义是什么？谁能用自己的话概括一下。

2、方差的计算公式是什么？

3、方差的大小与数据的波动大小有何关系?学生先独立思考，小组再进行讨论、交流。师生共同归纳本节课的知识点。通过这个活动，提高学生的概括成归纳能力。让学生经历数学知识的形成与应用过程。

活动四：

例题讲解

在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是甲团 163 164 164 165 165 165 166 167乙团 163 164 164 165 166 167 167 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更为整齐？

拓展训练：1、计算下面三组数据的方差，并比较波动大小。A组：6 6 6 6 6 6B组：5 5 6 6 6 8C组：3 3 6 6 9 92、如果样本方差那么这个样本的平均数为.样本容量为.3、一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（）A、等于a B、不等于a C、大于a D、小于a

４、国家运动员在参加奥运会前都要经过刻苦训练，教练要对他们的成绩进行统计分析，判断他们的成绩是否稳定，则教练需要知道他们成绩的（）Ａ、众数 Ｂ、方差Ｃ、平均数 Ｄ、中位数

５、甲同学和乙同学的５次数学测验成绩的平均分都是９３分，s２甲＝0.8 s２乙=12,则＿＿＿的成绩比较稳定。教师让学生先自学课本，然后再点评，着重突出方差反映的是数据波动的大小。

5个小题都是比较基础的题目，教师可充分放手让学生去自主完成。由于题目较简单，教师重点留意班级成绩基础稍薄弱的同学进行辅导。使学生通过对知识点的运用，加深对知识点的理解，并对所学知识得以巩固和强化。前几个小题的设置主要是检查学生能否正确地计算和简单运用方差的知识来解决问题。是属于基本过关考查。考查学生思考、总结的综合能力，培养学生思维能力，同时也是对前后知识的一种综合归纳。

活动五

谈谈你在本节课的收获？

学生思考，回答。通过此环节，使学生对本节的内容进行及时复习，得以巩固。

活动六

课后作业必做题：课本第144页第1题选做题：若已知一组数据的平均数是 ,方差是s2 ,那么另一组数据的平均数是(), 方差是().学生根据自己的情况，有选择性地完成课后作业。通过分层次作业，关注学生的个体差异，使不同的学生得到不同的发展。

篇2：方差数学教学设计

新课改理念下，课堂教学除了传统的知识与技能目标之外，还有过程与方法目标、情感、态度和价值观目标。三维目标，特别是后两者如何落实?

我认为，这个问题不可一概而论，因为虽然每节课都有三维目标，但每节课的目标侧重点会因教学内容、学生情况而有所不同。对数学课来说，知识与技能是基础，思维能力的培养是核心，方法、情感、态度和价值观以及目标的实现都要依赖思维水平的`发展。所以数学课必须在教学中揭示概念、定理、命题、公式、解法的形成、探索过程，而不是让学生仅仅通过模仿、重复训练达到会算即可，甚至死记硬背。

篇3：方差数学教学设计

中学数学内容(基本要求)的整体结构有两根强有力的支柱，即数学知识与数学思想方法.数学思想方法产生数学知识，数学知识又蕴载着思想方法，二者好比鸟之双翼，须臾不离，缺一不可.从教育的角度来看，数学的思想方法比数学知识更为重要.这是因为知识的记忆是暂时的，思想与方法的掌握是永久的;知识只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益于终生.日本学者米山国藏指出：“无论是对于科学工作者、技术人员还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学的知识只是第二位.”世界著名数学家波利亚在60年代曾作过统计，普通中学的学生毕业后在其工作中需要用到数学的(包括数学家在内)约占全部学生的30%，而其余的70%则几乎用不到任何具体的数学知识正是基于这样的分析，波利亚认为：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识(即指一般性的思想方法或思维模式).”这就是说，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学.本文就“平方差公式”教学(略去了其详细的教学过程)中如何渗透数学思想方法作一探讨.

一、设计竞争情境，让学生在计算比赛中发现规律，渗透探索发现的研究方法

在数学中，探索发现是一种基本的研究方法.在数学知识的教学中，有意识引导学生进行观察、归纳、发现，对培养学生的创造能力十分有益.

在“平方差公式”这节课教学的开始，教师用电脑显示下面的十道计算题：

让学生之间开展竞赛，比准确，比速度，比技巧，要求学生在十分钟内做完，并请做好的立即举手，对解题既快又准确的同学，教师问其成功的秘诀，请他们说出在解题过程中发现的规律，并有意用符号□、△表示其规律，即(□+△) (□-△) =□2-△2.

设计竞争情境，使枯燥的运算变得生动活泼.学生在观察、归纳、猜想的探索中理解了平方差公式的结构特征，同时也提高了数学研究的能力.

二、对符号□、△进行变换，渗透变量变换思想

变量与常量既对立，又统一.辩证地看待字母——它具有常量与变量的双重身份，常给我们研究问题带来很大的方便.在平方差公式的学习中，学生往往不能用“变”的观点来看待平方差公式中的字母，因而往往也不能用公式的结构特征来判断题目能否使用公式.鉴于学生对平方差公式的理解不能一步到位的原因，笔者先有意识地用学生在小学里学过的、熟悉的符号□、△来表示发现的规律，再引导学生对符号□、△进行变化而得到不同的等式.目的是有意识地渗透变量变换的思想方法，同时也为下面运用平方差公式解题而涉及的整体思考方法作铺垫.

于是，令□、△分别变成100和1，得到等式

令□、△分别变为-2a和5b，得到等式

令□、△分别变为，得到等式

得到上面的等式后，教师让学生归纳得出：□处是同一数或式子，△处也是另一个数或式子.然后教师启发学生用字母来表示发现的规律(使学生理解一个字母可以代表一个数，也可以代表一系列的数或式子等)，得到(a+b) (a-b)=a2-b2.接着，教师又请学生对公式(a+b) (a-b)=a2-b2进行命名，由此引出课题：平方差公式.

引导学生将发现的规律(□+△)(□-△)=□2-△2中的符号□、△看作变量，进行变量变换，能使学生正确理解公式中字母的广泛含义，理解其背后隐含的数学思想方法.

三、引导学生对平方差公式进行证明，加强逻辑思维方法

经过学生自己发现的公式，无论从思想感情上，还是在学习兴趣上，都要比直接给出公式再加以证明更富有吸引力数学创造往往开始于不严格的发散思维，而继之以严格的逻辑分析思维，即收敛思维，有了猜想的结果，猜想正确性的证明就变成了学生自发的需要.先猜，后证，这是大多数的发现之道.于是有

证法1： (a+b) (a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

证法2： (a+b) (a-b)=(a+b) a-(a+b) b=a2+ba-ab-b2=a2-b2.

证法3：引导学生将课前发给的图形(硬纸板，图甲)沿虚线剪开，然后用剪开后的两个长方形拼成图乙的长方形得到a2-b2= (a+b) (a-b) .

优美的图形，无字的证明，这不但能提高学生的形象思维能力，而且给学生以数学美的熏陶，同时数形结合的解题能力也得到了提高.

四、在平方差公式的应用中渗透整体思想

整体的思想方法是指在研究问题时有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过对整体结构的调节或转化使问题获解.有些数学问题，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易.通过上面对符号□、△进行变换，把字母变成数或代数式的铺垫，现在反过来，将某些代数式看作一个字母，利用整体思想去思考，那么学生的思维也就自然而流畅了.

于是，设计下面的问题让学生计算，即

(1) (a+b+c) (a+b-c);【将a+b看作一个整体】

(2) (3a+2b-4c+5) (3a-2b+4c+5);【将3a+5和2b-4c分别看作一个整体】

(3) (x+2y+2001z) 2- (2x+2y+2001z) 2;【将x+2y+2001z和2x+2y+2001z分别看作一个整体】

通过上面这些问题的解决，启迪了学生的思维，加深了学生对平方差公式的理解，使学生从单纯的死记硬背走向深刻理解公式本质的记忆.

当学生经历一个活动过程之后，并不能马上形成活动经验，但在教学时适度引导，例如，通过前面对符号□、△进行变换活动的铺垫，再让学生在平方差公式的应用中运用整体思想，这样学生就可以迅速感悟整体的数学思想方法，并把这个活动过程逐步内化为经验.

学生数学思想方法水平的提高是学生创新能力发展的主要内容.因此，在数学教学中，必须加强数学思想方法的教学，提高学生的思维调控水平，从而培养他们的创新意识和创新能力.在数学思想方法的教学中，教师应大胆创设宽松的民主气氛，使学生敢于、乐于思考和讨论，让他们的思维进入自觉的思维情境中，有效地学习数学思想方法.

摘要：在平方差公式教学中渗透数学思想方法的做法:设计竞争情境, 让学生在计算比赛中发现规律, 渗透探索发现的研究方法;对符号□、△进行变化, 渗透变量变换思想;引导学生对平方差公式进行证明, 渗透逻辑思维方法;在平方差公式的应用中渗透整体思想.

关键词：平方差公式,数学思想方法,教学设计

参考文献

篇4：方差数学教学设计

关键词：STC89C52 酒后驾车 酒精传感器 方差

中图分类号：U472.7 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）010-103-02

1 引言

随着经济的快速发展人们的生活水平有了极大的提高，汽车成了比较常见的交通工具，而交通事故不得不引起人们的注意，造成交通事故的主要原因还是由于驾驶员无视交通法造成的，其中以酒后驾车最为严重。现如今已有智能汽车实现了通过测试汽车内的酒精的浓度来决定车是否被启动的功能。

但当驾驶员没有饮酒而由所载乘客饮酒引起车厢内酒精浓度较高时该装置一样会启动。日产概念车的开关按钮处设置了一个高敏感度的酒精气味传感器，可以测试驾驶员手掌分泌的汗液。当汗液酒精浓度指标超过预先设定的峰值时，系统会自动停止传动，使汽车无法启动。然而当驾驶员饮酒后手上戴有手套之类的隔离物时该感应装置不能被启动。故其非最佳方案，本设计基于单片机采用高灵敏度的酒精传感器采集驾驶员进入前后的酒精信号，用求方差的方法分析判断驾驶员是否醉酒。若驾驶员醉酒通过控制汽车发动机控制器使汽车不能行驶。

2 系统工作原理

系统采用高灵敏度的旁热型半导体酒精气敏元件MQ3，单片机系统自动探测酒精浓度的方法测量驾驶员周围的酒精气体浓度。系统总体设计如图1所示，电路包括6个模块，酒精传感器模块，信号处理模块，酒精气体收集输送模块，单片机控制模块，车厢座位压力检测模块，汽车制动控制模块。

篇5：高考数学方差公式

一.方差的概念与计算公式

例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

这里D(X) 是一个数。推导另一种计算公式

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动

二.方差的性质

1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

证：特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

3.若X 、Y 相互独立，则

证：记则前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

方差公式：

平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

三.常用分布的方差

1.两点分布

2.二项分布

X ~ B ( n, p )引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

3.泊松分布(推导略)

4.均匀分布

另一计算过程为

5.指数分布(推导略)

6.正态分布(推导略)

7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

~正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

例2 求上节例2的方差。

解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

方差的定义：

设一组数据x1,x2,x3・・・・・・xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)，(x2-x拔)・・・・・・(xn-x拔)，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+・・・・・(xn-x拔)】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

篇6：初中数学平方差公式教案

15.2.1平方差公式

教学目标

①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．

②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．

③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

教学重点与难点

重点：平方差公式的推导及应用．

难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．

教学准备

卡片及多媒体课件

教学设计

引入

同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：

探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?

(1)(x+1)(x-1)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+1)(2x-1)=

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．

注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．

举例

再举几个这样的运算例子．

注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．

验证

我们再来计算(a+b)(a-b)=

公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．

注：这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．

概括

平方差公式及其形式特征．

教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．

应用

教科书第152页例1运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(b+2a)(2a-b)

(3)(-x+2y)(-x-2y)

填表：

(a+b)(a-b) a b a2―b2 最后结果

(3x+2)(3x-2) 2 (3x)2-22

(b+2a)(2a-b)

(-x+2y)(-x-2y)

对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．

注：(1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．

(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．

(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．

教科书第152页例2计算：

(1)102×98

(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．

注：(1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．

(2)第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．

巩固

教科书第153页练习1、2

练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．

注：让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．

解释

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?

多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．

注：(1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．

(2)此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．

小结

谈一谈：你这一节课有什么收获?

注：这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．

作业

1．必做题：教科书第156页习题15.2第1题

2．选做题：计算：

(1)x2+(y-x)(y+x)

(2)2-20xx×20xx

(3)(-0.25x-2y)(-0.25x+2y)

(4)(a+ b)(a- b)-(3a-2b)(3a+2b)

篇7：初中数学《平方差公式》观课报告

观看了王老师《平方差公式》的新授课，这节课给我留下了深刻的影响。

通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚了通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用平方差公式．

孙老师放手让学生探索，促进学生主动发展的教学方法贯穿于这节课的始终。从学生的练习情况来看，注重让学生动口、动手、动脑，既训练了语言表达，又发展了学生的逻辑思维能力，许多同学都掌握了这节课的知识，整个课堂中，以学生练为主，朱老师能敢于创新、敢于探索，整节课的学习，教师始终是学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生始终都是一个发现者、探索者，充分发挥他们的学习主体作用。这样大大提高了这节课的效率，教师讲课语言清晰，有较强的表达和应变能力，课堂教学基本功好。

乘法公式的引入，使学生 既复习了多项式的乘法运算，又形象直观地理解了乘法公式的内在实质。课堂教学中充分体现了以点拨为主的教学。对于公式的性能严格要求学生理解，课堂内的练习量、内容及安排上恰当好处，有基本运用公式，有变式运用公式，也有适当的加深应用，满足了不同层次的学生的学习。

几点建议：

1、引 入时，还可以安排得生动一点，可以先设疑，提出问题，让学生探讨，猜想，归纳，以激发学生更高的学习兴趣，或采用多题的多项式乘法运算，当学生感到有些 “烦“时，让学生猜想这类运算能否运用简单的结论来得出，从而使学生感到今天要学的内容的重要性，这样学生的学习将更主动。

2、刚才说过语言清晰，但不够精炼，尤其在总结公式特征时，未能用简练的语言描述出特征，以致学生在完成例题和练习题的过程中，对在运用公式之前需要变型的题型，出错率较高。其实平方差公式的特征就是有两项相同，而另两项恰恰是互为相反数或项。相同项在前，相反项在后，结果才能用相同项的平方减去相反项的平方。

篇8：方差数学教学设计

关键词：期望与方差,经济分析,应用

数学期望与方差分别有如下定义:

1)设离散型随机变量ξ的概率分布为P(ξ=xk)=pk(k=1,2,…,),如果级数收敛,则称为离散型随机变量ξ的数学期望,记为E(ξ),即,当级数不收敛时,则称离散型随机变量ξ的数学期望不存在.设连续型随机变量ξ的密度函数为f(x),若积分收敛,称积分的值为随机变量ξ的数学期望,记为E(ξ)或Eξ,即E(ξ)=;若不收敛,则称ξ的数学期望不存在.

2)设ξ为随机变量,称E(ξ)一E(ξ))2为离散型随机变量ξ的方差,记为D(ξ),即D(ξ)=E(ξ—E(ξ) 2

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.下面就数学期望与方差在下面几方面的应用作介绍:

1 在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本.利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标.下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用.

例1某人有一笔资金,可投入3个项目:房产x、地产y和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差3个等级,其发生的概率分别为p1=0.2,p2=0.7,p3=0.1,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资的年收益(万元),见表1.请问:该投资者如何投资好?

解我们先考察数学期望,可知

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风险.我们再来考虑它们的方差:

因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大,所以从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上.

例2据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01,保险公司办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需要交保险费100元,若在一年内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>100),问a如何确定,可使保险公司获益?

解设保险公司的收益为ξ,则ξ的分布列见表2.

所以,期望

又因为a>100,所以100<a<10000.即将a确定在区间(100,10000)内(单位:元)保险公司有望获益.

2 商品生产和销售中的应用

利用概率分布确定商品进货量.在商品销售过程中,商品的进货量是一个很重要的因素,因为商品卖不出去,要支付银行的借款利息和支付商品的保管费用,既要保证商品不脱销,又要保证商品不积压,因此商品销售者控制好进货量是至关重要的.订货的到达时间经常发生随机性的提前或推迟.下面将给出需求不确定的随机性存储模型.

由于需求量是随机的,所以可考虑其平均需求量,而且不允许缺货也只是指在一定置信度下的不允许缺货.

设D为年平均需求,则类似于确定性存储的EOQ模型,可得到相应的最佳批量,这里,K为一次定购费,C1为该种物资一个单位存储一年的费用.

为在一定置信度下对不缺货提供安全保证,可将安全库存量加到正常存货中以提供所希望达到的服务水平(即不缺货的概率).这时,有R=l+βδ,式中,R为订货点,l和δ分别为备运期内的销售量的均值与均方差,β为安全库存系数,βδ为安全库存量.安全库存系数β即为给定置信度1-a下的上100α百分位点,其值满足等式P(X>β)=α,可通过查概率分布表得到.

因此,订货策略为:当备运期大于零时,若存储量降低到R,则以Q*为订货量进行订货.

例3设某公司订购一种备件,一次订货费为60元,年平均需求量为500件,每件年存储费为40元,备运期8天,备运期中的销售量服从均值为15、均方差为2的正态分布.为使不缺货的概率达到99.9%且总费用最小,问订货点是多少,每次订多少件?

解析注意到D=500件/年,K=60元,C1=40元,则

根据不缺货的概率达到99.9%,查正态分布表得β=3,订货点为R=15+3×2=21件.

故订货点为21件,每次订货39件.

例4某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量,它的分布列为,12).设每售出一台电冰箱,该经销商获利300元,如果销售不出而囤积于仓库,则每台每月需支付保养费100元,问该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大?

解析依据题意可列出获利的平均数(即数学期望)的函数,求出其最值及达到最值的条件就可得解.

设月初电器商购进的冰箱的台数为x(x≥1),月收益为η元,则η是随机变量ξ的函数,且

由于x为整数,所以当x=9或10(台),Eη最大,即电器商月初购进9台或10台电冰箱时,收益最大.

3 在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法.利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性以及发生后导致的经济损失大小.下面以参数估计为例来说明它在这一方面的应用.

例5已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N(μ,σ2),今随机抽取8次货损资料,得到表3所示仓库货物损失金额表.请估计仓库货物损失的平均值及标准差.

解利用矩估计法或最大似然估计法,可知μ,σ2的矩估计量分别为:

从而根据表3中的数据可计算出:

从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55元.

参考文献

[1]孙玉芬.概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].保山师专学报,2003,22(2):51-56.

[2]祁红光.浅谈概率统计在决策优化中的应用[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,(5): 28-30.

[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1996.

篇9：方差数学教学设计

第一环节：问题导入之“故事导入”

根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点，在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”，同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导.

[片段实录]

师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.（课件出示故事和“问题1”）

一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看看吧！（见图1、图2两个示意图）

羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！

问题1：羊二吃亏了吗？

师：羊二吃亏了吗？

生：（异口同声）吃亏了！

师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷高举着手）

在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课，自然地将实际问题抽象为数学问题；运用数形结合思想，将土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路.

第二环节：新知探究之“数形结合探究”

教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为此设计了三个逐层递进的变式题.

[片段实录]

师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1的“变式题1”）

生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

师：若向东增加5米，向北减少5米呢？（“变式题2”）

生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏.

师：若向东增加b米，向北减少b米呢？（“变式题3”）

生1：也是一样的.

师：同学们同意吗？

生：（大声，整齐）同意.

师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下，这样才好推广吧？（师课件出示图3示意图，并带领学生进行计算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算，我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？

生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4所示的矩形，再向东增加一个如图5所示的矩形，由图我们很容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6所示、边长为3的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b向北减少b，则面积减少b2.

老师竖起大拇指；其他同学对这一直观的方法非常佩服，报以热烈掌声.

师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项呢？

生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了.

师：为什么能互相抵消呢？

生：（齐声）因为b与-b互为相反数.

师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？

生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项，一个二项式是a+b，一个二项式是a-b，等式右边是a与b的平方差.

师：看来同学们都是“说理大师”啊.（生笑）

在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的知识点.

第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计”

从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.

[片段实录]

师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将——

生：（齐声）应用.

师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）

课件出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”.

nlc202309090405

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

问题2：计算（+3）（-3）

师：问题2是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？

生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？比较这一题与上一题发生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如下.

问题2：（a+3）（a-3）

系数变↓

变式1：（2a+3）（2a-3）

符号变↓

变式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置变↓

变式3：（3-2a）（-2a-3）

指数变↓

变式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式变↓

变式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

项数变↓（相对于公式而言）

变式6：（a+b+c）（a-b+c）

师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示数，可以表示单独的一个字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式.

师：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我们已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式.

师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有了哪些了解？

生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变式.

师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质，问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的“变式大赢家”！（生喜形于色）

引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么，能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策略，认清变化的规律，抓住不变的本质.

第四环节：总结升华之“思维导图归纳法”

用问题3的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力.最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质.

[片段实录]

师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的“归纳之王”呢？（课件出示“问题3”）

问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2）本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？

生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b这两项的差的乘积，结果等于a、b的平方之差，而且是符号相同的项a的平方减去符号相反的项b的平方，前后不能颠倒.

生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运用平方差公式一定要准确地找出公式中的a和b；第二，对于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结合，构造出平方差公式的结构.

两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括，这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌声.

师：好，她们都是“归纳之王”！

接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8）.

教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分尊重学生在学习中的主体地位.

本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”，从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”，并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.

（责编 白聪敏）

篇10：方差数学教学设计

在试验过程中，观测值主要包括了产量、性能等数量指标，因素则是对观测值存在影响的条件。因素的状态称之为水平，一个因素的水平可以是多个。在试验中，观测值存在多个，其影响因素涉及多个方面。对于处理方法不同导致的观测值变化，称之为因素效应;因偶然性因素或者误差导致的观测值变化，则称为试验误差。

方差分析的主要目的是将对观测值存在影响的因素效应以及试验误差进行归类，并对其进行数量分析，对各个因素的重要程度进行研究，从而对工作的进展方向进行安排和调整。

篇11：方差数学教学设计

方差和标准差水平测试题

跟踪反馈挑战自我(100分)

一、选择题(每题3分，共24分)

1.若一组数据1，2，3，x的极差为6，则x的值是

A.7B.8C.9D.7或-3

2.(小明与小华本学期都参加了5次数学考试(总分均为100分)，数学老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，在作统计分析时，老师需比较这两人5次数学成绩的( ).

A.平均数; B.方差; C.众数; D.中位数.

3.若一组数据1，2，x，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是()

A.2B.C.10D.[来源:Z_xx_k.Com]

4.刘翔在出征北京奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他20次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这20次成绩的( )

A、众数 B、平均数 C、频数 D、方差

5.为了考察甲、乙两班期中考试数学成绩的波动大小，从这两班各抽10人的数学成绩进行比较，算出甲班10人的成绩方差比乙班10人的成绩方差大，由此可估计出()

A.甲班比乙班整齐B.乙班比甲班整齐C.甲、乙两班成绩一样整齐D.无法确定

6.甲、乙、丙、丁四名射手在预选赛中所得的平均环数及

其方差s2如下表所示，则选拔一名参赛的人选，应是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

7.一组数据的方差是2，将这组数据都扩大3倍，则所得一组新数据的方差是()

A.2B.6C.9D.18[来源:学。科。网]

8.将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是()

A.平均数不变B.方差和标准差都不变

C.方差改变D.方差不变但标准差改变

二、填空题(每题3分，共24分)

1.在“手拉手，献爱心”捐款活动中，某校初三年5个班级的捐款数分别为260、220、240、280、290(单位：元)，则这组数据的极差是 元.

2.下列数据是从一个总体中抽取的一个样本：101、102、103、99、98、100，求得样本方差为。

3.某运动员在一次射击练习中，打靶的环数为7、9、6、8、10，样本的平均数是;样本的方差是;样本的标准差是。

4.两名战士用同一步枪各打五发子弹，他们命中环数是：甲：8、7、9、8、6;乙：5、10、6、9、10。判断比较稳定的应该是。

5.一组数据的方差是m2，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是。

6.甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的矿泉水.从甲、乙灌装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：=4.8，=3.6.那么(填“甲”或“乙”)灌装的矿泉水质量较稳定.

7.一组数据-1、-2、x、1、2其中x是小于10的非负整数，且数据的方差是整数，则数据的标准差是

8.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：

班级参赛人数中位数方差平均字数

甲55149191135

乙55151110135

某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同;②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的是(把你认为正确结论的序号都填上)

三、解答题(共52分)

1、已知x1、x2、x3的平均数是，方差是S2，求3x1+5、3x2+5、3x3+5的平均数和方差。

2、已知一组同学练习射击，击中靶子的环数分别为103、98、99、101、100、98、97、104，计算它们的方差。

3、两人练习百米跑步，甲的成绩为13、12、14、12、12;乙的成绩为12、11、13、14、12，问谁的成绩好一些?谁的成绩稳定一些?(单位为s)

4、已知样本甲为a1、a2、a3样本乙为b1、b2、b3，若a1-b2=a2-b2=a3-b3，那么样本甲与样本乙的方差有什么关系，并证明你的结论。

四、探索拓展

1、有甲、乙、丙三名射击运动员，要从中选拔一名参加比赛，在选技赛中每人打10发，环数如下：

甲：10、10、9、10、9、9、9、9、9、9，

乙：10、10、10、9、10、8、8、10、10、8，

丙：10、9、8、10、8、9、10、9、9、9。

根据以上环数谁应参加比赛?

2、为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下(单位：秒)

编 号

类

型一二三[来源:学&科&网]四五六七八九十

甲种手表-342-1[来源:Zxxk.Com]-2-21-221

乙种手表-41-2141-2-12-2

(1)计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数;

(2)你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好?说说你的理由.

提升能力，超越自我

1、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：(单位：分)

甲成绩76849084818788818584

乙成绩82868790798193907478

(1)请完成下表：

平均数中位数众数方差85分以上的频率

甲[来源:ZXXK]848414.40.3

乙848434

(2)利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行分析.

2、一次期中考试中A、B、C、D、E五位同学的`数学、英语成绩等有关信息、如下表所示：

(I)求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差;

(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的

计算公式是标准分=(个人成绩-平均成绩)÷成绩标准差

从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语

哪个学科考得更好.

友情提示：一组数据的标准差计算公式是

，其中为n个数据的平均数.

参考答案：

跟踪反馈挑战自我

一、选择题：1、D;2、B;3、B;4、D;5、B;6、B;7、D;8、B;

二、填空题：1、70;2、2;3、8，2，;4、甲;5、4m2;6、乙;

7、或;8、①②③;

三、解答题

1、3+5，9S2;

2、5.5;

3、乙的成绩好甲稳定一些;

4、S21=S22;

四、1、甲;

2、解：(1)

(2)

由，知甲种手表走时稳定性好.

提升能力，超越自我

1、解：(1)

平均数中位数众数方差85分以上的频率

甲84848414.40.3

乙848490340.5

(2)甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从两人成绩的众数看，乙的成绩较好.

甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差看，甲的成绩相对稳定.

甲成绩、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85分以上的频率看，乙的成绩较好.

2、(1)数学考试成绩的平均分英话考试成绩的标准差：