北师大初一数学有理数（共12篇）
篇1：北师大初一数学有理数
第三十一课时
一、课题 §2.8有理数的乘法（2）
二、教学目标
1．使学生掌握多个有理数相乘的积的符号法则；
2．掌握有理数乘法的运算律，并利用运算律简化乘法运算； 3．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．
三、教学重点和难点
重点：乘法的符号法则和乘法的运算律． 难点：积的符号的确定．
四、教学手段
现代课堂教学手段
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
（一）、从学生原有认知结构提出问题 1．叙述有理数乘法法则． 2．计算(五分钟训练)：
(1)(-2)×3；
(2)(-2)×(-3)；
(3)4×(-1.5)；
(4)(-5)×(-2.4)；(5)29×(-21)；
(6)(-2.5)×16；
(7)97×0×(-6)；(17)1×2×3×4×(-5)；
(18)1×2×3×(-4)×(-5)；(19)1×2×(-3)×(-4)×(-5)；
(20)1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)；(21)(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)．
（二）、讲授新课
1．几个有理数相乘的积的符号法则
引导学生观察上面各题的计算结果，找一找积的符号与什么有关？
(17)，(19)，(21)等题积为负数，负因数的个数是奇数个；(18)，(20)等题积为正数，负因数个数是偶数个．
是不是规律？再做几题试试：
(1)3×(-5)；
(2)3×(-5)×(-2)；
(3)3×(-5)×(-2)×(-4)；(4)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)；(5)3×(-5)×(-2)×(-4)×(-3)×(-6)．
同样的结论：当负因数个数是奇数时，积为负；当负因数个数是偶数时，积为正． 再看两题：
(1)(-2)×(-3)×0×(-4)；
(2)2×0×(-3)×(-4)． 结果都是0． 引导学生由以上计算归纳出几个有理数相乘时积的符号法则：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．
继而教师强调指出，这样以后进行有理数乘法运算时必须先根据负因数个数确定积的符号后，再把绝对值相乘，即先定符号后定值．
注意：第一个因数是负数时，可省略括号． 例2 计算：
(1)8+5×(-4)；
(2)(-3)×(-7)-9×(-6)． 解：(1)
8+5×(-4)=8+(-20)=-12；
(先乘后加)(2)
(-3)×(-7)-9×(-6)=21-(-54)=75．
(先乘后减)通过例
1、例2教师小结：在有理数乘法中，首先要掌握积的符号法则，当符号确定后又归结到小学数学的乘法运算上，四则运算顺序也同小学一样，先进行第二级运算，再进行第一级运算，若有括号先算括号里的式子．
课堂练习
(1)判断下列积的符号(口答)：
①(-2)×3×4×(-1)；
②(-5)×(-6)×3×(-2)； ③(-2)×(-2)×(-2)；
④(-3)×(-3)×(-3)×(-3)． ③1+0×(-1)-(-1)×(-1)-(-1)×0×(-1)． 2．乘法运算律
在做练习时我们看到如果像小学一样能利用乘法的交换律和结合 计算：
(1)5×(-6)；(4)(-6)×5；
(2)［3×(-4)］×(-5)；
(3)3×［(-4)×(-5)］；(4)5×［3+(-7)］；
(5)5×3+5×(-7)．
教师指出，由上面计算结果，可以说明有理数乘法也同样有交换律，结合律和分配律，并让学生分别用文字叙述和含字母的代数式表达三种运算律．
(1)乘法交换律
文字叙述：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． 代数式表达：ab=ba.
篇2：北师大初一数学有理数
一、填空题
1．的相反数是__101/10___，倒数是___-10/101___，绝对值是___101/10_____，平方是__10201/100______。
2．一种零件的尺寸在图纸上是（单位：mm），表示这种零件加工要求最大不超过___7.05____，最小
不小于__6.98___。
3．已知a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d和e互为相反数，则a，b，c，d，e五个数的和为__-1____。
4．数轴上与表示－3的点距离为3个单位的点所表示的数为______-6,0___．
5．如果6．如图，有理数，那么_7/6_______。
_>_____0；
____>____0； 对应数轴上两点A，B，判断下列各式的符号： >0；
___<_____0。的值最大，这个最大值是_____3___。
7．当____1____时，式子8．把下列各数填在相应的大括号里．
+8 , 0.275 ,-|-2| , 0 ,-1.04 ,-(-10), 0.1010010001… ,-(-2)2 , ,-, +，正整数集合{ +8,-(-10),……}负整数集合{
-|-2|,-
-(-2)2 , ……}
整数集合{ +8，-|-2| ,0,-(-10),-(-2)2 , ……}正分数集合{ 0.275, ，……}
二、选择题
9．下列说法中，正确的是（C）
A．正数和负数统称有理数B．0是最小的有理数C．互为相反数的两数之和为0 D．绝对值相等的两数相等
10．下列计算中正确的是（B）
A．
11．B． C．
D． 的倒数的相反数为2，则a等于（A)× B。A．9
B．7.5C．5
D．6.5
12．设a为有理数，则下列各式的值一定为正数的是（B
13．与比较大小，必定为（D）。A．
×D）。A．
B．
C．
D．
B． C． D．这要取决于b
14．下列语句中，正确的个数是（C）B×。
①一个数与它的相反数的商为-1； ×
②两个有理数之和大于其中任意一个加数；×
③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；× ④若则。√
A．0
B．1
C．2
D．3
15．已知|，，则的值是（C）。
A．-7
B．-
3C．-7或-3
D．±7或±3
16．如果两个数的和是正数，那么这两个数一定（C）
（A）都是正数
（B）只有一个正数（C）至少有一个是正数
（D）以上答案都不对
三、计算题
17．直接写出运算结果：
（1）__-3/5______；
（2）=__-1/24______；
（3）=_____-4/7___；（4）____9/4__________。
18．19． =（-4/19)x(-7+13-6)
=5/36x(-48）
=0
=-20/3
20． 21．
=-7/4-5/4
=17.75-6.25+8.5-0.75+22.25
=-3
=-3 ×
41.5
四、解答题
22．在有理数，0.2，，24%，中，有哪些数具有特殊关系？把它们分别找出来
-1/2与-2互为倒数
-1/5与0.2互为相反数
23．写出符合下列条件的数：
（1）最小的正整数是___1_____；
（2）最大的负整数是_____-1___；
（3）绝对值最小的有理数是_____0___；（4）绝对值大于2且小于5的所有负整数是____-3_,-4__ ×
（5）在数轴上，与-1表示的点距离为2的所有数是___1_,-3__ ×
__。
篇3：北师大初一数学有理数
一、重视培养学生的应用意识和实践能力
1. 让学生从现实的生活和知识经验中学习数学和理解数学
教育学和心理学的研究表明:当学习的材料与学生已有的知识和生活经验相联系时, 学生对学习才会感兴趣.
在教授《列代数式》时, 我做了一个对比.以前按照传统的教学方法, 先是在课堂上罗列出学生以前学过的许多数学公式, 给出代数式的定义及有关概念的说明, 然后就是讲例题、做练习, 一节课下来, 课堂气氛沉闷, 效果也不理想.而现在根据新教材的素材大部分来源于学生的现实生活的特点, 课堂一开始就引入一个实际的问题情境 (七年级 (上) P102) :为了寻找所摆正方形的个数与火柴棒根数的关系, 通过试验, 得到下列一组数据 (单位:厘米) :
在这个问题中, 我抓住新教材内容“螺旋上升”的特点, 正方形的个数由1到100的变化, 再由100变成x (个) , 那么相对应的火柴棒的根数为____.学生看到这问题就来劲了, 纷纷发表见解, 讨论热烈, 概括出表示火柴棒根数的一个式子4+3 (x-1) , 反映出这种火柴棒的根数与正方形个数之间的数量关系.我借此机会列举了几个有共同特征的典型实例, 让学生思考、互相交流.学生在交流中了解了“代数式”的含义, 知道了为什么要学代数式, 对这节课反应热烈, 兴趣很大, 收到了很好的课堂效果.
另外, 新教材很多章节编排了实践与探索, 使学生从所熟悉的现实情境和已有的知识经验出发, 动手参与, 在认识数学的同时, 还能学到解决问题的策略.比如问题1:
用一根长60厘米的铁线围成一个长方形.
(1) 使长方形的宽是长的, 求这个长方形的长和宽.
(2) 使长方形的宽比长少4厘米, 求这个长方形的面积.
(3) 比较 (1) 、 (2) 所得两个长方形面积的大小.还能围出面积更大的长方形吗?
让学生运用所学的知识进行运算、讨论、探索.通过探索学生发现, 长方形在周长一定的情况下, 它的长和宽越接近, 面积就越大, 当长和宽相等, 即成为正方形时, 面积最大.这一结论我们在日常生活中经常应用它, 新教材在这方面很好地调动了同学的学习积极性.
2. 培养学生应用数学意识解决实际问题的能力
为了使学生经历应用数学的过程, 在新教材的使用中, 我采取“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程, 从而提高解决问题的能力.
如问题2:“要用20张白卡纸做包装盒, 每张白卡纸可以做盒身2个, 或者做盒盖3个.如果一个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒, 那么能否把这些白卡纸分成两部分, 一部分做盒身, 一部分做底盖, 使做成的盒身和盒底盖正好配套?”这一问题, 从学生感兴趣的折纸活动开始, 使学生知道包装盒的结构, 通过操作、抽象分析和交流, 通过数量之间的相等关系, 建立数学模型 (即方程或方程组) , 按要求设计分法:如果不允许剪开白卡纸, 能否找到符合题意的分法?如果允许剪开白卡纸, 怎样才能既符合题意又能充分利用这些材料?通过交流与验证等活动, 获得问题的解, 并对求解过程作出反思.在这个过程中, 学生体会到“包装盒的结构与合成”、“把实际问题转化为数学问题”、“方程或方程组”等方面知识的联系与综合应用.
二、重视引导学生自主探索, 培养学生的创新精神
在教学活动中, 学生是学习的主体, 必须改变“教师讲、学生听”;“教师问、学生答”以及大量演练习题的数学教学模式.教师在教学中应多设计探索性和开放性的问题, 给学生提供自主探索的机会.我在课堂教学的实践中, 主要从以下两点进行:
1. 引导学生动手实践、自主探索和合作交流
数学教学应注重引导学生动手实践、自主探索和合作交流.比如:在讲解立体图形的展开图时, 在课堂上充分让学生展示, 最后展开图十三个图分成四组, 分别让四个学习小组的同学用纸复制下来, 用剪刀把它们剪下来, 然后折一下, 看看到底是什么图形.这样一来, 学生的学习热情高涨, 在动手实践中寻找问题的答案, 再让四个学习小组互相交流, 很快就得出同一个立体图形, 按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的, 通过学生动手实践、自主探索, 这一节课掌握得非常好.
2. 让学生在探索中进行归纳推理, 发现规律
合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神.新教材比较注重培养学生的推理能力, 在课堂教学中应该给学生提供探索交流的空间, 组织、引导学生“通过观察、实验、推理、归纳等数学活动过程”.例如问题4:题目要求学生在如图1所示的方格中, 填入1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这9个数, 使每行、每列及对角线上各数的和都为15.学生对这题目的兴趣很大, 但不知该从何处入手, 我及时进行引导, 应该先在哪一个格中填数?填什么数?这样一提示, 班内一位思维较敏捷的学生很快举手回答:中间的一个数应填5, 这时, 课堂气氛“活”了起来, 学生纷纷举手回答:1和9, 2和8, 3和7, 4和6应分别与5在同一行, 或同一列, 或同一对角线上, 因此, 很快就有了问题的答案 (如图2) .
就此题目进行猜想, 我在黑板上给出四组数, 分别为: (1) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; (2) -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2; (3) 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16; (4) -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.让四个学习小组讨论、试填, 能否使每行、每列及对角线上各数的和相等呢?这时学生的学习劲头可大了.经过四个小组学生激烈讨论, 四组数都能做到, 比如第 (4) 组, 答案如图3, 只不过每行、每列及对角线上各数的和不再是15, 而变成了12.
看起来问题已经解决了, 这时, 一学生举手提问:究竟怎样的9个数才有这规律呢, 填写时能否有规可循?这下气氛可“热闹”了, 有的说任意9个数;有的说连续的9个整数;有的说不能确定, 等等.经过大家探索、总结, 可得出以下规律:把9个数按小到大排列, 凡符合等差数列 (可向学生解释这样的规律即可) 都可以, 这时, 一名学生举手发言:我认为可以把这个方格图看作一个人, 左、右上角为肩, 左、右下角为足.填写规律如下:把符合规律的9个数由小到大顺序排列, 分别标号为1至9.按口诀:“二四为肩, 六八为足, 左七右三, 戴九履一, 五居中央.”同学们听了这名学生的回答, 纷纷动手验证这一规律, 实践证明, 这一规律的确可行, 实践证明, 学生对这问题掌握得非常好, 每次测试的答对率都接近100%.
经过多年新教材教学的实践, 我所教的班, 学生实践能力和创新意识得到了较好的培养, 收到了较好的教学效果在全市中考考试中所教班的数学成绩显著:如2007年深圳市中考我所教的班的数学成绩29人A+, 58人A上 (全班共59人) .我相信, 在今后的教学改革过程中, 充分把握新教材, 培养学生的实践能力和创新意识, 不断探索、总结, 一定能收到更好的教学效果.
参考文献
篇4：感悟“有理数”中的数学思想方法
一、 抽象思想
让我们以数轴为例来帮助同学们感受“抽象”.
如图1，温度计对大家来说都很熟悉.
我们很容易将“温度计”进一步抽象，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（如图2）.
由此可知，数轴是一条特殊的直线，注意，它还要满足以下要求：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.
画数轴的技术处理：
（1） 画直线、定原点：通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时，原点选得靠右些；正数的个数较多时，原点选得靠左些.
（2） 定方向：通常取原点向右的方向为正方向.
（3） 定单位长度：选取适当的长度（如0.5 cm）为单位长度，若要在数轴上表示0.000 1和-0.000 4，则可取一个单位长度为0.000 1；在数轴上表示3 000与-4 000，则可规定一个单位长度为1 000.
（4） 标数：在数轴上依次标出1，2，3，4，
-1，-2，-3，-4等各点.
二、 转化思想
所谓转化思想，就是将所要解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题. 具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题.
有理数的各种运算须先确定符号再计算绝对值，而符号确定以后，绝对值的计算就是小学已经学过的问题. 例如：计算-2+3= +（3-2）；（-3）×2×（-4）×
-=-
3×2×4×. 这里“3-2”和“3×2×4×”就是小学学过的减法和乘法运算.
再比如，有理数的减法运算可转化为加法运算，除法运算可转化为乘法运算. 这就是说，有理数运算的关键是熟练掌握运算法则，准确地确定符号，有理数运算的实质是运用法则将其转化为小学学过的加、减、乘、除运算. 更彻底一点说，所有运算追根究底都是加法运算，而加法的本质是自然数的性质（逐次加1，即1+1=2，2+1=3，……）.
三、 分类讨论
在《有理数》一章中研究相反数、绝对值、有理数乘方运算的符号法则等，都是将有理数分成正数、负数、零三类分别研究的. 分类必须遵循下列两条原则：（1） 每一次分类要按照同一标准进行；（2） 分类要做到不重复、不遗漏. 例如，把有理数分为正数和负数两类就错了，错误原因是漏掉了零. 再如：
若a，b均为整数，且满足a=5，b=3，求a+b的值.
在这个问题中，根据绝对值的定义，a可取两个值±5，b也可取两个值±3. a=5时，b可以是±3，同理a=-5时，b也可以是 ±3，所以共有四种情况：
当a=5，b=3时，a+b=8；
当a=5，b=-3时，a+b=2；
当a=-5，b=3时，a+b=-2；
当a=-5，b=-3时，a+b=-8.
（作者单位：江苏省海门市东洲中学）
篇5：北师大初一数学有理数
教学目标: 1．经历探索有理数乘法法则及运算律的过程，发现观察、归纳、猜测、验证等能力。
2．使学生了解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，会进行有理数的乘法运算。教学重点：
有理数乘法法则； 教学难点：
会进行有理数的乘法运算。教学过程：
一、创设情境：
1.水库水位的变化（课件演示）2.议一议：(−3)×4 = −12(−3)×3 = ,(−3)×2 = ,(−3)×1 =，(−3)×0 = , 3.猜 一 猜
(−3)×(−1)= , 当第二个因数从 0 减少为 −1时，积从 增大为 ；(−3)×(−2)= ,(−3)×(−3)= ,(−3)×(−4)= 4.随堂练习：
第1题，口答。
第2题、第3题，笔算。注意随时纠正学生可能发生的符号错误和运算顺序的错误。5.课堂小结：
指导学生阅读教科书第93页至第97页后，提问：（1）理数乘法法则是什么
（2）多个不等于0的有理数相乘时，积的符号如何确定？（3）几个数相乘时，如果有一个因数是0，则积是多少？
四、课外作业
见作业本。补充题：
篇6：初一数学辅导有理数
聪明出于勤奋，天才在于积累。我们要振作精神，下苦功学习。查字典数学网编辑了初一数学辅导有理数，以备借鉴。
1.1正数和负数
以前学过的0以外的数前面加上负号-的书叫做负数。
以前学过的0以外的数叫做正数。
数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义
1.2有理数
1.2.1有理数
正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
1.2.2数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
1.2.3相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上-号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4绝对值
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法
有理数的加法法则：
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：a+b=b+a
三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
1.3.2有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法来进行。
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。
两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
ab=ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
(ab)c=a(bc)
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
a(b+c)=ab+ac
数字与字母相乘的书写规范：
⑴数字与字母相乘，乘号要省略，或用
⑵数字与字母相乘，当系数是1或-1时，1要省略不写。⑶带分数与字母相乘，带分数应当化成假分数。
用字母x表示任意一个有理数，2与x的乘积记为2x，3与x的乘积记为3x，则式子2x+3x是2x与3x的和，2x与3x叫做这个式子的项，2和3分别是着两项的系数。
一般地，合并含有相同字母因数的式子时，只需将它们的系数合并，所得结果作为系数，再乘字母因数，即
ax+bx=(a+b)x
上式中x是字母因数，a与b分别是ax与bx这两项的系数。
去括号法则：
括号前是+，把括号和括号前的+去掉，括号里各项都不改变符号。
括号前是-，把括号和括号前的-去掉，括号里各项都改变符号。
括号外的因数是正数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
1.4.2有理数的除法
有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
ab=a(b0)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
篇7：初一数学有理数的教案
(学生活动)解下列方程：
(1)x2-4x+7=0 (2)2x2-8x+1=0
老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
解：略. (2)与(1)有何关联?
二、探索新知
讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)先将已知方程化为一般形式;
(2)化二次项系数为1;
(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±q;如果q<0，方程无实根.
例1 解下列方程：
(1)2x2+1=3x (2)3x2-6x+4=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式.
解：略.
三、巩固练习
教材第9页 练习2.(3)(4)(5)(6).
四、课堂小结
本节课应掌握：
1.配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
2.配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性.在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到.
五、作业布置
篇8：北师大初一数学有理数
教材是教学的重要资源，它的质量和水平很大程度上决定着教学的质量和水平，从而影响着学生的所获所知.《数学课程标准》（以下简称《课标》）是教材编写的依据，是实施教学的依据，也是考试评价的依据.《课标》明确指出：教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标和实施教学的重要资源[1].本文基于问题的视角，以有理数的乘法为例（北师大版）来分析教材.
S.lan Robertson认为：当你想做一件事情，却又不知道怎样去做时，便产生了问题[2].张奠宙认为：所谓问题，是指一个人面临着某种他所谓认识的东西，而对于这种东西他又不能用某种典范的解法去解答[3].波利亚指出：所谓问题，就是意味着要去找出一个行动，以达到一个可见而不能立即可即的目标[4].本文所指的问题：依据教材提供的教学素材，通过数学活动，启动数学思维机智，以独立或合作的方式设计一个行动，达到可见而不能立即可即的目标.
2 研究的方法与结果
2.1 研究方法
本文采用文本分析法，以北师大版教材中的有理数的乘法为例，基于问题的视角来分析教材.这里的分析框架主要借鉴罗新兵、魏金英等教授的研究成果，他们从总体分布、分布布局、内容选择、呈现方式四个方面来分析数学史在教材中的分布特征[5].笔者结合问题在教材中的特点，从问题的总体布局、类型分布、呈现方式三个方面来分析.具体主要对教材中的插图和文本进行统计，如导入问题、例题、随堂练习、“议一议”、“猜一猜”等特色栏目，各记为一个问题.另外，习题中以知识技能、问题解决、联系拓广作为划分，各记为一个问题.“一个因数减小时，积怎样变化？”单独记为一个问题.
2.2 研究结果
2.2.1 问题的总体布局
首先，对有理数的乘法这一节内容进行整体分析，统计发现，在该节中问题出现了17处，具体如表1所示.
表1展现了问题在这一节中的安排.在分布这一维度上，问题主要集中在习题、正文、练习上.需要说明的是，正文用议一议、猜一猜、做一做、想一想的活动方式来呈现问题，用这种方式把教材中学生所要学的知识逐步引出来，例题对所学知识起了示范作用，两者的本质都体现了知识的形成过程，共占问题总数的52.9%，所占比例较大.
2.2.2 问题的类型布局
在参照S.lan Robertson对问题类型划分的基础上，结合教材中问题的特点将问题分为如下几类，铺垫性问题：如以问题作为导入，猜一猜、议一议、想一想、做一做为引出所学知识做铺垫.激疑性问题：在呈现一定规律的算式旁边，给以提示.范例性问题：例题.巩固性问题：随堂练习、知识技能.发散性问题：如问题解决、联系拓广.具体统计如表2所示.
由表2可知，铺垫性问题与巩固性问题分别占问题总数的35.3%，23.5%，所占比例较大.激疑性问题占问题总数的5.9%，所占比例最小.
2.2.3 问题的呈现方式
从呈现方式来看，问题在有理数的乘法这一节中的呈现方式多数以数学式为主，只是少量的问题在以文字呈现方式为主的基础上，附以图片、图像等.为了深入地了解教材中问题的呈现方式，除数学式外，区分为文字、填空、图表、图文.在分类时，对问题说明有文字并附以相关的图片或图像，则归于图文一类；问题以填空的形式给出，则归于填空一类；对问题的说明以相关的表格给出，则归于图表一类.具体统计如表3所示.
由表3可知，问题以数学式和文字形式呈现占问题呈现方式总数的65.2%，所占比例最大.除数学式以外的其它方式共占问题呈现方式总数的34.8%.仅从数据来看，其它呈现方式所占比例较少.
3 分析讨论
从问题的总体布局来看，问题主要以课堂教学的导入、课堂教学的范例、知识形成过程的资源、随堂练习、巩固知识的强化练习这几种方式贯穿于教材中.统计表明，问题主要穿插在知识的形成过程中，有利于教师在教学中的应用，这应该是课程标准对教材中问题设计要求的一种积极回应和具体体现.教材中问题编排新颖，以一些富有特色的栏目给出.如：“议一议”、“想一想”、“猜一猜”、“做一做”等.为学生提供探索、交流、合作的时间和空间，便于学生更自觉地投入到主动探究学习活动中使每个人始终处于一种积极参与的状态.同时，教材重视问题情境创设，问题设计与生活实际相联系，打破了传统教材内容的呈现方式.结合学生生活实际，设计学生熟悉的生活例子，以一个问题为平台，提出问题，引导学生思考、探索数学知识、体验数学知识的认知过程.有益于学生理解数学、热爱数学，也便于学生感受到数学在生活中无处不在.
从问题的类型布局来看，巩固性问题与铺垫性问题所占比例较大.可见，教材重视知识的巩固，从另一个角度也折射出教材关注知识的形成过程，强调从学生的已有的认知水平出发，通过归纳和类比，使学生经历一定的过程，获得数学知识并发展他们的思维能力.另外，在知识的“增长点”上设计有一定层次的能力训练较强的问题，能够有意识地培养学生的问题意识.而教材中激疑性问题与发散性问题所占比例较小，有待加强.
从问题的呈现形式来看，教材体现了一定程度的图文并茂，但是问题的呈现形式以数学式与文字为主，其它呈现方式较少.怎样才能有效的增加问题的呈现方式，以便于教师更好的教，学生更好地学，值得我们思考.
4 小结
问题是数学发展的心脏，是教学的出发点，是思维的起点.教材中设计具有内在逻辑联系的问题，有助于老师将既定的数学知识转化为问题，以展开知识的发生发展过程，促使学生思考，逐步培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力，使学生真正成为知识的主动建构者.为使教材更好地为数学教学服务，老师应当以《课标》为准则，认真分析教材，在肯定北师版教材问题设计的基础上，也应当认识其不足之处，进而在教学的过程中做适当的弥补.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准 (实验稿) [M].北京:人民教育出版社, 2001.
[2]S.lan Robertson.问题解决心理学[M].张奇, 等译.北京:中国轻工业出版社, 2004.
[3]张奠宙.数学教育学[M].南昌:江西教育出版社, 1991.
[4][美]乔治.波利亚.数学的发现[M].刘景麟, 等译.北京:科学出版社, 2009.
篇9：有理数中的数学思想方法
一、 数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休. ”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
例1 在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧. 若a-b=2013，且AO=2BO，则a+b的值为_______.
【分析】根据已知条件可以得到a<0 解：如图，a<0 a=-2b②，由①②，解得b=671， ∴a+b=-2b+b=-b=-671. 故答案是：-671. 【点评】教材引入数轴后，就为数形结合思想奠定了基础. 如有理数的大小比较、相反数和绝对值的几何意义，巧妙运用数形结合的思想方法可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，使用数形结合的方法，很多问题便能迎刃而解，且解法简捷. 二、 归纳思想 所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理（简称“归纳”）. 归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理. 例2 观察下列按顺序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_______. 【分析】根据题意可知a1=1-，a2=-，a3=-，…，故an=-. 解：通过分析数据可知第n个等式为：an=-. 故答案为：-. 例3 下表中的数是按一定规律填写的，表中a的值应是_______. 【分析】根据第一行第3个数是前两个数之和，进而得出答案. 解：根据题意可得出：a=13+8=21. 故答案为：21. 三、 建模思想 数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构，是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达. 数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法. 数学建模是一种数学的思考方法. 例4 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2 km到达A村，继续向南骑行3 km到达B村，然后向北骑行9 km到达C村，最后回到邮局. （1） 以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1 cm表示1 km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； （2） C村离A村有多远？ （3） 邮递员一共骑了多少千米？ 【分析】本题通过建立数轴，帮助理解题意，C村与A村的距离一目了然，邮递员的路程是无方向的，指OA+AB+BC+OC的长. 解：（1） 依题意得，数轴为： （2） 依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（km）. （3） 一共骑了18 km. 四、 算法思想 所谓算法思想，就是按照一定的步骤，一步一步地解决问题的程序化的思想.机械式地按照某种确定的步骤行事，通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过程，这就是 “算法”过程. 算法是数学及其应用的重要组成部分，算法的意义决定了算法具有机械化和程序化的特点，算法的核心思想就是运用程序化解决问题（正是由于算法这一特点，才使其理论在计算机上得到具体实现与应用）.新课程非常注重学生算法思想的培养，高中还将“算法初步”列为必修内容，当然，中小学数学算法与真正意义上的算法还有一定的区别，但算法思想指导下的数学程序化训练有利于学生数学基本能力的培养，在中小学教材中，体现算法（解决问题的程序化）的知识点非常普遍. 例5 计算： （1） -÷ -+（-2）2×（-14）； （2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）]. 【分析】在做有理数的混合运算时，严格注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 如果有括号，先进行括号内的运算. 运算律的合理运用可以简化运算. 有多重括号时，要根据具体情况，从外到内或从内到外去掉括号. 乘法对加法和减法具有分配律，但除法对加法或减法不具有分配律. 解：（1） -÷ -+（-2）2×（-14） = -×（-6）+4×（-14） =×（-6）-×（-6）+（-56） =-3+2-56 =-57； （2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）] =-2-[15+（1-0.2）×（-25）] =-2-[15+0.8×（-25）] =-2-[15-20] =-2-（-5） =3. 五、 符号化思想 符号化思想主要表现在以下两方面：1. 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号化思想. 2. 符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象. 数学离不开符号，数学处处要用到符号. 英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？ 数学就是符号加逻辑. ” 例6 一运动员某次跳水的最高点离跳台2 m，记作+2 m，则水面离跳台10 m可以记作（ ）. A. -10 m B. -12 m C. +10 m D. +12 m 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答. 解：跳水的最高点离跳台2 m，记作+2 m，则水面离跳台10 m可以记作-10 m. 故选A. 例7 未来三年，国家将投入8 450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题. 将8 450亿元用科学记数法表示为（ ）. A. 0.845×104亿元 B. 8.45×103亿元 C. 8.45×104亿元 D. 84.5×102亿元 【分析】科学记数法的表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数. 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 解：将8 450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元. 故选B. 六、 分类讨论思想 在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法. 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想. 分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论. 分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论. 这一点，我们在学习有理数分类时可以体会到. 例8 已知x-1=2，求x. 【分析】根据绝对值的运算法则可知，绝对值等于2的数有两个，分别是+2或-2. 解：由题得：x-1=2，x=3， 或x-1=-2，x=-1， 所以x的值是-2或-1. 一、教学目标 1、知识与技能：掌握有理数乘法法则，能利用乘法法则正确进行有理数乘法运算。 2、过程与方法：经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力。 3、情感态度与价值观：通过学生自己探索出法则，让学生获得成功的喜悦。 二、教学重点、难点 重点：运用有理数乘法法则正确进行计算。 难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。 三、教学过程 一、导课： 计算：5×3 解：5×3=15 27277 解： 34346 0 11 解：00 44我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数以后,怎样进行有理数的乘法运算呢? 怎样计算（1）48 （2）56 二、问题探究： 一只蜗牛沿直线L爬行，它现在的位置恰好在L上的点O。 （1）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？ (2)(3)6 （2）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？ （-2）（+3）=6（4）如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？ （-2）（-3）= +6 观察（１）－（４）式，根据你对有理数乘法的思考，填空： 正数乘正数积为＿＿＿数； 负数乘正数积为＿＿＿数； 正数乘负数积为＿＿＿数； 负数乘负数积为＿＿＿数； 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的＿＿＿． 综合如下：（1）2×3=6（2）（-2）×3=-6（3）2×（-3）=-6（4）（-2）×（-3）=6（5）被乘数或乘数为0时，结果是0 三、得出结论 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 练习1：确定下列积的符号：（１）5×（-3）积的符号为负（２）（-4）×6 积的符号为负（３）（-7）×（-9）积的符号为正（４） 0.5×0.7 积的符号为负正 例如：（— ５）×（— ３）（同号两数相乘） 解：（— ５）×（— ３）= +（）（得正） ５×３ = １５（把绝对值相乘）∴（— ５）×（— ３）=１５ 又如：（— 7）×4（异号两数相乘） 解：（— 7）×4= —（）（得负）7×4=28（把绝对值相乘）∴（— 7）×4=-28 注意：有理数相乘，先确定积的符号，在确定积的值 四、例题讲解 例 一、计算： 1(1)39(2)2 2(3)71(4)0.81 解： (1)39271(2)212 (3)717(4)0.810.8注意：乘积是１的两个数互为倒数．一个数同+1相乘，得原数，一个数同-1相乘，得原数的相反数。 五、练习1． 计算（口答）： (1)6954(2)4624 (3)616(4)600 293(5)342111 (6)3412 六、小结 1.有理数乘法法则： 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同0相乘,都得0。2.如何进行两个有理数的运算： 先确定积的符号，再把绝对值相乘，当有一个因数为零时，积为零。 七、布置作业 教科书习题1.5第1题，第2题，第3题.八、板书设计 1、明白生活中存在着无数表示相反意义的量，能举例说明; 2、能体会引进负数的必要性和意义，建立正数和负数的数感。 重点：通过列举现实世界中的“相反意义的量”的例子来引进正数和负数，要求学生理解正数和负数的意义，为以后通过实例引进有理数的大小比较、加法和乘法法则打基础。 难点：对负数的意义的理解。 教学过程： 一、知识导向： 本节课是一个从小学过渡的知识点，主要是要抓紧在数范围上扩充，对引进“负数”这一概念的必要性及意义的理解。 二、新课拆析： 1、回顾小学中有关数的范围及数的分类，指出小学中的“数”是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的。 如：0，1，2，3，…， ， 2、能让学生举例出更多的有关生活中表示相反意义的量，能发现事物之间存在的对立面。 如：汽车向东行驶 3千米和向西行驶2千米 温度是零上10°C和零下5°C; 收入500元和支出237元; 水位升高1.2米和下降0.7米; 3、 上面所列举的表示相反意义量，我们也许就会发现：如果只用原来所学过的数很难区分具有相反意义的量。 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示;把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“—”号来表示。 如：在表示温度时，通常规定零上为“正”，零下为“负”即零上10°C表示为10°C，零下5°C表示为-5°C 概括：我们把这一种新数，叫做负数， 如：-3，-45，… 过去学过的那些数(零除外)叫做正数，如：1，2.2… 零既不是正数，也不是负数 例：下面各数中，哪些数是正数，哪些数是负数， 1，2.3，-5.5，68，-，0，-11，+123，… 三、阶梯训练： P18 练习：1，2，3，4。 四、知识小结： 从本节课所学的内容中，应能从数的角度来区分小学与初中的异同点，通过运用发现相反意义量，能理解引进“负数”的必要性及其意义。 五、作业巩固： 教学目标： 知识与技能目标： 1.让学生经历探索有理数乘法法则的过程，进一步培养他们的观察、归纳、猜测、验证等能力． 2.通过本节课的学习使学生能运用法则进行简单的有理数乘法运算． 过程与方法目标： 通过恰当的问题设置与环节安排，让学生经历“操作——观察——探索——归纳——应用”的数学思维活动过程，体会数形结合思想及从特殊到一般的归纳方法.情感与价值目标： 通过主动探究培养学生严谨的学习态度和勇于探索的精神，认识到数与形相结合的意义和作用，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣.培养学生的语言表达能力，通过合作学习调动学生学习的积极性，增强学习数学的自信.教学重点：有理数的乘法法则.教学难点：会利用法则进行简单的有理数乘法运算.教学过程： 设置情境引入课题 运用多媒体课件演示出小虫沿直线爬行的引例，组织学生进行讨论，并用动画演示出蜗牛在四种不同的情况下的运动过程，引导学生列出算式． 交流对话探究新知： 观察① — ⑤式，填空: (+2)×(+3)=6 ① (-2)×(+3)=-6 ② (-2)×(-3)=6 ③ (+2)×(-3)=-6 ④(-2)×0 =0 ⑤ 正数乘正数积为＿数;负数乘正数积为＿数； 正数乘负数积为＿＿数;负数乘负数积为＿数;任何数乘0都 ;仅从符号的角度考虑你能发现什么规律? 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的.【答案】 正负 负正 0 同号得正，异号得负 积 试一试： 3×(－2)＝? 与3×2＝6相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”，即 3×(－2)＝－6.再试一试：(－3)×(－2)＝? 把上式与(－3)×2＝－6对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积是原来的积“－6”的相反数“6”，即(－3)×(－2)＝6 此外，如果有一个因数是0时，所得的积还是0，如(－3)×0＝0、0×2＝0.概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.例如： (－5)×(－3)同号两数相乘(－5)×(－3)＝＋()得正 5×3＝15 把绝对值相乘 所以(－5)×(－3)＝15.再如： (－6)×4 异号两数相乘(－6)×4＝－()得负 6×4＝24 把绝对值相乘 所以(－6)×4＝－24.应用新知体验成功： 例1计算：（1）(－5)×(－6);11（2）24 解：（1）(－5)×(－6)=30; 1118（2）24巩固练习： 计算：（1）(1.5)2（2）(308)【答案】（1）171728 【北师大初一数学有理数】相关文章： 初一数学下册北师大版06-03 学而思初一数学北师大03-23 北师大版初一数学教学工作总结05-06 北师版初一数学上册知识点05-27 初一历史上册教案北师大04-20 初一数学有理数的除法05-11 初一数学有理数培优题10-25 新初一数学有理数的加减法——计算题练习04-17 北师大版有理数除法05-24 有理数除法北师大版06-01篇10：初一数学有理数的乘法教案
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