微积分教学

微积分教学（精选十篇）

微积分教学 篇1

关键词：高职,微积分,教学

微积分是经济类专业必修的课程之一。但是, 由于近年来高职学生的素质和教学水平普遍偏低, 学生学习积极性又不高, 这给数学教学带来了一定的难度。因此如何激发学生学习的学习兴趣, 因材施教, 提高教学质量, 是我们在微积分教学中认真思考的问题。下面就根据自己多年的教学实践, 谈一下在微积分教学中的做法和体会。

1 调整更新教学内容, 突出一个“用”字

1.1 将内容适当调整

把微分、积分分块, 按微分、积分、微分方程、级数四个知识点模块进行教学。顺序是一元函数微分学;多元函数微分学; (不) 定积分;二重积分;微分方程;无穷级数。这样内容衔接自然, 学生是易于接受的。

1.2 微分模块中, 先介绍无穷小量, 无穷大量, 序列的极限, 无穷大雨无穷小的比较, 然后将函数的极限

由于无穷小量比较直观, 所以学生能很快掌握无穷小的含义, 从而使这部分的学习变得较为容易。

1.3 积分模块中, 统一处理定积分和不定积分

采用先讲定积分后讲不定积分的方法。即从实例引出定积分的概念, 研究定积分的性质, 并利用连续函数积分上限的导数是被积函数这一定论给出牛顿—莱布尼兹公式。从而将定积分的计算转化为求原函数即不定积分的问题, 然后给出计算不定积分的几个主要方法。最后给出定积分的推广——广义积分。这种处理逻辑自然, 还了定积分和不定积分的历史面目, 也符合学生的认知规律。

2 多种教学方法结合使用, 力求一个“活”字

2.1 实施发现法教学

由教师提供预备知识, 对数学中的一些性质、法则、公式、定理, 应该先指导学生积极思考, 促使学生以“发明家”的身份自己去发现问题、提出假设、验证假设, 然后再给予理论上的证明。学生经过自己的观察、实验发现的规律, 不论在他们的思想情感中, 还是在他们的学习兴趣上, 都比老师给的现成的命题或结论强烈的多。

2.2 采用问题教学法

由教师提出一系列精心设计的问题, 在教师的启发下, 让学生自己动脑去分析、探索, 在探索过程中研究、领悟, 得出结论, 从而达到既获得知识又发展能力的目的。如在讲解微分时, 我依次提出5个问题。 (1) 函数的改变量能否找到一个精确度高又容易计算的式子近似代替? (2) 一个边长为x的正方形, 当边长x取得一改变量△x时, 面积s改变了多少? (3) 函数的改变量△y=A△x+0 (△x) (△x→0) , 其中的A=? (4) 函数的改变量与函数的微分相差多少? (5) 微分都能进行哪些近似计算?这一系列问题的提出, 由浅入深, 步步深入, 环环相扣, 引人入胜。使学生的思维和注意力在较长的时间内高度兴奋, 课堂气氛热烈生动, 教师学生融为一体。在这个过程中学生的学习积极性得到充分发挥, 学生的学习兴趣也别激发出来, 从而大大提高教学效率。

2.3 运用对比式教学法

教师在教学过程中要把相关内容作以比较和对比, 这样既可以使学生更好地掌握相关内容的异同, 又可以把前后内容串联起来形成一个整体的概念。如在讲多元函数微分学时, 就可以把相关概念与一元函数微分学的对应概念作对比, 使学生明白多元函数对某变量的偏导数实质上仍然是一元函数的求导问题, 所需注意的要搞清楚是对哪个变量求导, 即分清求导过程中的常量与变量的问题。

教无定法, 因材施教。在教学中, 只有根据教学目的, 教学内容和学生的实际水平, 合理地将多种教学方法结合起来灵活运用, 才能使教学更生动、更有效。

3 穿插数学史实和美育, 体现一个“趣”字

兴趣是学习的动力。由于学生普遍感到数学抽象、枯燥、无味, 因此学习兴趣不高。作为教师不能只满足把知识讲清楚就完事, 要善于创设教学情境, 激发学生学习的兴趣, 产生求知欲, 从而提高教学质量。

3.1 以史料引趣

结合教材适时穿插一些数学史料, 介绍历史上著名的数学家柯西、洛必达、拉格朗日、牛顿、莱布尼兹等对高等数学的贡献及其研究方法, 微积分的产生背景, 某些概念的形成和发展等。如牛顿、莱布尼兹如何从不同的背景、方法和形式上提出并创立微积分介绍给学生后, 遇到从几何上的切线问题、物理上的瞬时速度问题引入导数概念, 牛顿-莱布尼兹公式为何如此命名等问题, 就会觉得顺理成章。适时以史料为载体穿插于课堂教学之中, 学生一方面被科学家的勤奋钻研的精神所感染, 而更重要的是增加了学生的探究兴趣, 促使他们更努力的学习。

3.2 渗透美育引趣

心理学研究表明:人们通过对美的各种形式的感受, 能使人脑进入兴奋状态, 从而产生愉快的心理体验。所以作为数学教师要深入理解与探讨教材的审美内容, 将审美意识渗透融合于教学之中, 使学生从抽象的数字、符号、法则、公式和性质中体会数学的简洁美、和谐美、奇异美, 激起浓厚的学习兴趣。如, 莱布尼兹用符号dy/dx表示y对x的导数, 用“∫”表示积分等, 就充分表现了数学符号的简洁美, 它简化了复杂的数学理论。

4 改革考核方式, 突出一个“全”字

目前很多高职院学校的期末考试试题都由学院命题组或由相关的任课教师来直接命题, 因此高职院校与普通高等学校相比较, 在考核方式改革上具有很大的优势。比如担任课程教学的教师可以将学生的考试成绩分为三部分:一是平时成绩, 可占总成绩的25%, 这方面可包括课堂表现、出勤率、作业完成等情况、课上发言及回答问题等, 教师可尽量把这部分因素进行相应量化, 如有可能还可以定期向学生进行公示, 并如实反映在期末考试的最终成绩之中;二是开放式考试的成绩, 可占总成绩的25%, 这部分主要包括课堂小组讨论的情况、数学相关比赛等;三就是传统的笔试考试, 占总成绩的50%, 在试题的安排上, 题目的难度要拉开档次, 基础性试题的比例应为60%左右, 中等难度试题比例应为20%左右, 难度较大试题的比例不高于20%;这种考试模式既可以使学生的思维较为活跃, 也使数学水平较高的同学取得良比较好的成绩, 又可以保证数学基础相对较为薄弱但学习认真、遵守纪律的同学取得比较满意的成绩。

总之, 在微积分课程教学中一切为了学生, 一切从学生实际出发, 处处为学生着想, 因材施教, 尽一切努力提高教学质量。, 在高职院校的数学教学过程中, 为了提高学生教学效率, 达到良好的课堂教学效果, 教学相关部门和人员还必须从教材使用、教学设备应用、学生管理奖罚制度上进行创新和改革, 力求形成一种有利于提升高等职业学校的教学质量的良好发展模式。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学 (上下册) [M].4版.北京:高等教育出版社, 1996.

微积分教学大纲 篇2

课程名称：经济数学 课程类型：专业基础课 总学时：32 适用专业：经济系各专业 先修课程：中学数学 内容：

1、课程的目的、地位、任务

本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。通过学习，使学生获得一元函数微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。

2、知识、能力、素质培养

通过本课程的教学，使学生能理解和掌握《经济数学》的基本知识，基本理论，基本内容，基本运算方法和分析方法；学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和在研究经济理论和经济管理的实践中灵活运用数学思想方法去分析问题和解决问题的数学建模能力；并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

3、本课程与其他课程的联系与分工、实训技能培养和双证书要求

本课程是经管类专业的专业基础课程，是学习其它专业基础课和专业课的基础。

4、本课程在使用现代化教学手段方面的要求 配合多媒体教学

5、课程内容、学时分配及要求

第一章 函数(2学时)【内容提要】 §1.1 函数

集合；区间与邻域的概念常量与变量；函数的定义与表示法，函数定义域的求法。单调性，有界性，奇偶性，周期性。反函数的定义及其图形。复合函数的定义；复合函数的分解。基本初等函数的定义、定义域、值域及其图形。§1.2初等函数

初等函数的定义。分段函数的概念及其图形特征。§1.3 数学模型及经济函数

线性函数模型、指数函数模型，常见的经济函数：需求函数、供给函数、总成本函数、总收入函数、总利润函数等。【要求与说明】．

理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。理解初等函数的概念；了解分段函数的概念；掌握经济函数的特征。

第二章 极限与连续（8学时）

【内容提要】 §2.1数列极限

数列的概念，数列极限的直观定义，数列极限的分析定义与几何解释，数列极限的唯一性及收敛数列的有界性。数列极限的运算法则。§2.2函数极限

函数极限的直观定义，函数极限的分析定义与几何解释；由函数图形认识极限；左、右极限。极限唯一性、有界性。函数极限的运算法则。极限的四则运算；复合函数求极限。§2.3 无穷小与无穷大

无穷小量的定义与基本性质；无穷小阶的比较；极限与无穷小的关系定理。无穷小与无穷大的关系。§2.4两个重要极限

sinx11和重要极限lim1e。

重要极限limx0xxx§2.5 利率和复利

利率、利息、单利、复利及有关计算 §2.6 函数的连续性

函数的连续性，左连续与右连续；函数连续与极限的关系。函数的间断点及其分类。连续函数的和、差、积、商的连续性；复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。最值定理，有界性定理，介值定理，零点定理。【要求与说明】．

1.要求正确理解极限的概念。掌握数列极限的概念，重点放在函数极限，对极限的证明不作要求。

2．要求理解极限的四则运算。熟练掌握极限的各种计算方法。

xsinx11及lim1e3.要求理解两个重要极限，熟练掌握运用两个重要极限limx0xxx的方法。

4．了解无穷小量与无穷大量的概念；掌握无穷小量的比较；知道无穷小量与无穷大量的关系。了解无穷小量的阶。

x5.了解函数连续与间断的概念；掌握判断函数间断点的方法；会讨论分段函数的连续性；了解初等函数在其定义区间内都连续的结论；知道闭区间上连续函数的基本性质。6.会建立简单应用问题的函数关系。

第三章 一元函数微分学(16学时)【内容提要】 §3.1 导数的概念

产品产量的变化率，平面曲线的切线斜率。导数的定义与几何意义，可导与连续的关系。§3.2 导数的运算

基本导数公式；导数运算法则；复合函数求导法则。隐函数的导数；由参数方程所确定的函数的导数。高阶导数的概念与求法。§3.3 函数的微分

微分的概念与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不 变性；微分的运算；微分在近似计算上的应用。§3.4 微分中值定理

罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理。§3.5 洛必达法则

未定式、洛必达法则 §3.6函数性态的研究

函数的单调性判定；函数的极值；极大值与极小值的定义；极值存在的必要条件；极值存在的第一充分条件；极值存在的第二充分条件；函数的最大值与最小值；函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。曲线的凹凸性与拐点的判别法，凹凸区间与拐点的求法。§3.7导数在经济中的应用

边际成本、边际收入、边际利润、最大利润、弹性分析、弹性的概念、需求弹性、用需 求弹性分析总收益（或市场销售额）的变化。【要求与说明】

1．理解导数的定义及其几何意义，左右导数的概念，了解可导与连续的关系。2．要求熟练掌握导数的四则运算方法。熟记导数公式。

3．要求熟练掌握各类函数的求导方法，复合函数求导法及隐函数求导法、和由参数方程所确定的函数的导数求导法。

4．要求了解微分的概念；知道可微与可导的关系；掌握微分的四则运算法则和复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性），会求函数的微分。

5．正确理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理。会用中值定理证明简单不等式。

6．熟练掌握洛必达法则，会求各种未定式的极限。

7．熟练掌握函数单调性的判别法及函数极值的判别法，会求函数的单调区间和极值。8．会求曲线的凹向区间与拐点；掌握函数作图的基本方法。

9．掌握求函数最大值和最小值的方法，会求解某些简单的经济应用问题；了解边际与弹性的概念。

10．本章重点是要求学生熟练掌握导数的各种计算方法、洛必达法则、极值及其应用。

第六章 线性代数（6学时）

【内容提要】 1．行列式的定义

二元线性方程组与二阶行列式；n阶行列式定义；行列式的性质。2．矩阵的概念

引例；几种特殊的矩阵。3．矩阵的运算

矩阵的线性运算；矩阵的乘法运算。4．矩阵的初等变换与矩阵的秩 5．逆矩阵

逆矩阵的定义；用初等变换求逆矩阵。【要求与说明】

1．理解行列式的定义；掌握二阶、三阶行列式的性质及计算方法；理解行列式代数余子式的定义。

2．理解矩阵的概念；了解几种特殊的矩阵，零矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵、阶梯形矩阵等。

3．理解矩阵的简单计算；掌握矩阵的运算律。

4．了解矩阵的初等变换，掌握初等行变换；理解矩阵的秩的定义，会计算矩阵的秩。5．理解理解逆矩阵的定义，掌握三阶方阵可逆的充分必要条件；会用初等变换求逆矩阵。

台北科技大学微积分教学分析 篇3

【关健词】台北科技大学；微积分；教学方法

2014我有幸跟随我校教学研修团赴台北科技大学研修交流，本次教学研修团采取两校教师一一对应的方式进行交流学习是一种深层次、全方位的合作，主要采取赴课堂听课、参加学生研讨会、到教师办公室学习等多种形式的交流活动，通过这次交流对台北的教育体系及微积分教学内容和方法有了进一步的认识。

一、台北科技大学生源、微积分学生背景

首先了解到台湾的职业教育体系结构。台湾职业教育上下衔接，自成体系，与普通教育体系平行发展，齐头并进。职业技术教育体系包括高级职业学校、专科学校、技术学院或科技大学、研究所。高级职业学校属于高中阶段职业技术教育，相当于祖国大陆的中等职业学校，它招收初中毕业生或同等学历者，修业年限一般为三年。科技大学属本科层次的高等职业技术教育，它以“教授应用科学及技术，养成高级实用技术人才”为目标，分二年制、四年制。二年制招收专科学校毕业或具有同等学历，入学考试成绩合格者；四年制招收高级职业学校毕业或具有同等学历，入学考试合格者。 台北科技大学90%高职生生源，10%高中生源，相对于高中生源，高职生源的数学基础不是很好，怎么让这些学生学会微积分？

二、台北科技大学微积分课程特点

（一）自然班级上课，学生学习态度积极上进

在台北科大研修期间，微积分课堂上学生的表现令我反思，微积分是自然班级上课，课上，学生的态度端正，几乎每个同学都认真听课做笔记，课堂讨论时也是小声，整个教室没有喧哗声；课下，学生彬彬有礼，感恩回报。老师的职责就是因材施教、因势利导，让这些学生获得一技之长，自食其力。在这个意义上来说，学校的各项教学改革应该以学生为核心：分析学生特点，制定其在校期间的技能增量目标，规划其职业生涯。只有这样的“提高教育教学质量”才能真正落地。

（二）微积分教学大纲简洁，教师自主弹性较大

微积分课程大纲比较简洁，教师上课的自主性弹性较强，在教学大纲下具体上课内容教师可以根据不同班级的具体情况实时调整上课内容，期中期末测验是每个老师自己完成，不统考。

（三）微积分课程测验多，总评成绩中期末成绩比重小

微积分（1）测验有至少四次，开学举行一次全校会考，第五周再进行一次全校测验，这两次测验主要客观题型，通过读卡机改卷，可以很快出成绩，反馈给学生。每个教师进行一次期中测验，一次期末测验，根据不同班级的特点教师可以增加测验次数。微积分（2）除了期中和期末考试，一般教师中间会安排两次测验。测验多可以督促学生实时进行复习，还可以分化期末考试在总评成绩的比例，一般期末测验占总评成绩的比例很低，一般是25%～35%，具体每个老师的标准不尽相同。

（四）教师板书上课，英文原版教材

台北科技大学的微积分老师基本上都是中文讲解，英文板书上课，很少用多媒体教学，微积分教材是用英文原版教材Essential Calculus： Early Transcendentals（James Stewart）。

（五）每节课上课内容少，节凑慢，随堂练习比较多

在微积分教学过程中，重基础，重引入，轻定理证明，强化计算演绎并注重应用与作图。每节课的内容比较少，上课节凑慢，互动比较多，随堂练习较多。

在随堂听了4周课后，感觉两校的微积分课程教学体系及课时学分基本类似，我们要求稍高一些，他们更侧重于基础教学，在以后的时间里我将慢慢来探讨在不影响课程教学内容体系前提下使教学内容的讲授方面更具通识性。

（六）微积分教学中充分利用学生资源，建立学长指导制

每个自然微积分班级安排一个学生助教。助教选拔方式是，向全校公开公布信息，大二及以上年级的学生均可以报名，微积分老师安排一次考试，选拔出一部分学生参加面试，面试后综合确定学生助教名单。助教的主要工作是，协助老师批改平时作业，每周给学生上一次习题课或者组织一次小测验。从我的视角而言感觉这种形式非常好，学生助教除了给同学讲解习题，不定期的小测验，还会分享自己的学习心得。举例而言，四资一财的助教向同学分享他自己当年学习微积分的困惑--不知道微积分学了有什么用，然后他把这个问题交给同学，把同学分成若干组准备发言材料，每小组用不同的形式在全班同学面前介绍微积分的用处，同学们准备的很好很充分，从不同的视角分析了微积分的用处，效果非常不错。这样再回到老师的课堂上学习的时候就更有兴趣了。助教的形式，不仅仅对微积分学习的同学有帮助，对助教本人也是提供了一个勤工俭学和锻炼的机会。

总之，这次赴台湾之行，是一次丰收之行。或许，在我的教育生涯中，它不仅是一次难忘的经历，更是一个新的起点。

参考文献：

[1] 李伯春.台湾师范大学和淮北师范大学数学系对“最美的数学公式”认识之比较[J].淮北师范大学学报.2011（6）.

[2] 王奋平.台湾高校数学本科专业课程设置研究—以台湾大学和台湾师范大学为例[J]. 琼州学院学报.2012（10）.

[3] 陈文胜.海峡两岸数学课程标准比较研究[J].集美大学学报.2007（12）.

[4] 刘春生 谢勇旗.台湾职业教育的特色及启示[J].职业技术教育.2003（28） .

微积分教学 篇4

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期, 学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学, 作为微积分研究的基础, 早在我国古代就已经开始应用, 只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪, 人类的知识体系还不是很完善, 对于一些计算问题束手无策, 这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问, 于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类, 第一类问题出现在物体运动中, 即速度问题.第二类问题出现在曲线中, 即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中, 即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中, 即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪, 各个领域的科学家在微积分领域开始了研究, 他们的国度不同, 语言不通, 信仰不同, 但对于研究的目标是一致的, 那就是解决问题, 虽然没有最终总结出完整的理论, 但他们的探索为后世的研究奠定了道路, 也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶, 英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说, 但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》, 提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》, 这本书提出了精确的数学符号, 也规范了微积分学说.

19世纪初, 以柯西为首的法国科学家, 开始整理前人的微积分理论, 并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究, 最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出, 微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程, 人类解决任何问题都是从直观的认识开始的, 运用抽象思维, 最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实, 高等数学的教学也是这样, 下面从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点建议

(一) 教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础, 是每个大学都会开设的一门基础学科.然而, 学生们学习微积分, 往往是为了应付考试, 根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点, 微积分教学时, 教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度, 只有持有一个端正明确的学习态度, 学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级, 而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期, 对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它, 且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味, 对于学生们和老师来说都感觉“食之无味, 弃之可惜”, 最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识, 它还是解决很多实际问题的金钥匙, 学生们要想做一个对社会有用的人, 就要端正学习态度, 绝对不能知难而退, 要打好高等数学的基础, 就要认真学习微积分.

(二) 理论联系实际, 具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受, 尤其是微积分这种生涩的知识, 更是不易掌握.针对这一点, 应该多借鉴微积分的发展史, 科学家开始也只是借鉴了生活中的实例, 高等教学也可以这样做, 可以引进一些恰当的教学模型, 如讲解极限时, 可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解, 也要学生看到讲解的过程, 便于学生全面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题:已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同, 而顶部厚度为侧面厚度的2倍, 容积为V=3π, 求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中, 教师直接运用公式解答, 最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式, 教师可以先找一个易拉罐来当模型, 然后让学生们实际接触并加以研究, 理论结合实际, 一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识, 并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念, 微积分学说的成功提出正是验证了这一点, 我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务, 不仅考验学生的认知能力, 也考验教师的传授方式, 只有提高学生对微积分的认识, 再将理论与实际有机地结合起来, 才能帮助学生掌握微积分理论.

参考文献

[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报, 2007 (87) .

《微积分》分层次教学改革的探索 篇5

李晋秀，陈敏

(东华大学理学院应用数学系，上海20)

摘要：随着高校招生规模的扩大，学生之间的个体差异逐渐变大，很多院校开始尝试开展分层次教学改革。本文总结分析笔者近年来在东华大学《微积分》课程的分层次教学改革实践经验，探讨《微积分》分层次教学的必要性与具体实施方案，提出一些建设性的对策和建议。

关键词：分层次教学;教学改革;微积分;因材施教

一、分层次教学改革的背景

随着高校招生规模的扩大，学生之间的个体差异变大，水平参差不齐，再加上高等教育向多样化转型，这对《微积分》的教学提出新的挑战。之前无论学生情况如何，实行统一大纲、统一教学要求的教学，存在诸多弊端。如今的大众化教育必然导致学生就业选择的差异，对于职业目标不同的学生，根据他们的不同需求，给予不同层次的培养，因材施教，才能使各个层次的学生真正受益。根据不同的教学对象，优化师资配备，确保每个层次的学生都能享受到最合适的教学资源，突出教学的针对性，让各类学生各取所需，学有所得，这就是分级教学。分级教学可以让不同层次的学生根据不同的要求，达到预定的目标，避免过多的挫折感及不满足感，充分调动他们的学习主动性和积极性。根据学生所学的专业及他们对数学的兴趣和数学基础，一些高校已经实施《微积分》的分层次教学。

二、实施分层次教学

1.分层原则。基于这样的目标，东华大学从开始将大面积的工科《微积分》分为A、B两级，根据分级考的成绩并结合学生自愿的原则进行分级，约40%学生进入A班，A班学生要对数学理论感兴趣，自身希望能够系统地接受数学理论学习，为其今后的理论探索和科学研究打下坚实的数学基础。而B班则侧重于微积分应用能力的培养，增加实际应用题的分析与讲解，以本科教学大纲为基础，确保大学数学核心知识点的掌握，重视培养学生应用数学理论解决实际问题的能力。

2.教材的分层。A班的学生具有良好的数学基础，采用同济版的《微积分》，更多地侧重于理论知识的培养;B班采用《托马斯微积分》。该教材突出应用，重视问题的提出及背景、数值计算和程序应用。修订相应的教学大纲、教学日历和教案，完善教学辅导材料的选编，并对教学内容做相应的调整。

3.教学方法的分层。A班的教学内容偏重理论，主要采用启发式、问题发现式的教学方法，注重启迪思维，开拓能力，培养学生较高的数学素质，增加近五年研究生考题的分析讲解，注重数学思想的启发和培养，提高学生分析问题、解决问题的能力，总结方法要略，展示题型变化，加深对所学知识的理解，满足优秀生追求更高目标的需求，为以后的专业课程学习和将来进一步的学业深造打下牢固的数学基础。经过一年多的教学实践，有以下两点体会：(1)A班学生的整体感觉比往年没有分层时的学生的理论水平要高，很多学生是抱着考研究生的目的来读A班的，他们对自己的要求较高，学习积极性也较高，同时理论接受能力也较高，渴望汲取更多的养料。很明显，每堂课的课容量比没有分级前要大很多，这有利于讲授更多的内容，而且可以留出时间让学生参与讨论，让他们拥有充分参与和思考的机会。之前由于整体差异较大，课堂上必须照顾所有的学生，势必会造成有些学生“吃不饱”的状况，分级后这样的情况得到明显改善。

(2)虽说都是A班学生，同样也存在着差异。有些学生依旧有“吃不饱”的感觉，他们的接受能力强，希望学到更多的数学知识，而各类微积分的辅导丛书多得举不胜举，各类辅导书的侧重的和深度又各不相同，让学生一头雾水，这就需要任课教师指导他们选择一些适合的书来读。根据教学经验，结合学生的实际情况，我们整理出一些难度适当的好题目，这些题目对学有余力的学生来说是个非常好的补充。在每节课后，将补充的内容发在公共邮箱里，供学生下载，非常受学生的欢迎。随着智能手机的应用以及学校WIFI的使用，学生能够方便地获得补充的内容。而且，学生可以通过邮件在课后和教师交流、沟通，实现教学相长。为了充分调动学生课外学习的热情，我们加强了课外学习的平台的建设，在网络平台上开通微积分A的班级，其班级学生可以下载补充题、课件、模拟题、往年的试题以及关于微积分学习方法的小文章。此外，部分学生把这里作为一个交流平台，发表自己的感受和学习方法，对学习起到良好的促进作用。

对B班学生，在教学上要注意学习方法的引导，通过灵活的考勤方法保证学生出勤率，保证良好学风的基础上，教师一定要提高教学质量，备好课，适当提高课堂的活跃度，调动学生学习的主动性和积极性。此外，教学内容偏重应用，增加应用数学问题的分析、讲解，教会学生运用所学知识解决实际问题的能力，学以致用，提高学生学习的兴趣和灵活运用的能力，提高解题能力和解题准确性，浅而实用，压缩某些繁、难、偏、旧的内容，进而确保微积分成绩有所提高。

在教学过程中，我们发现B班的学生普遍存在的问题是：(1)计算能力较弱，错误率较高，往往是不算不错，一算就错。如计算定积分时，原函数求对了，但在最后一步进行代入计算时，容易出错。对复合函数求导、函数求高阶导也是出错率极高的题目。究其原因，是没有对函数进行仔细的观察和分解，按照感觉在自己的大脑中快速计算。在讲课时，我们会针对学生的易错知识点进行反复强调，提出预警。为了提高计算能力，除了基础题外，我们会在每一章安排配套习题，进行有针对性的练习。同时，在B班我们增加了习题课，通过多练、勤练帮助学生对微积分核心知识点的掌握。(2)思考不够积极。有时候课堂成了教师的“一言堂”，学生“金口难开”。使师生的互动无法顺利进行。在做题时，学生多数是“等”、“靠”，缺乏主动、积极的思考。经过分析，我们发现大多数学生对数学不感兴趣，甚至有畏惧感。针对这种现象，我们在教学中适当插入一些数学史的内容，介绍著名数学家的生平和成就，使学习增添情趣。把握好课堂节奏，使得教学过程有张有弛，变化有序，让学生听、想、练交替适度，提高课堂的活跃度。教学过程的语言力求形象生动，通俗易懂，结合生活中的实例进行解说，进行比喻类比，变抽象为形象，使学生容易接受。通过这些方法，学生会对数学产生兴趣，乐意去学，从而积极思考，提高数学成绩。

4.考核方式。最终的考核方式采用平时成绩和卷面成绩进行综合评定，其中平时成绩分为两部分：第一部分为作业情况，第二部分为考勤情况。考勤方法较为灵活，可以是随机点名，也可采取活页纸做一道思考题，下课时统一交给教师，这样不仅督促学生当堂吸收所学知识，还能起到考勤的作用。

5.分级的后续调整。第一学期结束后，按照一元微积分(上)和一元微积分(下)考试的.平均成绩，根据学生分层次学习的标准，调整A、B班大约15%的学生，使原先在B班的拔尖学生有机会进入A班学习，而强制在A班跟不上的学生回到B班学习，充分调动学生的学习积极性。

三、初步结果

通过《微积分》分层次教学的实践和改革，教学质量有了显著提高。我校《微积分》课程的不及格率显著下降，为10%左右，对学生在后继的数学课程学习中起到较好的推动作用。通过对B班学生的问卷调查，有60%的学生在教材选择方面表示满意，63%的学生对上课的内容和节奏表示满意，94%的学生对任课教师表示满意。他们说通过学习《微积分》，增加了他们的自主学习能力，使自己的思维方式变得更严谨，也增强逻辑思维能力，提高了学习数学的兴趣，培养了自己的耐心。通过学生座谈，分层次教学为绝大部分学生所接受和欢迎。在数学上有进一步深造要求的学生通过A班的学习，得到提高，为参加全国硕士研究生入学考试的数学复习提供了坚实的基础和保障，提高了数学考研的通过率，同时也为全国数学竞赛储备了人才。而选择在B班学习的学生在顺利完成课程学习的同时，部分学有余力的学生可以有自己的时间和精力去做喜欢的事，丰富大学生活。《微积分》分层次教学的改革使任课教师的教学质量得到提高，调动了教师的积极性。原来教师可能更多的是关心自己的授课，在输出教学内容和知识的同时对学生的反馈和掌握知识的程度注重得不多。现在多以授课学生为中心，精心备课，精心设问，精心设计练习。教师的教学水平得到提高，学生也得到优质的教育，可谓“双赢”。

四、有待改进的问题

1.进一步完善优化分层次教学。分层次教学的核心问题是根据不同层次的学生，如何制订合理的教学计划和教学内容，选择有效的教学手段和方法。高层次班级并不是简单地增加一些内容，讲一些高难度习题，低层次班级删减一些内容，讲一些容易题，而是在充分考虑本科教学大纲要求的基础上，根据学生的具体情况设定规范、合理的教学内容和计划，突出重点概念和方法，使所讲授的内容前后连贯，简洁流畅，概念突出。这都有待于我们继续深化教学改革。

2.公平合理的成绩考评制度。制定与分层次教学相适应的成绩考评制度。A班学生的考试难度相对来说大于B班的考试难度，学生成绩相应地会低于B班。

同一专业的学生在奖学金评定时会受到影响。为了保障A班优秀学生的利益，要有相应的制度倾斜，需要学校各个部门的相互协作和配合，制定公平合理的学分成绩制度。

五、小结

本文主要介绍东华大学《微积分》分层次教学改革的实践和初步成果，提出进一步改进的方向。通过不断完善和改进教学，学生可以得到优质的高等数学教育，使数学教学适应社会发展的需要。

参考文献：

[1]刘元骏。大学数学分层次教学的意义与实施[J].高等理科教育，，(4 )。

[2]杨江霞。分层教学在数学中的应用[J].教育教学研究，，(3)。

[3]高建。提高“微积分”课堂教学质量的几点思考[J].中国大学教育，，(1 )。

[4]林爱菊。高校公共基础课实行分级教学应该注意的几个问题[J].高等理科教育，，(6 )。

[5]何江平。高等数学分级教学探索[J].重庆工学院学报，2004，(6)：151.

微积分教学中的发散思维训练 篇6

关 键 词：微积分；教学；发散思维；训练；

【中图分类号】G712

发散思维也称求异思维或分散思维，是指根据问题提供的信息，从不同的角度与方向去思考，最终获得多种答案的思维形式[1].心理学研究表明：思维的发散性表现在对问题不急于归一，而是在提出多方面的设想或各种解法之后，经筛选找出比较合理妥善的解法.

发散思维具有求异性、探索性、创造性，发散思维是创造性思维的核心，许多外国心理学家把发散思维与创造力联系在一起，可以认为发散思维体现了一种创造精神，这种精神对于培养创造型人才具有深远的意义[2].

众所周知，数学在培养和训练学生的思维能力方面起着举足轻重的作用，因此，在微积分教学中，加大对学生发散思维能力的培养和引导，有助于学生分析能力的加强和创新意识的启迪，从而使学生素质能力得到全面提升.本文以微积分教学为例，重点探讨并给出教師在微积分教学 中发散思维的训练和应用实例.

1. 发掘教材中的“发散”因素

在微积分教学中，要培养学生的发散思维能力，首先教师要认真钻研教材，分别从宏观体系和微观环节上发掘教材中的“发散”因素，为培养和训练学生的发散思维能力作好素材上的准备.

从宏观体系上考虑，多元函数的微分学和一元函数微分学、空间解析几何和平面解析几何通过“降维”而联系；不定积分和导数（微分）通过互逆运算而联系；定积分、二重积分、三重积

分、曲线积分、曲面积分通过积分区域而联系等等.这些都是有利于发展学生发散思维的因素.

从微观上考虑，“发散”素材要从具体的数学定义、定理、公式、题目等内容上发掘并筛选.例如，微积分中的定义、定理、公式、法则等是较多的，要使学生能很好地理解知识和掌握知识，除了弄清它们的来龙去脉，更要紧的是掌握这些知识的本质，从而能熟练地运用.开展发散性思维有利于这些能力的培养.

如微分课上，从导数公式引进微分公式以后，可设计以下一组练习，要求学生尽量一空多填，使等式成立.

（1） （ ） ， （2） （ ）= ，

（3）（ ） = ， （4） =（ ） ，

（5） =（ ） ， （6） （ ），

（7） =（ ） ， （8） （ ）.

如上的一组练习，就是把唯一性填空改编成一空多填形式进行发散性思维.实践证明，通过如上的一空多填练习，不仅使学生掌握了这些公式的本质，并且能较牢固地掌握公式的特征，保证了在今后的学习中能较熟练地进行运用。开展发散性思维，一定要根据教材的特征，灵活地选择“发散点”，这是做好这项工作的重要前提。例如讲授“函数极限的定义”时，对“数列极限的定义”进行发散，发散点选择在自变量的变化上.

数列极限 的定义可表达为[3]： .对自变量n进行发散，

（1）当自变量 时，函数 即 ；

（2） 当自变量 时，函数

；

（3） 当自变量 时，函数 即 ；

微积分教学 篇7

在第一个阶段中, 老师在课堂教学的时候会介绍一些数学事件、数学家的故事和数学史有关的知识, 需要的时间是比较多的, 对教学进度造成了一定的影响。数学文化的融入和知识点并没有紧密的联系, 只是将数学的美和数学的作用展示给学生看, 比较的生硬, 仅仅体现在了表面。

在第二个阶段中, 进行经验的总结, 调动学生的积极性, 让学生课后搜集并阅读一些和数学史有关的资料, 感受数学具有的文化内涵。这样还能够避免第一阶段中存在的进度方面的问题在进行数学教学的时候, 老师应该重视文化内涵、知识点以及学生的认知, 把握好数学文化融入的时机和深度。此外还应该注意训练学生的思维, 引导学生在生活中运用数学知识, 学会用数学思维进行思考。

二、在“微积分”教学中进行数学文化融入的原则

(1) 根据教材进行。数学本身是比较严谨的, 仅仅让学生感受它的趣味性, 是无法保证学习效果的。想要学好数学还必须了解课本上的知识, 从而达到提高数学素质的目的。如果数学知识掌握存在问题, 那么数学素质根本不可能提高。因为学生不了解知识, 无法依靠知识来解决问题。在十八世纪出现了“微积分”理论, 其出现对人类的发展起到了非常重要的作用。只有了解“微积分”的知识, 才能真正体会到其数学思想和内涵。所以课堂教学的主体必须是教材的内容。在将数学文化融入“微积分” 教学中去的时候, 其目的应该是让学生更好地理解教材中的内容, 并且也不能花费过多的时间。

(2) 让学生更好地参与进来。若是仅仅是老师搜集资料, 老师讲课的话, 学生很容易分散注意力。针对这一点, 老师应该有意识地让学生去搜集相关资料, 必要的时候还可以安排学生进行讲解, 在下课后, 还可以引导学生去进行实际问题的解决。将学生的积极性充分调动起来, 效果会更好。

(3) 注重过程和学生的体验。在进行考核的时候绝对不能仅仅通过书面的考试来衡量学生的学习情况, 老师必须重视学生的学习过程和数学能力的提高。学生只有真正地体会到“微积分”学习中的思维发展, 感受到背景和知识的关系, 了解了知识的价值, 才能够体会到数学学习本身的乐趣。

(4) 绝对不能够照本宣科。进行教学设计的目的仅仅是做好课堂教学预设, 而不是严格根据它进行教学。因为在教学的过程中, 其他的影响因素还很多, 若是照本宣科, 那很容易将一节非常活跃的课上死。在进行教学的时候, 老师必须注意向学生展示数学的内涵。

三、在进行数学文化融入时存在的困难和解决办法

(1) 时机、形式和程度很难把握老师必须认识到是将数学文化融入教学中, 而不是掺杂进去, 但是这个时机程度和形式都比较难把握。老师必须不断地进行尝试揣摩反思, 提高自身的教学水平。

(2) 教学进度设计。进行文化融入之后, “微积分”教学的内涵得到了丰富, 价值也有所提高, 但是也给教学进度造成了比较大的压力。老师在教学的时候必须考虑到各种情况, 真正地把握教学的过程, 采取正确的应对措施保证计划的完成。

在进行“微 积分”教学 的时候将数学文化融入进去是非常有必要的老师和学生都必须认识到其重要性, 特别是老师, 在进行教学的时候, 要努力创造条件, 克服困难, 将数学文化融入进去, 从而保证教学的效果和学生数学素质的提高。

摘要：现在经济发展已经不仅仅是依靠工业, 而是更加地依靠知识和信息。在教育中, 仅仅培养“技术型”人才已经走不通了, 为了将来更好的发展, 必须进行素质教育。数学教学也是如此。在进行“微积分”教学的时候, 其教学目的也应该是提高学生的数学素质。本文主要研究了在“微积分”教学中更好地融入数学文化的流程和模式, 并对其教学原则进行了总结, 分析了数学文化融入的可行性。

关键词：数学文化,“微积分”教学,数学教育,教学设计

参考文献

[1] 张宝全.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计J.新课程研究 (中旬刊) , 2010 (12) .

独立学院微积分教学改革探析 篇8

1、学生在微积分学习中的障碍

首先, 微积分课程的学习对象主要是经济、管理类的学生, 大多为文科生, 这些学生的数学基础比较薄弱, 很多学生存在着一种误解, 认为数学晦涩难懂, 学起来枯燥乏味, 在生活中又无实际用处, 因此往往放松对微积分的学习。

其次, 学生长期以来较多地接触的是常量数学, 形成了以常量为思维对象的

心理习惯, 在最初学习微积分时, 学生很不习惯微积分中概念表述的数学语言, 学习极限概念时, 无法深入理解静态的语言所表达的动态过程, 而极限是研究变量的变化趋势的基本工具, 是微积分最重要的概念, 微积分中许多基本概念, 例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上, 学生不能正确理解极限成为微积分难学的原因之一。

2、教学中存在的问题

首先, 微积分的教学内容与专业要求脱节, 与实际联系的不够紧密, 不能够贴近生活, 通俗易懂, 不能激发学生对微积分课程的学习兴趣, 无法调动学生学习的积极性和主动性。

其次, 微积分的教学主要以传统的讲授为手段, 强调的是知识的传授, 极易造成“填鸭式”的教学。如果纯粹的为教书而教书, 学生只是被动的接受知识, 必然使学生对微积分的学习失去兴趣, 不利于提高学生学习的积极性, 这对培养学生的素质和创新能力具有一定的局限性。

再次, 微积分教学手段单一, 应强调适当运用现代技术进行微积分教学, 把传统的板书与计算机辅助教学紧密结合在一起。

3、教学安排的不足

经济管理类专业在我国开展的较晚, 微积分的教学内容受我国经济管理学科发展的制约, 普遍认为经济管理类数学在理工科数学基础上降低要求即可, 因而经济管理学科的数学教学一直处于劣势, 很难得到相关资源的支持。目前独立学院微积分教学中普遍存在的问题是课时少, 内容多, 教师为了完成教学任务, 教学速度快, 使得学生的学习负担重, 微积分的学习情况更是雪上加霜。

二、独立学院微积分教学改革的建议

1、教学内容的改革

(1) 教学内容与专业素质培养紧密结合

独立学院微积分的教学内容应根据学生所学专业的不同而强调实用性与针对性, 注重培养学生用数学的思维和方法来解决专业学习上的问题, 这就要求教师在传授知识时, 在内容上不必追求全面, 在理论证明上不必追求严谨, 在教学过程中应联系数学知识讲解与学生专业相关的实际应用问题, 将经济学的思想渗透进专业学科中, 让学生逐渐懂得数学是学好专业课的基础, 从而激发学生学习的兴趣, 提高学生分析问题, 解决问题的能力, 为后续专业课的学习打下良好的基础, 并提高学生的专业素质。

(2) 教学内容应突出数学建模思想, 与现实生活联系紧密

独立学院微积分的教学内容应突出应用性与启发性, 立足实践, 面向应用, 在考虑社会实际需求的同时又要考虑学生兴趣, 加强数学微积分教学与学生相关专业学习之间的相互联系、交叉、渗透与综合, 尽量通过数学建模, 将微积分知识的讲解与现实生活联系紧密, 使学生加深对数学理论知识的理解和掌握, 培养学生应用数学的意识, 提高学生的实践能力和创新能力, 让学生进一步意识到数学在生活中的作用, 从而进一步激发学生学习数学的兴趣, 使学生学习到符合社会需要的适应新发展的数学应用知识。

(3) 教学内容应删减一些不必要和不重要的内容

教学内容是教学过程中的核心, 独立学院微积分的教学内容多、进度快, 增加了学生学习的难度, 考虑到微积分学时少的情况, 尤其应调整教学内容, 删减一些不必要和不重要的内容, 根据以“必需、够用”为度的原则, 处理好较少课时与较高要求之间的矛盾, 为学生学好专业技术课打下坚实的基础。

2、教学方法的改革

(1) 独立学院微积分的讲授应遵循“化难为简”的原则

针对独立学院的学生特点, 教师在讲授知识时, 应尽可能的“化难为简”, 即把复杂的问题简单化。数学的目标是从一般到特殊, 从具体到抽象, 但教师在教学过程中要遵循从特殊到一般, 再从一般到特殊, 从具体到抽象, 再从抽象到具体的原则。

(2) 微积分的讲授应注重“意形结合”的方式

对于学生理解有困难的概念, 尤其是用静态的语言所表达的动态过程的概念, 例如极限、连续、导数等内容中, 着重用描述性语言, 并借助图形帮助学生理解其内涵。

(3) 适当的采用多媒体辅助教学

随着计算机的发展和教学软件功能的不断充实, 用计算机进行课堂演示已经被越来越多的教师和学生所接受, 通过多媒体课件的演示, 可以使抽象深奥的数学知识直观明了的呈现在学生面前, 增加微积分学习的趣味性, 吸引学生的注意力, 加深学生对知识的理解, 提高课堂效率, 调动学生学习的积极性, 并弥补实践教学环节中的不足。

高职建筑专业微积分教学策略研究 篇9

关键词：高职,建筑专业,微积分教学,数学思想

高等院校微积分课程的任务是:一方面使学生进一步学习和掌握本课程的基础知识和基本能力;另一方面要为学生学习专业课程提供必需和够用的工具, 使他们具有学习专业知识的基础和计算能力。然而, 高职微积分课程的教学现状令人堪忧, 具体表现为学生学习微积分的兴趣低下, 没有体会到微积分的应用价值, 高职建筑专业微积分的教学状况亦是如此。

高职建筑专业微积分教学存在的问题

我们课题组从微积分的教学内容, 教师的教学, 学生的学习, 与专业课的衔接四个维度进行了调查研究。

高职微积分的教学内容微积分是微分学和积分学的统称, 主要以动态的、变化的、无限的观点来研究问题, 本身具有一定的难度。现行的高职微积分教材大多用ε-δ语言进行陈述, 逻辑非常严谨, 但过于抽象, 学生难以理解掌握。

高职教师的教学通过对数学教师的听课以及问卷调查, 我们发现受传统教学观念的影响, 许多职业学校教师注重书本知识的理论教学, 严格按照教材编写的严密体系实施教学, 数学教师努力以数学系的标准来培养高职学生。调查还发现, 相当一部分教师为提高学生成绩, 把主要精力放在形式化的计算上, 对微积分中蕴涵的重要思想方法却一带而过。

高职生对微积分的学习高职生由于生源质量偏低, 数学基础较差, 对微积分的学习困难较大。并且高职学生对学习微积分的目的、意义认识不够, 学习态度不端正, 劲头不足。在对个别学生进行的访谈中, 我们得知许多学生认为学习微积分没什么用, 跟专业课没什么关系, 只要学好专业课就行了。

微积分课程与建筑专业课程的衔接我们对建筑专业课教师进行了访谈, 他们认为建筑专业很多地方都用得到微积分, 而且数学教师对微积分的教学内容讲得还不够深入, 例如, 曲面积分就没有讲, 他们要用曲面积分时, 学生根本不会用。为此, 我们课题组挑选了一些建筑专业课教材进行浏览, 发现建筑专业课程中有许多内容涉及微积分的知识, 可以说建筑力学和弹性力学是以微积分知识为基础才能学习的。

高职建筑专业微积分教学存在问题的原因

建构主义认为, 知识不是通过教师传授的, 而是学习者在一定的情境即社会文化背景下, 借助其他人 (包括教师和学习伙伴) 的帮助, 利用必要的学习资料, 通过意义建构的方式而获得的。建构主义要求教师帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系达到较深刻的理解。因此, 高职数学教师要关注学生的知识层面, 学生学习联系生活实际, 数学课堂教学才有意义。

荷兰数学家弗赖登塔尔提倡“现实数学”的教育思想, 即数学教育要联系学生的两个现实, 客观现实和数学现实, 让学生看到数学是有实际意义和学习价值的。他认为数学教育的任务就是要充分利用学生的客观现实, 不断丰富和扩展学生的数学现实。高职院校建筑专业学生的客观现实和数学现实就是他们的建筑专业课。因此, 数学课的教学要与专业课衔接和渗透起来, 才能达到最优的教学效果。

高职建筑专业微积分教学策略

实际上, 抽象化、严密化的微积分在创立之初并非如此。微积分是微分学和积分学的统称。积分学源自曲线的长度、区域的面积、物体的体积的计算方法。古希腊的Eudoxusde的穷竭法和Archimedes的平衡法, 中国魏晋时期刘徽的割圆术和祖冲之的圆周率计算以及求体积的原理都涉及积分学。微分学的起源比积分学晚。它主要源自求曲线的切线、运动物体的瞬时速度、一些极大极小值的问题。Newton和G.W.Leibniz建立了微积分基本定理, 创立了微积分。创立之初的微积分是不严格的微积分, 然而正是这样的微积分所蕴含的思想对微积分的应用产生了深远的影响, 为此本文提出以下教学策略:

重视微积分思想的教学在历史发展进程中, 微积分不是一下子就严谨精确的。例如, 导数概念的发展, 导数引入之初, Newton指出:“两个量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差别, 则最终就成为相等。”这个定义实际上是导数为变化率极限的直观描述。因此就可以用这个直观概念对导数概念的课程教学内容进行设计。

人们通常所说的物体作直线运动的速度, 是指在一段时间内物体运动的平均速度, 在客现实际中, 仅知平均速度是不行的, 还必须知道它在每一时刻的瞬时速度。已知自由落体的运动方程为试讨论落体在时刻t0=1秒时的瞬时速度。为此, 可取一邻近于t.=1秒的时刻t, 并求出落体由1秒到t秒, 这一段时间内的平均速度。

具体说, 如t=1.5秒时, 落体在1秒到1.5秒之间的平均速度是

t=1.1秒时, 落体在1秒到1.1秒之间的平均速度是

t=1.01秒时, 落体在1秒到1.01秒之间的平均速度是

由此可以推断, 落体在t0=1秒时的瞬时速度, 为趋近的值

这样的教学设计是从导数起源思想出发, 较直观贴近生活实际, 高职生较易理解、掌握。

避免冰冷、抽象的教学方式在Newton和G.W.Leibniz建创立微积分之后, 一批伟大的数学家A.L.Cauchy, G.Cantor对微积分进行了严谨化的工作, 而严谨的ε-δ定义则是由大数学家K.T.L.Weierstrass给出的, 使微积分朝着精确化、严格化的方向发展。同时, 微积分的表述方式也变得愈加冰冷和抽象。以至于一些高职微积分教科书亦采用严格化、精确化的方式表述。我们同样以导数的概念为例。有些高职微积分教科书采用下列方式直接引入导数概念。定义:设函数y=f (x) 在x0的某个邻域内有定义, 当自变量x在x0处有增量x时, 函数y有相应的增量;△y=f (x0+△x) -f (x0) ;如果当x→0时, 的极限存在, 则称函数y=f (x) 在点x0可导, 这个极限的值较函数y=f (x) 在点x0的导数, 记为f' (x0) ,

还可记为或之后, 再引入导数的几何意义——切线斜率。这种教学方法过于抽象, 脱离现实生活, 学生难以理解和掌握。

高职微积分教学与专业课相结合建筑专业课程中有许多内容涉及微积分的知识, 甚至建筑力学和弹性力学是以微积分知识为基础, 根据弗赖登塔尔的教学思想, 微积分的教学要与专业课衔接和渗透, 才能达到较好的教学效果。本文以导数的概念教学为例, 来说明微积分教学和建筑专业课的结合策略。建筑力学中有一个概念称作应力, 应力是指内力在构件横截面上的密集程度。例如两根材料相同、横截面的面积不同的杆, 受同样大小的轴向拉力P, 随着拉力的逐渐增大, 截面面积小的杆件必然先断。

为了说明截面上某一点K处的应力, 可先围绕K点取一微小面积△A, 作用在微小面积△A上的内力为△P, 那么比值称为作用在微小面积△A上的平均应力。当内力分布不均匀时, 平均应力pm的值将随着△A的大小而变化, 不能准确地反映K点处内力集度。只有当△A无限趋近于零时, 平均应力pm的极限值p才能代表K点的内力集度, 用公式表示为p称为K点处的应力。实际上, 应力是内力对微小面积变化率的极限, 数学教师可以在讲述导数的概念之后, 结合应力加深学生对导数的概念的理解。

此外, 高职微积分与建筑专业课的衔接还可以采用数学建模的方法, 针对高职生的学习特点还可以采用小步子, 快节奏, 精讲多练的方法, 这也是我们课题组下一步研究的主要内容。

参考文献

[1]何小亚.高中数学新课程微积分的课程设计分析[J].数学通报, 2006, (4) :9-12.

[2]何克抗.建构主义——革新传统教学的理论基础 (三) [J].学科教育理论研究, 1998, (5) :24-28.

[3]张奠宙, 林永伟.关于“现实数学”和“数学现实”[J].数学教育学报, 2008, (4) :1-4.

让微积分课堂教学“活”起来 篇10

现代的微积分教学较之传统, 在教学内容、教学方法、教学手段等方面有了较大的转变, 也取得了一定的成效。但数学知识的系统性、逻辑性、严密性、抽象性仍然使学生们“谈微色变”, 反映到微积分课堂上就是气氛不够“活”甚至“活”不起来。究其原因还是学生们对微积分的兴趣不够。所以, 如何提升学习兴趣让微积分教学“活”起来, 显得尤为迫切。下面笔者结合前人的探讨和自身多年从教的经验谈一些想法, 提出四条建议。

一充分展现微积分教学目的

经管类专业的学生大部分认为开设微积分课程就是为了以后的专业课学习打好基础, 诚然, 大学非数学专业微积分的学习确实有这样的目的, 但数学的效用不仅仅如此。正如弗朗西斯·培根所说:“在数学上, 我没什么缺憾可报告, 除了一点之外, 这就是:人们并没有充分理解纯数学的妙用。”在微积分教学中, 我们还应培养学生有意识地不仅要把数学作为计算工具, 更应以发展数学能力为重, 能把数学的思维方式应用到其他学科乃至实际生活中。比如微积分中的极限思想, 贯穿于微积分课程始终, 其中所体现的过程与结果、有限与无限、直与曲、不变与变之间的对立统一思维能让我们辩证地去看待问题;又如曲线围成的平面面积、曲面围成的立体体积的计算问题, 其中的整体细划为部分, 由近似再到精确的转化、化归思维;微积分中无处不在的分析归纳再论证思维、导数与微分中的逆向思维、类比一元函数微积分学习多元函数的比较思维, 等等, 这些都隐含在微积分知识学习的背后, 需要教师在教学中引导学生有意识地挖掘, 真正领悟数学的本质, 体会学习数学的乐趣, 从而形成自己的数学思维。

罗巴切夫斯基曾说过:“任何数学分支, 不管多么抽象, 有朝一日都要应用于真实世界的现象”, 要体会数学的魅力还必须把数学思维迁移到其他学科的学习直至实际问题的解决。比如数学建模在其中就担当了重要角色, 它通过把实际问题从数学角度加以分析、解答, 让学生近距离地体会数学的妙用。而建立微分方程就是一种数学建模方法。教学中应适当引入相关例子, 激发学生的好奇心和求知欲, 让学生明确日后受益更多的可能首先是所积累的数学思维方式, 而后是具体的数学知识。在崇尚科学的时代, 微积分不应充当把学生淘汰出通向科学领域的“过滤器”, 而应成为鼓励学生学习科学的“助推器”。

二让数学文化渗透到微积分教学

数学虽然是理性的科学, 但它也需要感性认知的加入。日本心理学研究者三浦致世认为, 感性是指基于具有多种含义和复杂特征的信息, 通过印象评价、综合把握等形式, 对状况进行整体的直觉判断的能力。故而, 数学知识的内化需要有数学文化的牵引。

数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言, 以及它们的形成和发展, 还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展史中的人文成分和数学与其他各种文化的关系等。在教学中, 适时给学生介绍微分和积分的起源与发展, 穿插数学人物的成长与发展历程、艰辛的知识发现及证明过程和其中所体现出的锲而不舍的研究精神、严谨的思维方式等, 比如对微积分的理论基础极限的定义就经历了从形式直观、语言模糊到精确、严谨、简约的“ε-N”, “ε-δ”的语言过程。在讲无穷级数时, 就可插入牛顿—莱布尼兹、伯努利兄弟对无穷级数的情有独钟;还可简略向学生介绍欧拉在求完全平方数的倒数之和1/12+1/22+1/32+…时大胆的想象到再证明的过程。数学也有其艺术性, 表现在它的简单美、对称美、统一美、奇异美。很多实际问题模型化成数学问题后, 就会变得简洁明了, 数学符号语言本身也体现了简单美, 数学中不管是形式上的还是图形上的对称更是比比皆是。

让学生在学习微积分的同时通过数学文化的适时渗透, 了解什么是微积分, 微积分做了什么等问题, 有助于激发学生学习微积分的兴趣, 活跃课堂气氛。

三发挥信息技术在微积分教学中的辅助功能

信息技术有助于呈现思想、沟通并支持推理和计算, 而且“执行一个过程不再一定需要人类参与, 学习符号不再像过去那样只是少数人的特权”, 使得微积分学习从枯燥、抽象走向生动、形象。

美国微积分教材改革遵循“四原则”, 每个概念以几何、文字描述和代数形式呈现, 对于微积分的主要概念如极限、导数、积分的介绍, 除了概念本身的文字叙述和符号语言描述, “形”的展现也很必要。教师可以借助信息技术可视化优势给学生带来交互性和动态性的体验。如极限的“ε-N”定义, 引入实例时通过对ε的不同赋值, 用数学软件制作相应的图形, 从动态演示中让学生产生感性认识, 进而总结规律, 归纳极限定义。再如用“元素法”求面积、体积可通过软件制图功能让学生对无限分割有一种逼近感, 更好地从数、形结合中去理解极限与积分的关系。常见的数学软件如Matlab、Mathematica、Maple、Math CAD、几何画板等既能绘制数学图形也能完成数值符号运算。对于经管类专业的学生而言, 要使微积分显得易接近, 应用更重于计算, 故而微积分很多计算如求积分、求解微分方程等都可借助于数学软件, 通过简单的口令输入就可求得结果, 这样让学生把更多的精力放在数学实际应用上。

此外, 随着人们对“互联网+”信息观念的深入认同以及现代智能设备的发展, 微积分教学设计和教学媒体在这方面也应有所突破, 除了现行的网络平台, 如Wolfram Alpha、试题库系统、精品课程网等外, 制作跨媒体教材、手机APP等使学习不受时空界限的束缚, 实现课内课外、线上线下、校内校外随时随地非线性学习, 真正打通书本世界、现实世界和网络世界的联系。

四学习方式多样化

现在的微积分学习方式非常单一, 主要以听、练为主, 本质上还是一种模仿, 这就导致了相当多的学生持记忆知识的学习观, 甚至在运用微积分知识解决问题时一旦离开课本就无从下手。当代建构主义认为“课本知识只是一种关于各种现象的较为可靠的假设, 不是解释现实的‘模板’”, 而学习是“学生建构自己知识的过程”, 并不是简单的信息输入、存储和提取, 应是“同化和顺应”, 即一方面理解、记忆新知识, 在分析的基础上形成自己的思想, 一方面对既有知识、经验进行改造。因此, 微积分学习方式要体现学生的主体地位。对于一些难以理解的概念、定理可采取如研究性学习、基于问题的学习、合作学习等共同学习方式, 以加强沟通交流、发挥团队优势, 充分调动学习的积极性, 完成知识建构。

比如极限概念, 不仅其丰富性、抽象性影响了学生对概念的掌握, 而且在未学概念之前学生对日常生活用语“趋向”“极限”的理解也会影响极限数学含义的学习。大部分学生会求极限但不代表他理解了极限, 此时可提出问题:“0.9&=1吗?”基于问题让学生进行探究、合作讨论, 老师适当加以引导, 从而更好地帮助学生理解极限中所包含的无限思想。又如对微分与积分关系的理解, 大部分学生会求微分、积分, 但很少探索它们互逆的运算关系, 故而可通过分组讨论的方式, 以PPT、小论文、口述性语言等方式呈现讨论结果。

除了以上几点, 同时还需要教师提高自身的学术威信和人格魅力, 形成个人教学风格, 也需要学校其他工作人员的共同努力, 促使学生形成良好的学风。总的来说, 影响微积分课堂教学效果的因素是多方面的, 促发学生的学习动机, 增进学习兴趣, 从而让课堂“活”起来是重要的方面, 值得我们继续深入探讨。

摘要：基于目前微积分课堂不够活跃的现象, 提出四点建议:一、充分展现微积分教学目的;二、让数学文化渗透到微积分教学;三、发挥信息技术在微积分教学中的辅助功能;四、学习方式多样化。

关键词：微积分,课堂教学,活跃

参考文献

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