浅谈定积分概念的教学设计

2023-01-18

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的, 而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果。这正是人类文明发展中的伟大创举——极限思想和极限方法产生的客观基础。微积分的创立, 是数学史上一个具有划时代意义的创举, 也是人类文明的一个伟大成果, 正如恩格斯评价的:“在一切理论成就中, 未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被当做人类精神的最高胜利了。”定积分又是微积分教学中的一个重点, 同时也是一个难点, 在定积分的概念教学中, 如何让学生理解定积分的本质, 培养数学思想, 挖掘学生潜力, 激发学生想象力和创造力, 勇于进取, 提高解决实际问题的能力是非常重要的, 笔者在教学过程中作了如下设计:

1 注意背景知识与引入方法

定积分概念起源于求平面图形的面积, 空间立体的体积, 曲线段的长度, 物体的重心等几何和物理问题。17世纪以前, 计算这些问题缺乏一种统一的数学方法, 直至牛顿和莱布尼兹建立了微积分之后, 才有了统一的积分方法, 并把求面积、体积、长度这一类问题和求原函数联系起来。200年后, 才由黎曼用严格的形式给出了定积分的概念, 也称黎曼积分。在教材中, 引入定积分的两个经典引例是“曲边梯形的面积”和“变速直线运动的路程”, 为了引入自然, 我们采用探究式的教学方法, 以培养学生的问题意识, 突出数学思想方法提出问题, 启动思维:

探究1:你知道如何求正方形、长方形、三角形的面积吗?这些图形都有什么特点?

探究1的设计意图:学生归纳平面图形特点是:各边都是线段组成的图形;同时把思维引向如何求面积的方向上来。

探究2:你知道圆的面积公式吗?它的面积是怎样计算的?

探究2的设计意图:学生感受求曲边图形面积的难度, 回忆圆的面积求法, 为本节课类比作好铺垫。

2 引入新课, 探究学习

探究3:阴影部分类似于一个梯形, 但有一边是曲线y=f (x) 的一段, 我们把由直线x=ɑ, x=b (ɑ≠b) , y=0和y=f (x) 曲线所围成的图形称为曲边梯形。如何计算这个曲边梯形的面积S?思考下面问题:

(1) 曲边梯形与“直边图形”有什么区别?

(2) 能否将球这个曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题?

探究3的设计意图:给出曲边梯形的定义, 明确本节的研究课题, 由具体问题出发, 激发思维热情。

我们可以针对这一问题用Mathematica软件制作一个动画, 先把曲边梯形等分成10个小矩形, 再将曲边梯形等分成20个、30个、70个小矩形, 通过动画演示, 可以使学生深刻领会定积分的思想。同样的, 我们也可以做出积分上和逼近其下确界的相应图像。在传统教学中, 无论教师将分点怎么增加, 也无法刻画“分点无限增加”的细分过程。将动态图形鲜明、生动、形象的展现在屏幕上, 学生可以清晰地看到:随着小矩形的不断增加, 其面积之和就越来越接近曲边梯形的面积这一事实。是学生可以在具体的情境中体会这种无限的过程, 这种“从有限中认识无限, 从近似中认识精确, 从量变中认识质变”的思想, 是对微积分思想的朴素的直观认识。

探究4:如何求由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的平面图形部分的面积S?

结论: (1) 曲边梯形与“直边图形”的主要区别:曲边梯形有一边是曲线段, “直边图形”的所有边都是直线段。

(2) 应用“以直代曲”的思想求曲边梯形面积, 共分四步。

教师引导, 学生自主完成探究。

探究4的设计意图:先研究特殊的曲边梯形的面积, 简化运算, 揭示思想核心。

应用“以直代曲”的思想把求由抛物线y=x2与直线x=1, y=0所围成的平面图形的面积归纳为以下步骤:

第一步——分割:化整为零, 把整体量化为局部量

第二步——近似代替:以“不变”代“变”, 在局部量中做近似代替

第三步——求和:把局部量的近似值累加起来。此处, 教师强调:这里的面积毕竟是近似值, 不能代替真实值, 尚需完善。

第四步——取极限:把整体量的近似值转化为精确值。

3 整理新知, 巩固所学

探究5:求曲边梯形面积的四个步骤都是什么?这四个步骤间有何关系?

解答:第一步:分割。得到区间[xi-1, xi], 其长度△xi=xi-xi-1;第二步:近似代替“以直代曲”, 用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 求出每个小曲边梯形面积的近似值;第三步:求和;第四步:取极限:各步一次简称为分割、近似代替、求和、取极限;注意强调最后所得曲边梯形的面积不是近似值, 而是真实值。

探究5的设计意图:先分后总整理一般步骤, 得到一般方法, 给出求解这类问题的一般步骤——“四步曲”, 由特殊问题探究上升到一般认识。对曲边梯形的面积问题, 注重详细分析, 这一分析过程是把整体分为局部, 在局部以直代曲, 以不变代变, 这种处理问题的思想方法即为“极限思想方法”, 它是高等数学的基本思想方法, 甚至可以说是微积分的灵魂, 后面的各种积分都是采用这种思想方法去处理的, 详细地分析面积问题后, 总结所应用的方法步骤, 突出强调结果是一个“和的极限”。对第二个引例, 以启发为主, 师生一起进行简要地分析, 引导学生作出类似结论。

4 对比实例, 抽象定义

上面两个问题所需的计算量, 一个是几何学中的面积, 一个是物理学中的路程。虽然两个量表示的实际意义不同, 但计算这些量的方法和这些量的数学形式都是相同的。总结问题共性, 着重指出实际中还有很多类似问题, 它们都可以归结到此类相同的数学形式, 因此要对这些形式进行研究, 于是抽象出定积分的概念。

5 剖析概念, 领会实质

给出定义后, 教师应进一步阐述: (1) 定积分是一个特殊的极限值, 因此是一个数值, 这与定积分截然不同; (2) 通过解释两个“任意”, 结合极限的唯一性, 说明若定积分存在的话, 其结果是确定的, 与区间的分法与区间内点的取法无关; (3) 定积分的值仅与积分区间和函数结构有关, 所以更换积分变量所采用的字母, 积分值不会发生变化; (4) 给出定积分存在的条件。