线性代数的学习方法

线性代数的学习方法（精选十篇）

线性代数的学习方法 篇1

一、加强基本概念的教学

在线性代数学习中,定义、定理及其推论等基本概念是我们做题的基础,只有深刻地理解定义、定理隐藏的知识, 才能更好地把握定理及其推论的应用. 我们在教学中,不能要求学生死记硬背公式,要想办法让学生理解这些概念、公式. 怎么做呢? 就是尽量将概念具体化,如何具体化呢? 尽量给予事例说明. 如矩阵、线性变换、特征值与特征向量,让学生记住具体事例,使之认识深入化. 在引导学生学习某些有具体几何背景( 向量的模) 的概念时,让学生多加联想,指导学生按图索骥.

为了让学生吃透概念,授课时应该提醒学生注意两方面的问题: 1. 对概念、定理的陈述如果是严谨的,那么就要一字一句的抠,一个字都不能动,改动个别字就会导致题意发生根本变化( 线性相关、线性无关的概念) ; 2. 对于有些概念、定理,自己能够简明扼要用自己地语言来描述它们. 另外,在教学中还可适当的构造反例,使学生加深对概念的理解,例如数的乘法运算满足交换律和消去律,但矩阵的乘法运算不满足交换律和消去律,举反例说明:

这样的反例,直观性强,浅显易懂,能给学生留下深刻的印象,使学生掌握概念的本质. 既提高了学生分析问题和解决问题的能力,又加深了学生对基本基本知识点的理解, 为学生后续课程的学习打下了坚实的基础.

二、强化逻辑推理能力训练

逻辑推理是数学的一个基本功能,它也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. 逻辑推理能力是学好线性代数必须具备的能力,只有具备了良好的推理能力,才能做到既合理猜想又大胆猜想,敢于突破常规思维定式,但是逻辑推理能力的形成和提高是一个缓慢的过程,短时间内很难见效果,我们要创设概念、定理、方法等问题的活动情境,将抽象的理论想办法具体化,让学生自己探究知识、形成结论. 这样我们既锻炼了他们的推理能力又培养了他们的学习兴趣,不再觉得学习线性代数是乏味、无趣. 推理能力的培养,要考虑学生的自身特点、层次性,思维方式也存在着一定的差异,我们要因人施教,因材施教,这样使学生的逻辑推理能力不断跃上新台阶. 线性代数的知识点较多,很多重要概念之间的内在联系并没在课本中充分反映出来. 学生只有具备良好的合情推理和演绎推理能力,才能掌握知识点的核心. 例如,向量的线性组合与线性方程组的解、向量的线性相关与齐次线性方程组的非零解均关系密切,但教材中把它们放在不同的章节,很少有学生考虑这些概念之间的联系,在这些教学内容完成后,我让学生自己推理出这些概念之间的关系,结果许多学生自己找到了正确的答案.

另外,还要让学生注意新旧知识的联系,最后把同类知识归纳、总结、列表,把容易混淆的概念进行对比,以加强学生的想象力、理解力、记忆力. 对于有些习题,还要注意一提多解及同类题的共性,培养举一反三和推理能力.

三、注意学习方法的总结

线性代数的概念很多,重要的有: 逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,特征值与特征向量. 运算法则也很多,重要的有: 矩阵乘法,求矩阵的秩,求非齐次线性方程组的通解,基本运算与基本方法要过关. 这些知识点从内容上看环环相扣,相互交错. 要使知识点衔接、成网,归纳总结是不可缺少的步骤. 我们对问题的表述要富有逻辑性,解题方法灵活多样性. 在复习时常问自己做得对不对? 再问做得好不好? 只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识才能融会贯通,解题思路自然就开阔了.

布置作业时,教师应对计算题有所选择,一般不宜让学生考研、未知量多、参数复杂等计算量很大的题目,作业目的主要在于理解和巩固知识,否则会造成学生有限学习时间的浪费,会挫伤学生的学习线性代数信心,得不偿失.

线性代数的学习 篇2

在这门课的学习过程中，你是否也遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。不要怕，线性代数的学习是有章可循的，只要有正确的方法，再加上自己的努力，任何学科都不会“打倒”你。

线性代数是一门对理工科学生极其重要数学学科。线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”你是不是觉得这好像是在吹，的确，我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我只上大二，对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。

没有应用到的内容很容易忘，我现在高数还基本记得，但线代已忘了大半。因为高数在很多课程中都有广泛的应用，尤其第二学期开设的大学物理课。所以，如果有时间的话，要尽可能地到网上或图书馆了解线性代数在各方面的应用。如：《线性代数》（居余马等编，清华大学出版社）上就有线性代数在“人口模型”、“马尔可夫链”、“投入产出数学模型”、“图的邻接矩阵”等方面的应用。也可以试着用线性代数的方法和知识证明以前学过的定理或高数中的定理，如老的高中解析几何课本上的转轴公式，它就可以用线性代数中的过渡矩阵来证明。觉得线性代数难懂和琐碎也跟教学中没有涉及线代的应用有很大关系。

线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，请在第二天有线代课时晚上睡得早一点，“卧谈会”开得短一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。

一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。

上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做作业，不会时看书，做完作业后再看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。大学生学习线性代数时留给做题的时间比较少，应该适当多做些题。

线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。

学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果你学习前“心潮澎湃”就请用一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。

关于解题思路的问题不是一下子能讲清楚的，《道乐吉学习方法（大学生版）》这本书讲解题思路讲得非常好，而且上面讲的解题方法对各门理科课都适用。我在此只想说做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路“存档”，即“做完题后要总结”。线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。

人们总是在扩展数的范围，复数就是实数的扩展。矩阵是数的扩展，如一个电阻的阻值可以用一个实数来表示，而一个二端口电阻的“阻值”可以用一个2*2矩阵来表示。

数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开公式的证明就是从更简单的特殊情况开始证起；解线性方程组时先解对应的齐次方程组，这些都是先考虑特殊情况。高数上解二阶常系数线性微分方程时先解其对应的齐次方程，这用的也是这种思路。

数学讲究和谐。规定0！=1是为了和谐。行列式的计算法和矩阵乘法也是和谐的，线性代数以后的内容中就会体现出这种和谐。

通过思想方法上的联系和内容上的联系，线性代数中的内容以及线性代数与高数甚至其它学科可以联系起来。只要建立了这种联系，线代就不会像原来那样琐碎。

方法真的很难讲，因为篇幅实在有限，而方法包含许多细节的内容很难讲出来甚至我都意识不到，而它们会对学习起很大的作用，要把这些细节都写出来几十万字绝对不够。所以细节上的优化是需要自己来完成的。在此我推荐两本学习方法的书，一本是《道乐吉学习方法（大学生版）》，我理科方面的解题思路就是套这本书的模式，对付较难的题非常管用。另一本是《孙维刚谈全班55%怎样考上北大考上清华》，我所在的中学几乎所有老师的办公室都有这本书。我的“做完题要总结”，“上课想到老师前面”，“注重知识之间的联系”等等方法都来自这本书。看学习方法书一定要将上面的方法应用于实际，把学习方法书当小说看或书上的适合自己的方法应用得不充分，那还不如把学习方法书扔了。

还有，学习方法与现在很畅销的成功学类书上讲的方法是相通的，要掌握好的学习方法也要多看企业战略管理、领导艺术、时间管理、励志等方面的书。

学习效果是效率与时间的乘积，好方法能带来高效率，但如果不下工夫照样学不好。要记住：好成绩是学出来的！说谁不学都考得好那是在胡扯（暂不考虑造成学习不太努力的人学习好的其它细节因素，这些因素不是大部分人现在都具有的）。

浅谈线性代数的教学方法 篇3

关键词：线性代数；观点；教学方式

引言：线性代数的应用，涉及的范围十分广泛，例如数学、物理学，亦或是其他技术学科之中，因此线性代数在各种代数分支中，可以说是占据着首要位置。而线性代数同样是理工科大学各专业的基础课，学习线性代数对于培养学生的逻辑推理能力、计算能力、抽象思维能力以及工程实践中的具体应用能力有着不可忽视的作用。而线性代数这门学科，通常在大一大二年级设置，对于初学者来说，线性代数的困难，一度让学生们感觉束手无策。那么，如何解决这一问题，如何调动学生们学习的乐趣，让这门学科的成绩提升上来，无疑成为了老师们教学的关键。

一、代数概念区分

（一）行列式和矩阵

行列式和矩阵，是解析线性代数的关键，而这二者之间，有着密切的联系，却又不能将其等同。那么，首先，要确定二者各自的定义，注意二者之间的符号差异，其具体表现在：

1.矩阵 ，行列式 。

2.表现形状。

由此可见，行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以相等。

3.意义差距。

矩阵是数的表格，而行列式则是一个数，亦可说是一个算式。

（二）行列式与矩阵计算方法的不同

线性代数涉及的计算内容，对于初学者来说，很难。甚至，很多同学觉得，面对计算时，有种无从下手的感觉。一般求解方程组的时候，有些同学生搬硬套，直接采取克拉默法则求解。如果同学们能够清楚二者之间的差别，知道只有方阵才能有对应的行列式，不相等的矩阵无法用行列式进行计算的话，就不会出现这种错误。

二、针对行列式和矩阵的差别，采取对比教学法

线性代数中的行列式和矩阵容易混淆，其中涉及的概念以及数乘运算，是学生们最为困扰的一点。如何将它们区分开来，这是一个关键问题。这里采取对比的教学方法，可以加深同学们的印象，有着不错的教学效果。

学生在学习行列式和矩阵初等变换后，容易将二者的符号弄混淆。尤其是二者符号书写上面完全一致，但它们本质是不同的。例如行列式的运算表示的是数值运算，变换过程中用“=”连接，且前面会出现负号“-”。而矩阵变形过程中，不会出现负号“-”，也不会出现系数“ ”。

（一）矩阵、行列式的加法和数乘

矩阵的加法运算时，两个同型矩阵相加是指它们的对应元素相加。行列式的某一列或是某一行两数相加，也是对应元素相加。但区别是，矩阵中的每一个元素都是两数之和时，此矩阵等于两个矩阵的和。而行列式则是等于两个行列式的和。至于数乘运算，二者的差别要更大一些。矩阵式只有公因子可以提到矩阵符号外，而行列式只需要满足一行，或是一列的公因子，就可以提到符号外。

（二）矩阵的等价、相似、合同的充分必要条件

矩阵的等价性质分为三方面，分别是反身性、对称性、传递性。两个 矩阵 ， 等价的充要条件为：存在可逆的 阶矩阵 与可逆的 阶矩阵 ，使得 。

矩阵的相似关系：设 ， 均为数域 上 阶可逆矩阵 ，矩阵 与 为相似矩阵（若 级可逆矩阵 为正交阵，则称 与 为正交相似矩阵）。同样的，矩阵的相似关系也有三个性质，分别是反身性、对称性、传递性。

矩阵合同的性质：反身性，任意矩阵 都与自身合同；对称性，如果 与 合同，那么 与 也合同；传递性，如果 与 合同， 又与 合同，，那么 与 合同；合同的两矩阵有相同的二次型标准型；在数域 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵；矩阵合同与数域有关。

三、善于发现和利用反例

线性代数中存在很多抽象的概念，如何将这些抽象的概念掌握，如何在初学时掌握一定的技巧，避免走入误区，这一点，十分关键。如果能够举一些反例，相比较之下，就会加深学生对概念的理解和掌握。

例如，在涉及矩阵运算的时候，可以告诉学生，矩阵乘法不满足交换律。但这样的强调，并不能引起学生们的注意。这时候，举出一个反例，用错误的计算点醒学生，就会取得一个不错的效果。

四、举一反三，一题多解

一道题的正确解答方法不单单只有一个，那么发散学生的解题思路，开拓学生的视野，将所学知识有效的串联起来，对于养成学生发散思维，有着重要影响。

例1：已知向量组 ， ， 线性无关， ， ， ，证明：向量组 ， ， 也线性无关。

证法1：设有 ， ， ，使得 ，

即 ，

故方程组只有当 成立，所以向量组线性无关。

证法2：采用行列式，由题意得 ，可记作 ，其中 的绝对值不为0，所以 可逆，又因 ， ， 线性无关，故有 ，所以向量组线性无关。

五、注意各章节之间的联系

线性代数之间的联系十分密切，每一章节的联系对于学生们接下来的学习有着承上启下的影响。所以，在教学时，每一个章节内容要求学生掌握的同时，也要延伸到这一章节对接下来学习的影响，为接下来的学习打好提前量。

六、结束语

综上所述，线性代数作为高等数学中的重要组成部分，虽然内容并不是很多，但却有着十分重要的作用。如何学好这一科，对于学生日后的学习有着深远的影响。所以，在今后的教学中，要根据这门学科本身的特点，制定正确的教学方法，提升学生学习线性代数的兴趣，从而提升学生学习这一学科的诸多难题。

参考文献

[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.33.

[2] 赵慧斌，问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究，2008，11（4）：91-94.

浅谈《线性代数》教学方法的改进 篇4

关键词：教学设计,教学策略,比较法教学

引言

《线性代数》 (Linear Algebra) 是大学数学中的一个重要分支, 在自然科学和工程技术等领域中的作用日益受到重视。同时, 该课程也是理工类大学生的研究生入学考试的一门必考课程。我国绝大部分院校的理工类和经济管理类等本科专业都会开设《线性代数》。它作为一门重要的基础必修课, 可以培养学生分析、归纳、总结和演绎的能力, 提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力, 并为学生学习专业知识打下坚实的基础[1]。

《线性代数》有很强的理论性、系统性和逻辑性, 该课程包含大量的概念、定理等内容, 且对计算准确度要求较高, 并具有很强的抽象性, 与学生以往所学的数学知识有巨大的区别, 导致很大部分学生初学该课程时非常困惑、吃力, 不知该如何学习。那么教师采用恰当的教学方法和教学设计, 会是产生良好的教学效果的关键。笔者根据几年来对该课程的教学实践, 提出几点教学方法和建议。

1《线性代数》的基本内容

非数学专业所开设的《线性代数》, 一般分为36学时或54学时, 基本内容主要包括行列式、矩阵、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型这六部分。

有关的理论知识相互联系, 纵横交错, 在内容的组织上需要进行设计, 让学生比较容易接受。在学习相关知识的同时, 引导学生体会各个理论体系之间的关系, 这样更有利于提升教学效果, 并且逐步提升他们的思维层次。

2 教学方法和教学策略

2.1 知识体系的介绍

作为老师, 相信都知道对学生来说学习一门新课程时第一次课的重要性。第一次课时, 首先让学生了解学习《线性代数》不会用到求极限、求微分、积分等内容, 所需的数学基础并不高, 所做的计算不复杂但要求细心。因与以往所学的数学课程区别太大, 所以部分学生会觉得难以接受, 但只要入了门, 就会发现这门课其实很简单。再让学生打开目录, 大致了解《线性代数》的主要内容, 给学生介绍各章节的知识及相互联系。在整个知识体系中, 行列式和矩阵是最为重要的内容, 它们作为计算工具, 用来解决向量、线性方程组、特征值和特征向量以及二次型等内容所涉及的知识。要强调矩阵的初等变换是《线性代数》的核心工具。求向量组的秩和极大线性无关组、线性方程组的求解、矩阵的特征值和特征向量、方阵的对角化、二次型的标准化等问题, 全都离不开矩阵的初等变换。

2.2 教学设计

《线性代数》中的概念一般较抽象, 定理和结论非常多, 前后知识点的联系也很强。在教学过程中, 教师要讲究教学技巧, 对课堂教学进行设计, 以便学生更深入理解所学知识并准确把握。

(1) 板书的设计

《线性代数》里很多章节的核心理论知识并不多, 但例题的解答过程却繁多。如果是传统教学方法, 可以采用将黑板一分为二的方法, 在左侧写出理论知识部分, 在右侧对例题进行演算, 方便学生了解每次课的所学内容和重点, 有时可以达到很好的教学效果。例如在讲授行列式的性质这一节时, 将行列式的性质依次写在黑板左侧, 在右侧进行讲解和举例。将行列式的性质放在一起, 强调其重要性, 方便学生对性质进行归纳并熟记。再例如, 讲授线性方程组的解的判定时, 可以将齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解的判定定理逐条归纳后现在黑板一侧, 学生学习起来一目了然, 非常清晰, 方便学生更好的理解。

(2) 精炼的语言

精炼准确的语言也是非常有利于教学的。

《线性代数》有些章节对应的定理和结论非常多, 由于它们是解题的依据, 需要学生必须记住, 我们可以总结出简短好记的语言帮助学生记忆。比如, 向量的线性相关性有非常多的内容需要记忆, 有些可以归纳为“截短向量线性无关, 则接长向量也线性无关”;“部分向量组线性相关, 则整体向量组也线性相关”。与它们对应的逆否命题“接长向量线性相关, 则截短向量也线性相关”、“整体向量组线性无关, 则部分向量组也线性无关”也一下就能记住。

再比如线性方程组解的结构中的结论, 齐次线性方程组的通解加上非齐次线性方程组的一个特解等于非齐次线性方程组的通解, 可以总结为“非齐通=非齐特+齐通”;非齐次线性方程组的一个特解减去非齐次线性方程组的另一个特解等于齐次线性方程组的特解, 可以总结为“非奇特非齐特=齐特”。

(3) 解题技巧

初学《线性代数》的同学普遍认为该课程与《高等数学》的题目区别很大, 主要是计算量较大, 大部分题目都要进行密密麻麻、大段的数字计算, 学生会不知所措, 这正需要我们在教学过程中应讲究方法与技巧。

在讲授例题和习题时, 要传授学生解题技巧。例如行列式计算, 按类型来讲解, 如每行 (或每列) 元素的和相等、平行线型“”、爪型“”等, 这会大大提高学生的学习积极性和兴趣。再例如, 很多题型里都会涉及将矩阵化为行最简形矩阵, 而学生极容易在此出错, 导致最终结论错误。在转化过程中, 要告诉学生从左往右进行, 先将第一列元素依次转化为1、0、0、0…, 再转化第二列, 依次类推。

2.3 比较法教学过程中的应用

所谓比较法, 即把某些有一定相关性的知识点放在一起对照讲授, 找出它们的共同点和不同点的教学方法。它包括:相反概念和易混概念的比较;新旧知识的比较;同类事物的比较[2]。比较法在教学中的应用可以使学生加深对知识的理解, 提高认识水平, 更好地把握数学知识的本质特征。

例如上面提到的“非齐通=非齐特+齐通”, 《高等数学》中常微分方程那一章, 也有相类似的结论, 只是对象不同, “非齐通=非齐特+齐通”是指n阶线性非齐次微分方程的通解等于它的特解+它对应的n阶线性齐次微分方程的通解。在《线性代数》中讲授矩阵的对角化的内容前, 会先介绍向量的内积, 模, 向量单位化等知识, 在教学过程中可以和《高等数学》里向量那一章的相关知识进行比较, 有相同的知识点, 也有部分知识的推广, 这样学生学习起来会非常容易理解新知识。

初学《线性代数》的同学, 很容易将行列式与矩阵的符号混淆, 在书写矩阵时左右两边错误的写成竖线, 而不是圆括号或方括号。为了避免这样的错误发生, 在引入行列式和矩阵概念时, 要强调行列式一般代表一个数, 而矩阵代表一张数表, 将它们进行比较。强调矩阵与行列式的区别, 这样学生才会准确把握, 深入理解。

3 结语

《线性代数》对学生今后的发展起着重要的基础性作用。本文对该课程的教学方法和策略的一些看法, 总的来说就是要结合学生的实际学习能力, 进行合理的教学体系的设计, 再结合适宜的、切实可行的教学方法和教学手段, 以达到较好的教学效果并提高教学质量。

参考文献

[1]张向阳.《线性代数》教学中的几点体会[J].山西财经大学学报 (高等教育版) .2006年S1期

线性代数学习心得 篇5

首先让我们分析一下线性代数考试卷（本人以1999年上半年和下半年为例）

我个人让为，先做计算题，填空题，然后证明题，选择题等（一定要坚持先易后难的原则，一定要。旁边有某些同志说：“这些都是屁话，我们都知的快快转入正题吧！”）

把选择题第8题拉出来让大家看看

n(n>1)阶实对矩阵A是正定矩阵的充份必要条件是（）

A．A是正定二次型f(x)=x(A)x的矩阵

B．A是各阶顺序主子式均大于等于零（书本的p231定5.9知，大于零就可以了，明显也是错的）

C．二次型f(x)=xTAx的负惯性指数为零

D．存在n阶矩阵C，使得A=CTC（由书本的P230知，存在非奇异N阶矩阵C，使A=CTC)很明显，这个选择是错了）

各位学友在做选择题时要仔细呀！

证明题

先讲1999年下半年

设A，B，C均为n阶矩阵，若ABC=I,这里I为单位矩阵，求证：B为可逆矩阵，且写出的逆矩阵？

证的过程：己知ABC=I，|ABC|=|I|不等于零，|A|*|B|*|C|不等于零，得出|B|不等于零。所以B是可逆矩阵。

求其逆矩阵，ABC=I，两边同时右乘C-1得AB=C-1,接下来左乘以A-1得B=A-1C-1，最后BC=A-1,BCA=I,于是得B-1=CA(不知各位学友有没有更简便的方法谢谢告之）

对这题做后的心得，本人认为一定要记得，a逆阵可逆的充分必要条件是行列式|a|不等零（切记，还有如ab=i,那么a-1=b）

对了还有，在求解逆矩阵，最简单方法是用初等行变换

公式法吗！容易出错，只适合求解比较特殊的

下面这些是相关的证明题

设B矩阵可逆，A矩阵与B矩阵同阶。且满足A2+AB+B2=O，证明A和A+B都是可逆矩阵？（相信大家都能做出）

己知i+ab可逆，试证I+BA也可逆？

接下来看看1999年上半年的

设n阶方阵A与B相似，证明：A和B有相同的特征多项式？

应搞清楚下面的概念

什么是特征多项式呢（1）

什么是特征值呢（2）

什么还有特征向量（3）

什么是相似矩阵（4）

λI-A称为A的特征矩阵；|λI-A|称为A的特征多项式；|λI-A|=0称为A的特征矩阵，而由些求出的全部根，即为A的全部特征值。

对每一个求出特征值λ，求出齐次方程组(λI-A)x=o的基础解是&1,&2,&3...&s,则k1&1+k2&2+...ks&s即是A对应于 λ的全部特征向量（其中，k1...ks不全为零）

相似矩阵：设A，B都是n阶方阵，若存在n阶可逆阵p，使得p-1ap=b,则称A相似于B，记为A~B(相拟矩阵有相同的行列式，相同的秩，相同的特征值）

我觉得有这么一题使终我还是一知半解的，拉出来让大家看看：

设A为4阶方阵，A*为A的伴随矩阵，若|A|=3，则|A*|=?,|2A*|=?

这题答案是27，432

怎么算的呢？这个具体我也不太清楚，我是用自己的方法，|A|N-1=|A*|,这个N代表多少阶，如是4阶那么3^3=27,后面那个，切记：把2提出行列式以外，看A是几阶行列式，4阶就提4次，2^4*3^3=432(可能书上不是这样的，我只是根据其习题答案推论出来的）

应注意的问题：区为行列式和矩阵之间的区别，特别是用一个不为零的数K乘以行列式或矩阵，前者只是乘以某一行或列，后者则是每一个元素都要乘！

线性代数的学习方法 篇6

关键词：线性代数方法 高等数学 解题 应用

中图分类号：O13；O151.2 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）07（a）-0155-02

数学在我们生活中无处不在，在大学期间，数学学习的难度有所增加，所以高等数学被分为了好多学科，其中就包括线性代数这一重要的学科。线性代数的学习程度对高等数学是有一定的影响的，因为线性代数与高等数学是由相辅相成的作用的，在解决某些问题上，采用其中的一种方法是有可能比较困难的，这个时候就需要转变思维，换一个角度想问题，让自己的学习过程更加顺利，从而提高自己的成绩。

1 线性代数方法学习所需能力

1.1 需要有抽象的思维能力才能使学习更加高效

线性代数是需要学生通过抽象的思维进行想象的，可以说学习的过程中对于向量，矩阵等都需要自己通过抽象想象的。线性代数中这样的学习有很多种，例如矩阵与线性方程组，在矩阵与矩阵，矩阵与向量组，向量组与向量组等等，所以学生要了解他们之间的抽象关系，认真领会其中的知识点，对他们的概念以及性质的学习进行加强。在初中和高中的学习中，学生们已经接触过具有抽象能力的数学知识点了，比如说在向量的学习中，就需要将向量想象成一种抽象的东西，这个时候的数学还是很好学的，但是对于高等数学中的线性代数里面的思维想象能力的要求就相对来说比较高了，所以对于学生在这方面能力的锻炼与培养，需要教师多加引导，让学生养成自己思考，主动学习的好习惯，多做题，逐渐的就会把自己的抽象能力培养出来。

1.2 逻辑推理能力

不仅仅是线性代数需要逻辑推理能力，可以说整个的数学学习就是一个逻辑推理能力的培养从小学时，学生们便开始学习数学，数学的学习一直都在锻炼学生们的是逻辑推理能力。线性代数的各个知识点之间逻辑关系是非常紧密的，逻辑性是非常高的。其实我们在学习很多学科时都有这种体会，知识点不是单独存在的，教材在安排知识点的位置的时候也都会将有联系的知识点放在一起学，这样既对学生学习起来是一个方便，同时教师在教授的过程中也更加容易方便，这在一定程度上考验了学生的逻辑思维能力，所以线性代数在学习过程中一定要上下联系，找出其中关联的地方，把有关联的知识点放在一起仔细研究，找到他们在解题过程中的运用效果，能够在解题过程中显得不那么手足无措，同时要深刻理解其中的每个知识点之间的联系，从而提高学习效率。另一方面学习的过程中需要运用的推理能力不仅仅表现在知识点的上下联系，而且在解题过程中需要在读过题之后快速的找到体重的关键点，找出解题时所要用到的知识点，这也是对逻辑推理能力的一个考验。[1]

2 线性代数核心方法与工具学习

学习过高等数学的人们都知道，在线性代数的学习过程中，线性方程组是一个核心内容，二有关于线性方程组在解题过程中的主要的答题方法和答题依据是矩阵和矩阵的初等变换。有的解题方法例如矩阵的初等变换这一阶梯方法，可以用在特征向量，向量空间的维数和基，还有就是矩阵的逆矩阵这一内容也可以用矩阵的初等变换这一方法。[2]所以，线性代数的学习是融会贯通的，教师在教学过程中和学生在学习的过程中都要注意好矩阵的初等变换这一内容的学习，掌握矩阵这一项主要的学习工具，这样才能在学习过程中可以游刃有余，可以找到解题的思路。

3 注重学生学习能力的培养

前面我们说过了。线性代数的学习需要很多的抽象能力，二线性代数的核心又在于行列式，行列式的学习就需要很高的抽象能力，学生在学习这一内容时，仅仅是凭借着公式死记硬背的套上去是不能够解决问题的，需要手和脑的一起使用，所以学生在进行基础概念的学习时，要灵活运用，注意要和题相结合，在解题的过程中自然而然的就学会了基础概念，才能对所学的知识进行全面深入的了解。因此，学生在对线性代数知识点的掌握时，可以包含以下几个基本点。

3.1 对学生学习和理解基本知识方面的能力进行加强

学生在学习之前必须要搞清楚概念，只有概念问题解决了，在解题过程中才不至于一头雾水，线性代数是一门概念问题非常多的一门学科，里面的解题思路也很复杂，所以要想学好这门学科，必须先要把概念搞清楚，概念不清楚，解题过程中就会一点思路也没有，即使题做出来了，也会事倍功半，达不到自己预期的效果。[3]线性代数里面包含的概念有关于解方阵的幂，有要求解逆矩阵以及解矩阵的秩，还有计算字母型和数字型的行列式等一些概念，这些概念说容易，只要学生搞清楚里面的关系，还有他们之间的逻辑性，按照规律循序渐进就可以很好地掌握，但是在掌握过程中，在一些抽象的地方还需要进一步的想象和理解。

3.2 强调知识点的转换与衔接

线性代数这门课的知识点是比较多的，但是我们上面已经提到，这些知识点与知识点之间的联系是比较紧密的，我们可以把这些知识点联系起来，构成一个知识体系，使知识点之间能够统筹起来，让自己的综合分析能力得到提高，从而提升自己的解题能力。我们在学习的过程中，要把知识点前后连接起来，形成一套完整的知识体系。从内容上看，这些知识点之间的联系是相当紧密的，有时候一个知识点的学习得使用之前的知识点进行连接贯通，，他们之间是相互渗透，纵横交错的，所以在解题的过程中也有很多的方法可以进行选择，这些都是灵活多变的，我们在学习过程中不能够只是用一种方法阶梯，这样会使效率变得很低，达不到自己的要求。尤其是在线性代数这门课的学习中，应该将其中知识点的转换与串联进行灵活掌握，这样才能在做题中快速的想到解题思路，提高做题速度，从而得到高分。[4]

3.3 叙述的表达能力需要锻炼，逻辑思维能力需要提高

学生在线性代数的学习过程中，一定会碰到很多的证明题，这些证明题在证明的过程中一定会遇到语言叙述方面的问题，不要小看这些文字叙述，他们在考察叙述能力和逻辑思维能力方面是很强的。在证明时，首先得把解题的思路想出来，至于怎样想的就需要对逻辑思维进行考察，当把解题思路想出来后，紧接着就是如何把自己的思路用简洁明了的话语叙述出来，这就用到了我们的叙述表达能力了。[5]所以在学习线性代数的时候，对于表达能力和逻辑能力是需要特别的能力的。学生在不断地证明一道题之后对于里面设计到的一些知识和概念也会随着做题量的增加而更加熟练更加游刃有余的。

4 结语

综上所述，高等数学在学习的过程中是有一定的难度的，在学习过程中也不是那么好掌握的，里面的错综复杂在学习的过程中学生们也可以体会出来，这就使得有些学生在做题时无从下手，对于这些数学题无可奈何，而将线性代数引入到高等数学的学习中我们可以相对容易的解决，可以说，它为高等数学代乐乐一股新的气流。[6]因此，在学习过程中，一定要灵活运用，将线性代数方法在解高等数学的题目时灵活的运用进去，使学生们在学习过程中可以提高自己的学习效率。

参考文献

[1]王峰，张庆丰.高等教学对相关基础课影响的数理统计分折[J].安阳工学院学报，2010（2）：85-87.

[2]尤晓袜.高等数学对关联基础课的相关牲影响[J].牡丹江教育学院学报，2009（3）：157-158.

[3]金莹.浅谈高等数学、线性代数知识在统计学中的应用[J].科技信息，2008（11）：211-212.

[4]李明泉.线性代数在高等数学中的一些应用[J].长春师范学院学报，2007（8）：27-30.

[5]李德成.线性代数方法在高等数学解题中的应用[J].华章，2013（3）：157.

浅析线性代数中初等变换方法的应用 篇7

1 基本定理

定理1 矩阵经过初等行 (列) 变换后, 其秩不变。

定理2 设α= (a1…an) 关于基ε1…εn的坐标为X= (x1…xn) 用矩阵表示成PX=α。因P可逆, 所以X=P-1α, 即:

定理3 设矩阵方程AX=B, 若A可逆, 则X=A-1B, 即:

推论1设矩阵方程XA=B, 若A可逆, 则X=BA-1, XΤ= (A-1) ΤBΤ, 即:

定理4 对A作一系列初等行变换, 同时作相应的初等列变换, 把A化为对角形B, 其初等列变换把单位阵化为变换阵P

则存在可逆变换X=PY, 将A对应的二次型化为标准型。

2 典型例题详解

例1 用初等变换法求矩阵的秩。

解先把第五行邻换到第一行:

所以r (A) =3。

注意:用初等变换把矩阵化为阶梯形或标准形, 则阶梯形中非零行数r就是矩阵的秩。

例2 求向量η= (1 2 1 1) 在基ε1= (111) 1, ε2= (1 1-1-1) , ε3= (1-1-11) , ε4= (121) 1下的坐标。

解令x1ε1+x2ε2+x3ε3+x4ε4=η即:

所以对增广矩阵进行如下变换:

例3求下列矩阵方程

即由可逆变换X=PY, 使得g=y12-y22+4 y32

3 结论

初等变换在线性代数中的应用非常广泛, 要真正掌握这种方法, 才能巧妙地运用其解决线性代数中有些运算复杂的问题, 起到事半功倍的效果。

参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 1987.

[2]杨家骐, 王卿文.高等代数在初等数学中的应用[M].济南:山东教育出版, 1992.

线性代数教学方法的几点体会 篇8

1要高度重视对比思想在教学过程中的作用

1.1行列式与矩阵概念间的对比

学生在学了行列式和矩阵这两部分内容后,经常把二者混淆使用,就是因为没有搞清楚各自的内涵。作为任课教师,可以使用对比的方法来帮助学生掌握这两个相互区别又紧密联系的概念。首先,二者记号约定不同;其次,二者形状不同,行列式要求行数与列数必须相同,但矩阵没有这一要求;最后,二者意义不同,行列式形式上是一个数表,本质上表示一个与这个数表相关的特定数值,而矩阵就是一个数表。

1.2行列式计算方法与矩阵初等变换间的对比

学生在学习行列式的计算方法之后,再学习矩阵的初等变换时,容易把行列式的计算方法和矩阵的初等行变换混淆理解使用。一方面,初学者会把初等行变换的三种变形方法和行列式的三种类似计算方法弄混,另一方面,初学者更容易把初等行变换的变形过程与行列式的计算过程混淆理解,进而把初等行变换的符合表示“~”与等号“=”混淆使用。针对这种情况,我们可以找到一个三种计算方法都会出现的行列式计算的例题和三种初等行变换都出现的矩阵初等行变换的例题,二者对照讲解,使学生明白矩阵初等行变换的三种变形方法与行列式的三个类似计算方法间的联系,进而明确行列式的计算本质上是数值计算,应该用等号“=”连接,而矩阵的初等行变换表示的是一种特定的变形关系,应该使用“~”连接,绝不应该使用等号“=”连接。

1.3矩阵的运算特点与实数的运算特点间的对比

当学生初学矩阵的加、减、数乘、乘法和矩阵的逆运算时,考虑到学生在初高中阶段对实数的加、减、乘、除的运算和运算特点能够准确理解和运用和线性空间的内容还没有讲授这两种情况,我们可以把矩阵的这些运算和运算特点对比实数的相关运算及其运算特点来引入和讲授。例如,讲授矩阵的加法、减法和数乘这三个运算和运算特点时,可以完全参照实数的加法、减法和乘法及其运算特点来讲授,而讲授矩阵的乘法和逆运算这两个运算和运算特点时,可以对比数1和数0在实数运算中的作用来明确单位矩阵和零矩阵在矩阵运算中的作用,进而明确实数运算和矩阵运算在这方面的联系与区别。

2合理运用现代化教学手段来提高教学效率

现代化教学手段是相对于传统的板书教学而言的,包括幻灯、投影、教学课件(包含声音、图像、视频、文本、动画等方式)、数学软件(Mathematica、matlab、maple等)等。合理运用现代化教学手段是教学改革的一个重要方面,教师在教学过程中合理运用这些现代化教学手段,可以丰富课堂教学,提高教学效率,提高学生的数学应用能力,增强学生的学习兴趣。

2.1与板书结合,合理使用多媒体课件

线性代数课程的讲授学时一般是32学时和48学时两种情形,任课教师和学生都觉得学时紧张,很大一部分原因在于单独使用“粉笔加黑板”的板书模式讲授线性代数课程时,容易出现冗长的黑板板书,占用了宝贵的时间,降低了效率。特别是遇到行列式的计算、矩阵的加、减、数乘和乘法运算和运用矩阵的初等变换解决计算问题时,上述问题特别突出。而这些内容恰好是多媒体课件的优势所在,我们可以通过多媒体课件以动画的形式生动形象且直观易懂地讲授这部分内容,既可以节约时间,还能提高教学效率。针对这部分内容,任课教师可以全部采用多媒体讲授,也可以采用“板书与多媒体”结合的方式讲授,关键节点处采用板书方式讲授,而中间过程采用多媒体方式讲授,往往效果很好。

2.2借助数学软件,通过数学实验,优化教学内容

任课教师在线性代数课程的教学过程中,可以精挑细选二个或三个数学实验内容,指导学生借助Matlab或者Mathematica等数学软件亲自动手设计来解决一些问题,从实践中去学习,改善学生的学习方式和学习过程,从而帮助学生在自主探索与合作交流的过程中理解和掌握数学知识和技能、数学思想与方法。现在的高等教育越来越重视学生创新能力和实践意识的培养,强调学生的素质教育,我们可以采用上述这种方式在线性代数课程的教学过程中来更好地培养学生这方面的能力。

3教学过程中,要注重与中学内容和高等数学内容的联系

线性代数内容与中学内容和高等等数学内容有许多结合点,如利用初等行变换求解线性方程组的方法与中学课程中的求解方程组的消元法的关系和克莱姆法则在隐函数求导中的应用等。任课教师可以围绕这些结合点来讲授线性代数相关的内容,完成知识的相互渗透,更好地培养学生的创新能力。

以上便是笔者在多年的教学实践中总结出来的一些心得,写出来与大家探讨,以求提高自身的业务素质和创新能力,使学生更好地掌握这门课程。

摘要：线性代数是高等学校理工科专业的必修课程,本文从课程的特点和学生的实际情况出发,结合自身的教学实践,在教学方法方面提出几点建议,便于学生更好地学习线性代数,以获得更好的教学效果。

关键词：线性代数,教学方法,效率

参考文献

[1]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]赵慧斌.问题驱动是线性代数有效的教学法之一[J].高等数学研究,2008(11):91-94.

线性代数的学习方法 篇9

关键词：线性代数,高等数学,应用

一、二次型理论的应用

线性代数中二次型理论是重点内容, 求二次函数的极值问题, 运用二次型理论解决二次函数极值问题。

定理:二次型f=x→T Ax→在‖x→‖=1时的最大值与最小值分别为矩阵A的最大特征值与最小特征值。

例1:求f (x, y, z) =5x2+5y2+5z2+4xy-8xz-4yz, 在实单位球面:x2+y2+z2=1的大小极值, 并且在大小极值状态下x, y, z的值?

解:由已知得, λ1 (x2+y2+z2) ≤f (x, y, z) ≤λ3 (x2+y2+z2) , 其中λ1, λ3是二次型f (x, y, z) 对应的矩阵A的大小特征极值。

二次型的矩阵是:

二、线性方程组知识的应用

把该式引入到上式得出关于f' (x) , f'' (x) , …, f (n-1) (x) , B的一个线性方程式:

得出系数行列式:

三、正交变换的应用

根据几何知识二次方程:

如果对空间二次曲面进行表现, 需要确定曲面的类型, 需要用到直角坐标消除交叉项, 由于正交变换能够夹角和长度进行保持, 因此最大的有点就是保持图形的不变。

例3:把二次曲面方程:3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz=1来作为标准方程, 对该方程表示的曲面进行明确指出。

解:记f (x, y, z) =3x2+5y2+5z2+4xy-4xz-10yz

二次型的矩阵为:

求|A-λE|= (-λ) (λ-2) (λ-11) 得出A的特征值:λ1=0, λ2=2, λ3=11, 各个特征值对应的单位特征向量是:

正交变换:

在这种情况下, 二次曲面方程化为标准方程2v2+11w2=1它表示椭圆柱面, 且该方程表示的几何图形与原方程一模一样。

参考文献

[1]李霞.代数方法在高等数学中的几个简单应用[J].科技视界, 2012 (17) .

[2]关秀翠, 周建华.线性代数与解析几何的第一堂课[J].教育教学论坛, 2012 (39) :76—78.

浅谈线性代数课程中的形象学习法 篇10

一、图形形象法, 直观生动

图像是形象直观教学的第一途径, 线性代数课程之所以令众多学生感到枯燥无味, 是由于其所含数学概念的繁多、琐碎性, 使得脑海中毫无头绪, 分不清哪儿跟哪儿, 更不要提怎么灵活应用了。其实, 纵观线性代数的整个知识体系, 不难发现其中有很多繁杂的概念结论, 都是有一定的规律可循的, 特别是与矩阵相关的一系列概念, 例如线性方程组的有解的条件, 向量组的线性相关性等等, 解决这些问题的关键就是概念中所关联的矩阵的性质, 而矩阵的性质与其外在形态直接相关, 故可以用图形描述不同的矩阵形态, 重塑矩阵与这些问题的内在关系, 直观生动[3]。

对于齐次线性方程组

其系数矩阵为A= (aij) m×n, 则

齐次线性方程组 (1) 仅有零解的充要条件是R (A) =r=n;有非零解的充要条件是R (A) =r<n。

特别地, 当齐次线性方程组的方程个数等于未知量个数, 即m=n时, 齐次线性方程组 (1) 的系数行列式存在, 齐次线性方程组 (1) 仅有零解的充要条件是A≠0;有非零解的充要条件是A=0。当齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数, 即m<n时, 齐次线性方程组 (1) 一定有非零解[4]。

将系数矩阵A看作一个矩形, 以矩阵行数, 即齐次线性方程组 (1) 的方程个数m为矩形的宽, 以矩阵列数, 即齐次线性方程组 (1) 的未知量个数n为矩形的长。则

当m=n时, 矩形成正方形, 此时系数矩阵A为方阵, 可用方阵的行列式判断齐次线性方程组 (1) 的解的情况。

当m<n时, 矩形成横长方形, 齐次线性方程组 (1) 一定有非零解。

当m>n时, 矩形成竖长方形, 只能用求系数矩阵A秩的方法来判断齐次线性方程组 (1) 解的情况。

为了更形象的描述这三种情形, 也可以分别将其取名为正方型、胖墩儿型、瘦长型, 如下所示:

将抽象的数学关系形象的反应为直观的图像表示, 有利于学生在心中建立起清晰的逻辑关系, 使原本枯燥无味, 容易混淆的数学概念在记忆中生动起来, 方便调取, 灵活应用, 何乐而不为。

二、逻辑形象法, 源自生活

向量组的线性相关性[4]是线性代数课程的重要部分, 这部分内容从矩阵承接下来, 经常给学生跳跃的感觉, 再加上概念抽象, 定理多而难以区分应用, 一直以来是学生的学习难点和多数教师的教学难点。因此在这部分知识讲解中, 关键之处在于将枯燥繁杂的概念深入浅出, 采用生活中的例子比拟概念之间的逻辑关系, 生动形象的表达给学生, 例如用人与人之间的认识关系比拟线性相关性[5], 起到了很不错的教学效果使学生发现原来看似深奥难以理解的概念定理与生活联系如此紧密, 从而有意识的去接受并灵活应用。

将线性相关、线性无关、线性表示与生活中的同姓关系联系起来, 则分别解释为:1) α1, α2, …, αm线性相关:α1, α2, …, αm存在同姓。2) α1, α2, …, αm线性无关:α1, α2, …, αm各不同姓。3) β可由α1, α2, …, αm线性表示:β至少与α1, α2, …, αm其中一个存在同姓 (β与α1, α2, …, αm存在同姓) 。4) β不可由α1, α2, …, αm线性表示:β与α1, α2, …, αm其中每一个都不同姓 (β与α1, α2, …, αm各不同姓) 。

则可以得到结论如下:1) 若α1, α2, …, αr存在同姓, 则α1, α2, …, αr, αr+1, …, αm也存在同姓。即:定理1 (部分相关则整体相关) 若α1, α2, …, αr线性相关, 则α1, α2, …, αr, αr+1, …, αm也线性相关。2) 若α1, α2, …, αr, αr+1, …, αm各不同姓, 则α1, α2, …, αr也各不同姓.即:定理2 (整体无关则部分无关) 若α1, α2, …, αr, αr+1, …, αm线性无关, 则α1, α2, …, αr也线性无关。3) α1, α2, …, αm (m≥2) 存在同姓的充要条件是其中至少有一个与其余m-1个存在同姓。即:定理3 (线性相关与线性表示的关系) 向量组α1, α2, …, αm (m≥2) 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。4) α1, α2, …, αm (m≥2) 各不同姓的充要条件是其中每一个向量都与其余m-1个向量各不同姓。即:定理4 (线性无关与线性表示的关系) 向量组α1, α2, …, αm (m≥2) 线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示。

线性代数的概念、定理、运算规律多, 所以不能去死记硬背, 即使能够记住, 也不一定能够准确应用。换个角度, 其实这些概念都是紧密联系着的, 一环套一环, 因此为了避免思维混乱, 可以在教学中运用图像形象法、逻辑形象法将他们形象表达出来, 不仅可以使学生感到数学中的趣味, 主动接受知识, 还可以培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

参考文献

[1]李小平.关于线性代数教学改革的一些思考[J].大学数学, 2011.

[2]雷淑慧.浅谈线性代数教学中抽象思维的形象化[J].魅力中国, 2013.

[3]张鹏鸽, 高淑萍, 马建荣等.几何直观在线性代数课堂教学中的应用[J].教育教学论坛, 2015.

[4]朱玉清.线性代数[M].北京:科学出版社, 2012.