对“质点系相对其质心动量矩”的分析

刚体的一般平面运动都可以看作由简单的平动与转动构成, 在动力学中, 描述刚体运动的物理量是动量与动量矩, 动量与动量矩是构成动量系的基本特征量[1]。动量是描述刚体平动的物理量, 动量矩则是描述刚体转动变化的物理量。两者结合起来, 才能全面表示质点系 (或刚体) 的运动状态。在教学中发现, 对动量的理解学生接受过程比较容易, 但是涉及到动量矩部分, 尤其是“质点系相对其质心动量矩”的概念及应用该概念进行解题, 学生理解困难、抽象, 解题思路不清晰。本文从不同角度分析和证明该概念的成立及适用条件, 从而为理论力学的教学提供一点参考。

1“质点系相对其质心动量矩”的概念

1.1 质点系相对其质心动量矩的定义[2]。如图1

1.1.1 质点系相对动点的动量矩

LD质点系对其动点的绝对动量矩

LD′质点系对其动点的相对动量矩

1.1.2 质点系相对于质心的动量矩

如果C为质心它对动点D的矢径为dC, 当动点D取为系统质心C时, 此时, dC=0, 因此, LC=LC′, 即质点系对其质心的绝对动量矩与相对动量矩相等。

以上分析可以知道:质点系相对任一动点的动量矩在表述形式上比较复杂, 其绝对动量矩包含对该动点相对动量矩及附加项“dC×mvD”。质点系相对其质心动量矩表述形式简单, 其绝对动量矩等于其相对动量矩。因此利用后者解题更能简化步骤, 思路清晰。

1.2 如何理解“质点系相对其质心动量矩”的绝对量等于其相对量

如图2, 作平面一般运动的刚体可以分解为质心的平动和随质心的转动。在质心C

处建立平移参考系x′y′z′, 由于x′y′z′始终与惯性参考系xyz平行, 故刚体的相对x′y′z′转动的角速度等于其绝对角速度[2]。

即LC=LC′=JCω (ω是绝对角速度)

LC是指质点系相对其质心绝对动量矩;LC′是指质点系相对其质心相对动量矩。

但在实际遇到问题时, 学生对这个结论理解比较模糊, 下面以刚体的运动来说明LC=LC′。

设LC=JCω, LC′=JCw′ (ω是指相对固定参考系的绝对角速度, ω′是指相对平移参考系的相对角速度) , 求证ω=ω′。在动力学问题中, 刚体系统分为单刚体和多刚体系统。

(1) 单刚体系统。

轮子的纯滚动或又滚又滑就是最典型的单刚体运动系统, 在每一瞬时, 其平面图形都具有唯一的角速度, 该角速度就是刚体围绕质心转动的绝对角速度, 也是相对在质心C处建立平移参考系x′y′z′的相对角速度。

(2) 多刚体系统。

如图3, 该系统为杆件与圆盘构成的多刚体系统。圆盘随OC杆转动, 同时还围绕其质心转动, 因此圆盘的绝对运动是两种转动的合成。

在图3a中, 将动系建立在OC杆上, OC做牵连运动, 轮围绕其质心做相对运动则得到:Va=Ve+Vr

此处P点是圆盘的瞬心。

在图3b中, 在C点处固结平移参考系, 可以理解为该参考平面的运动就是轮C平面图形的运动,

则得到:Vi=Vc+Vic

刚体上同一点绝对速度是唯一的, 因此, Va=Vi,

∴ω′=ωa, 由此证得LC=LC′

2 质点系对任意点的动量矩与对其质心动量矩的关系

VC是指质心的绝对速度;

rC是指质心相对任意点O的矢径。

该式描述:质点系对任意点的绝对动量矩等于质点系对其质心的绝对动量矩与质点系动量对该点的矩之矢量和。

3 应用“质点系相对其质心动量矩”求解质点系对某点的动量矩

3.1 确定任意点的范围

在这里应强调“任意点包含不动点或运动点”, 即该结论适用刚体对动点、定点或瞬时定点动量矩的求解问题。以轮子运动为例:

图4a, 轮子作纯滚动满足:VO=0, VC=ωR

图4b, 轮子作又滚又滑满足:VO≠0, VC>ωR

3.2 用“质点系相对其质心动量矩”求解不同运动的刚体对某点的动量矩

一般情况下我们应用“质点系相对其质心动量矩”概念求解平面运动的刚体对某点的动量矩, 该概念同样也适用刚体的简单运动。

当ω=0, VC≠0, 刚体做平动, 如图5a, 忽略摩擦不计, LO=rC×mVC;

当ω≠0, VC≠0, 刚体做平面运动, 如图5b, LO=LC+rC×mVC;

当ω≠0, VC=0或VC≠0 (刚体不绕质心转动) , 刚体做定轴转动, 如图5c;

当VC=0, LO=JOω (JO=JC+mR2) ;当VC≠0, 即定轴任意位置时, LO=LC+rC×mVC。

摘要：本文从不同角度分析了“质点系相对其质心动量矩”的概念, 得到ω=ω′。提出利用“质点系相对其质心动量矩”可以求解质点系对某一动点或定点的动量矩, 同时也提出该概念不仅适用复杂运动刚体对某点求解动量矩的问题, 而且适用简单运动的刚体。

关键词：刚体,动量矩,质心,绝对,相对

参考文献

[1] 武清玺, 冯奇.理论力学[M].北京:高等教育出版社.

[2] 洪嘉振, 杨长俊.理论力学 (第2版) [M].北京:高等教育出版社.

[3] 哈尔滨工业大学理论力学教研组.理论力学 (第5版) [M].北京:高等教育出版社.