数学八年级下勾股定理

第一篇：数学八年级下勾股定理

八年级数学元勾股定理教案

课题：《勾股定理》

张窝中学 马宏跃

一、教材分析：

1、 人民教育出版社出版，人民教育出版社中学数学室编著，九年义务教育八年级教科书《几何》，第三章第五单元《勾股定理》 2、本节内容在全书及章节的地位：《勾股定理》是初中数学知识中非常重要的一个定理，在此之前，学生已经知道直角三角形两个锐角互余，会解方程，本节内容是直角三角形边与边之间的关系，它会为学生将来学习解直角三角形，四边形，函数等知识作好准备。

二、教学目标

1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的，初步会用它进行有关的计算。

2、通过对勾股定理的应用，培养学生方程的思想和逻辑推理能力

3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神。

三、教学重点难点

重点是勾股定理的应用。难点是勾股定理的证明;

四、多媒体计算机

五、新授课

六、教学方法与学法

采用直观的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生、启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习约兴趣和学习的积极性。

八年级的学生形象思维较好，理性思维欠缺，教师需及时引导，帮助学生形成结论。

七、教学过程

(一)、激发学生兴趣，引人新课

请同学以组为单位，利用事先准备好的三角形(边长为a,b,c),拼成边长为a,b,c的正方形。

(二)定理的探求，证明及命名

1、探求定理，猜想结论

教师用计算机演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，通过平移、旋转，变动ΔABC的形状、大小，以改变a、b、c的长度。在此过程中始终计算a

2、b

2、c2请同学们观察a

2、b

2、c2之间的数量关系，得到猜想。 再演示非直角三角形的a

2、b

2、c2 之间不具备这样的关系，得到a2+b2=c2 是直角三角形所特有的性质。

请同学们用语言叙述猜想，并画图写出已知、求证。

2、定理的证明

目前世界上已有几百种勾股定理的证明方法，而我国古代数学家用割补、拼接图形计算面积的方法也有了很多种证法。

(1)

(2)

3、定理的命名

(1).约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里

.人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.同样，有 ,„„即

.所以我国称它为勾股定理. (2).西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580—前500年 )是古希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求了证明方法.

(三)定理的应用

例1在 Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c. (1) 已知a= 6，b=8，求c;你能求出哪些量? (2) a=40，c=41,求 b; (3) b=15 ，C=25求 a; (4) a:b=3:4,c=15,求b.

(四)深入探索

在 Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.已知a= 6，b=8，你能求出哪些量? “知二求一” (1)面积(2)周长(3)斜边上的高(4)斜边被高分成的两条线段的长„„ 例3 已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=4cm,求AB，BC的长 例4 如图，A=60，AB=60CM，CD=30CM，求BC，AD的长

(五)小结

(六)作业：习题3.9 4题 八 教学评价

本节课从学生的实际情况出发, 由浅入深,层层递进. 教学设计的说明：

依据《数学课程标准》，数学源于生活，从生活中构建数学模型，应用数学思维方式观察、分析、探索、发现规律，并应用其解决生活中的实际问题，培养学生的实践能力，使学生学有所值，且能学以致用。通过观察、动手操作、合作研究发现规律，并尝试用学到的方法解决生活中的实际问题，使内容首尾呼应，知识完整、培养应用意识实践能力。

第二篇：八年级数学-勾股定理的证明及拓展

八年级数学

勾股定理的证明及其延伸

1. 说明

勾股定理是数学中一个重要知识。虽然在教材章节内容中所占篇幅不多，在考试中也往往不会作为一个独立知识点进行命题，但其实其内容及方法常常包含在其他各类题目中，是问题解答过程中一个很重要的手段。所以学生对勾股定理要能够十分熟练地进行使用。本文对勾股定理进行证明及拓展，以使学生对其进行深刻理解。

2. 勾股定理的证明

命题：在直角三角形中，a、b为直角边长，c为斜边边长，则有abc。 勾股定理一个最简单的证明方法是使用图形证明法。如下图，我们使用4个同样大小的红色直角三角形(a、b为直角边长，c为斜边边长)拼出2个图形： 22

2图1和图2这两个蓝色正方形的面积是相等的(它们的边长都是a+b)，而4个红色直角三角形的面积也是相等的，所以2个图形中白色部分的面积也应该相等(都等于蓝色正方

形面积减去4个红色三角形的面积)。而左边图形中白色部分的面积是ab，右边图形中白色部分的面积是c，所以abc。

222222

3. 圆与三角形

在讨论勾股定理的延伸之前，我们先来看圆与三角形的关系。

如图3，以BC为直径做圆，圆心为BC的中点O。在圆上任取一点A，则三角形ABC为直角三角形，其中∠A=90°。

如图4，同样做圆。如果A点在圆外，则∠A为锐角。可以这样来证明：连接AO，和圆交与点D。容易得到∠BAC<∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A<90°。

如图5，同样做圆。如果A点在圆内，则∠A为钝角。可以这样来证明：连接OA，并延长和圆交与点D。容易得到∠BAC>∠BDC，而∠BDC=90°，故∠A>90°。

综合起来，我们可以得到如下命题：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果A在圆上，则∠A=90°;如果A在圆外，则∠A<90°;如果A在圆内，则∠A>90°。

注意，这个命题的逆命题也是成立的，即：

命题：在三角形ABC中，以BC为直径、BC的中心点为圆心做圆，如果∠A=90°，则A在圆上;如果∠A<90°，则A在圆外;如果∠A>90°，则A在圆内。

这个逆命题可以利用上面几副图用反证法很容易证得。

4. 勾股定理的延伸

现在，我们对勾股定理进行延伸，如下：

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边(c≥a、c≥b)，如果三角形为直角三角形，则abc;如果三角形为锐角三角形，则abc;如果三角形为钝角三角形，则abc。

请注意上面“c为最长边(c≥a、c≥b)”的条件限定。如果c不是最长边，那么必然是abc，这就不存在任何讨论的必要了。

下面我们来证明这一命题。对于直角三角形的情况，那就是勾股定理，前面我们已经证明了。现在只要证明锐角和钝角三角形的情况。

见下图，仍然如上一节那样，去最长边c为直径做圆(设这条边为BC)，那么直径所对应的∠A也会是三角形ABC中最大的角(大角对大边)。

222222222222从上节的讨论中，如果是锐角三角形，A必然在圆外，如图6所示。从A点做直径BC的垂线，交圆于D点。显然AB>BD、AC>DC，而BDDCBC，所以222AB2AC2BC2。

如果是钝角三角形，A必然在圆内，如图7所示。从A点做直径BC的垂线，反向延长交圆于D点。显然AB

命题：在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边(c≥a、c≥b)，如果222222a2b2c2，则三角形为直角三角形;如果a2b2c2，则三角形为锐角三角形;如果

a2b2c2，则三角形为钝角三角形。

5. 勾股定理的增强描述

综合以上的讨论，我们可以对勾股定理进行增强型的表述，如下：

在三角形中，a、b、c为其3条边长，其中c为最长边(c≥a、c≥b)，则三角形为直角三角形的充分必要条件是abc;三角形为锐角三角形的充分必要条件是222

a2b2c2;三角形为钝角三角形的充分必要条件是a2b2c2。

第三篇：人教版八年级数学 勾股定理说课稿

《勾股定理》的说课稿

尊敬的各位评委、各位教师：

你们好!今天我说课的课题是《勾股定理》。本课选自九年义务教育人教版八年级下册初中数学第十八章第一节的第一课时。

下面我从教学背景分析与处理、教学策略、教学流程等方面对本课的设计进行说明。

一、教学背景分析

1、教材分析

本节课是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，通过2002年国际数学家大会的会徽图案，引入勾股定理，进而探索直角三角形三边的数量关系，并应用它解决问题。学好本节不仅为下节勾股定理的逆定理打下良好基础，而且为今后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大。勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中一个非常重要的定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将数与形密切地联系起来，它有着丰富的历史背景，在理论上占有重要的地位。

2、学情分析

通过前面的学习，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过拼图来证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，因此，我采用直观教具、多媒体等手段，让学生动手、动口、动脑，化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣。

3、教学目标：

根据八年级学生的认知水平，依据新课程标准和教学大纲的要求，我制定了如下的教学目标：

知识与能力：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理;培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.

过程与方法：通过创设情境，导入新课，引导学生探索勾股定理，并应用它解决问题，运用了观察、演示、实验、操作等方法学习新知。

情感态度价值观：感受数学文化，激发学生学习的热情，体验合作学习成功的喜悦，渗透数形结合的思想。

4、教学重点、难点

通过分析可见，勾股定理是平面几何的重要定理，有着承上启下 的作用，在今后的生活实践中有着广泛应用。因此我确定本课的教学 重点为探索和证明勾股定理.

由于定理证明的关键是通过拼图，使学生利用面积相等对勾股定 理进行证明，而如何拼图，对学生来说有一定难度，为此我确定本课 的教学难点为用拼图的方法来证明勾股定理.

二、教材处理

根据学生情况，为有效培养学生能力，在教学过程中，以创设问题情境为先导，我运用了直观教具、多媒体等手段，激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性，并开展以探究活动为主的教学模式，边设疑，边讲解，边操作，边讨论，启发学生提出问题，分析问题，进而解决问题，以达到突出重点，攻破难点的目的。

三、教学策略

1、教法

“教必有法，而教无定法”，只有方法恰当，才会有效。根据本课内容特点和八年级学生思维活动特点，我采用了引导发现教学法，合作探究教学法，逐步渗透教学法和师生共研相结合的方法。

2、学法

“授人以鱼，不如授人以渔”，通过设计问题序列，引导学生主动探究新知，合作交流，体现学习的自主性，从不同层次发掘不同学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力的目的，发掘学生的创新精神。

3、教学手段

充分利用多媒体，提高教学效率，增大教学容量;通过动态的演示，激发学生学习兴趣，启迪学生思维的发展;通过直观教具，进行拼图实验，调动学生学习的积极性，培养学生思维的广阔性。

4、教学模式

根据新课标要求，要积极倡导自主、合作、探究的学习方式，我采用了创设情境——探究新知——反馈训练的教学模式，使学生获取知识，提高素质能力。

四、教学流程

(一)创设情境，引入新课

我利用多媒体课件，给学生出示2002年国际数学家大会的场面，通过观察会徽图案，提出问题：你见过这个图案吗?你听说过勾股定理吗?从现实生活中提出赵爽弦图，激发学生学习的热情和求知欲，同时为探索勾股定理提供背景材料，进而引出课题。

(二)引导学生，探究新知

1、初步感知定理：

活动1 这一环节我选择了教材的图片，讲述毕达哥拉斯到朋友家做客时发现用砖铺成的地面，其中含有直角三角形三边的数量关系，创设感知情境，提出问题：现在也请你观察，看看有什么发现?

教师配合演示，使问题更形象、具体。我又适当提供两个等腰直角三角形，它们的直角边长分别为10cm和20cm，然后我再请两位同学分别量出这两个等腰直角三角形的斜边的长，请同学们分析这两个等腰直角三角形三边长之间有怎样的等量关系，从而使学生再次感知发现的规律。

2、提出猜想：在活动1的基础上，学生已发现一些规律，进一步通过活动2进行看一看，填一填，想一想，议一议，做一做，让学生感受不只是等腰直角三角形才具有这样的性质，使学生由浅到深，由特殊到一般的提出问题,启发学生得出猜想，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这一环节我利用多媒体课件，给学生演示,生动、直观，不仅要使学生“知其然”，而且还要使学生“知其所以然”，从而启迪了学生的思维。

3、证明猜想：是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢?这就需要我们对一个一般的直角三角形进行证明.通过活动3，我充分引导学生利用直观教具，进行拼图实验，在动手操作中放手让学生思考、讨论、合作、交流，探究解决问题的多种方法，鼓励创新，小组竞赛，引入竞争，我参与讨论，与学生交流，获取信息，从而有针对性地引导学生进行证法的探究，使学生创造性地得出拼图的多种方法，我配以演示，如拼图

1、拼图

2、拼图3，并对学生的做法给予表扬，使学生在学习的过程中，感受到自我创造的快乐，从而分散了教学难点，发现了利用面积相等去证明勾股定理的方法。培养了学生的发散思维、一题多解和探究数学问题的能力。

4、总结定理：让学生自己总结定理，不完善之处由教师补充。在前面探究活动的基础上，学生很容易得出直角三角形的三边数量关系即勾股定理，培养了学生的语言表达能力和归纳概括能力。

5、勾股定理简介：

借助多媒体课件，通过介绍古代在勾股定理研究方面取得的成 就，感受数学文化，激发学生学习的热情，体会古人伟大的智慧。

(三)反馈训练，巩固新知

学生对所学的知识是否掌握了，达到了什么程度?为了检测学生对本课目标的达成情况和加强对学生能力的培养，我设计了一组有坡度的练习题：

A组动脑筋，想一想，是本节基础知识的理解和直接应用;B组求阴影部分的面积，建立了新旧知识的联系，培养学生综合运用知识的能力。C组议一议，是一道实际应用题型，给学生施展才智的机会，让学生独立思考后，讨论交流得出解决问题的方法，增强了数学来源于实践，反过来又作用于实践的应用意识，达到了学以致用的目的。

(四)归纳小结，深化新知

本节课你有哪些收获?你最感兴趣的地方是什么?你想进一步研究的的问题是什么?„„

通过小结，使学生进一步明确掌握教学目标，使知识成为体系。

(五)布置作业，拓展新知

让学生收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流.使本节知识得到拓展、延伸，培养了学生能力和思维的深刻性，让学生感受数学深厚的文化底蕴。

(六)板书设计，明确新知

这是我本节课的板书设计，它分为三块：一块是拼图方法，一块是勾股定理;一块是例题解析。它突出了重点，层次清楚，便于学生掌握，为获得知识服务。

五、教学效果预测

本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验勾股定理的探索和验证过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。

第四篇：2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试(1)

2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试(1)

一、选择题(共13小题)

1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(

)

A.48 B.60 C.76 D.80 2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(

)

A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理

3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(

)

A.10 B.11 C.12 D.13 4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(

) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4

C.a=2，b=4，c=5

D.a=3，b=4，c=5 5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(

) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，

，

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(

)

第1页(共20页)

A.5 B. C. D.5或

7.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(

) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (

)

A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(

)

A. B. C. D.

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(

)

A.2 B.4 C. D.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(

) A.只有1个 B.可以有2个

C.有2个以上，但有限 D.有无数个

12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(

) A.1 B.1或 C.1或

D.

或

第2页(共20页)

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(

)

A. B. C.2 D.

二、填空题(共15小题)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 .

15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 .

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S

1、S

2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= .

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .

第3页(共20页)

18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= .

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 .

20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 .

21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 cm.

22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .

第4页(共20页)

第14章 勾股定理

参考答案与试题解析

一、选择题(共13小题)

1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(

)

A.48 B.60 C.76 D.80 【考点】勾股定理;正方形的性质.

【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积.

【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE， =AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76. 故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(

)

第5页(共20页)

A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理 【考点】勾股定理的证明. 【专题】几何图形问题.

【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明. 【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理. 故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明.

3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(

)

A.10 B.11 C.12 D.13 【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长. 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△AEB是直角三角形， ∵D为AB中点，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE==12，

第6页(共20页)

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.

4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(

) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4

C.a=2，b=4，c=5

D.a=3，b=4，c=5 【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确. 故选D.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(

) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可.

【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误; B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误; C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误; D、12+(故选D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(

)

第7页(共20页)

，

)2=()2，能够组成直角三角形，故正确.

A.5 B. C. D.5或

【考点】勾股定理. 【专题】分类讨论.

【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析. 【解答】解：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5， (2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故选：D.

【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.

7.(2013•德宏州)设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(

) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3

，

【考点】勾股定理. 【专题】压轴题.

【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.

【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5， ∴a+b+2.5=6， ∴a+b=3.5，①

∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3， 故选D.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用.

8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (

)

第8页(共20页)

A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形.

【分析】首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可.

【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AC=20m， ∴AB=40m， ∴BC=故选：B.

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(

) =

=

=20

≈34.6(m)，

A. B. C. D.

【考点】勾股定理;菱形的性质;矩形的性质.

【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系. 【解答】解：∵四边形MBND是菱形，

第9页(共20页)

∴MD=MB.

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°.

设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，(x、y均为正数). 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=(2x﹣y)2， 解得x=y， ∴MD=MB=2x﹣y=y，

∴==.

故选：C.

【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理.解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(

)

A.2 B.4 C. D.

【考点】勾股定理.

【分析】连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解. 【解答】解：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F=×(6﹣2)•180°=120°， ∵AF=EF，

∴∠AEF=∠EAF=(180°﹣120°)=30°， ∴∠AEP=120°﹣30°=90°， AE=2×2cos30°=2×2×=

2，

第10页(共20页)

∵点P是ED的中点， ∴EP=×2=1， 在Rt△AEP中，AP=故选：C.

=

=

.

【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(

) A.只有1个 B.可以有2个

C.有2个以上，但有限 D.有无数个 【考点】勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【专题】分类讨论.

【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10;另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为.

所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是第二种是故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题.

第11页(共20页)

，解得x=5; ，解得x=

.所以可以有2个.

12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(

) A.1 B.1或 C.1或

D.

或

【考点】勾股定理;平行线之间的距离;等腰直角三角形. 【专题】压轴题.

【分析】如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC;等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离. 【解答】解：①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E， ∵CP∥AB，

∴∠PCD=∠CBA=45°， ∴四边形CDPE是正方形， 则CD=DP=PE=EC，

∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP， ∴AB=∴AP=; =，

，又AB=AP;所以，∴在直角△AEP中，(1+EC)2+EP2=AP2 ∴(1+DP)2+DP2=(解得，DP=

②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E， 同理可证，四边形CDPE是正方形， ∴CD=DP=PE=EC，

同理可得，在直角△AEP中，(EC﹣1)2+EP2=AP2， ∴(PD﹣1)2+PD2=(解得，PD=故选D.

第12页(共20页)

)2，

;

)2，

;

【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答;考查了学生的空间想象能力.

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(

)

A. B. C.2 D.

【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形. 【专题】计算题.

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可. 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.设AB=AD=x. 又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=x.

在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，

第13页(共20页)

∴BE=AB=x， ∴DF=AE==x，

在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x. 又∵BC=6，

∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6， 解得 x=2 ∴△ACD的面积是： AD•DF=x×故选：A.

x=

×22=

，

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形.解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度.

二、填空题(共15小题)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 (4，0) .

【考点】勾股定理;坐标与图形性质.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标.

【解答】解：∵点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8)， ∴AO=6，BO=8， ∴AB= =10，

第14页(共20页)

∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=10， ∴OC=AC﹣AO=4， ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为(4，0)， 故答案为：(4，0).

【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.

15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9

，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 6 .

【考点】勾股定理;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义.

【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解. 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2， ∴CA=CB=9，

∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=3，

∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6. 故答案为：6.

，

【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大.

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S

1、S

2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= 12 .

第15页(共20页)

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(KF﹣NF)2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12. 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF， ∴S1=(CG+DG)2 =CG2+DG2+2CG•DG =GF2+2CG•DG， S2=GF2，

S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF•NF，

∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12， 故答案是：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点.

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 .

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可. 【解答】解：∵AB=10，EF=2，

第16页(共20页)

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100，

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6. 故答案为：6.

【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值.

18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= 3 .

【考点】勾股定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长.

【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AD=BE=4， ∵AB=5， ∴AE=故答案为：3.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单.

=3，

第17页(共20页)

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 10 .

【考点】勾股定理.

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积.

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即S3=2+5+1+2=10. 故答案是：10.

【点评】本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积.

20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 2【考点】勾股定理. 【专题】计算题.

【分析】根据勾股定理列式计算即可得解. 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴AC=故答案为：2

.

=.

=2.

第18页(共20页)

【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观.

21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 4 cm.

【考点】勾股定理;矩形的性质.

【分析】设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的长.

【解答】解：设AB=x，则可得BC=10﹣x， ∵E是BC的中点， ∴BE=BC=，

)2=52，

，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+(解得：x=4. 即AB的长为4cm. 故答案为：4.

【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程.

22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .

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【考点】勾股定理的证明. 【专题】计算题.

【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求得(a+b)的值;则易求b：a. 【解答】解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13， ∴设大正方形的面积是13，边长为c， ∴c2=13， ∴a2+b2=c2=13， ∵直角三角形的面积是

=3，

又∵直角三角形的面积是ab=3， ∴ab=6，

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25， ∴a+b=5.

∵小正方形的面积为(b﹣a)2=1， ∴b=3，a=2， ∴=. 故答案是：.

【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.

第20页(共20页)

第五篇：八年级数学下册：17.2勾股定理逆定理（1）习题

八年级数学课题：17.2勾股定理逆定理(1)

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是(

)

A.5，6，7

B.1，4，9

C.5，12，13

D.5，11，12

2、若一个三角形三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是(

)

A.42

B.52

C.7

D.52或7

3、△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是(

)

A.如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。

B.如果，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

C.如果(c+a)(c-a)=，则△ABC是直角三角形。

D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。

4、三角形的三边长为,则这个三角形是(

)

A.

等边三角形;

B.

钝角三角形;

C.

直角三角形;

D.

锐角三角形.

5、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是(

)

A、a=9，b=41，c=40

B、a=b=5，c=

C、a∶b∶c=3∶4∶5

D、

a=11，b=12，c=15

6、分别以下列五组数为一个三角形的边长：6，8，10

13，5，12

1，2，3

9，40，41

32，42，52。其中能构成直角三角形的有_______________.

7、已知

,则由此a，b，c为三边的三角形是

三角形.

8、命题“全等三角形的对应角相等”

(1)它的逆命题是

。

(2)这个逆命题正确吗?

。

(3)如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。

9、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________，能构成直角三角形的是____________.(填序号)

①3，4，5

②

1，3，4

③

4，4，6

④

6，8，10

⑤

5，7，2

⑥

13，5，12

⑦

7，25，24

10、如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形吗?

11、判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a=15,

b=8,

c=17.

(2)a=13,

b=14,

c=15.

12、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形?并指出那一个角是直角?

⑴a=，b=，c=;

⑵a=5，b=7，c=9;

⑶a=2，b=，c=;

⑷a=5，b=，c=1。

(5)a=5k，b=12k，c=13k(k>0)。

13、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1)求证：∠C=90°。

14、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

15、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米?此三角形的形状为?