小学数学教师的读后感

第一篇：小学数学教师的读后感

《小学数学教师评语运用》的读后感

《小学教学研究》有篇文章题目是：《小学数学教师评语运用的反思》，读后感觉小学数学教师的评语是很有效的一个小学数学教育渠道与方法。

一直以来，数学教师对学生数学作业的批改，习惯于用“√”、“×”来评判正确下错误，有的教师则直接用一条斜线将错误的答案划掉，而正确的答案连√也懒得打。如何通过作业的评语，更好地提高学生学习兴趣，发挥主体能动性?文中做法值得一读：

1.引导性评语

当学生作业中出现审题、计算、观察、分析、判断等方面的错误时，教师可以利用“眉批”进行方法引导，如：“先找数量关系式”、“利用逆推方法试试看”、“第二步该干什么”等评语引导学生思考的路线。学生在老师的提示下完成思考、改正。

2. 奖励性评语

教师要善于发现学生的闪光点，以鼓励的语气调动他们的积极性，如：“方法太好了，可要细心呀!”、“你肯定有高招，因为你是我的骄傲”、“你的进步很大，因为你付出劳动”、“看到你在进步，我我万分高兴，希望你更上一层楼。”这种带有感情色彩的评语使学生感受到了老师对他的关爱。

3. 拓宽学生思路的评语

利用评语适当给予启发，激活创新意识。如：“解得巧，真聪明”、“还有更好的解法吗?”、“爱动脑筋的你肯定还有高招!”这样的评语激发学生的创新意识，使学生开启心灵，驰骋想象。

4. 养成好的学习习惯的评语

老师对学生的作业书写格式以及算理过程要严格把关，这些是体现良好学习习惯的外在标准。及时用恰当的评语指出作业中的不足之处，能使学生很快加以改正。如：“你很聪明，如果字再写得好一点那就更好了!”、“结果正确，但格式正确吗?”、“聪明的你，一定能发现简便方法!”、“和细心交朋友!”“你的字写得真漂亮，要是能提高正确率，那肯定是最棒的!”、“再细心些，准行”!„„

总之，在数学作业批改中，教师要灵活科学使用评语，因为它是师生间交流沟通的桥梁。

麻倩倩

第二篇：优秀小学数学教师一定要知道的7件事》读后感

《优秀小学数学教师一定要知道的7件事》读后感 在寒假里，我读了《优秀小学数学教师一定要知道的7件事》这本书，使我受益匪浅。这本书文笔清新，文风朴实无华。范存丽老师以一位教研员的独特视角，对优秀小学数学教师的素养娓娓道来，深深地打动着我，让我有了更多的感悟与反思。

第一、我们的学生到底喜欢什么样的数学教师?我们的家长究竟喜欢什么样的数学教师呢?从当老师开始，我一直在思考着，遗憾的是我没有细致的调查过，也就是说，我没有真正走进学生和家长的心里。书中范老师总结了不受学生欢迎的学生的几个特征，有一点很值得我思考：严厉的、严肃的、老生气的、拖堂的、粗鲁的、随便的、爱嚷嚷的教师。反思我自己：对学生负责任，认真讲课，作业少;真心爱学生，宽容，公平„„这些我都做得很好，但课堂上的我有些严肃，偶尔拖1分钟，作业要求严格;我应该是属于不受学生欢迎的老师了。这一点提示我，今后要努力做到：每天都高高兴兴地去上课，高高兴兴地下课。同时，要丰富自己的知识，与学生融洽相处。

第二、范老师提到“爱学生、爱职业、爱生活、爱思考、爱学习”是一个优秀数学教师的前提。特级教师徐斌说：我的确愿做一个思考的行者，在实践的土壤里，在审视自己的过程中，不断学习反思，不断完善自我，超越自我。在教学实践中，备课、上课、作业批改、课外辅导之后;每一次师生交流之后;每一次成功与失败之后„„我们又思考过多少?静下心来定位我自己，我觉得“思考”二字做得很浮浅，在以后的工作中我会不断总结过去，剖析自己，将本着“勤学、善思、实干”的准则，使自己在反思中成长。

第三、要激发学生的数学学习兴趣，用数学的内在魅力打动学生是最重要的。课标中指出，数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。现实和有意义必将使学生认为数学有用，而富有挑战性就使得很多学生认为数范老师让学生在“玩”中学数学，她说在“玩”中教数学、学数学是学生体验数学、喜欢上数学的好办法。让孩子看到的数学不仅仅是一张严肃的面孔。课堂上的我们又是怎样做的呢?面对自己的教学，只能说是认认真真和扎扎实实，根本谈不上什么是“精彩”，更无从谈得上“魅力”。正视自己，我会不断学习，精心设计每一堂课，把数学与生活联系起来，让学生在轻松快乐中尝试数学中无穷的乐趣，领略到数学的内在魅力!

我觉得，读这本书，让我学会了思考，使我勇于对自己的教育教学作出反省，正视自己的不足，努力探究补救的途径，从中提炼出可供借鉴的精华，为自己教学能力提高导航。在这本书中有这样一句话：“好教师和差教师的区别不在于他们懂得多少，而在于他们如何行动”。这句话时时刻刻在鞭策着我，做一名不平庸的教师，就从这一刻行动起来吧。

第三篇：小学数学教师读后感

《小学数学教师》读后反思

反映先进的教育思想、教育理论，反映最新的学科知识发展动态、教育教学改革实践和研究成果，反映现代教育技术和先进教学方法，在确保科学性的前提下，进一步突出了教材内容的针对性、实效性、先进性和时代性。特别是书中对小学数学教学过程评价的部分，使我对课堂教学与评价有了新的思考。上学期四年级刚教完后接回一年级，感到应用题教学至关重要。一看到《小学数学教师》中“应用题教学研究”这篇报告感触良多。

1、在小学教学应用题时采用目前流行的“分类型、给结语、给解题模式”的教法所产生的弊端和给学生造成的损害。这种损害在小学阶段虽然不十分明显，但是已经看到一些，到了中学就更清楚地显示出来。因而问题也就更为严重。这说明采用目前流行的教法，在小学没有真正给中学学习打好数学基础，相反地给进一步学习造成了障碍。学生没有掌握数学基础知识，靠死记硬套公式，是无法进一步学好数学的。这一点很值得我们深思，并加以改进。

2、紧密联系乘法的意义，加强用方程解应用题，不仅有利于掌握乘除法应用题的解题方法，提高解题能力，而且有利于中小学的衔接。从而也进一步说明，按照现行教材中对应用题教学的处理方法进行教学，基本上是可行的，不需要另外补充什么结语和解题公式。关键在于紧密联系分数乘法的意义，加强应用题之间的联系，指导学生具体分析题里的数量关系，根据已知未知的不同确定解法。实际上有不少教师是按教材的精神教的，收到较好的效果。当然现行教材也还

有值得改进的地方，进一步加强应用题之间的联系，加强方程解法。

3、引人深思的是，在肯定十几年来小学数学教学质量有很大提高的同时，也要看到确实还存在不少教法死板的问题，乘除法应用题只是其中之一。值得注意的是，应用题教法死板的问题很早就提出来了，《小学数学教师》连续几年讨论了数学教学要灵活的问题。但是应用题教学中的教法死板的问题依然存在。这正说明小学数学教学改革还需要深入开展。如果不彻底改变教育思想和教学方法，就不能提高民族素质，培养出大量的适应新时代需要的新型人才。要提高民族素质，一方面是提高思想道德素质，另一方面是提高科学文化素质。而提高科学文化素质，不仅是使学生具有一定的科学文化知识，还应使学生的能力得到发展，具有勇于思考、勇于探索、勇于创新的精神。就是适应社会主义现代化要求，针对小学数学教学中存在的问题而提出的。我们要完成小学数学教学的任务，必须不断改革教学方法，特别要加强能力的培养，做有利于提高民族素质的工作。

课堂教学是由教师、学生、教材、手段一组实体要素与教学思想、教学方式一组非实体要素按特定目的组成的多因素的动态复杂系统。在这个系统中，各要素相互作用又相互制约。因此，教学方法的选择要根据教学目标、教材特点、课的类型、学生实际和学校条件，灵活地、综合地选择各种不同的教学途径、教学方式和教学手段。以调动全体学生学习的积极性，让学生经历获取知识的思维过程，掌握思维方法，发展思维能力。

学生的学习是认知和情感的结合，每一个学生都渴望成功，这

是学生的心理共性。成功是一种巨大的情绪力量，它能使学生产生主动求知的心理冲击，因此，教师在课堂教学中，要为各类学生提供表现自我的机会，不失时机为他们走向成功搭桥铺路，想方设法使他们获得成功。比如回答问题的时候，针对不同的学生可以采取不同的做法：对于综合性比较强、比较灵活的问题，可以请学习成绩比较好的同学来回答;对于一般性的问题，可以请学习成绩中等的同学来回答;对于比较简单的问题，可以请暂时学习有一定困难的同学来回答。这样所回答的问题与他们的实际情况相符，回答的正确率就高一些，他们获得成功的机会就多一些，他们的成就感就强一些，他们学习数学的兴趣就浓一些。

在数学教学中，练习设计是极其重要的内容。练习是学生获取知识，形成技能，发展智力的重要手段。低年级学生对于大量的枯燥的口算、笔算不感兴趣，甚至产生厌倦心理，学习处于被动状态。如果把练习内容寓于游戏之中，就能帮助他们从厌倦的情绪中解放出来，唤起他们主动参与练习的激情，收到事半功倍的效果，并从中体验成功的喜悦，唤起儿童兴致盎然地再一次追求成功的心向。因而在教学实践中，创造和设计了很多新颖有趣的游戏与竞赛活动，如找朋友、夺红旗、对口令、小猫钓鱼、小动物找家等等，把枯燥乏味的计算练习变成丰富多彩的游戏与竞赛活动，学生兴趣浓、情绪高、思维或、反应快，在“玩”、“乐”中获取知识，增长智慧。教学方法的运用是全方位的，贯穿于整个教学活动过程中，还要在教学实践中去探讨运用，爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”培养学生学习数学的浓

厚兴趣，可以使学生自觉主动地学习数学。

总之：我们作为教育的一线工作者更是应该多研究一些教学心得，把自己的教学感觉写出来，同大家共同探讨教材的有效的教学方法。

砺志实验小学 张雨

第四篇：小学数学教师读后感

徐时旺

喜欢读书是我学生时代的一大“嗜好”，徜佯在书的世界里，真得让人有一种忘我的感觉。成家之后喜欢读得书由一些哲理书、励志书，转为一些家教之类的书，从家教一类的书中我知道了阅读对于孩子的重要，因此我常常和儿子同读一本书，并和他交流一些他容易懂的感受，对于阅读的情有独钟也影响到我教学中，尽管我是一名数学教师，但我经常提倡孩子们多读书，开阔自己的视野。

对于读书我觉得首先教师必须树立正确的读书观。读书的目的是促进自己专业的发展，提高自己的理论水平，有效地指导自己的教育教学实践。有了这样的思想，便了有读书的动力。其次，围绕自己的专业发展去读书。如今我们特别强调实施新课程改革，在这样大的教育改革背景下，必须多方面地学习新课程改革理论，从而把握新课程改革的基本精神和实质，这是有效实施新课程改革的大前提。

俗话说：“一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴”、“知识就是力量，”多学些知识是永远不会错的。自从走上了三尺讲台之后，由于这职业的原因，我更加喜欢看书、看报，并逐渐对教育书刊有所涉猎，其中我最喜欢《小学数学教师》。

在我的心目中，《小学数学教师》就是我的良师。我和它的相识源于我实习时候的师傅老师，她订书了这本书，看得很投入，便推荐给我看。书中的一些新的教育信息、新的教育理念、新的教育教学方法，对我今后的教学帮助很大……

做为一名小学数学教师，我更加希望能在教学方面得到一些切实具体的帮助，《小学数学教师》将怎样处理教材难点，怎样设计创造性教学方案等都为我们想到了。《小学数学教师》不仅有吸引人的故事，闪光的教育思想，精妙的育人艺术，还让我认识和了解到教育界的精英人物及他们先进的教育理念，从他们的教学中学习先进的教育手段，慢慢运用到自己的教学工作中。

《小学数学教师》滋润了无数数学教师的茁壮成长，也为许许多多的青年数学教师架起了走向成功的桥梁，是培育教师成长的摇篮。她的风格十分朴素平实。她的百家讲坛特吸引人，教学点评忠恳，教案设计新颖，教学随笔精致。她贴近教改前沿，是小学数学教改的冲锋号。

据了解，《小学数学教师》滋润了无数数学教师的茁壮成长，也为许许多多的青年数学教师架起了走向成功的桥梁，是培育教师成长的摇篮。她的风格十分朴素平实。务实、朴实、平实是其魅力的源泉。朴素、精致、人文是其独具的特点。她的教学点评中，教案设计新颖，教学随笔精致。她贴近教改前沿，是小学数学教改的冲锋号。

在轰轰烈烈的教改之风中，《小学数学教师》宣扬对学生做为“人”的尊重;宣扬对学生生命的唤醒与赏识;宣扬人格平等基础上的情感交流;教育我们用心灵感受心灵，用生命点燃生命，用智慧开启智慧。

因此，每当我竭尽所能地传授知识给学生却看到学生似懂非懂的目光时，我都能从《小学数学教师》中再次找寻到信心的起点;每当遇到教学中我自己也弄不太清、搞不太懂的知识时，《小学数学教师》为我解决了燃眉之急;每当我想在教学上有所突破、有所创新时，都是《小学数学教师》为我导航，让我有所创想，寻到教学的“亮点”……

“一分耕耘，一分收获，”我一直坚信多读一些好书，一定会有许多意外收获，在这人生的黄金时间，我想我会一如继往地多读好书，在书的海洋中扬帆远航。

第五篇：感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们

感受小学数学思想的力量

———写给小学数学教师们

作者:张景中小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。  函数思想最重要

最重要的,首推函数的思想。比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。

在中学里学习函数概念,只讲一元函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。

当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。

比如学乘法,九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。

做除法要试商。80除以13,商是多少?试商5余15,不够;试商6余2,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程,就是调整函数的自变量,使函数值满足一定条件的过程。

小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来求解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。

例如,修一条长32千米的公路,已经修了24千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍,剩下的是24千米,总长48千米,比题设数据大了;如果是

2倍呢,剩下的是12千米,总长36千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长32千米,正好符合要求。

我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个笨办法。其实,这个办法具有一般性,把试解的倍数看成自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要求的自变量,这个思路能解决很多问题,是“大智若愚”。

这样思考试算,最终也会发现具体的规律, 列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看成函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。

 “数形结合”在小学是可能的

数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式,甚至于一般关系的形式和一般形式的关系,等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。

提到数形结合,往往觉得是解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。

在数学当中,几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念,最初都是从几何中来的。所以有人说,几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。

例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候,就要学生用“1”来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说,这样不行,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的例子,这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样,在学习“2”的时候,我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段,只要画一条线段,指出两头是端点。到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学“3”的时候,可以画一个三角形,让

学生说“三角形有3条边、3个顶点”;学“4”的时候,可以画一个正方形,让学生说“正方形有4条边、4个顶点”;学“5”的时候,可以画个五角星;认识“10”的时候,除了10个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(图1); 学到100以内的数,就可以告诉学生正方形的角是90度,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。

在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是也并非没有可取之处。学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。

总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。

形与数的结合,还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美,美国数学教育家克莱因有过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段,可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子,这里有一些美丽的图案(图2)你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

这条曲线其实很简单,如图3,用“超级画板” 软件画一个圆,圆上取3点A、B、C,在弦AB上取点G,再在线段CG上取点H,利用软件的轨迹作图功能,作出3点A、B、C在圆周上运动时点H的轨迹,并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分,做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置,就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件,让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中,数学之美会渗入幼小的心灵。

一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件,孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天,就不想上网打游戏了。不到一个星期,就对超级画板上了瘾,很快学会了从屏幕上截取图片,把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。

数形结合的思想,不仅是上面这些简单的例子,下面还会谈到。

 寓理于算的思想容易被忽视

小学里主要学计算,不讲推理。但是,计算和推理是相通的。

中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法,不像古希腊讲究推理论证。但是,计算要有方法,这方法里就体现了推理,即寓理于算的思想。

数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子,让学生慢慢体会到所谓推理,本来是计算;到了熟能生巧的程度,计算过程可以省略了,还可以得到同样的结果,就成了推理了。有的人认为几何推理很难,学几何一定要先学实验几何。其实,实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理,后期学会推理时也需要实验。所谓实验,无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题,实际上就是通过一个算式证出来的,这里的推理证明就是计算。

要把计算提升为推理,就要用一般的文字代替特殊的数字,再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候,不妨告诉学生,这个公式可以用字母表示成M=C×K。这里用了面积、长、宽的汉语拼音,学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h,而b边上的高为g,根据三角形面积公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,则h=g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等,则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是!5分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。

小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”,“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”,“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。

人们以前认为三角函数是非常难学的,是高等数学的内容。它既不是加减乘除,又不是开方,它是超越函数。在数学史上,函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函

数都是算术运算的结果,就算没有函数的概念,学生也是比较容易理解的。三角函数则不然,一定要有“对应”的概念,函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年,我在新疆教过中学,那时发现学生学习三角比较困难,就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》,1997,中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现,三角不但可以变得很初等、很容易,而且可以成为初中数学的一条主线,把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《数学通报》,2007年1-2期)。张奠宙先生说,按我的这种思路,三角里的正弦函数,可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法,作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章:

矩形用单位正方形去度量,结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形,同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积,再乘上单位菱形面积的因子”,原理完全相同。一个明显的事实是:单位正方形压扁了,成为单位菱形,两者的区别在于角A。A是直角,面积为1,A不是直角,面积就要打折扣。这个折扣是一个小数,和A有关,记作sinA(图5)。

张奠宙先生还说:“如果能从小学就学sinA,当然是一次解放。”

我们看到,数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质,就能把难的变成容易的,把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”,变得“孩子们都容易理解”。

不考虑矩形面积公式,不用单位菱形,也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问,一个等腰直角三角形,如果腰长为1,面积是多少呢?学生容易回答,是0.5。进一步探索,如果这个等腰三角形的顶角不是90度,比如是60度,它的面积是多少呢?学生从图上会看到,90度变成60度,面积会变小,要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家,这个折扣的更精确的数值,可以在计算器或计算机上查出来,它叫做sin(60?/SPAN>),约等于0.8667,这就引进了正弦函数。知道了正弦函数,就能解决许多实际的几何问题。如果问,这个0.8667怎么得来的,就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识,更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

这里,既有数形结合,又有寓理于算,还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题,它给学生留下很大的思考空间,会使学生长远获益。

陈省身先生说过,数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说,方程就是好的数学。

函数的思想、形数结合的思想、寓理于算的思想,都属于好的数学。这些思想是可以早期渗透的。早期渗透是引而不发,是通过具体问题来体现这些思想。比如引进了sinA,用这个概念解决几个看来很困难的问题(参看前引文章和书),学生会惊奇,为何能如此简捷地解决问题?学下去,过三年五年,他就体会到,是数学思想的力量。