抛物线定义和标准方程

抛物线定义和标准方程（精选6篇）

篇1：抛物线定义和标准方程

1.目标和目标解析

(1)知识目标：

理解并掌握抛物线的定义及其标准方程;会求抛物线的标准方程。

(2)能力目标：

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

2.教学问题诊断

坐标法求抛物线的标准方程是本节课的重点和难点。通过合作交流，探究不同的建系方案，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性，进一步感受坐标法的思想。在推导抛物线四种形式的标准方程的过程中，理解焦参数 的几何意义;能根据条件求出抛物线的标准方程;会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程.根据以上教学内容及要求，拟定教学重、难点如下

(1)教学重点：抛物线的定义及其标准方程。

(2)教学难点：抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导

3.教学支持条件分析

新课程大力倡导积极主动、勇于探索的学习方式，为的是使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展学生的创新意识。在本节课中，将通过适当的问题情景，在“实验”、“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动中，引导学生自己发现问题、提出问题、解决问题。课堂上真正以学生发展为本，鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与;鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途经，使他们经历知识形成的过程。最大限度地让学生在活动中学习，在主动中发展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中创新，并达成教与学的互促互动、相得益彰的良性循环的最优局面。

教学方法：启导探究式

教学用具：多媒体课件

4.教学过程设计

(1)设置情景，引发探究

①课件演示：用几何画板设置一个直观性问题情景，已知F是平面上一个定点， 是平面上不过点F的一条定直线，点M到定点F的距离和到定直线 的距离的比是一个常数e，改变这两个距离大小的关系(即常数e的大小)，观察动点M的轨迹。

②学生观察 ：两个距离大小的变化;并追踪：动点M得到的轨迹形状。然后记下实验追踪结果。

③学生交流：当o1时是双曲线。

④引发探究：进而引发探究欲望：当e=1时，它又是什么曲线呢?

设计意图：数学教学需要一定问题情景的支撑，恰当的问题情景能

激起学生的情感体验，有利于学生学习兴趣的激发，也有利于学生良好数学观的形成。因此，在教学中，应力求通过恰当问题情景的创设，让学生产生积极的学习心态，在具体的情景中实现知识的学习。上述教学设计通过信息技术设置一个直观性问题情景，激发了学生探究的欲望，这时学生自然地产生了探究当动点到一定点距离与定直线距离相等(即 )时点的轨迹到底是什么的强烈愿望。让学生在“观察”、“思考”、“探究”等活动中，自己发现问题、提出问题。

(2)观察归纳，形成定义

①观察：当e=1时，曲线上的动点满足怎样几何特征?让学生通过独立思考和互相讨论，并交流看法。针对学生的回答进行引导，把学生的思维一步步引入发现规律的最近区域，最终使得学生发现：曲线上的点到定点的距离和到一条定直线的距离相等。

②归纳：抛物线的定义

要求学生用自己的语言描述什么样的曲线是抛物线。规范学生的语言描述，提出抛物线定义的书面文字。

定义：平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。强调定义的中心句和关键词(让学生自己找出)。并与椭圆、双曲线的定义进行比较。

③反思：在抛物线定义中，要注意定点F不在定直线 上。 若定点F在定直线 上，则动点的轨迹又是什么图形呢?(此时退化为过F点且与直线 垂直的一条直线)。

④欣赏：让同学们说一说生活中有哪些图形是抛物线。然后教师用幻灯片播放一些典型的抛物线型标志性建筑，如中国的赵州桥，世界第一大拱桥——卢浦大桥、北京奥运会主场馆的拱顶、夜色下喷水池喷出的彩色水流等，让学生欣赏审美，陶冶情操，激发兴趣。

设计意图：由上述直观性问题情景引出了抛物线定义，顺理成章。教学中处处注重师生之间的互动，注重学生观察、比较、分析、概括能力的培养，注重反思环节的落实。通过学生亲身实践、主动思维，让学生在实践中得到体验，在反思中产生感悟，使学生学会思考并养成自主学习、勇于探索的良好习惯。通过让学生动口参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力;同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

(3)合作交流，导出方程

①类比：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程(用屏幕显示图形)，让学生认真捉摸坐标系的位置特点，感悟求抛物线的方程应建立怎样的直角坐标系最好(力求使其方程形式最简单)。也可以帮助学生回顾初中二次函数图象的平移变化，从而感悟到要得到抛物线的最简方程，必须使图象过坐标原点(可使常数项为零);使图象的对称轴为x轴(或y轴)(可使方程中不含y(或x)的一次项)。

②合作：师生合作共同推导抛物线的标准方程

请学生将自己的感悟画在纸板上。学生分两人一组互相讨论，老师展示几组学生的建系方案，一一作出评价。

选择正确的一个建系方案师生一起探究抛物线方程的建立。

如推导焦点F在x轴正半轴上的抛物线标准方程。

设焦点F在x轴的正半轴上，焦点F到准线L的垂线段FN的垂直平分线为y轴，设|FN|=p。

请学生口头叙述焦点F的坐标和准线L的方程。

师生共同推导出抛物线方程：y2=2px(p>0)

指出这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示焦点F 在x轴正半

轴上，顶点在原点的抛物线, 其准线为

③反思：建系方案的合理性。

在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系。这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

④探究：抛物线的标准方程的其它形式

在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程。那么抛物线的标准方程还有哪些不同形式?

让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格

再反思：抛物线四种形式的标准方程与图形间的对应关系及它们之间的内在联系。从前面求椭圆、双曲线、抛物线标准方程的过程中，你是否深刻感悟到：求轨迹方程时，如何才能建立适当的坐标系?

设计意图：教学过程是师生互相交流、共同参与的过程。数学通过交流，才能得以深入发展，数学思想才能变得更加清晰;通过多边合作，又可以增强学生的合作能力与群体创造意识。教学中，只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究抛物线标准方程时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统。

(4)练习反馈，巩固提高

①会根据抛物线的标准方程，求出焦点坐标、准线方程

例1 已知抛物线的.标准方程是 , 求它的焦点坐标和准线方程(教材例1之(1))。

变式：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

⑴; ⑵ ;

感悟：你能说明二次函数 的图象为什么是抛物线吗?如何才能正确地求出它的焦点坐标、准线方程?

②能根据条件求出抛物线的标准方程

例2 已知抛物线的焦点是F ，求它的标准方程(教材例1之(2)) 。

变式：已知抛物线的焦点F到准线L的距离为4。根据下列条件求此抛物线的标准方程。

(1)若焦点F在y轴正半轴上;

(2)若焦点F在y轴上;

(3)若焦点F在x轴上;

(4)若焦点F在坐标轴上。

(5)焦点在直线 上(均由学生口答)

感悟：

①求给定抛物线的标准方程的基本方法是：待定系数法。关键是

定轴向——求p值——写方程。(若开口方向不定，则要注意分类讨论的思想。)

②在认识事物的过程中，我们不仅要善于从一些不同的事物中去发现它们的共同点，还要善于从一些相似的事物中去发现它们的不同点。

设计意图：以课本例题为本，通过变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程。

(5)自我总结，提炼升华

让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：

①抛物线的定义(其本质属性);

②抛物线的标准方程(注意四种形式的异同);

③求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法。关键是：定轴向——求p值——写方程。

设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成。

5.目标检测设计

(1)书面作业：A组1(2)、(4);4(1)(2)(必做)

补充：求经过点p(4，-2)的抛物线的标准方程。(选做)

(2)课后探究：

① 的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件。你能说出焦参数 对抛物线的开口大小有什么影响吗?

②同学们在初中学习过二次函数，为什么二次函数 的图象是抛物线?

设计意图：为体现以学生发展为本的理念，使不同学生在数学上获得不同的发展，本作业依一定梯度进行设计，并抛出两个课后探究性问题，既是对本节课有关内容的延伸、拓展，回应了本节课内容，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感。同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，体现了个性化的学习，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验。

篇2：抛物线定义和标准方程

仪征市工业学校数学组2003年谢晶晶

抛物线的定义及方程是圆锥曲线中的重要内容，在这之前，学生对抛物线有了一定的认识和理解，知道平抛运动的轨迹是抛物线。那时主要从函数图象的角度进行分析，目的还是为能有效直观理解二次函数的性质。抛物线作为理解的工具而出现的，对抛物线本身的科学的定义和方程（包括四种标准形式）未作深入的探索和研究，这节课的目的就是从解析几何的角度学习抛物线。另外，学生已经学习了直线、圆、椭圆、双曲线，对解析几何的基本方法也有深入的认识。所以这节课无论从内容和方法上是前面知识的延伸。

建构主义认为人的认识不是对于客观实在的被动的反映，而是主体以已有的知识经验为依托所进行的主动建构的过程。因而学习不是学习者被动地接受书本或教师所传授的现成的结论，而是学习者在一定的社会环境下，借助他人的帮助而实现的意义建构的过程。在教学中设计中要求学生能主动探索抛物线定义和掌握四种标准方程，充分展示定义形成和证明的思维过程，在这当中暴露学生观察、比较、分析、演绎、归纳、判断、综合等思维链。

篇3：抛物线定义和标准方程

为了更好的适应新一轮课程改革, 从课堂教学技能到理论素养全面提升我校教师业务水平, 我校和浙江师范大学教师教育学院结对, 开展为期一年的教师培训, 培训的主要形式是理论讲座和听课、评课、再备课、再讲、再评.抛物线的定义及其标准方程是这次活动中由L老师开设的一堂课.

1 课堂实录

1.1 情景引入

一片果园中有一口小井, 果园旁边有一条水渠, 现要给果树浇水, 就取水路程远近这一角度而言, 应如何选择取水地点?——为该区域画一条合理的取水分界线 (供取水时参考) .

生1:分界线应为到小井的距离与到水渠距离相等的点轨迹.

师:能把实际问题抽象成数学问题吗?

生2:水渠抽象成一条直线, 小井抽象成一个点, 问题是:到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹.

1.2 动画演示, 形成定义

教师用几何画板演示, 改变定点F与定直线之间的距离, 学生观察曲线形状变化 (如图1) .

师:当点F到直线距离改变了, 曲线的形状如何变化?

生3:当点F到直线的距离越近, 曲线开口越小, 反之越大.

师:当点F在直线上时, 曲线的形状如何呢?

生4:是一条过F且垂直于定直线的直线.

师:回答得很对, 我们把到定直线与到定点 (点不在线上) 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.当点在线上时, 抛物线退化成一条直线, 椭圆的退化图形是一条线段, 双曲线的退化图形是两条射线, 定点F叫抛物线焦点, 定直线叫抛物线的准线, 定点到定直线的距离叫焦准距, 通常用p表示.

1.3 理性分析, 合理建系师:如何推导抛物线的方程?

生5:先建立直角坐标系, 再把几何关系转化为代数关系……

师:坐标系怎么建?

学生提出了3种建系方案, 如图2.

师:建立坐标系从本质上讲是人为的, 你想怎样建就怎样建, 但是不同的建系, 得到的方程繁简程度不一样, 我们肯定要挑简单的建, 请大家思考, 选择哪种建法得到的方程最简单?为什么?

思考1分钟后.

生6:我认为按照丙建立坐标系是最简单的, 因为在二次函数中, 顶点在坐标原点的抛物线方程最简单.

生7:我也认为丙最简单, 抛物线过原点, 不含常数项, 另外两个肯定含有常数项.

师:上面两个同学, 一个根据经验, 一个凭借对特殊点的分析都得出方案丙最简单, 的确是丙推出的方程最简单, 大家动手推导方程吧.

学生动手推导方程, 教师巡视指导.

两分钟后, 学生推导出抛物线标准方程y2=2px (p>0) .

1.4 类比拓展, 归纳提升

师:y2=2px (p>0) 是焦点在x轴正半轴上的抛物线标准方程, 当焦点分别在x负半轴、y轴的正半轴、y轴负半轴上的抛物线方程及其焦点坐标和准线方程是什么呢?请完成上表 (包括抛物线的4种标准方程、图像、对应的焦点坐标及准线方程) .

教师问, 学生答, 完成表格的填写.

师:同学们, 抛物线的标准方程左边是平方, 右边是一次式, 仅含一个参数p, 一个参数也就意味着只需要一个条件就能够决定抛物线的形状, 求出抛物线的标准方程.上面给出的甲、乙两种建系方案得到的方程不是标准方程, 请写出在甲、乙坐标系下抛物线的方程.

生8:在甲中相当于将抛物线向右平移了$\frac{p}{2}$, 它的方程是$y{}^2=2p\left(x-\frac{p}{2}\right)(p＞0)$, 在乙中相当于将抛物线向左平移了$\frac{p}{2}$, 方程为$y{}^2=2p\left(x+\frac{p}{2}\right)(p＞0).$

师:回答得很好, 坐标轴的平移相当于曲线往相反方向的移动.

1.5 精选例题, 夯实基础

教师讲解例题:求抛物线y2=6x的焦点坐标及准线方程后, 学生口答y=6x2和y+6x2=0的焦点坐标和准线方程, 教师着重讲解解题的规范性, 强调先想图形再答题.

演板练习:求下列抛物线的标准方程:

(1) 焦点坐标是F (0, -2) ;

(2) 抛物线的准线方程为x=1;

(3) 过点A (3, 2) .

师:二次曲线y=ax2 (a≠0) 也是抛物线, 它的焦点坐标和准线方程分别是什么?

生9:由y=ax2得$x{}^2=\frac{1}{a}y$.当a>0时, 开口向上, 焦点坐标为$\left(0‚\frac{1}{4a}\right)$, 准线为$y=-\frac{1}{4a}$;当a<0, 开口向下, 焦点坐标为$\left(0‚-\frac{1}{4a}\right)$, 准线方程为$y=\frac{1}{4a}.$

生10:不对, a<0, 焦点在y轴负半轴上, 多了个负号, 准线在x轴上方, 应该少了一个负号.

师:说得很好, 形如x2=my (m≠0) 的抛物线, 焦点坐标为$\left(0‚\frac{1}{4m}\right)$, 准线方程为$y=-\frac{1}{4m}.$

1.6 引导学生编题, 深化对定义的认识

师:P是抛物线y2=8x上一点, P到直线x=-2的距离记为d, 到点F (2, 0) 的距离记为|PF|, d与|PF|之间有什么关系?

生11:相等, 抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.

师:把直线x=-2改为直线x=-1呢?

生12:|PF|=d+1, 直线x=-1实际上是把直线x=-2向右平移了一个单位, d减小了1.

师:请大家根据生11的回答自编一道求抛物线方程的问题.

学生编的问题基本上是与求到定点F (2, 0) 的距离比到直线x=-1的距离大1的曲线方程属同一类型.

1.7 学生小结, 教师补充略.

2 教后反思

数学课堂教学从本质上说, 是以知识为载体, 以问题为核心, 师生借助教材、多媒体等, 在课堂上的交互活动, 在这个活动过程中通过对知识的学习, 发展学生的思维能力.

2.1 通过对知识的归纳整理促进学生能力生成

教师对教材的处理从某种程度上来说是“用适度的非形式化处理的方法, 将数学的学术形态转化为教育形态, 展现数学的魅力, 激起学生学习数学的热情”, 但教师的教学不能停留在知识的教育形态上, 还需要引导学生从逻辑上对知识进行建构, 实现从教育形态到学术形态的转化, 形成具有良好结构的认知, 将知识学习内化为能力生成.抛物线方程不同于椭圆、双曲线方程的最显著特征是只含有一个参数——焦准距p, 一个参数决定了抛物线的形状, 一个条件就可以求出参数p, 基本思想在教师的小结中凸显出来;抛物线的退化图形是一条直线, 椭圆的退化图形是一条线段, 双曲线的退化图形是两条射线, 知识网络在教师简练的小结中编织而成, 学生的能力在潜移默化中生成.

2.2 通过对过程的反思促进学生能力生成

数学知识的发生发展过程是数学学习活动的依据, 自我监控对数学学习起定向、控制和调节的作用, 是数学学习的“向导”和“监察官”.自我监控能力的高低直接决定数学学习质量, 并进而决定数学学习能力, 反思包括对过程的反思、对结果的反思、对方法的反思、对学习过程的优化.怎样建立坐标系是抛物线标准方程教学中的一个难点, 3种建系的方法学生都能够想到, 但是哪种建系求出的方程最简单呢?常规的做法有两种:其一是让学生把3种坐标系下的方程求出来做一比较, 其二是教师说明, 前种方法费时长, 后种方法难以让学生信服, L老师另辟蹊径, 让学生提出建系方案, 然后对3种方案进行分析, 再求抛物线方程, 最后还利用平移的知识说出另外两种建系下的抛物线方程, 用后面的结果再次印证前面的分析, 在这个过程中学生不仅对“如何建系?”进行了思考, 还对自己思考的过程“究竟哪种建系方程最简单?”进行反思, 促进学生数学学习能力的生成.

2.3 通过变式促进学生能力的生成

变式的作用主要是通过学生在变化的数学情景中进行技能训练, 使活动方式能够在直觉水平上得到概括, 从而形成关于活动的表象, 有利于对数学技能的掌握, 并为自动化创造条件, 由抛物线方程求出准线方程、焦点坐标, 由一个独立的条件求出抛物线标准方程是这一节课的基本技能要求, 在例习题的设计上L老师精选了3个在结构上具有相似性的抛物线方程, 求准线和焦点以及知道准线、焦点和抛物线上一点求抛物线方程, 使学生对各种不同的模式 (方程和独立条件) 进行辨别性分析, 进而把这些模式与抛物线联系起来, 形成了稳固的知识结构, 最后提炼出形如x2=my (m≠0) 抛物线焦点坐标和准线方程表达式, 形成规律性的认识;在编题过程中, 由抛物线定义出发, 从相等关系和不等关系两个方面加深了对抛物线定义的理解, 培养学生辨证看问题的意识, 爱因斯坦曾经说过“学生提出一个问题往往比解决一个问题更重要”, 虽然学生提出的问题单一, 对每个学生而言都是一个新的尝试, 新的收获, 新的感悟.

参考文献

[1]陈永明.陈永明评议数学课[M].上海:上海科技教育出版社.2008.

[2]江建国.引导自学, 问题探究[J].数学教学研究, 2006, (10) .

篇4：《抛物线及其标准方程》教学设计

◆ 在新课标思想的指导下，结合前后的知识内容及学生的特点和认知规律，通过类比椭圆、双曲线的定义，提出猜想，然后，让学生动手用几何画板进行验证，从而归纳出抛物线的定义，并根据定义推导抛物线的标准方程。

◆ 在课堂教学中，充分发挥多媒体的资源优势，利用计算机作为辅助手段，呈现教学内容，有效地协助完成了师生探究活动。

◆ 充分将信息技术和学科教学有机地整合起来，有利于突出重点、突破难点，有利于教学目标的实现，使学生对所学知识得以内化。

◆ 充分体现学生的主体地位，让学生成为学习的主人。

教材及学情分析

《抛物线及其标准方程》是苏教版高中数学（选修2-1）中的内容，适用对象是高二年级的学生。学生在初中阶段所学的二次函数中，已经初步接触过抛物线。通过本节课的学习，可以让学生进一步了解抛物线所形成的几何本质。在研究椭圆和双曲线的基础上，通过类比来研究抛物线的定义和标准方程，让学生进一步掌握研究曲线的基本方法，并为他们今后学习解析几何奠定良好的基础。

教学目标

结合新课标的思想，从三个维度出发，制定如下的教学目标：由实例感知，通过“类比－猜想－验证－归纳”得出抛物线的定义，并推导出其标准方程，在实际应用中进一步体会数形结合的思想。

教学资源及教学环境

教学资源：学生在课前搜集的有关抛物线的图片；教师用几何画板和PowerPoint软件自制的课件、教案和学案。

教学环境：多媒体网络教室。

教学策略

在课堂教学中突出学生的主体地位，采用启发、探究、合作交流等多种教学方法，并利用多媒体进行互动式教学。

教学过程实录

1.感知抛物线

师：我们知道圆锥曲线家族有三大成员，它们分别是：椭圆、双曲线、抛物线。前面，我们已经对椭圆、双曲线的标准方程及相关性质有了比较深入的研究。今天，我们就再一次携手研究抛物线的标准方程。现在，我们先来看看出现在我们身边的抛物线。（出示幻灯）

图1：篮球从出手到进入篮框的运动路线呈抛物线；

图2：飞机投弹过程中，子弹运动的路线呈抛物线；

图3：太阳灶轴截面的外轮廓。

师：下面是同学们在课前收集的有关抛物线的图片。（展示学生作品）

图4：喷水池的水柱；桥拱；碗；探照灯的内壁由抛物线旋转而成。

【设计意图】展示教师和学生课前搜集的有关抛物线的实例图片，让学生从感性上认识抛物线。

2.认识抛物线

（1）回顾初中阶段所学过的二次函数的图像特征。（教师用几何画板演示）

师：什么是抛物线？大家回想一下，在初中阶段，我们在哪部分学习过抛物线？

生：二次函数的图像。

师：现在我们以开口向上的抛物线为例，研究其对称性。它是轴对称图形，并且对称轴过其顶点。现在把抛物线旋转成开口向右，它仍然是抛物线，依然是轴对称图形，对称轴仍过顶点。（教师操作几何画板，点击出现对称轴和顶点）

（2）类比－猜想－验证－归纳，得出抛物线的定义。（师生共同操作几何画板）

师：要给抛物线下定义，我们就要看抛物线上的点有什么共同的特性。所以，我们先来类比一下圆锥曲线中的椭圆和双曲线的定义：它们都可以用动点（M）到一个定点（F）和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于一个常数来定义，当比值小于1时，动点M的轨迹是椭圆；当比值大于1时，动点M的轨迹是双曲线。抛物线也是圆锥曲线，那也应该能用动点到定点的距离|MF|与它到定直线的距离d的比值来定义。现在关键是这个比值应该满足一个什么关系呢？（提示：比值小于1时，为椭圆；比值大于1时，为双曲线）

生：比值等于1。

师：有道理。比值等于1时，动点的轨迹可能是抛物线。现在，我们就一起动手用几何画板来验证，看我们的猜想是否正确。

用几何画板操作的步骤：

步骤1：找定点和定直线。

① 在椭圆和双曲线中，定点与定直线是位于顶点的两侧的，类比得出，在抛物线中，定点与定直线也是位于顶点的两侧，并且定点应该在对称轴上。（确定定点）

② 因为顶点是抛物线上的点，所以它到定点的距离等于它到定直线的距离。（确定直线）

③ 因为顶点是特殊点（满足条件的定点和定直线很多），所以还要找其他的点再来验证。（另找一任意点）度量其到定点与定直线的距离；调整定点和定直线，使两段距离相等；再拖动任意点，进一步验证在抛物线上任意一点都满足两距离相等。

步骤2：形成动点的轨迹，验证了推理是正确的。

步骤3：归纳定义。

生：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

师：还有没有什么条件？（提示：点F的位置）

生：点F不在直线l上。

定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

【设计意图】对抛物线由感性认识上升到理性认识。引导学生通过类比椭圆、双曲线的定义，猜想抛物线的定义，并和学生一起动手用几何画板进行验证，最后，让学生根据操作的过程归纳出抛物线的定义，教师再加以完善。这样比较符合学生的认知规律，能提高学生探索新知的兴趣和能力，让学生体会定义产生的全过程，使学生更进一步地理解抛物线上点的特点。（这部分的处理是一种新的尝试，与传统的讲授相比有所创新和突破。）

（3）推导抛物线方程。（以开口向右的情况为例）

步骤1：推导方程。

师：我们已经知道了什么是抛物线，那抛物线的方程是什么呢？求曲线方程就是要求出曲线关于x,y的二元方程。

师：现在我们就动手来求方程。抛物线的开口方向有很多，常见的有上、下、左、右四种，为了方便研究，我们现在统一先来研究开口向右的抛物线的方程。

根据定义，我们先设定点F到定直线l的距离为p（p为已知数且大于0），建立适当的坐标系。现在请同学们思考、相互讨论该如何建立适当的坐标系。

（让学生结合刚才在几何画板上所做的抛物线，思考、讨论该如何建立适当的坐标系，教师巡视、倾听，然后让学生发言。学生共同探讨出多种方案，其中有3种最为常见。）

生：方案1：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

方案2：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。

方案3：过焦点F作直线FN垂直于直线l，垂足为N。以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。

师：现在，请同学们在这三种建系方案下，以定义为依据求抛物线的方程。（学生自己动手求解，教师巡视、指导）

【设计意图】学生自己动手在不同的方案下推导方程，可以进一步激发学习的热情，有助于增强学习效果，加深对知识的理解。

生：纷纷发言，说出三种方案所求的结果。

师：通过以上过程的比较，第三种方案的结果不仅具有较简单的形式，而且方程中的一次项系数是焦点到准线的距离的两倍，这个方程就叫做抛物线的标准方程。（焦点在x轴的正半轴上）参数p的几何意义：焦点到准线的距离；焦点坐标为：（p/2,0），准线方程为：-p/2。

步骤2：探究抛物线其他三种形式的标准方程。（以表格形式）

师：这是开口向右的抛物线的标准方程，那么，对于开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程又是什么呢？现在请大家类比开口向右的抛物线，把表格一一完善。

（投影表格结果，引导学生把图形的位置特征和方程的形式结合起来记忆。）

通过四种标准方程的对比，从方程的形式上看，我们可以得知：①方程的一次项决定焦点位置；②一次项系数的符号决定开口方向。

【设计意图】通过表格的形式，让学生自主探求其中的关系，使学生从整体上理解和掌握四个标准方程及其图形。

（4）数学运用。（课堂练习）

Group1:根据下列抛物线的方程分别求出它们的焦点坐标和准线方程。

①y²=4x

②x²=-8y

③y=2x²

Group2: 根据下列条件，求抛物线的标准方程。

①经过点P(-2,-4)

②抛物线焦点到准线的距离为2

③以直线2x-3y+6=0与坐标轴的交点为焦点

【设计意图】练习题层次清晰，由浅入深，借助几何画板分析题目，增强直观性，有效地突出数形结合的思想。

（5）评价收获。

该环节从课堂小结（即让学生结合表格谈谈本节课的收获体会）及课后书面作业两方面进行评价，进一步了解学生掌握知识的程度。

教学自我评价及反思

1.较好之处

（1）本节课的教学达到了预定的教学目标，在教学方法上有所突破和创新。通过“类比－猜想－验证－归纳”得出抛物线的定义，使学生体会到定义产生的全过程，符合学生的认知规律。

（2）推导方程的过程，是让学生分组动手，在三个建系方案下进行推导，然后通过对比得出标准方程，使学生更能体会不同坐标系下方程的差异，进一步认识抛物线标准方程的结构及对应参数的意义。

（3）利用计算机辅助教学，将信息技术和课堂教学有机地结合起来，有利于学生对知识的认知和理解，有效地突出了数形结合的思想。

2.不足之处

篇5：抛物线的标准方程

本课的名称：抛物线及其标准方程

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；

（3）通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。

请说明导入环节在这堂课中的意义，以及信息技术如何起到优化作用。（300字左右）

1、通过多媒体展示图片，让学生直观的感受抛物线之美，对抛物线产生深刻的印象，调动了学生学习的兴趣。

2、尺规、绳子作图，师生动手，直观体验，增强学习兴趣。

3、几何画板辅助教学，动画演示，这样能够让学生清楚抛物线的形成过程及条件。第二步：技术支持的导入设计

导入语

时间

信息技术支持

生活中存在着各种形式的抛物线，观察下面的图片，找出图片中的抛物线

炸弹在空中运动的轨迹是抛物线,二次函数的图像也是一条抛物线，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？

信息技术支持的讲授环节优化

（二）第一步：设计前的分析

本课的名称：抛物线及其标准方程 本课的教学目标和教学内容：

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：

（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；（3）通过抛物线的定义及其标准方程的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。

请简述讲授环节的目的和内容，并说明在讲授环节中，你是怎样应用信息技术的，以及信息技术是怎样起到优化作用的（300字左右）。

1、让学生掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.课件展示探究的点线面生成过程，让学生直观感受抛物线的定义，2、在探究抛物线的定义时，也是设计了几种方案。一种是用直尺和三角板两个最熟悉的工具画图：另一种是利用几何画板作出画抛物线的软件演示。但这两种方法都是让学生看到现成的东西，不容易让学生信服。

所以，我采用现场用几何画板制作画抛物线的过程，让学生正真感受抛物线的几何特征。

3、并根据探究推导抛物线的定义，根据定义推导抛物线的标准方程，并用图片展示四种形式的抛物线，最后用几何画板动态演示抛物线的形成，让学生从已有的知识出发，通过自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，培养创造性思维的能力。第二步：技术支持的讲授设计

教学活动简述

探究一：如图：把一根直尺固定在画图板内直线L的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线L的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板的一点F，用一支铅笔，扣着绳子紧靠三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这是一条什么曲线呢？

信息技术支持

探究二：几何画板辅助教学，动画演示，这样能够让学生清楚抛物线的形成过程

如图，点F是定点，L是不经过点F的定直线。H是L上任意一点，经过点H作MH垂直L，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹。你能发现点M满足的几何条件吗？

思考：

怎样建立坐标系,才能使抛物线的方程更简单？

探究三: 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？并推导

信息技术支持的评价优化

（三）第一步：设计前的分析

说明：请根据本节课的教学过程，针对一至两个具体的教学活动进行评价设计，在表格呈现您设计此项评价的目的、所采用的评价方法、及需使用的信息技术工具。（注：两个评价设计不能雷同。）

本课的名称： 抛物线及其标准方程 本课的教学目标和教学内容：

1、知识与技能：

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程；（2）知道它们的简单几何性质；

（3）使用抛物线的定义求抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程。（4）了解圆锥曲线的简单应用。

2、过程与方法：

（1）能初步根据抛物线的特征选择不同的解决问题的方法。（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程。

（3）体会抛物线在生活中的应用，学会在生活中用数学的方法去解释生活中的问题。

3、情感态度价值观：

（1）了解抛物线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望；

第二步：技术支持的评价设计

说明：在这一步里，请将你在该环节的教学、评价目的、评价方法和评价工具呈现在下表中。在“评价工具”一栏中，除量规外，其他均需信息技术的支持（请具体说明如何利用信息技术来优化评价环节，并截取重要画面，链接相应的文档）。

教学活动

课前准备

评价目的 检测学生自主学习效果，查缺补漏．

检测理解程度

评价方法 批阅预习作业 学习小组成果展示

评价工具 作业批改

课中探究活动 量规表

课后：要求学生完成在当堂检测习题

学生自我评价知识掌握情况。

学生利用老师提供的答案进行自评。

篇6：《抛物线及其标准方程》教学反思

本节课为了引入抛物线的定义，创造学生主动探究抛物线定义的情境，课堂是从学生所熟悉的二次函数的图象开始的，还有投篮的FLASH展示，并欣赏了生活中的抛物线模型图片及著名的萨尔南拱门。特别是通过赵州桥的拱底不是抛物线，引起学生的好奇心，激发学生研究的热情。让学生回到自然与社会中来，亲自体验到真理的发现与实现过程，深深感觉到数学来源于生活。在这个引入的过程中互动方式有师生互动，人机互动。

2、发散――提供线索，引起讨论

在发现问题后，利用几何画板的演示，使学生发现形成轨迹动点的几何特征，进而得出定义。为了使课堂教学行为趋于多重整合，把学生分成活动小组，对探究过程中出现的问题进行讨论研究。这一过程培养学生勇于探究的精神和与人协作的能力，使学生真正做学习的主人。在课堂学习过程中，教师是学习活动的组织者，探究情境的创造者，探究活动的引导者，既要对学生的讨论给予引导，又要对出现的问题进行点拨。为了使实际操作和对问题的数学讨论卓有成效，课堂教学氛围民主、和谐和开放，学生的思维始终处于活跃状态，教学过程中我设置了很多引导性的问题，如“抛物线是满足什么几何条件的点的集合”，“怎么建立坐标系求抛物线的标准方程”，“大家讨论出的三种建系方案所对应的方程那种更加简单”，“四种标准方程内在联系是什么”等。在这样的教学模式下，学生各抒己见，合作学习，学会从数学的角度发现问题和提出问题，在与他人合作和交流的过程中，客观的理解他人的思考方法和结论，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的自信心。这一过程中的互动方式是师生互动，生生互动，人机互动

3、收敛――规范要求，引控方向

收敛与发散是相辅相成，互为促进的。探究式学习并不是完全放手让学生去研究，为了能完成有效的教学目标，教师要在知识的形成阶段规范要求，引控方向。所以，探究的每一阶段均离不开教师的组织，教师为学生创设情境，调节控制学生的探究活动，教师的教学组织促进学生的探究深化;同时，学生的探究进程要求教师指导、提示、组织、引导。在引导学生归纳抛物线的定义和坐标法求抛物线的标准方程，及对四种标准方程进行规律分析的过程中，我一方面提示学生去思考、讨论和表达，一方面对学生的结论进行剖析、评价和指正。比如在比较四种标准方程的规律分析中，首先提供线索指导学生进行发散式讨论，如从图形、系数、坐标轴、正负值、对称性等入手思考，以明确问题的指向性，其次在学生讨论不完善的情况下，表明自己的看法与学生的思维发生碰撞，帮助学生修正自己的见解。互动方式是师生互动，生生活动。

4、综合――启发深入，引导探究

综合教学过程,要求学生对探究结论进行综合概括，形成知识之间的关系网络，使知识与知识之间，不同学科知识之间，数学知识与现实生活之间建立联系，将探究结论进行综合组织，并纳入自己的数学认知结构中。比如，在推导得到开口向右的抛物线标准方程后，由学生分组探究完成如下两个问题：一是写出另外三种抛物线的标准方程，焦点坐标和准线方程;二是寻求它们的内在联系，并总结记忆。这是数学探究课的中间层次，教师给出简要的过程提示和大致要求，对学生的结论可以不加限制，既做到理顺问题，尝试结论，又给学生留下一定的思维空间。互动方式是师生互动，人机互动，学生与教材互动。

5、创造――诱导点拨，引入验证