使用UTM投影坐标系国家的施工测量

2022-09-11

随着中国国力的日渐强大, 中国在国外的市场也急剧膨胀, 现在越来越多的国人走出国门走向世界。在土木建筑方面, 越来越多的施工单位把市场向亚太地区及非洲地区扩展。由于在施工方法方面国内与国外存在一定的区别, 使刚走出国门的施工技术人员感到一些困惑, 特别在施工测量方面, 国内的工程测量坐标系统都上采用高斯-克吕格投影, 而在国外很多国家 (特别是不发达国家) 采用UTM投影, 由于国内工程测量方面的书籍很少介绍UMT投影, 也很少有关于在UTM投影坐标系下的施工测量资料, 所以对刚接触UTM投影的测量人员产生很大的麻烦。本人结合国外的工作经历以及国外关于UTM投影下的施工测量资料, 简单介绍对高精度及低精度要求下的工程施工测量方法, 希望对走出国门的测量人员有所帮助。

高斯-克吕格 (Gauss-Kruger) 投影是一种“等角横切圆柱投影”, 它是设想用一个圆柱横切于球面上投影带的中央经线, 按照投影带中央经线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件, 将中央经线两侧一定经差范围内的球面正形投影于圆柱面。然后将圆柱面沿过南北极的母线剪开展平, 即获高斯一克吕格投影平面。高斯一克吕格投影后, 除中央经线和赤道为直线外, 其他经线均为对称于中央经线的曲线。高斯-克吕格投影没有角度变形, 在长度和面积上变形也很小, 中央经线无变形, 自中央经线向投影带边缘, 变形逐渐增加, 变形最大处在投影带内赤道的两端。为了限制长度变形, 高斯-克吕格投影采用按一定的经差将地球椭球面划分成若干投影带, 通常按经差6度或3度划分为6度带或3度带。6度带是从0度子午线起每隔6度自西向东分带, 带号一次为1、2、……60带, 其第一带的中央子午线为东经3度。其他中央子午线的经度L0计算公式如下:

3度带是从东经1°30′起自西向东每隔3度分为一带, 第一带中央子午线为3度, 与6度带的第一带中央子午线重合, 其每带的中央子午线的经度L0计算公式如下:

L0=3 n (n为带号)

UTM (Universal Transverse Mercator) 投影是通用横轴墨卡托投影的简称, 是一种“等角横轴割圆柱投影”, 它是设想一椭圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈, 投影后两条相割的经线上没有变形, 而中央经线上长度比0.9996。与高斯-克吕格投影相似, 该投影角度没有变形, 中央经线为直线, 且为投影的对称轴, 中央经线的比例因子取0.9996是为了保证离中央经线左右约330km处有两条不失真的标准经线。UTM投影分带方法与高斯-克吕格投影相似, 是自西经180°起每隔经差6度自西向东分带, 将地球划分为60个投影带。第一度带的中央子午线为西经177度, 与高斯-克吕格投影的31度中央子午线重合, 每带的中央子午线的计算公式如下:

L0=180-6n+3 (n为带号) L0为正值表示在西经, 为负值表示为东经。

高斯-克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影, 故各带坐标成独立系统。以中央经线 (L0) 投影为纵轴X, 赤道投影为横轴Y, 两轴交点即为各带的坐标原点。为了避免横坐标出现负值, 高斯-克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴, 而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外, 横轴南移10000公里。由于高斯-克吕格投影与UTM投影每一个投影带的坐标都是对本带坐标原点的相对值, 所以各带的坐标完全相同, 为了区别某一坐标系统属于哪一带, 通常在横轴坐标Y前加上带号, 如 (4000000m, 18400000m) , 其中18即为带号。高斯-克吕格投影与UTM投影的近似换算关系如下:

X[UTM]=0.9996*X[高斯], Y[UTM]=0.9996*Y[高斯]

换算时应注意:Y值转换时必须将Y值减去500000乘上比例因子后再加500000, 在南半球还应注意横轴偏移10000公里。

由于UTM投影中央经线上长度比0.9996, 而高斯-克吕格投影中央经线长度比为1, 所以在这两个投影系统下测量方法存在很大的区别。对于精度要求较低的工程施工测量采用以下方法:

由于UTM投影与高斯-克吕格投影一样是保角投影, 投影后角度不变, 所以不用改化。对于实测距离是通过乘以两个因子改化到UTM投影坐标系下的。一个是高程改化因子 (mean sea level factor) , 另一个是比例因子 (scale factor) 。

高程改化因子实际就是把测区高程面上的实际长度SD改化到参考椭球面上的长度ST

Mean see lev el factor=ST/SD=R/ (R+H)

注:H为归算边高出参考椭球面得平均高程, R为地球平均曲率半径。

比例因子实际上是参考椭球面上的长度归算到UTM投影面上的长度:

Scale factor=0.9996* (1+d2/ (2*R2) )

注:d为该点到中央子午线的距离, R为地球平均曲率半径

高程改化因子与比列因子的乘积称为网格因子 (grid factor) , 即:

Grid factor=Mean see level factor x Scale factor

全站仪实测距离必须乘以网格因子才能得到UTM投影坐标下的距离。现举列说明:

某工程提供的两个UTM投影坐标系下的GPS点控制点坐标为:A (477542.470, 9943 08.60 8, 2 42 4.6 70) , B (4 778 70.77 1, 9 94 824.07 7, 24 26.0 18) , 根据两点间的距离公式计算得水平距离SH=611.138米.现设全站仪于A点, 测得斜距SD为611.681, 竖角V为90.92086, 计算两点间的水平距为611.602米。显然没有改化前的实测水平距离与UTM投影坐标系下水平距离相差比较大。下面计算grid factor:

Scale factor=0.9996* (1+ (500000-4775 4 2) 2/2×6 3 7 2 2=0.99 9 6 0 6 2 5 8,

Mean sea level factor=6372/ (6372+2.4 2 5) =0.9 9 9 6 1 9 5 7 3

Grid factor=Scale factor*Mean sea l evel factor=0.99922598

实测距离改化到UTM投影坐标系上的距离为S改=grid factor*611.602=611.129m, 改化后的距离约等于GPS控制点间的计算距离。

在用全站仪测量放样时, 为了保证把距离改化到UTM投影平面上, 应在仪器中输入因子。即在定义测量文件名时, 在S.F (或g.f) 栏输入scale factor (或grid factor) 。

这个方法是当地测量人员经常采用, 也是当地教科书上所介绍的方法。很显然, 对于工程测量, 这个方法存在很大的缺陷, 即放样出来的点间的距离与用米尺量出来的距离不一样。如一座30米的预制箱梁桥, 采用以上控制点用全站仪放样出来的距离实际只有30×0.99922589=29.977米, 而预制的箱梁长度 (预制时长度用米尺量) 30米, 这样在安装时带来很大的麻烦。根据工程测量的原则:投影过程中产生的长度变形不得大于施工放样的精度要求。所以这个方法只适合精度要求很低的低等级的道路测量。

对于精度要求较高的高等级道路以及桥梁施工测量, 显然UTM投影坐标系是不合适的, 为了满足投影过程中产生的变形不大于施工放样的精度要求, 应先把UTM投影转换到高斯-克吕格投影上, 然后再转换到合适的施工坐标系中。

UTM投影坐标转换到高斯-克吕格投影前应先反算到大地坐标系上, (X, Y) → (B, L) , 原点纬度0, 中央经度L0, 计算公式如

上面公式中东纬偏移FE=500000米;北纬偏移FN北半球=0, FN南半球=10000000米;UT M投影比例因子k 0=0.9 9 96,

再根据高斯-克吕格投影正算 (B, L) → (X, Y) 得出平面坐标, 计算公式如下 (原点纬度0, 中央经度L0) :

上面公式中东纬偏移FE=500000米+带号*1000000;高斯-克吕格投影比例因子k0=1

以上所列的转换公式都基于椭球体a:椭球体长半轴;b:椭球体短半轴;

f:扁率;

N:卯酉圈曲率半径

R:子午圈曲率半径

B:纬度;L:经度, 单位为弧度 (RAD) ;XN:纵直角坐标;Y E:横直角坐标, 单位米 (M) 。采用美国WGS-84椭球体时a=6378137m, b=6356752.采用国内西安80椭球体时a=63781 40, b=635 6755.

如施工区域离中央子午线较近, 地面平均标高较低 (一般d=500KM-Y<40公里, 地面平均标高小于100m) , 则可直接采用换算后的高斯投影坐标系下的坐标, 不必再进行换算。假如不满足以上条件, 为了消除两项投影产生的变形, 则必须把高斯投影换算到合适的施工坐标系, 常采用的由以下方法:

(1) 采用合适的高程参考面, 也就是高程补偿面。

如埃塞俄比亚首都的某工程平均高程为2500米, 测区离中央子午线最远距离为YM=100KM, 实测边长为500米, 求高程补偿面, 计算过程如下:

为了使两投影产生的投影为0, 即为了使ΔS1+ΔS2=0

即y2/ (2*R2) *S- (H/R) *S=0

由上式得ΔH=y2/ (2*R) =1002/2*6372=7 8 5米

H=2 5 0 0-7 8 5=1 7 1 5

也就是说将地面的实测距离归算到1715的高程面上可使得长度变形得到完全补偿, 这种方法也是改变控制网的相对标高的方法使得长度变形得到补偿。

(2) 采用任意带的高斯正形投影

这种方法先将地面观测结果归算至参考椭球面上, 即控制网的高程不变, 但不采用标准的分带方法, 而采用某一条子午线作为中央子午线, 借以补偿因实测结果归算至参考椭球面带来的长度变形。

同样采取上面的例子, 由y2/ (2*R2) *S- (H/R) *S=0得出y= (2*R*H) 1/2= (2 x 6 3 7 2x 2.5) 1/2=1 7 8

也就是说为抵偿地面观测归算至参考椭球面上的长度变形应选择与测区相距178km出的子午线作为中央子午线, 也就是改变控制网坐标的Y值来实现。

(3) 选择具有高程抵偿面得任意带高斯正形投影平面坐标系

这种方法通常是把投影的中央子午线选在测区的中央, 地面观测值归算至测区的平均高程面上, 也就是改变控制网坐标的Y值和高程。这个方法也相当于采用独立的施工平面坐标系, 也是工程上最常用的测量坐标系统。

由于UTM投影坐标系中投影后的长度变形比较大, 满足不了工程测量上投影长度变形不得大于施工放样的精度要求的条件, 所以UTM投影坐标系不太适合工程测量, 但由于国外的很多软件 (著名的如ARC/INFO) 和仪器配套软件往往不支持高斯-克吕格投影, 因此常把UTM投影坐标当做高斯-克吕格投影坐标提交, 对于国内很少接触UTM投影的工程测量人员产生很大困扰。根据以上方法转化到高斯-克吕格投影后, 则对于测量人员就轻车熟路了。

摘要：UTM投影对于国内的工程测量是一个很陌生的名词, 而在国外很过国家都采用UTM投影, 由于坐标系的不同, 测量方法跟国内也有很大区别。结合工作经历, 介绍低精度及高精度要求工程的施工测量方法。

关键词：高斯-克吕格投影,UTM,投影,坐标系