基于变分法对带噪图像的边缘检测

在现实生活中, 得到的图像往往带有噪声, 通常假设噪声是均值为零的高斯白噪声。不妨设带噪图像的模型为:f0+η=p, 其中f0为原始的干净图像;η为图像中加入的噪声, 一般为高斯白噪声;p为观测图像, 即带有噪声的图像。对带噪图像边缘提取, 首先要先去噪,

图像去噪问题本质是一个不适定问题[1], 这种问题的求解通常使用正则化方法来确定近似解。构造变分模型:

在以上的处理中, α在取定后成为一定数, 具有全局性。本文通过选取变动的正则参数, 构造出具有变正则参数的变分模型, 这样对带噪图像的去噪作用具有自适应的性质。

1 变正则参数的变分模型

选取光滑性较高的正则泛函。通过选取变动的正则参数[2,3], 我们可以得到具有变动正则参数的变分模型:

其中a, b为边界点, 并满足边界条件f (a) =P (a) , f (b) =P (b) 。

由变分法基本原理可得欧拉方程

可唯一地计算出f (x) 。数字图像问题是二维情形, 需把式 (2) , (3) 推广为二维形式:

其中, △为拉普拉斯算子, 同时满足边界条件及自然边界条件其中, ∂Ω为积分边界。

对应的欧拉方程为:

可以得到P (x) 的恢复图像f (x) 。本文正则参数α选择函数

2 变分模型的离散解法

因为数字图像是由一{Pj}Nj=1组成, 一般情形下都有较高的分辨率, 所以在计算的过程中, 并不需要计算出连续的函数f, 只需计算出在这些离散点处新的灰度值{fj}Nj=1即可.因此, 本文采用5点格式的差分法构造离散解。

为了计算的稳定性, 把式 (5) 转化为方程组的形式:

由式 (5) 中的边界条件及自然边界条件可知, 式 (6) 中u (x) 和f (x) 的边界条件显然为

假定带有噪声的图像的尺寸为m行n列, 实际上我们只需计算出在这个m×n离散点上的f (X) 即可。按下面的顺序把内部点进行排序, 由于边界点已定, 实际只需计算出在这些 (m-2) × (n-2) 个点上的f (X) 的函数值即可。记

其中, ip, if分别表示在第i点处的带噪图像像素的灰度值和恢复图像像素的灰度值;iu表示在第i点处的u (X) 的取值;向量α表示α (X) 在这些点上的函数值。用p[i, j]表示在带噪图像中第i行第j列处的灰度值。

对一般的内部点, 可用x方向和y方向的步长为1的二阶差分来代替不同方向的偏导数,

对其他点采用仿射延拓的方法进行计算, 最后可得线性方程组:

由此可得

把式 (8) 带入式 (6) 中第2式, 可得

注意式 (11) 中的边界条件, 故式 (9) 右端比式 (7) 多出一项:

从上面的分析可以看出, γ是从图像的边界点处的灰度值得到的, 由式 (9) 可得, 即可得到复原图像f。

3 改进的Canny方法提取边缘

具体算法如下:

(1) 对图像中的每个像素, 计算其梯度幅值A和方向φ, 可以采用的罗伯特算子进行计算, 使用和作为计算x方向和y方向梯度分量的计算模板。根据式|∇f|=|fx|+|fy|和式α (x, y) =arctan (Gy/Gx) 计算图像f (x, y) 上点 (i, j) 处的梯度幅值A (i, j) 和方向φ (i, j) 。

(2) 对梯度幅值进行“非极大抑制”。通过抑制梯度方向上所有非屋脊峰值的幅值来细化A (i, j) 中的梯度幅度屋脊。

(3) 阈值化和边缘检测。经过“非极大抑制”得到的结果是一个图像的边缘阵列, 但仍然存在许多假边缘, 需要进一步阈值化处理, 去除假边缘, 一种有效地解决方法是选用两个阈值。对每个阈值会得到不同的边缘, 采用边缘跟踪的方法, 直到都没有新的轮廓线为止, 把两个边缘图像合起来就是要找的边缘图。

4 实验结果及结论

在MATLAB7.0中, 采用Lena图像进行数值实验, 添加高斯噪声, 利用本文提供的方法进行去噪, 去噪后的效果图见下图1。

然后对去噪图像, 分别利用Sobel算子、Canny算子、本文改进Canny方法提取边缘, 实验效果如图2所示。从图像中, 而Sobel丢失过多的边缘, 经典Canny算子检测到许多假边缘。可以看到本文算法的优势明显, 较好的保留边缘, 而且边缘图像很清晰。

摘要：本文利用变正则参数的变分法达到对图像去噪和保边缘的目的, 通过5点差分格式得到变分模型的离散解法, 这样可以避免格林函数的繁琐计算, 易于计算机编程。图像边缘提取利用改进Canny算子的双阈值方法。利用Matlab程序在标准图像Lena上进行数值实验, 结果表明本文方法效果优于其他经典算法。

关键词：变分法,图像去噪,边缘检测,双阈值

参考文献

[1] Chan T, Esedoglu S, Park F.A Fourth Order Dual Method for Stair case Reduction in Texture Extrac tion and Image Restoration Problems[M].Los Angeles, US:University of California LosAngeles, 2005.

[2] Tudor Barbu, Viorel Barbu, Veronica Biga, Daniel Coca.A PDE varia ional approach to image denoising and restoration.Nonlinear Analysis:Real World Applications10 (2009) 1351～1361.

[3] 杨朝霞, 逯峰, 田芊芊.自适应双正则参数法在图像恢复中的应用[J].中山大学学报 (自然科学版) , 2005, 44 (4) :20～23.