浅谈模糊集测度与概率

概率的公里化定义是前苏联数学家Kolmogorov于1933年提出的, 而之后测度的可加性条件一直倍受关注。一些数学工作者感觉在某些实际应用上面, 可加性这个条件太强以至于难于充分把握。尽管可加性很好地刻画了在理想、无误差条件下的许多类型的测量问题, 然而当测量的误差不可避免时, 可加性条件就不能充分刻画一些实际上的测量问题。此外某些涉及到主观评判或非重复性实验的测量, 本质上均是非可加的。

1965年美国控制论专家Zadeh提出模糊集的概念, 这标志着在众多领域有重要应用的新学科——模糊数学的诞生, 从而导致了模糊测度的产生。最近几年来从事这方面研究的学者不少, 并取得了很多有意义的结果。由于模糊测度通常不具有可加性, 难以完全建立相当于经典测度论中的理论体系, 必须根据不同问题的需要对模糊测度本身附加某些条件。为此, 国内外许多学者作了大量的尝试, 得到了一些有意义的结果, 但主要的讨论时对模糊测度附加了较强的次可加性或满足律, 它们甚至是通过模糊可加性后得到的, 具有一定的局限性。

1 模糊集测度

定义1:设是任意一个模糊集合类。

(1) 称为可加的, 如果对于任意的, 有:;

为单调的, 如果对于任意的 (2) 称,

(3) 称为可加的, 如果对于任意不交列

命题1:设是一个模糊集合的可加类, 如果为可加的, 则对任意的有: (1)

命题2:设是一个模糊集合的可加类, 如果为可加的。

则对任意的有:

。

推论1:设是一个模糊集合的可加类, 如果为可加的, 则对任意的:

:是单调的。

定义2:设是一个模糊集合类, 称在上为下连续的, 如果对于任何:

, 且存在, 且:

称在上为上连续的, 如果对于任何:

且存在, 且

定理1:设是一个模糊集合的可加类, 则是可加的充要条件是在上是下连续的及可加的。

定义3:设是一个模糊集合类。

如果满足:

(1) 如果, ;

(2) 是可加的;

(3) 在上是下连续的;

则称是上的模糊集测度。

2 概率与模糊概率空间

概率是满足具有性质的测度, 是一种正规测度, 它具有测度的一切性质。

定义4:定义在s模糊事件域上的一个是单值集合函数成为概率, 如果它满足:

(1) 是上的模糊集测度;

(2) 规范性:

定义5:设是经典随机试验的样本空间, 如果是经典随机试验的一个模糊样本空间, 为由生成的模糊事件域, 是定义在上的概率, 则称为模糊事件的概率空间或模糊事件的概率场。性质1:设为模糊事件的概率空间, 则

(1) 非负性:对任意;

(2) 规范性:

(3) 可加性:如果对于中任意不交列:, 有:

摘要：作为一类特殊测度的概率测度, 经典测度论与概率论是密切相关的, 本文要想建立模糊事件的概率测度空间, 就必须以模糊测度为研究基础, 进行相关问题的研究, 从而最终建立模糊事件的概率测度空间。

关键词：模糊集,测度,概率

参考文献

[1] 刘琳.基于正态分布区间数的概率测度及多属性决策[J].系统工程与电子技术, 2008, 4.

[2] 柳美.模糊概率随机变量的数学期望和方差[J].包头钢铁学院学报, 2006, 3.

[3] 高庆狮.概率论基本部分与模糊集合理论的统一定义[J].大连理工大学学报, 2006, 1.