数与形的教学反思

数与形的教学反思（共11篇）

篇1：数与形的教学反思

《数与形》教学反思

本堂课是六年级上册的数学广角的内容，其重点是让学生探索规律并体会数形结合的思想。在设计过程中我调整了顺序，先让学生探索“从1开始n个连续奇数相加的和是多少”规律，突显出数的抽象性，然后借助形来理解，让学生感受形的直观性。接着用一个图形问题来体现形的局限性，需要用数来解决。相辅相成的两个问题体现了数形结合的思想让学生充分的体验到了数形结合的优势。在教学的学生过程中我通过小组合作，算一算，摆一摆，让所有学生经历猜想与验证的过程，感受数形思想的在数学中的充分运用。

不足之处也有不少。首先是自己的备课还不充足，临场反应慢，急不可待的只想听到想到的答案，没让学生体会到答案的多样性，没有充分利用课堂的生成作用。在摆一摆的环节，首先摆出的第一个正方形，应强调说一说这是表示算式1也可以表示一行一列1²。这样在后面的第二个，第三个算式的摆放时学生会去有意识的摆成正方形。但是这样其实也局限了学生的思维，会导致学生一律只考虑摆成正方形而不再去探索其他的图形是否也能有次结论。最后是在教学的设计中还可以加入“正方形数”“三角数”拓展教学，在小结还可以加入这样的问题”在所学的数学知识有哪些是运用了数形结合思想的？”

篇2：数与形的教学反思

一、填空

1．观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图中有（）个点。

考查目的：数与形结合的规律；通过特例分析归纳出一般结论的方法。答案：30。

解析：第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点„„第个图就有

个点。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。

2．先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（）个点，第51个方框里有（）个点。

考查目的：数与形结合的规律；利用规律解决问题。

答案：，1+4×4；37，201。

个点，则第10个图共有1+4×（10-1）解析：分析图形，可得出第个图中共有=37个点，第51个图共有1+4×（51-1）=201个点。

3．按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（）根小棒；摆10个正六边形需要（）根小棒；摆个正六边形需要（）根小棒。

考查目的：根据已知图形的排列特点及数量关系，推理得出一般的结论进行解答。答案：21；51。

解析：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作5×1+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作5×2+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作5×3+1„„由此可以推理得出一般规律，即摆个六边形需要

根小棒。4．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：

考查目的：分析图形的变化规律并列出代数式。答案：10。

解析：一张方桌坐4人，每多一张方桌就多2个人，那么有4张方桌时就多坐了6人，总人数为4+6=10。如果是

张方桌，则所坐人数是。

5．数形结合是一种重要的数学思想，认真观察图形，然后完成下列问题。

； ；

； 。

考查目的：利用数形结合的思想探索规律。答案：16，4；5。

解析：通过启发引导，使学生明确可以把一个点看作边长是1的正方形，并由此类比正方形的面积公式计算出结果。对于的解答，引导学生从已知的结果归纳出“从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方”这一结论即可。

二、选择

1．观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（）。

A.82个 B.154个 C.83个 D.121个 考查目的：数与形的变化规律。答案：D

解析：分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121。

2．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（）。

A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球

B.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球 C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球

D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球

考查目的：用画树状图的方法解决与“可能性”有关的问题。答案：A

解析：观察树形图可知，袋中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：第一次随机摸出一个球后放回，第二次再随机摸出一个球。

3．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要（）根钢管。

A.340 B.225 C.226 D.227

考查目的：图形中的计数规律。答案：C

解析：通过分析图形，搭建单顶帐篷需要17根钢管。从串搭第2顶帐篷开始，每多串一顶帐篷需多用11根钢管，由此得出串搭顶帐篷需要串搭20顶这样的帐篷需要11×20+6=226根钢管。

根钢管。则4．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图象如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是（）。

A.小狗的速度始终比兔子快 B.整个过程中小狗和兔子的平均速度相同 C.图中BC段表明兔子在做匀速直线运动 D.在前4秒内，小狗比兔子跑得快 考查目的：关于行程问题的图象综合题。答案：B

解析：由图象可以看出：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。另，图中的BC段表示兔子处于静止状态。

5．如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第 个三角形的 顶点处。（）

A.669；上 B.669；左下 C.670；右下 D.670；上 考查目的：数字和图形相结合的变化规律。答案：D

解析：每个三角形有三个角，对应的三个数的顺序是上、左下、右下。根据2008÷3=669„„1，所以2008这个数在第670个三角形的上顶点处。

三、解答

1．把4个完全相同的乒乓球标上数字2、3、4、5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。

（1）请补充完整下面的连线图：

（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？ 考查目的：连线和列表的方法；利用可能性的知识解决问题。答案：（1）如下图所示：

（2）共有12种情况，和为7的有4种情况，可能性为。

解析：利用连线和列表的方法列举出所有的情况，是一种常用的解决问题的方法。教师应引导学生去经历和体会整个过程，注重对方法的理解和掌握。

2．找规律填空，要求写出思考的过程。

考查目的：探索数与形结合的规律。答案：（1）2×4=8，8×2=16，8×8=64。（2）8+2=10，12+3=15，16+4=20。如下图所示：

解析：第一个图形中，从上到下外围数字都是2，内部数字都是它的左上角与右上角两个数字的积；第二个图形中，从右上向左下看，每组数据都是一个等差数列：第一列公差是1，第二列公差是2，第三列公差是3，第四列公差是4„„由此即可解答。

3．双休日期间，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况。如图所示：

（1）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？（2）汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？（3）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？（4）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。

考查目的：联系生活实际，利用数形结合的知识解决问题。

答案：（1）汽车行驶了16分钟，最大速度为30千米/小时。

（2）汽车在2到6分钟、12到16分钟这两个时间段内保持匀速行驶，速度为30千米/小时。

（3）可能发生的情况：汽车加油。

（4）先加速行驶，速度达到30千米/小时，开始匀速行驶，然后减速行驶，直到停下加油。加油后又开始加速，到30千米/小时的速度后匀速行驶，快到目的地时开始减速，最后到达目的地。

解析：通过读图，需要让学生明确：速度不为0就说明汽车在行驶；图象中点的纵坐标的最大值就是最大速度；匀速行驶时，汽车的速度不变；某段时间速度为0，说明汽车没有在行驶，说出一种可能的情况即可；最后一个问题需要结合实际进行描述。

4．分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排，颜色下面是自然数，按下列方式依次排列：

那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？在第几行？ 考查目的：利用数表中的规律解决问题。

答案：2010是图形中出现的第2011个数，而2011÷（7+6）=154„„9，说明2010在154×2+2=310行，具体位置为从右向左第2个，对应颜色是绿色。

答：2010在绿色下面，在第310行。解析：奇数行都有7个数，偶数行都有6个数，循环的周期是13。而且奇数行是从左到右增加的顺序，偶数行是从右到左增加的顺序。2010是图形中出现的第2011个数，用2011除以13得出循环的周期和余数，进一步分析所在的行数，最后确定位置和对应的颜色。

5．用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。

（1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？

（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么，白瓷砖用了多少块？（3）如果所拼的图形中，用了

块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？

考查目的：先找到数与形结合的规律，再根据规律求解。

答案：（1）如下表格所示：

（2）（20÷4-1）×（20÷4-1）=16（块）。答：白瓷砖用了16块。（3）答：花瓷砖用了，块。

（块）。

篇3：数与形的教学反思

教学设计

一、教学内容

苏教版义务教育课程标准实验教科书《数学》三年级 (上册)

二、教学目标

1.初步了解分数加减法的意义。

2.体验、感悟同分母分数加减法的算理, 掌握同分母分数加减法的计算方法, 并能正确进行计算。

3.在学生应用知识解决实际问题的过程中, 感受数学的应用价值, 养成良好的计算习惯, 学会数学地思考。

三、教学过程

(一) 复习、孕伏算理

(二) 探究、感知算理

大屏幕出示“巧克力”。

师:这是什么?

生:巧克力。

师:平常我们称它为“一块巧克力”。小明和小红都吃了这块巧克力的一部分。 (大屏幕上用红色圈出小明和小红吃的)

师:我用长方形来表示这一块巧克力。 (隐去巧克力, 留下长方形) 那么, 小明吃了这块巧克力的几分之几?

师:小红呢?

师:根据图中的信息, 你能提出数学问题吗?

生:两人一共吃了多少?

生:两人一共吃了这块巧克力的几分之几?

生:小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几?

生:还剩下几分之几?

生:小明吃的比小红吃的多几分之几?

生:小红吃的比小明少吃了几分之几?

……

师:大家刚才提的一些问题很有价值。现在我们重点来研究这两个问题:

(1) 小明和小红一共吃了这块巧克力的几分之几?

(2) 小明比小红多吃了这块巧克力的几分之几?

师:同学们思考一下。

师:谁来解决第 (1) 个问题?

生:……

师:想法与生3相同的举手, 请把你的想法再说一说。 (教师有意识地引导学生说这一种)

师:第2个问题, 谁来解决?

生:……

师:减下来, 为什么差的分母还是8呢?

(三) 体验、领悟算理

师:同学们刚才和老师共同研究了“同分母分数的加减法”, 现在老师想请你们自己再来研究, 可以吗?

1.看图列式计算。

师:究竟等于多少?你能根据这道加法算式, 写两道减法算式吗?

师:刚才, 同学们借助图形进一步明白了同分母分数的加减法原理。现在如果老师直接给出算式, 你还能很快算出来吗?

2.计算。 (下面, 我们来比一比。拿出作业纸, 准备好, 限时1分钟)

师:算得真快呀!是不是有什么窍门?说出来让大家分享一下。其他同学同意他们的说法吗?

3.填空。 (能不能用这个窍门, 很快填出括号中的数呢)

(四) 拓展、提升算理

师:看来, 同学们学得真不错。那能不能用所学的知识来解决一些实际问题呢?

1.光明小学三年级学生参加校兴趣小组活动, 情况如下:

根据图中的信息, 你能想到什么数学问题?会解决吗?

(五) 反思、追问算理

请同学们悄悄地问一问自己:这节课, 我学到了什么?还有什么问题想和同学们、老师交流的? (追问:同分母分数相加减, 为什么“分母不变, 只要将分子相加减”)

教学反思

《同分母分数的加减法》一课, 表面看上去内容非常简单, 没有可深究的东西。因为没什么“文章”可做, 所以很少有教师将其选作公开课来上。平常很多教师在教这一课时, 也仅满足于学生会算且很熟练。针对此现状, 我有意将此选作公开课。在研读教材时, 由表及里, 深度挖掘简单教材背后的“不简单”。于是, 学生既了解了“计算方法”的来龙去脉, 又弄清了“计算方法”得来的道理。虽是计算课, 但不干瘪、冰冷, 显得丰满、热烈。反思备课的前前后后, 我有这样的感触:三年级学生的思维——“形象”占主导, “具体形象”的强化符合他们的身心特点。由此出发, 让他们从“形”的感知中, 悟出“算理”, 在“算理”的提升中, 找到“计算方法”。

一、“算理”与“算法”孰重孰轻

上计算课时, 我们都习惯于:尽快让学生知道计算方法, 然后辅之大量的重复练习。我们也深知:这样的教法如同匆匆过客, 很快奏效, 但时间一长, 学生就会遗忘。要想让学生记得深, “算法”的教学绝不能蜻蜓点水。但怎样才能让学生自己寻得计算方法并愉快地接受, 从而熟练地运用它呢?让学生借助现实生活中的实例, 借助图形, 充分理解算理或许能达到这一点。如果算理通了, 计算方法自然会水到渠成。而“算法”的形成必须借助对“算理”的深入理解, 所以, “同分母分数加减法的算理”才是本课的着力点。为了在教学中凸显“算理”, 我反复阅读教材, 深挖教材, 在教学中注入了许多自己独特的创设。

二、“数”与“形”如何巧妙演绎

如果数学学习离开了数学情趣的激发和数学思考, 数学课堂则成了一潭死水。三年级学生的思维离不开“具体形象”, 课堂上需要吸引他们眼球的东西, 而书本给出的例子是静止的, 有时甚至是枯燥的。为吸引学生, 怎么办?怎样让教学内容丰厚起来?我大胆突破教材, 设计了“巧克力”这一鲜活的例子。

吃巧克力, 学生比较熟悉, 比较感兴趣。学生看着巧克力的实物图, 会很自然地想到“一块巧克力”可以分成大小一样的几小块。这样, “一块巧克力”, 既可以看做没分的一大块, 一个整体, 也可以看做是由8小块巧克力组成的一个整体。用这块巧克力, 巧妙地在整数加减法和分数加减法之间架设了一座桥梁, 为学生理解分数加减法的意义, 理清算理抹上了重彩。“巧克力”这一可以将数与形巧妙结合起来的例子, 展开了让学生结合长方形畅说算理的翅膀。

从巧克力到长方形 (隐去巧克力, 留下长方形) , 既体现了数形结合的数学思想, 又把研究的重点转向了让学生充分说算理。结合图形让学生说算理降低了学生表述的难度, 学生可以广开言路, 说出自己心中的真实想法, 说算理时, 在多种想法中, 教师不直接评价, 而是有意识地引领学生朝“几个几分之几加、减几个几分之几等于几个几分之几”进发。这一环节, 也是让教材从现实生活走向数学化的研究思想的具体表现。设计这一环节的目的在于让学生学会探究, 并在探究的过程中自我建构, 感悟算理, 产生浓厚的学习兴趣。

看似平淡的算理与算法变得丰实、饱满、有韵味了;变得富有思考、富有理性了;变得富有情趣、富有灵性了。

篇4：数与形的教学反思

数学教学要有助于培养学生向更高层次发展，即学会自己独立处理问题的变通能力。学好数学最重要的是学会思考数学问题的方法——数学思想方法，而数形结合思想又是最重要的思想方法。我在多年的教学实践中深深地体会到培养学生数形结合这一思想，自觉应用数形结合方法，是提高学生学习数学兴趣，激发学习热情的有效手段之一。

一、数与形结合的手段可简化解题程序，优化解题过程

从试卷反馈的结果来看，大部分学生不知如何分类讨论，更难把握住分类的标准。此题如果能够充分挖掘题目的隐含条件，沟通两个函数的关系，从而用图形语言完善对两个函数性质的描述，则不难发现比较两个函数大小的突破口。已知函数f(x)＝los₂。-1，而函数y=g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于直线x＝4对称，很容易得到两个函数的图像(如图所示)。而由此图形便不难发现问题的结果。

多么简捷的解题过程!多么美观的几何图形!实践证明，生动直观的图形，往往能够启发解题思路，优化解题程序。图形语言有着文字语言无可比拟的优势。因此数学教学中有意识地培养学生文字语言与图形语言之间的“互译”，学会用数形结合观点处理有关问题是很重要的。如果能够做到“心中有图，脑中有像”，数学便不再让人觉得抽象深奥，而是生动具体，直观形象。

二、数形结合沟通了代数与几何的联系，使得代数问题更具体

数学重在对数量关系的研究，而数与形结合能有效地把数量关系与位置关系直观地显现出来，便于从不同侧面、不同角度审视一道题，从而拓宽思路。

此题不难看出，代数问题进行几何解释既拓宽了思路，又理解了代数问题的背景。在构造的图形背景中，掌握数学问题的出发点，并且对数学有从点到面的整体认识。通过教师引导学生挖掘题目的背景，透过本题的表面，结合几何手段深入地研究了此题的本质。对数学各知识点之间的融合与关联起到了一个很好的沟通作用。

三、利用图形的直观性，有效地解决了学生学习的难点

高三复习中，通过对学生数学学习情况的调查和分析显示，学生对于处理含参数方程解的问题认识比较模糊，常常把参数与变量混杂在一起，不知如何讨论。针对这一弱点，这一部分的教学应采取直观手段，让学生感性地去思考此类题，避开冗长的、无头绪的讨论。

如：已知关于x的方程l^{(x-1)g+lg_(3-x)＝lg_(a-x)有且仅一个实数解，求实数a的范围。}

略解：原方程可化为1g_(-x2+4x-3)＝1g_(a-x)等价于-x²+4x-3=a-x lO

学生对于后续的讨论不知如何人手，而且单纯就方程来讨论解，情况复杂且容易漏解。本题最佳解法是从几何意义人手进行突破。令y₁=-x²+5x-3(12=a做出两函数图像(图略)，显然当直线a运动到与曲线段相切或与曲线段在端点处相交时只有一解。通过观察图像易知l

这些新颖、简捷的解法和思考问题的独特方法，以及代数问题几何化的手段，不正是我们教师和学生追求的吗?加强对教材的透彻理解，加强数学的学法指导，让学生从生动形象的几何图形中探索数学奥秘，锻炼、启迪智慧，体会数学美，感受数学美，使身心性情得到陶冶，在美的孕育中学习知识，从而提高对数学学习的兴趣。

(作者单位：江苏省南通市启秀中学)

篇5：《数与形》教学反思

课堂教学是否做到关注每一位学生？是否关注让现实的教育资源成为我们优质的教学素材？是否将问题情境镶嵌在学生主动学习、积极探索当中，而催生对学生终生发展、更有价值的新思维、新思路？是否关注每节课的生命课堂与教学效果？这就是我对这节课深刻体会与反思。

1.先“数”后“形”，培养学生的逻辑能力

小学六年级的学生已具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主，教材在小学中年级的数学教学中，已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，并结合教材挖掘、创造条件开始渗透数形结合思想。进入中高年级后，学生逻辑思维能力已有一定发展，为了使学生更直观的理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，因此本节教材在编排上体现了先“数”后“形”的顺序，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑能力而服务。

2.引导学生数形结合，相互印证。

形的问题中包含数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果、感受数学的魅力。例如，在例1中可以先让学生计算1+3+5+„的得数，使学生发现得到的和都是“平方数”，再通过图形的规律理解“三角形数”和“正方形数”的含义。

3.通过举一反三，培养数学能力。

在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。

4.重视利用图形来分析题意，理清思路，提高解决问题的能力。在本课的配套的练习中，题目中蕴含的信息量较大，直接让学生来读懂题意有一定的难度。因此在教学中，我试图引导学生通过结合图形来分析题目意思，理清数量之间的关系，提高解决问题的能力。

篇6：数与形教学反思

纵观本节课的教学，我感觉亮点之处有：

(1)适当引导与学生的自主学习有机结合。

本节课所复习探究的知识都是在以前的学习中适当渗透的，要让学生真正理解什么是数形结合，教师就必须引导学生结合生活中的实例去认识、去体会、去感悟，所以在自主探究环节，我首先出示三幅不同的统计图，让学生通过分析统计图中的数据，初步认识数形结合的优越性，然后放手让学生回顾或自学课本上的内容，进一步理解体会数形结合在数学学习上的应用，真正做到了以教师为主导，以学生为主体。

(2)练习设计层次性比较清晰。

如果罗列一些练习题，总感觉处理方法大同小异。为此，我在设计练习上从三个方面入手，一是利用数形结合计算，二是利用数形结合找规律，三是利用数形结合解决实际问题，虽然练习题的.难度稍微大一些，但借助示意图或线段图让学生解决，更能让学生体会数形结合解决问题的优越性。

不足：

篇7：数与形听课反思

崔家沟学校

张翠玲

2015年12月18日，我参加了曙光小学举办的校际教研活动，这对我来说是一次非常好的学习机会。这次活动我听了两节同题异构的数学课《数与形》。两位老师的设计各有特色。数形结合是一种重要的数学思想，把数与形结合解决问题可使复杂的问题变得简单，抽象的问题变得直观。在两节课中我收获颇多，现说说自己的体会：

第一,目标定位准确。教学中郝老师让学生经历了观察、操作、归纳等活动帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的联系，体会“形”与“数”能相互解释。整节课数形始终不离，紧紧围绕目标进行。

第二, 注重学生的主体地位, 让学生成为课堂的主人, 老师仅仅起到穿针引线的作用。两位老师课上都是学生自己发现规律，归纳规律并在老师的指引下用图形解释。

第三，擅于把握知识间的联系。数与形怎么结合？是我一直考虑的问题，形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来解决。教学中梁老师从数的角度出发先让学生算发现规律再用图形去解释数的规律从而让学生体会数形的结合，感受数形魅力。

第四、理念不同。两位老师的讲课各具魅力。郝老师课堂上大胆放手的同时起到了很好的点拨作用，顺利完成教学要求。梁老师的课让自己更是耳目一新特别是课的末尾，让本节课达到了一定的深度将知识延伸到了初中的勾股定理以及几何方面的点线面体。更好的让学生体会到了数形结合的思想在以后学习中的运用。

总之，本次的听课学习，让我对自己平时的教学有了更深刻的反省和更高的要求。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。”在以后的教学中，我将不断学习，提升自己。崔家沟学校

数形结合”是六年级上册教材中新编的内容，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数形结合可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，帮助学生理解数运算的意义，可以使思路与过程具体化。

本次年级内的“绿荷杯”赛课莫老师选取这一内容与学生探讨，真是难得。因为这一内容对教师与学生来说都是一个不小的挑战。但莫老师却在课堂教学中与学生演译了别样的精彩。

《数与形》这一内容是让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助 “形”解决一些与“数”有关的问题。莫老师为了让学生理解图形和数字的对应关系，发现相应的数字变化规律，在课堂中做到了以下几点：

一是引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。例如，在教学例1之前，莫老师首先用一组图形 ……让学生去发现图形排列的规律，让学生从形引入，猜下一个图形是什么图形。学生从图形中想到数，单数是，双数，从形到数，教师为学生提供了一个熟悉的、生动形象的情境，让学生通过想象进入了新知的学习。接着在教学例1时，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12，22，32，…的结论；还有的学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论。这时教师引导学生从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22，9=32，…这时老师引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么，学生对规律形成更为直观的认识，从而突出了本课重点及难点。

二是改变学生的学习方法，促进自主探究和合作交流。在课堂学习中，教师不论是“以数解形”、还是“以形助数”，在难点、重点之处都是能较好地引导学生自主探究和进行合作交流，学生在小组合作交流中，把复杂的问题简单化，抽象问题具体化。教师在课堂中相信学生，不以“知识权威”自居，能与学生在同一平台上互动探究，让数学课堂再现学生与教师、学生与学生之间思维的交流与碰撞。

篇8：数与形的内在联系应用

题目一:已知实数x、y、z适合x+y+z=a, (a>0)

求证:

分析:此问题是关于x、y、z的对称问题, 一般采用换元法或增量代换去求最值, 但求各变量范围显得无从下手, 不过还好, 我们采用数形结合

证明:由

知直线与圆一定相交或相切, 故圆心 (0, 0) 到直线x+y+ (z-a) =0的距离不大于半径即化简得0≤z≤

同理

题目二:设m、n∈R, 则关于x的不等式的解集为 (4, 12) , 求实数m、n的值。

分析:若直接解不等式再与解集对照, 则需要对式子右边mx+n的取值范围加以分类, 显然较烦琐, 我们还用数形结合

解:令 (x≥3, y≥0) 作出其图像———抛物线中x轴上方部分

令y=mx+n作直线时, 由题知, 当且仅当4

题目3:等差数列{an}的前n项之和为sn, 若S2>0, S13<0, 指出S1, S2……S12中哪一个值最大, 并说明理由。

分析:若直接采用等差数列前n项和公式, 列出n和d的关系, 利用不等式找出d的取值范围, 虽然可以解决, 但由于不等式的近似原因, 解决的结果还须谨慎取决, 下面改换数形结合。是过原点的抛物线

解:设M (a, 0) 则12

题目4:求的值域

分析:含两个根式的函数, 一般采用换元, 但换元法要求两根式有相同之处或是具备三角函数中的关系, 此式不具备, 改用数形结合。

表示x轴上的点 (x, 0) 与A (0, 2) 和B (-1, 3) 的距离之和

∴函数的值域为

另外提示, 此类构建点的几何关系问题, 采用两固定点, 一流动点。

题目5:已知x1, x2是方程x+lgx=27和x+10x=27的解, 求x+x的值。

分析:因方程不是常规方程, 要直接解很困难, 但注意到y=lgx与y=10x是互为反函数, 用图像关系便较容易。

解:方程x+lgx=27可互化为lgx=27-x

方程x+10x=27可互化为10x=27-x

令f (x) =lgx g (x) =10x h (x) =27-x 显然x1是f (x) 与h (x) 交点的横坐标, x2是g (x) 与h (x) 交点的横坐标, 由于y=f (x) 与y=g (x) 图像关于y=x对称, 直线y=27-x对称, 且直线y=27-x与它们均有一个交点, 故交点仍关于y=x对称, y=x与y=27-x的交点为

题目6:已知定义在R上的函数, f (x) 不恒为零且f (x) 满足f (x+3) =-f (3-x) , f (x+4) =f (4-x) , 则f (x) 的周期T=________

分析:一般求周期均通过f (x) =f (x+T) 形式中的T值, 这需要寻求变量x的替代方式, 期间的灵活性使得此法显得较困难, 而用图像反映很容易便得出结果。

反映很容

综上:对于范围问题、最值问题、非常规问题、式子两边性质不同问题、有关解的情况问题, 周期问题能用式子的图形关系去反映解决, 往往使问题得到简化。然而, 数与形的内在联系, 不仅反映在以上方面, 还反映在形的数字含义上。

题目7:△AOB是边长为2的等边三角形, 直线x=t截这个三角形于直线左方的面积为y, 则y=f (t) 的大致图像为

分析:易知阴影面积的图形关于对称;又知其大小在[0, 1]上的增加速度先慢后快, 故曲线y=f (t) 应是先缓后陡。

题目8:二次函数的图像如图, 则=_________

分析:本题属于信息给予题, 即从题中反馈a, b, c的符号信息。

解:设ax2+bx+c=0的两根为x1, x2, 则而由图知a<0, c>0,

题目9如图, 定圆半径为a, 圆心为 (b, c) , 则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在第____象限。

分析:由图形知:-b>a>c>0

解:联立

得交点为 () 由-b-c>0, a+b<0, a-c>0, 则交点在第三象限。

篇9：数与形的和谐

一、分形图形诠释着数学美与自然美结合的一致性

数学美指用以描述自然规律之数学形式本身所包含的美,它富有很强的理性色彩,也能启迪我们认识并创造美。这一思想可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派,著名的“黄金分割率——0.618”就是其代表。这个无理数在现实中无法精确实现,但它揭示了自然美的一个基本特性:“和谐性”与“奇异性”的对立统一,对现代设计产生了深远的影响。毋庸置疑,自然界的真实形态复杂纷繁、变化万千,难以用传统几何要素或几何图形来仿真,像隆起又隆起的山脉,龟裂再龟裂的旱田,弯弯曲曲的海岸线、大泡套小泡的肺脏,这些形体在自然界比比皆是,为了某种科学的研究,企图用规划的几何形态近似这些复杂形态是达不到目的的。自然界的形态有一个明显而共同的特征,就是一分再分,部分与整体呈现某种自相似性,分形几何学创始人曼德勃罗把这样的形体称为分形。随着信息时代计算机的迅速发展,图形艺术创作被赋予新的设计方法和表现形式,以数字化为特色的创作方式成为一种设计时尚。分形图形的创作属于计算机算法式创作,它的使用为计算机逼真模拟自然景物提供了便利。分数维数的计算能更好地表现大自然中的各种事物形态,使我们认识到云彩不是球面,山峰不是圆锥,闪电并不按直线前进。这种粗糙而不光滑、凹凸而不圆润的现实世界被分形几何学描绘出来,为我们的图形艺术设计带来一种全新的思维方式。我们开始试图在脑海里重新勾勒各种图形画面的造型、面积、色彩,从而为创造复杂多样的视知觉活动开辟新的途径。

二、分形的基本特性对图形艺术的影响

分形的三大基本特性营造出复杂而有序的图形外部形态,丰富了现代图形多样化的视觉感受新格局,以下将逐一阐述这些基本特性对图形创作的影响。分形的特性之一:无限细分性。由计算机生成的分形图形具有精细结构,将画面任意一个部分放大都会发现被放大部分的内部结构还有小的物质结构,如果计算机的精度不受限制的话,可以无限地放大它的边界。随着图形区域的放大,新的结构元素不断展现,它既是分散的,又是完整的。就如同万花筒里的碎屑一样,当我们给予某种程序的排列时,它就能组合成一幅美丽的图案。分形图形在细分过程中每块形状的变化、每种颜色的过渡都是一种自然的流动,毫无生硬之感。在过去的图形创作中,我们曾绞尽脑汁、想方设法地让各种光滑的几何形经过反复的“切割”、“穿插”、“重叠”、“分离”来组合成设计师创意的构想,而分形的这一特性将为图形设计提供更多的组合秩序与法则。分形的特性之二:被细分的个体与整体形态呈现相似性。我们知道,从包豪斯运动开创现代设计以来,图形设计追求简洁、几何化的特性,所以几乎很难从现代图形本身找到自相似性的特征。而传统的中国古代图形跟现代图形具有很大的差异性,传统图形直接来自于复杂的自然形态,对其进行相对的简化处理,按照一定的构成方式进行组合,比如二方连续、四方连续等等。图形的这些组成方式一般都具有重复的特征,这种重复的组合就在某种程度上具有了自相似的特性。这一点可以从古代瓷器上的花纹图形中看出来,很多古代瓷器图形都是对自然形态的描绘,比如对复杂的花与叶和枝的缠绕的表现,还有那些具有民族特征的传统图形也都具有某种自相似的特征。所以,来自于自然形态的中国传统图形在一定程度上也具有自相似的特性。这种传统图形“自相似特性”的审美情趣为分形图形自相似特性的审美意义奠定了基础。同时,使我们在欣赏分形图形的时候也从感官与视觉经验上找到了一种与传统审美的切入点。分形的特性之三:不规整性。现代几何图形如:□△○等常常被看作是“冷酷无情”和“枯燥乏味”的,因为它们通常无力描绘自然界许多支离破碎和不规则的形态,而对分形“不规整性”的研究为科学和艺术领域唤发出新的生命,过去被欧几里德认为是“无形状可言的”的形态如今却被分形几何描述得栩栩如生。不规整性造成了视觉上的活跃感,突破了画面仅仅只通过一个力点来达到平衡的状态,但这并不与人的知觉特性相冲突。因为分形的“无限细分性”和“自相似性” 有规律地将所有形态的量感分散到多个力点上,具备清晰的方向、一定的大小形态、过渡自然的色彩。正像贡布里希所说的“审美快感来自于对某种介于乏味和杂乱之间的图案的观赏。单调的图案难于吸引人们的注意力,过于复杂的图案则会使我们的知觉系统负荷过重而停止对它进行观赏。”

三、分形图形促使科学思维与艺术思维的共同发展

凝结了人类思维创造活动的现代数字艺术设计,是社会进步的文明产物,也是当代科学思维和艺术思维的结晶。

在分形几何提供的算法下,利用数学函数的迭代所描绘的是自然现象中混沌和分形的美丽图景,一种分形公式对应着一类分形图形。在计算过程中,富有节奏感的“数字”与“形状”能时刻带给我们心灵上的震撼和愉悦。人类在加速对科学发展的深入了解后,也为储存在脑内的巨大能量所震惊,尤其是分形图形在计算机上的实现。这些原本是科学家基于对分形几何学的研究而得到的数学公式的图式,竟产生了如此不同凡响的视觉效果,为我们的视觉思维创造力带来了极大的推动。计算机分形图形的创作促使人脑两半球的共同营运,既能以理性、逻辑思维分析图形的形态结构,又能以感性、直觉思维体味图形的艺术含义,两者的结合有力地促进了人类思维的发展。

总的来说,分形图形的创作是利用数学方程对物质结构及其相互作用和运动规律本身的描述,它孕育着一种科学的理性美,也是将技法处理置于情感之上来进行的纯理性表现。作为数字化时代的艺术工作者必须具备对这些数字数列规律的审美能力,才能更有效地在人的尺度下进行艺术设计创作。

注释

①辜居主编:《数字化艺术论坛:回顾与展望》,浙江人民美术出版社2002年版。

②[英]肯尼思•法尔科内著,曾文曲、刘世耀译:《分形几何——数学基础及其应用》,东北工学院出版社1991年版。

③孙博文:《电脑分形艺术》,黑龙江美术出版社1999年版。

④吴振奎、吴旻编:《数学中的美》,上海教育出版社2002年版。

⑤[英]E•H•贡布里希著,范景中、杨思梁、徐一维译:《秩序感——装饰艺术的心理学研究》,湖南科学技术出版社1999年版。

篇10：数与形教学设计

教学内容：人教版小学数学六年级上册《数与形》107-108页 教学目标：

1、使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。

2、使学生会利用图形来解决一些有关的问题。

3、使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合与归纳推理数学思想。

教学重难点：

1、结合具体实例理解数形结合的思想方法。

2、运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。教学准备：学习单（正方形、线段、圆形）

练习纸 教学过程：

（一）创设情境

谈话导入：一提到数学一会想到什么？ 预设：数字、图形、计算……

揭示课题：把你们说的可以分为两类，一类是数，一类是形，今天我们就来研究数与形。

（二）建立模型

一、教学例1 师：这是一组图形，你发现他们的规律了吗？请用数或式子表示你发现的规律。

学生独立思考，教师巡视指导：

预设：

1x1=1

2x2=4

3x3=9

4x4=16

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16 展示交流：

师：你能说说你是怎么想的吗？ 预设：

生：我是从小正方形的个数上来想的 生：我是从整个图形的面积上来想的 生：我是从每次增加的正方形数来想的

师：你这种观察的角度有点不一样，我们用不同颜色给区分一下（是将提前准备好的不同颜色纸条贴到黑板上）

虽然我们观察的角度不同，但是这三种方法都能表示这组图形的规律，是不是？

生：是

师：我们把这三种方法整理一下，来看黑板，1x1还可以写成1²，1=1²，2x2=2²=4.1+3=4，所以1+3=2²，1+3+5=3²，+3+5+7=4²。

师：那你觉得图形中有数的影子吗？ 生：有

师：那我们继续研究，大屏幕出示图形，你能知道这个图形对应的式子是什么吗？

生：1+3+5+7+9=5²

师：你知道1+3+5+7+9+11这个式子对应什么样的图形吗？ 生：边长为6的正方形

师：是不是这样呢？我们来看大屏幕

师：我们能从图形中看到数的影子，从数中又能发现图形，那你们觉得数与形有关系吗？ 生：有

师：那我们继续研究：

1、先观察这些式子的左边有什么特点？

2、再从左往右依次观察这些式子你有什么发现？ 师：先独立思考，在把你的想法和同桌交流 汇报交流：

小结：从1开始连续相加奇数的和等于奇数个数的平方。练习：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1

二、教学例2

1、请看大屏幕，你发现这组算式的有什么特点吗？ 生：第二个数开始每个数都是前一个数的二分之一。

2、师：算式右边的省略号表示什么意思？有无数个

3、尝试用画图的方法解决 展示交流：学生交流、课件展示

我们通过图形发现，这组算式的结果有的同学认为等于1，有的同学认为无限接近于1.无论是等于1还是无限接近1，总之它跟1有关系。既然图形不能准确解释，那我们用数来试试：

（三）解释应用

篇11：数与形教学设计

数与形教学设计

乌鲁木齐市第112小学

李 玲 2015年10月10日

数与形教学设计

教学目标：

1、结合具体实例初步理解数形结合的思想方法。

2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。

3、在解决实际问题的过程中体会数与形的密切联系，感受数学知识的奥妙，激发学习数学的兴趣。

教学重点：结合具体实例初步理解数形结合的思想方法。教学难点：运用数形结合的方法探索规律，解决实际问题。教学过程：

一、情景引入

师：同学们，最近老师发现自己有一项非常神奇的本领，那就是像1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9+……这样的算式我都能快而准确的算出答案，你们信吗？

生：不信

老师出一个算式大家一起算。

师：这个方法快吗？你们想不想跟老师一样算的快而准确呢？ 生：想

师：其实呀老师是借助于图形（形）发现这个方法的，今天这节课我们就一起学习（数与形）。板书

二、动手实践，以形解数

1、我先拿出1个小正方形，最少再拿出几个这样的小正方形可以拼成一个大正方形（学生跟着老师一起拼），在图2的基础上最

少再拿出几个这样的小正方形又可以拼成一个大正方形（学生跟着动手）

2、请同学们观察这三个图，完成学案一

3、图2和图3各有几个这样的小正方形？

（1）同学们动动脑，尝试用算式表示出每个图形中小正方形的个数。

生：1×1=1=1 2×2=4 =2 3×3=9=3 还有其它的算式表示方式吗？ 1+3 1+3+5 如果我们把刚才同学们表示图中小正方形的个数而列出的不同算式综合起来会是什么样的呢？ 1=1 1+3=2 1+3+5=3

（2）观察图和这些算式，你发现了什么？（小组交流，汇报）

小组1：从图1开始，小正方形的个数是在前一图的基础上分别加3，加5.大正方形左下角的小正方形和其它“”形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。

小组2：左边加法算式里的加数都是奇数。小组3：有几个加数和就是几的平方。举例说明

小组4：第几个图形就有几个加数相加，和就是几的平方。举

222222

例说明。

小组5：从1开始的几个连续奇数的和正好是几的平方。举例说明。

根据同学们刚才的发现，请同学们完成学案二

1+3+5+7=（）2 1+3+5+7+9=（）2

------------------------------=92 学生借助图形加以验证。

师：同学们真是善于观察和思考，从数思考了形。那下面就利用我们刚才发现并加以验证的规律来解决一些问题，完成学案三（1）1+3+5+7+5+3+1= 1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（2）做一做第2题（3）练习二十二第2题 拓展题：

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=

三、课堂小结