惠州学院高等数学

2022-07-04

第一篇：惠州学院高等数学

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书读百遍，其义自见。——陈寿《高等数学一》教学大纲

课程名称：高等数学一 Advanced Mathematics (1) 课程类别：必修

总学时：90+90

周学时：5+5

学分：5+5 主编姓名：艾军

单位：数学系

职称：副教授

主审姓名：王振堂

单位：数学系

职称：副教授

授课对象：本科生

专业：专业：物理学院：材料物理、物理学、核工程与核技术、电子学、微电子学(2+2合作办学)、临床医学(八年制)-物。地理学院：资源环境与城乡规划管理(经济地理与城乡规划)、水文与水资源工程、资源环境与城乡规划管理(水资源与环境)。化工学院：应用化学(化学生物学)、应用化学(理化检验技术)、化学、临床医学(八年制)-化、材料化学、化学工程与工艺、高分子材料与工程、应用化学。环境学院：大气科学、应用气象学、环境科学、环境工程。中山医学院：生物医学工程。工学院：理论与应用力学、热能与动力工程、交通工程。资讯管理系：信息管理与信息系统。信科学院：自动化、通信工程、电子信息科学与技术。

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软件学院：软件工程通信软件，国防生、软件工程(计算机应用软件)、软件工程(数字媒体)、软件工程(嵌入式软件与系统)、软件工程(电子政务)教务办(逸仙班)。年级：一年级

编写日期：2009年5月18日

一、课程目的与教学基本要求

本课程是为全校物理类各专业，以及其它对于数学知识要求较高的理工科相关专业所开设的一门必修基础课。课程主要讲授连续量的运算体系及其相关数学理论。课程目的是使学生掌握微积分基本知识以及学习科学的思想方法，培养和提高学生的数学逻辑思维能力，实际运算能力和创造性思维能力，为各自后续的专业课程学习以及今后从事科学技术工作打下比较坚实的数学基础。

本课程要求学生能比较熟练的掌握微积分基本理论与基本方法，具有一定的数学逻辑思维能力与较强的运算解题能力，初步培养科学的思想方法以及运用数学工具解决实际问题的能力。

二、课程内容

本课程主要内容是连续量的运算体系及其相关数学理论。内容包括一元函数微积分，多元函数微积分，常微分方程，无穷级数等。讲授时间为两个学期，两学期周学时安排都为5+1学时，其中课堂教学总时数安排160学时(80学时/学期)，机动时数10学时，另外安排

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有32学时的辅导答疑时间。

讲授内容与学时安排如下：

第一章

函数与极限

(12学时)

§1 实数(0.5学时) §2变量与函数(1.5学时) §3 序列极限(3.5学时) §4 函数极限(3.5学时) §5连续函数(2学时)

§6闭区间上连续函数的性质(1学时)

教学要求：理解函数、复合函数、分段函数的概念。熟练掌握函数的各种运算。理解极限的ε-N、ε-δ定义。掌握极限的四则运算法则。了解极限的两个存在准则，熟练掌握两个重要极限。理解函数连续的概念。会判断间断点的类型。理解函数连续与极限两个概念的关系，了解初等函数的连续性，并会求连续函数的极限，能运用闭区间上连续函数的性质。

重点：极限的概念，利用极限存在的准则与两个重要极限求序列与函数极限的方法。函数的连续性，连续性的判别以及闭区间上的连续函数的性质。

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难点：极限的ε-N、ε-δ语言定义，连续性概念的ε-δ语言定义。

第二章

微积分的基本概念

(14学时)

§1 微商的概念(2学时)

§2 复合函数的微商与反函数的微商(3学时) §3 无穷小量与微分(1学时) §4 一价微分形式不变性(2学时) §5 微分与近似计算

§6 高阶导数与高阶微分(1学时) §7 不定积分(1学时) §8 定积分(2课时) §9 变上限定积分(1学时) §10 微积分基本定理(1学时)

教学要求：理解导数与微分的概念及函数可导与连续性的关系。理解并熟练掌握导数及微分的基本公式和运算法则，熟练掌握复合函数、隐函数、参数方程所定义函数及变上限定积分的求导方法，能熟练计算各种初等函数的一阶、二阶导数，熟练掌握牛顿--莱布尼兹公式。

重点：函数可导与可微的概念，可导与连续的关系，初等函数导

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数的求法。

难点：复合函数、隐函数及参数方程所定义函数的求导方法。

第三章

积分的计算及应用(12学时)

§1 不定积分的换元法(3学时) §2 分部积分法(2学时)

§3 有理式的不定积分与有理化方法(3学时) §4 定积分的分部积分法则与换元积分法则(3学时) §5 定积分的若干应用 (1学时)

教学要求：理解不定积分和定积分的概念与性质。熟练掌握不定积分和定积分的换元法与分部积分法。会计算简单的有理函数，三角有理函数的积分。

重点：不定积分和定积分的换元法与分部积分法。

难点：换元法与分部积分法，有理函数的积分。

第四章

微分中值定理与泰勒公式

(14学时)

§1 微分中值定理(2学时)

§2 柯西中值定理与洛必达法则(3学时) §3 泰勒公式(3学时)

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§4 关于泰勒公式的余项(1学时) §5 极值问题(3学时)

§6 函数的凸凹性与函数作图(2学时)

教学要求：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理。理解函数泰勒展开的意义和方法。掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法。掌握判断函数的单调性与凸凹性的方法，会求曲线的拐点，渐近线并作出函数的定性简图。

重点：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，常见函数的马克劳林级数展开式，洛必达法则，函数性态与作图。

难点：中值定理运用，极值求法。

第五章

向量代数与空间解析几何(8学时)

§1 向量代数(1学时) §2 向量的空间坐标(1学时) §3 空间中平面与直线的方程(3学时) §4 二次曲面(1.5学时)

§5 空间曲线的切线与弧长(1.5学时)

教学要求：了解空间中向量的表示，掌握向量的各种运算。熟练掌握空间中平面与直线方程的各种形式，并能根据已知条件求出平面

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与直线方程。理解空间中平面与直线的相互位置关系及对应的代数运算。了解空间曲面的标准方程，知道空间曲线的参数方程及切线与弧长。

重点：向量的运算，空间中直线、曲线、平面、曲面的方程。

难点：向量的各种运算及几何意义，空间直线与平面方程的确定。

第六章

多元函数微分学

(20学时)

§1，多元函数(2学时) §2，多元函数的极限(2学时) §3，多元函数的连续性(1学时) §4 偏导数与全微分(3.5学时) §5 复合函数的微分法(2.5学时) §6 方向导数与梯度(1.5学时)

§7 多元函数的微分中值定理与泰勒公式(1.5学时) §8 隐函数存在定理(2学时) §9 极值问题(3学时)

*§10 曲面的切平面与法向量，(1学时)

教学要求：知道二元函数的极限，连续,偏导数，全微分，偏导数连续等概念及其相互关系。熟练掌握复合函数的求导法则，会求二阶偏导数，会求隐函数的偏导数。会求二元函数的极值，了解条件极

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值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求空间曲面的切平面与法线方程。

重点：偏导数、全微分的概念，复合函数的求导法则，隐函数求导，全微分存在的必要条件与充分条件。

书读百遍，其义自见。——陈寿

难点：全微分的概念，复合函数的求导。

第七章

重积分

(12学时)

§1 二重积分的概念与性质(1学时) §2 二重积分的计算(5学时) §3 三重积分的的概念与计算(5学时) §4 重积分的几何应用举例(1学时)

教学要求：理解重积分的概念，能熟练掌握二重积分的计算法(直角坐标、极坐标)掌握三重积分的计算法(直角坐标、柱坐标、球坐标)

重点：重积分的概念，重积分的计算方法。

难点：二重积分、三重积分化为累次积分的方法。

第八章

曲线积分与曲面积分

(20学时)

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§1 第一型曲线积分(2学时) §2 第二型曲线积分(3学时)

§3 Green公式、平面第二型曲线积分与路径无关的条件(4学时) §4 第一型曲面积分(2学时) §5 第二型曲面积分(4学时) §6 Gauss公式与Stokes公式(4学时) *§7 场论(梯度、散度与旋度)初步(1学时)

教学要求：理解两类曲线积分的概念，能借助曲线的参数方程将它们化为定积分。理解两类曲面积分的概念，会计算两类曲面积分。理解并熟练掌握格林公式，会运用平面上曲线积分与路径无关的条件简化积分的计算。掌握高斯公式，了解斯托克斯公式。了解梯度、散度、旋度的概念。

重点：两类曲线积分与两类曲面积分的概念以及它们的计算方法。格林公式、高斯公式。曲线积分与路径无关的条件。

难点：曲线积分与曲面积分的计算，格林公式，高斯公式。

第九章

常微分方程

(12学时)

§1 基本概念(1学时) §2 初等积分法(4学时)

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§3 微分方程解的存在唯一性定理(0.5学时) §4 高阶线性微分方程(2学时) §5 二阶线性常系数微分方程(2.5学时) §6 常数变易法与Euler方程(2学时)

教学要求：理解微分方程，解，通解，初始条件，特解等概念。熟练掌握初等积分法求解一阶微分方程。理解线性微分方程通解的结构，熟练掌握二阶线性常系数齐次方程的解法。掌握非齐次项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数形式的二阶线性常系数非齐次方程的解法。

重点：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性微分方程、贝努里方程、全微分方程。常数变易法。线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次与非齐次方程的解法。

难点：可降阶的一些高阶方程的降阶解法。线性微分方程通解的结构及解法。

第十章

无穷级数

(18学时)

§1 Cauchy收敛原理与数项级数的概念(3学时) §2 正项级数的收敛判别法(3学时) §3 任意项级数(3学时) §4 函数项级数(3学时)

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§5 幂级数(3学时) §6 Taylor级数(3学时)

教学要求：理解级数收敛与发散的概念。了解级数收敛的必要条件。熟练掌握正项级数的比值审敛法，根值审敛法。熟悉等比级数与P-级数的敛散性。掌握任意项级数的绝对收敛及条件收敛。理解函数项级数一致收敛概念及其判别方法。熟练掌握幂级数收敛域及其和函数的求法，知道幂级数在其收敛区间内的基本性质。掌握将函数展开为幂级数的方法。

重点：数项级数的敛散性判别法。幂级数的和函数求法以及常用函数的幂级数展开式。

难点：级数敛散性判别法，绝对收敛，条件收敛及一致收敛概念，展开函数为幂级数。

第十一章

广义积分与含参变量的积分

(10学时)

§1 广义积分(4学时)

§2 含参变量的正常积分(2学时)

§3 含参变量的广义积分 Γ函数和Β函数(4学时)

教学要求：理解广义积分收敛与发散的概念。熟练掌握广义积分敛散性的判别方法。掌握广义积分的绝对收敛及条件收敛的判别方法。

重点：广义积分的敛散性判别法。绝对收敛，条件收敛及其判

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别方法。

难点：绝对收敛，条件收敛及其判别方法。

第十二章

傅氏级数

(8学时) §1 三角函数系及其正交性(1学时) §2 周期函数的傅氏级数及其收敛性(3学时) §3 贝塞尔不等式与帕斯瓦尔等式(2学时) 附录：傅氏积分与傅氏变换(2学时)

教学要求：知道傅氏级数的收敛定理，能将给定函数展开为傅氏级数，正弦级数或余弦级数。

重点：傅氏级数的概念，函数的傅氏展开式。难点：傅氏级数的收敛性。

三、使用说明

1、学时安排为授课时数，不含辅导答疑时间，每周可以另外安排1学时作习题课或辅导答疑时间。

2、授课总时数安排了160学时，另有10学时为机动时间，作为法定假日或其它需灵活掌握的时间。

使用教材: 高等数学(上、下册) 李忠周建莹编著

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北京大学出版社，2004年6月第一版

四、主要参考书目

高等数学简明教程(

一、

二、三册) 李忠周建莹编著

北京大学出版社，1999年8月第一版

数学分析简明教程(上、下册) 邓东皋尹小玲编著

高等教育出版社，1999年6月第一版

书读百遍，其义自见。——陈寿

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第二篇：高等数学A课程教学大纲-北京师范大学数学科学学院

大学数学(B)

Undergraduate Mathematics (B)

【课程编号】(必备项) 【学分数】(12) 【学时数】(216)

【课程类别】(学科基础课) 【适用专业】(化生电体等) 【编写日期】(2007-5-24)

一、教学目标

目前，我国非数学专业大学数学课程教学大体上分为三类四级：理科类 (大学数学A)、工科类 (含大学数学B和大学数学C)、文科类 (大学数学D)。它是为培养我国社会主义现代化建设在各个领域所需要的高质量专门人才而设立，其中大学数学(B)是工科类本科对数学要求较高的专业学生必修的一门重要基础理论课。通常适合如下专业：化学、电子商务、工商管理、会计、资源环境、环境工程、环境系统、资源环境与工程、信息管理系统、人力资源、公共卫生、体育经济等。

通过对大学数学(B)的学习要使学生掌握以下内容：

1、函数与极限;

2、一元函数微积分;

3、空间解析几何;

4、多元函数微积分;

5、无穷级数;

6、常微分方程;

7、线性代数(某些专业还需要概率统计)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在教授这些知识的过程中，要通过各个教学环节和各种教学手段有意识地、有目的地逐步培养学生的实际运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力和自学创新能力，尤其还要注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容和学时分配

本课程安排分大学数学B(I)和B(II)两学期授课，总学时为216= 108+108，学分为12=6+6。

(一)总论(或绪论、概论等)

学时(课堂讲授学时+课程实验学时)

选词说明：在下面的表述中，对课程教学基本内容的要求由低到高的用词通常为：“了解”、“会„”、“理解”、“掌握”、“熟悉”等。

1 具体含义解释如下：

了解：能描述所讲内容的大概意思、用途和用法，能知道这些内容的出处并在需要时能随时查找出来。

会„：在对所讲内容了解的基础上，还要会应用这些知识去解决一些比较简单的理论或实际问题。如会求、会用、会解、会算、会建立、会判断、会陈述、会举出„实例等等。

理解：对所讲内容能用自己的语言进行讲解或作出解释，并能提出为什么„的原因。在“会„”的基础上，对所得结果能进行正确的评价。

掌握：在对所讲问题理解的基础上，还要能举一反三，触类旁通;对内容的实质内涵能正确提取并加以区分;能从不同角度对内容作出正确解释;能用比较简单的方法解决一些比较复杂的问题，并对结果作出正确估计。

熟悉：能综合利用所掌握的知识对新问题进行全面、正确的分析研究并制定合理的解决方案或方法，获得正确结果，并对这些方法和结果进行总结推广。打*号的内容未计学时也不作要求，学生可自学，老师可选讲。

(二)主要内容(BI)：(共108学时) 第一章

函数、极限、连续

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解函数的概念及函数的特性(奇偶性、单调性、周期性、有界性)。 2. 理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 4. 理解极限的概念(对于给出

求N或不作过高的要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

5. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。 6. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。 7. 理解函数的点连续和连续函数的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 8. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最值定理)。

第二章

一元函数微分学

学时28(课堂讲授22学时+课程实验与习题课6学时) 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些几何量和物理量。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

2 4. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 5. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

6. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最值应用问题。 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 9. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 *10. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

第三章

一元函数积分学

学时30(课堂讲授22学时+课程实验与习题课8学时) 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。 *6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

第四章

无穷级数

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，*会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

3 xe，sinx，cosx，ln(1x)(1x)9. 会用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

*10. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

*11. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(，)和(l，l)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。

第五章

常微分方程

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时)

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。

3. 会解全微分方程。

(n)4. 会用降阶法简化下列方程：yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5. 理解二阶线性微分方程解的结构。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7. 会求自由项形如P(n)(x)e、e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微

xx分方程的特解。 8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

(三)主要内容(BII)：(共108学时) 第六章

向量代数与空间解析几何

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。 2. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 3. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 4. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

4 第七章

多元函数微分学

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 8. 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最值应用问题。

第八章

多元函数积分学

学时26(课堂讲授20学时+课程实验与习题课6学时)

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 *3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。

*4. 掌握格林(Green)公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件。

*5. 了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的计算公式。 7. 会用重积分(*曲线积分及曲面积分)求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

第九章

线性代数

学时48(课堂讲授38学时+课程实验与习题课10学时)

1.会求全排列的逆序数，了解对换的性质;理解行列式的定义，熟悉

二、三阶行列式的计算。

2.掌握行列式的运算性质和展开性质;熟悉克莱姆法则。

3.了解矩阵的定义，掌握矩阵的运算法则;会判别方阵的可逆性并掌握可逆矩阵求逆的方法。

4.了解矩阵的分块法及其运算性质。

5.了解向量的一般定义及其运算性质;掌握向量组的线性相关性及其判别法;会求向量组的秩和最大线性无关组。

6.掌握矩阵的初等变换法及其用途，了解初等方阵的定义及运算性质。

7.了解向量空间的有关定义，会求向量空间的维数和基并会用基生成该向量空间。

5 8.会判别线性方程组解的存在性，并能利用矩阵的初等行变换求解线性方程组。 9.了解向量的内积、方阵的特征值、特征向量及矩阵的相似性的定义，并会求方阵的特征值、特征向量，会判别相似矩阵的存在性。

10.掌握实对称矩阵的相似矩阵的计算法，尤其是对角化方法。会用实对称矩阵的对角化方法化二次型为标准型。会用配方法化二次型为标准型。

11.会判别矩阵及二次型的正定性。

*12.了解线性空间的定义与性质，理解线性空间的维数、基与坐标的概念。掌握基变换与坐标变换公式，熟悉线性变换及其矩阵表示式。

三、教材与学习资源：

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，《线性代数》第四版。同济大学应用数学系主编，高等教育出版社参考书目：

1.《高等数学》上、下册，李天林编，北京师范大学出版社 2. 大学数学《一元微积分》，萧树铁主编，高等教育出版社

3. 大学数学《多元微积分及其应用》，萧树铁主编，高等教育出版社

4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社

5.《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社

6.王金金、李广民、于力编：《新编高等数学学习辅导》—— 配合同济高等数学(第四版上、下)，西安电子科技大学出版社，1999. 7.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社

8.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

9.《微积分(Calculus)(英文版)》，(美)Dale Varberg，Edwin J.Purcell，Steven E.Rigdon著，机械工业出版社

10.《Calculus》，Zhang Fengling，Yao Miaoxin，Zhang Yuhuan，Tianjin Unversity Press

四、先修课要求及教学策略与方法建议

要求学员先修完成初等数学课程; 教学策略精讲多练;

建议学员课前预习，课堂认真听讲，课后多练习。

五、考核方式：

闭卷考试 (120分钟)

北京师范大学数学科学院

蔡俊亮

2007年5月24日星期四

第三篇：考研.数学高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点;若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。 x1|x1|

【例题2】(1)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点;

(2)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。当0|xa|时，有xa【解答】(1)设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

(2)设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。 0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1(罗尔中值定理)设函数f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2(Lagrange中值定理)设f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

(1)中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。 ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b);

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

(2)对端点a,b有依赖性。

(3)端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3(Cauchy中值定理)设f(x),g(x)满足：(1)f(x),g(x)C[a,b];(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导;(3)g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。 g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。 1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。 2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

(1)证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

(2)证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。 f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。 x3

定理4(泰勒中值定理)设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)， 2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)， 2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。 (n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。 3!(2n1)!

x2(1)n

3、cosx1xo(x2n)。 2!(2n)!

11xxno(xn)。 1x

11x(1)nxno(xn)。

5、1x

4、

x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用【例题】求极限limx0xsinx。 x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2， 2!f(x)1，证明：f(x)x。 x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。 3

第四篇：河南机电高等专业学院专业介绍

通信网络与设备专业

(专科，中外合作办学项目)

培养目标：本专业主要培养从事通信设备、通信网络使用及维护，能初步设计分析及安装调试通信系统和网络等工作;熟悉通信工程与通信网络施工监理过程;具有较强计算机专业技术能力、英语应用能力的高素质技能型专门人才，河南机电高等专业学院专业介绍。

主要课程：计算机文化基础、通信技术概论、电路、模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统、高频电子线路、通信原理、专业外语、数字信号处理、通信电路仿真、程控交换技术、光纤通信技术、移动通信终端设备应用与维护、电子设计自动化、通信电源、信息系统、操作系统、信息安全、电信基础等。

本专业为中外合作办学项目，学生在校期间，除了学习通信网络与设备方面的基本理论及基本技能，还要学习相关计算机信息管理方面的知识，并接受外籍专家的英语强化训练，有1/3的专业课采用双语或纯英语讲授。项目下学生成绩合格将获得我校专科毕业证，可选择去美国西雅图城市大学继续学习。汽车技术服务与营销专业介绍双击自动滚屏发布者：汽车系发布时间：2010-5-4 阅读：332次

汽车技术服务与营销专业

专业培养目标：培养热爱社会主义祖国，拥护党的基本路线，适应社会主义市场经济需要的，掌握汽车技术服务与营销基础理论知识，从事汽车及零部件销售、服务管理、汽车金融、保险与理赔工作的德、智、体、美等方面全面发展的高素质技能型专门人才，自我鉴定《河南机电高等专业学院专业介绍》。

专业主要课程：经济数学、英语、汽车构造、汽车性能与使用、汽车营销、汽车售后服务管理、汽车保险与理赔、消费心理学、汽车金融服务、汽车贸易理论与实务、客户关系管理、汽车服务维修企业管理、二手车评估与鉴定、汽车驾驶理论与交通法规。

主要实践环节：汽车构造认识实习、汽车市场营销方案设计、汽车售后服务流程实训、汽车技术服务与营销实习、汽车驾驶实训、职业资格技能实训、毕业实习、毕业设计。

毕业生具有能力：汽车营销策划能力;汽车贸易的促销和企业管理能力;汽车市场调查能力;二手车评估与鉴定的初步能力、汽车保险理赔业务工作能力、机动车驾驶能力。

就业面向：面向各类汽车制造及维修、配件销售、保险、租赁企业、4S店等从事整车销售、配件供应与管理、车辆维护、产品信息咨询、汽车展览策划、汽车信贷、汽车租贷、汽车及零件部件进出口业务管理、机动车交易、评估、保险、理赔等工作。汽车电子技术专业介绍双击自动滚屏发布者：汽车系发布时间：2010-5-4 阅读：2051次

汽车电子技术专业

专业培养目标：培养热爱社会主义祖国，拥护党的基本路线，适应社会主义市场经济需要的，掌握汽车电子技术理论知识，从事汽车电器与电路的运行、调试、故障排除、运行管理和经营销售工作的德、智、体、美等方面全面发展的高素质技能型专门人才。

专业主要课程：高等数学、英语、机械制图、汽车电工材料、汽车单片机与局域网技术、电机与拖动、电动汽车、汽车发动机构造、汽车底盘构造、汽车电气设备维修、汽车电路分析、汽车电子控制技术、汽车检测与诊断技术等。

主要实践环节：金工实习、电工实习、电子实习、汽车电气课程设计、汽车电子电器维修实训、汽车拆装实习、汽车电气实习、汽车电子控制技术实习、技术等级证书考核实训、毕业实习、毕业设计。

毕业生具有能力：汽车电子电器与电路的运行、调试的能力;汽车性能检测与常见故障诊断的能力;汽车电子测试、维修与故障排除的能力;机动车驾驶能力。

就业面向：面向汽车制造、汽车维修、汽车电子控制部件制造、汽车配件销售、汽车服务部门，从事汽车电子技术的检测、实验、维修、技术服务与管理等工作。汽车检测与维修技术专业介绍双击自动滚屏发布者：汽车系发布时间：2010-5-4 阅读：412次