积分不等式的证明方法

第一篇：积分不等式的证明方法

积分不等式的证明及应用

衡阳师范学院

毕业论文(设计)

题 目：积分不等式的证明及应用

所 在 系： 数学与计算科学系

专 业： 数学与应用数学

学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟

2012年 4 月 27 日

积分不等式的证明及应用

数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟

摘要

本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用. 关键词 积分不等式;中值定理;函数

0. 引言

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等. 1. 积分不等式的证明方法

1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式

积分第一中值定理(定理1) 若fx在a,b上连续, 则至少存在一点a,b,

使得fxdxfba. ab积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设fx在0,1上可微,而且对于任意x0,1,有|fx|M, 求证:对任意正整数n有

10fxdx1nn1ni1Mifnnn,其中M是一个与x无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为

i11if,另一个式子为fxdx0n,故把fxdx按

01区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明. 证 由定积分的性质及积分中值定理,有

10fxdxnini1ni1fxdxni1fi1,,i1,2,,n. ,innni1i又因为fx在0,1上可微,所以由微分中值定理可知,存在ii,,使得, niiffifii,i1,2,,n.nni

因此10fxdx1nni11ifnnni1fi1nni1ifn

1n1n1n1nni1niffiniffinifiinM1nMn

i1n.

i1ni1在抽象函数fx的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间a,bn等分,点i也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式

拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f满足如下条件:

if在a,b上连续;iif在a,b内可导, 则在a,b内至少存在一点,使得

ffbfaba. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数f(x)和区间a,b,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论. 例2 设fx在a,b上连续.证明:若fafb0,则

fxdxabba24M,MMaxfx.

xa,b分析 由条件fafb0,及fx与fx,故想到利用拉格朗日中值定理. 证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的xa,ab, 2fxfxfaf1xa,a1x. ,b, 对任意的x2abfxfxfbf2xb,x2b.

ababfxMxa,xa,,fxMbx,x,b22,

故

fxdxabab2afxdxbab2fxdx

ab2afxdxbab2fxdx

ab2aMxadxbab2Mbxdxba24M. 注意到M是fx在a,b上的最大值,所以解题的关键是如何使fx与fx联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明. 1.3 构造变上限函数证明积分不等式

作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x,式中相同的字母也换成x,移项,使

得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.

1例3 设函数fx在0,1上连续,证明不等式fxdx0210f2xdx.

x分析 此例若令Fxftdt02x0f2tdt,则Fx的正负不易判断,需进一步的改进. 证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令

xxFxftdtxf0022tdt显然,F00,且Fx可导,有

f2Fx2fxxftdt02xx0tdtxf2t

fxftdt0,

0则Fx在x0时单调减小,即有FxF00,x0,

1特别地,F10,即证得不等式fxdx0210f2xdx. 例4 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00, 1试证 fxdx0210f3xdx.

2131证 问题在于证明fxdx00fxdx0, x令Fxftdt02x0fx3tdt,因为F00, Fx2fxftdt0f3xfx2x0ftdtf2x,

x0已知f00,0fx1,故当x0,1时,fx0, 记gx2ftdtf2x, 则g00,gx2fx2fxfx=2fx1fx0,x0,1, 于是gx2ftdtf2xg00,x0,1,故Fx0,x0,1, 0x4

1所以F1F00,即fxdx0210f3xdx. 通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性. 1.4 利用二重积分证明积分不等式

在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.

例5 若函数fx,px,gx在a,b上连续,px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,则pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.该不等式称为切贝谢

aabb夫不等式. 分析 只要证bapxdxpxfxgxdxabbbapxfxdxpxgxdx0

abb即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分. 证 因定积分的值与积分变量无关,故pxdxpydy,

aapxgxdxpygydy.

aabbbapydypxfxgxdxabbapxfxdxpygydy

abpypxfxgxpxpyfxgydxdyD

pxpyfxgxgydxdyD 1

其中,积分区域Daxb;ayb.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x与y的位置,得到

pypxfygygxdxdyD 2

将1式与2式相加,得12pxpyfxfygxgydxdy,由已知,

D可知px是正值函数,fx,gx是单调增加函数,从而fxfy与gxgy同号,

于是在D上pxpyfxfygxgy0,从而,0. 即pxfxdxpxgxdxaabbpxdxpxfxgxdx.

aa101bb例6 若函数fx在0,1上不恒为零且连续增加,则

ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200证 由于在0,1上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于

10f2xdx10xff23xdx10xf10f3xdx10xf2xdx0, 而   10fff2xdx210xf3xdx130xdx2xdx

Dxyf3ydxdyDfxxf3ydxdy

D2xf3yyxdxdy 3

其中,积分区域D0x1;0y1因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有

Df2yf3xxydxdy 4

22将3式与4式相加,得1xyfyfxfxfydxdy, 2D由已知,函数fx在0,1上连续增加,从而对任意的x,y0,1,有

xyfyfxfxfy0,故22101ff3xdxxdx101xfxf3xdxxdx.

2200从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题. 1.5 借助于判别式来证明积分不等式

引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式. 例7 设fx0,且在a,b上连续,试证fxdxabbdxfxaba.

2分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.

证 由题设对任意的,考察函数fx,因为fxfx0,有 fx2ba2bdxb2,即fx2dx02dxaafxfxfxdxab0, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立, 故判别式2abdx4a2bdxfxbafxdx0,即fxdxabbdxfxaba.

2用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定(大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零)的一元二次方程gx,而g2x0,于是我们构造g2xdx0这样一个方程,

ab再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式

命题1 当积分区域关于直线yx对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变. 这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数fx在a,b上取正值且fx在a,b上连续试证:

fyhfxdxdyba,ha,b;a,b.

2证 因为ha,b;a,b关于直线yx对称,从而Ifxfyhfxdxdyfxdxdyhfy, 所以Ifyhdxdy12hfxfydxdyfxfy1dxdybah2. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用. 1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式

积分第二中值定理的推论:设函数f在a,b上可积.若g为单调函数,则存在a,b,使得fxgxdxgafxdxgbfxdx. aabb应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.

babb例9 设函数fx在a,b上单调递增连续,则xfxdxfxdx.

a2a证 假设函数gxxab2,显然gx在a,b上可积,又函数fx在a,b上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在a,b,使得

fxgxdxababfagxdxfbgxdx 

ab且式又可变为fxgxdxfagxdxfbgxdx.由定积分的几何意义

ab知gxdxbgxdx,abaa,b,同时,fafb,于是,

bfxgxdxfbfagxdx即xab0, bababb,故fxdx0xfxdxfxdxa22a. 2. 一些特殊积分不等式的应用

2.1 Chebyshew不等式及其应用

Chebyshew不等式 设fx,gx同为单调递减或当调递增函数,则有

bafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb若fx,gx中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为

Chebyshewbafxdxgxdxbafxgxdx.

aabb不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用. 例10 设gx是1,1上的下凸函数,fx为1,1上的偶函数且在0,1上递增,则, 1fxdx1gxdx112fxgxdx.

11分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令xgxgx.

证 令xgxgx,显然x也为1,1上的偶函数,由于gx是1,1上的下凸函数,故当0x1x21,

gx1gx2x1x2gx1gx2x1x2, 即gx1gx2gx2gx1,即x1x2,所以fx,x在0,1上为增函数, 由Chebyshew不等式知, 110fxdxxdx011101fxxdx21211fxdxxdx111211fxxdx, 可得fxdxgxdx2fxgxdx. 1112.2 利用Schwarz不等式证明积分不等式

Schwarz不等式 若fx,gx在a,b上可积,则

Schwarzbafxgxdx2baf2xg2xdx. 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及

b平方项的积分不等式时颇为有效. 例11 已知fx0,在a,b上连续,fxdx1, k为任意实数,求证:

a abfxcoskxdxabfxsinkxdx1 5

22证 5式左端第一项应用Schwarz不等式得

bafxcoskxdx2abfxfxcoskxdxb2

2 同理afxsinkxdxb2fxdxfxcosaabkxdxfxcosab2kxdx6

bafxsin2kxdx 7

67即得5式. 此题证明的关键在将fx写成2.3 Jensen不等式

fxfx的形式,以便应用Schwarz不等式.

定理3 设fx在a,b上连续,且mfxM,又t是m,M上的连续凸函数(指下凸函数),则有积分不等式

ba1ba1fxdxbafxdx 8

ab注 若t是m,M上的连续凹函数,则8式中的不等式号反向. 定理4 设fx,px在a,b上连续,且mfxM,px0axb,t是

m,M上的连续凸函数,则有bapxfxdxbapxdxpxfxdx 9

pxdxabab注 当t是m,M上的连续凹函数时,9式中的不等号反向. 例12 设fx在a,b上连续,且fx0,则对任意的自然数n,有

1nlnbaba1fxdxba1t2banlnfxdx. 证 令tnlnt,那么tn,tnt10,故t为凹函数, 显然fx在t的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立. 例13 设fx,px是a,b上的正值连续函数,则对任意的自然数n,有

banpxlnfxdxpxdxabnlnbapxfxdxbapxdx. 证 令tnlnt由上例知t为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young不等式的应用

Young不等式 设fx是单调递增的,连续于0,a上,f00,a,b0,f1x表示fx的反函数,则abYounga0fxdxb0f1ydy,其中等号成立当且仅当fab. 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.

例14 证明:a,b1时,不等式abea1blnb成立. 证 设fxex1,则fx单调并连续,f等式有,

a1b11yln1y,因为a,b1,由Young不a1b10故abea1blnb. 2.5 Steffensen不等式

Steffensenfxdx0f1ydyea1blnbab1, 不等式 设在区间a,b上,g1x ,g2x连续,fx一阶可导,任给

xaxa,b,成立不等式g1tdtxag2tdt,且g1xdxabbag2xdx.若fx在a,b上单调递减,则fxg1xdxabfxgxdx;若fx在上单调递增上述不等式变号.

a2b例15 证明20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 证 对任意的x0,22,因为cosx1sinx,所以有sintdt0xx0costdt;此外,显然有2sinxdx00cosxdx1且函数

在0,上单调递减,从而根据Steffensen不21x21等式,知20sinx1x2dx20cosx1x2dx. 结论

总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式;以及巧妙的利用Schwarz不等式和Jensen不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决. 参考文献

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Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233

Name:ShengJunyu

Instructor:XiaoJuan

Abstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.

Key word: integral inequality; theorem of mean; function

第二篇：证明数列前n项和 不等式的定积分 放缩法

摘要：本文深入分析数列与函数之间的联系，结合高等数学中数项级数[4]的观点研究高考证明数列前n项和不等式的相关问题。本着“数形结合”的重要数学思想，抓住数列的本质是数值函数这一特点，另辟蹊径，利用分析学“定积分”这一工具，探究对数列前n项和不等式进行放缩的方法。关键词：数列;不等式;定积分;数形结合。

数列，高考的重中之重。而对于数列前n项和不等式的证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型会比第一种更复杂[2]。对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对象”，即便我们对原数列“无从下手”，也可以根据“式”的偶性，将不等号右边的式子也看作是某一数列的“和”，再通过“和转项”的方式找到其对应的“项”，从而我们不妨逐项比较，最后累加达到目的。此外，山穷水复之时，数学归纳法也是个不错的选择。所以，对于第一种题型来说，有多种比较成熟的应对方法，这里就不逐一列举。然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前n项和的“极限”，而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进一步证明我们想要的结论(如果将变形后数列的前n项和看作一个函数，那么待证明的常数C通常是这个函数的极限)。显然，这执行起来十分困难，要求学生有足够的“数学远见”，并且要记一些常用的方法和结论，无疑是“雾里看花”。因为，即使在这些结论上下了很大功夫，题目稍加变化后，学生们仍是感到“无从下手”。况且，即便命题人不改变题目的结构，仅仅是将不等式的强度加大，学生在解题时，还是会陷入漫无目的“尝试”。所以，数列前n项和不等式的证明一直以来都是高考的难点，而那些尽可能巧妙地解决这类问题的方法大多都指向“构造”的思想。而“构造”需要“数学远见”，要求学生具备极好的“数学素养”，非一日之功。况且，想要通过做题、总结的方式培养这种“素养”，绝非易事。为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体会定积分放缩法的优越性。由例1.及其变式不难看出，利用定积分放缩法往往并不是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。综述：定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决由“数项级数”所引申出的“证明数列前n项和不等式”的问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。定积分放缩法中处处渗透了“数形结合”的数学思想，并将数列与函数联系起来，使学生深刻地认识到数列是离散的数值函数这一本质，有机地反映了将“代数-几何-分析”综合起来的“数学美”，有助于提高学生对数学的学习兴趣。定积分放缩法是建立在常规放缩法基础之上的拓展，二者地位等同，相互依存。和一切的数学模型一样，我们希望但永远不能将所有问题都用一个“统一的方法”来解决。数学的灵魂，在于各分支间的融会贯通，“统一的方法”和“永动机”一样是不存在的。数学本身的“包罗万象”，足以从其自身内部酝酿出千变万化的解题方法。由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。参考文献[1].《浅谈高等数学在中学数学中的应用》[M].广东石油化工学院，22-24[2].李广修.证明不等式的定积分放缩法[J].数学通报，2008,47(7)：55-57[3].意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法[J].光量子，2015;10;29[4].《高等数学》[M].同济大学数学系，2014第7版：251-327致谢感谢天津市第一〇二中学数学组：马萍，严虹，纪洪伟，张倩老师对我研究的帮助与支持。感谢“高中数学解题研究会”杜巍老师给予的帮助。感谢“高中数学解题研究会”提供优良的研究平台及学术氛围。感谢周围对我研究的支持和认可。

第三篇：不等式的证明方法

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1 常用方法

1.1比较法(作差法)[1]

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断(正号、负号、零).变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等. 例1 已知：a0，b0，求证：证明 ab2ab2ab.

b)2abab2ab2ab2ab(a20，

故得 1.2作商法

. 在证题时，一般在a，b均为正数时，借助作商——变形——判断(大于1或小于1). 例2 设ab0，求证：aabbabba. 证明 因为 ab0， 所以 而

abaab1或

ab1来判断其大小，步骤一般为：

1，ab0.

baababbabab1，

故 aabbabba. 1.3分析法(逆推法)

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等)，其每一步的推导过程都必须可逆. 例3 求证：57115. 证明 要证351941557115，即证1223516215，即

35215，，41516，154，1516. 由此逆推即得 57115. 1.4综合法

1 [2]

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证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法. 例4 已知：a，b同号，求证：证明 因为a，b同号， 所以 则

ababba2.

ab0，baabbaab0， ba2ba2,

即 1.5反证法[3]

2. 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的. 例5 已知ab0，n是大于1的整数，求证：nanb. 证明 假设 nanb， 则 n即

baba1，

1，

故 ba， 这与已知矛盾，所以nanb. 1.6迭合法

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例6 已知：a1a2an1，b1b2bn1，求证: a1b1a2b2anbn1. 222222[4]证明 因为a1a2an1，b1b2bn1， 所以 a1a2an1，b1b2bn1. 由柯西不等式

a1b1a2b2anbna1a2an222222222222222b1b2bn111,

222中原工学院

所以原不等式获证. 1.7放缩法[5]

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 例7 求证： 21345656999910000999910000220.01. ,则 证明 令pp2123412234225622999910000121232241999910000221110001110000,

所以 p0.01. 1.8数学归纳法[6]

对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立. 例8 已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1. 证明 (1)当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立; (2)若nk时，akbkak1babk1成立，则

ak1bk1a(ab)abkkkbk1a(ak1babk1)abkbk1

=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk， 即ak1bk1akbabk成立. 根据(1)、(2)，anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立. 1.9换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化. 例9 已知：abc1，求证：abbcca13.

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证明 设a13t，b13at(tR)，则c13(1a)t，

111111abbccatatat(1a)tt(1a)t33333313(1aa)t22

13,

13所以 abbcca1.10三角代换法

. 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易. 例10 已知：a2b21，x2y21，求证：axby1. 证明 设asin，则bcos;设xsin，则ycos 所以 axbysinsincoscoscos()1. 1.11判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式. 例11 设x,yR，且x2y21，求证：yax1a2. 证明 设myax，则yaxm 代入x2y21中得 x2(axm)21， 即 (1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，

即 (2am)24(1a2)(m21)0， 解得 m1a2，故yax1a2. 1.12标准化法[8]

形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且

x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)[7]

的值越大(或不变);当x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即

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nf(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinx1x2xnnAB2. 标准化定理：当AB为常数时，有sinAsinBsin证明：记ABC，则

f(x)sinAsinBsin22.

AB2sinAsin(CA)sin2C2, 求导得 f(A)sin(C2A)， 由f(A)0得 C2A，即AB. 又由 f(A)cos(BA)0, 知f(A)的极大值点必在AB时取得. 由于当AB时，f(A)0，故得不等式. 同理，可推广到关于n个变元的情形. 例12 设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin证明 由标准化定理得， 当ABC时， sinA2sinB2sinA2sinC2B2sin12C2A2sinB2sinC218.

， 取最大值，

8181故 sin1.13等式法

. 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明. 例13(1956年波兰数学竞赛题)、a,b,c为ABC的三边长，求证：

2ab2ac2bcabc222222444.

12(abc)证明 由海伦公式SABC两边平方，移项整理得

16(SABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p.

2ab2ac2bcabc222222444

而SABC0, 所以 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4. 1.14分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基

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本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的. 例14 n2，且nN，求证：1证明 因为 11213112131nn(nn11).

111n(11)111n23n

2324312n1n13n1nn23243n1nnnn1. 所以 11.15构造法[9-10]

n(nn11). 在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的. 例15 已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2. 证明 依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以 z12z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i

b(xy)2axyIm(z1z2)z12222z22

故 b(x2y2)2axy1.16排序法[11]

利用排序不等式来证明某些不等式.

2. 排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有

a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn,

其中t1,t2,,tn是1,2,,n的一个排列.当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号. 简记作：反序和乱序和同序和.

例16 求证：a2b2c2d2abbccdda. 证明 因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大， 即 a2b2c2d2abbccdda. 1.17借助几何法[12]

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借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易. 例17 已知：a,b,mR，且ab，求证：

ambmab. 证明 (如图1.17.1)以b为斜边，a为直角边作RtABC. 延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn， 所以 aABam

又CECF，即nm， 所以

bACbnamabmambnb.

EnFCbDmBaA

图1.17.1

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2 利用函数证明不等式

2.1函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的. 例18 设xR，求证：4cos2x3sinx2证明 f(x)cos2x3sinx12sin当sinx3218.

231x3sinx2sinx2

48时， f(x)max2;

481当sinx1时，

f(x)min4. 故 4cos2x3sinx22.2单调函数法[13-14]

当x属于某区间，有f(x)0，则f(x)单调上升;若f(x)0，则f(x)单调下降.推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f(x)g(x),(x(a,b))即可. 例 19 证明不等式

ex1x，x0.

证明 设f(x)ex1x,则f(x)ex1.故当x0时，f(x)0,f严格递增;当x0,f(x)0,f18. 严格递减.又因为f在x0处连续，

则当x0时，

f(x)f(0)0,

从而证得

ex1x,x0

2.3中值定理法

利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的.

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例20 求证：sinxsinyxy. 证明 设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos 故 sinxsiny(xy)cosxy. 2.4利用拉格朗日函数

例 21 证明不等式

3(1a1b1c)13abc, 其中a,b,c为任意正实数. 证明 设拉格朗日函数为对

L(x,y,z,)xyz(1x1y1z1r).

对L求偏导数并令它们都等于0，则有

Lxyzx20，

Lyzxy20，

Lzxyx20，

L1x1y1z1r0.

由方程组的前三式，易的

1x1y1zxyz.

把它代入第四式，求出13r.从而函数L的稳定点为xyz3r,(3r)4.

1x1y1z1r为了判断f(3r,3r,3r)(3r)3是否为所求条件极小值，我们可把条件看作隐函数zz(x,y)(满足隐函数定理条件)，并把目标函数f(x,y,z)xyz(x,y)F(x,y)看作f与zz(x,y)的复合函数.这样，就可应用极值充分条件来做出判断.为此计算如下：

zxzx22,zyzy22,

Fxyzyzx2,Fyxzxzy2,

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F2yz3,Fzz2z22z3,

xxx3xyyxxy2xz3Fyyy3.

当xyz3r时，

Fxx6rFyy,Fxy3r,

F2xxFyyF27r20.

xy由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值点.这样就有不等式xyz(3r)3(x0,y0,z0,111xyz1r).

令xa,yb,zc,则r(111abc)1,代入不等式有

abc[3(11a1b1c)]3

或 3(111ab1c)3abc(a0,b0,c0).

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3 利用著名不等式证明

3.1利用均值不等式[15-16]

设a1,a2,,an是

n个正实数，则

a1a2anna1a2an，当且仅当

na1a2an时取等号.

nn例22 证明柯西不等式 (a22nibi)(ai)(b2i).

i1i1i1证明 要证柯西不等式成立，只要证

nnn aa2ibiib2i (1)

i1i1i1nn令 a2iA2,b2iB2, (2)

i1i1n式中A0,B0,则(1)即 aibiABi1

naibi即

i1AB1 (3)

a2b22211下面证不等式(3),有均值不等式，

a1b1A2B2A2B22，

2即

2a1b1a21ABA2b1B2，

2a22b22a22a2ABA2b2nbna2同理

nB2， ，

ABA2bnB2. 将以上各式相加，得

nn2na2ib2i(abi11ABii)2i2i1AB (4)

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根据(2)，(4)式即

2AB(aibi)2.

i1n因此不等式(3)成立，于是柯西不等式得证. 3.2利用柯西不等式[17-18]

n例23 设aiR，i1，2，„，n.求证：i11n2aiai.

ni12证明 由柯西不等式

nnnn2n22aiai1ai1nai.

i1i1i1i1i122两边除以n即得.

说明：两边乘以1n后开方得

1niani11n2iani1.当ai为正数时为均值不等式中的算术平均不大于平方平均. 3.3利用赫尔德不等式[19] 例24 设a,b为正常数，0xab2，nN，求证：

n22n22 nansinxcosx2bn22

n2bn2bn2aa22证明 n= sinxcosxn2 nnnsinxcosxsinxcosx2a nsinx2n2sinx22nn22bncosxn2cosx2nn2

即

asinxn= an2bn2

n2ancosxb2n2bn222

3.4利用詹森不等式[20] 例 25 证明不等式

abc(abc)3abc, 其中a,b,c均为正数.

abc证明 设 f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数

f(x)lnx1,f(x)1x

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可见，f(x)xlnx在x0时为严格凸函数.依詹森不等式有

f(abc3)13(f(a)f(b)f(c)),

从而

abcabc3ln313(alnablnbclnc),

即

(abccbc3)abaabc.

又因3abcabc3,所以

abc (abc)3aabbcc.

第四篇：不等式的一些证明方法

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)

不等式的一些证明方法

[摘

要]：不等式是数学中非常重要的内容,不等式的证明是学习中的重点和难点,本文除总结不等式的常规证明方法外,给出了不等式相关的证明方法在具体实例中的应用. [关键词] 不等式; 证明; 方法; 应用

不等式在数学中占重要地位,由于其本身的完美性及证明的困难性,使不等式成为各类考试中的热点试题,证明不等式的途径是对原不等式作代数变形，在初等数学中常用的方法有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.因而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,故本文对不等式的证明方法进行一些探讨总结.

一、中学中有关不等式的证明方法 1.1中学课本中的四种证明方法 1.1.1理清不等式的证明方法

(1)比较法：证明不等式的基本方法,适应面宽. ①相减比较法—欲证AB,则证AB0. ②相除比较法—欲证A>B(A>0,B>0),则证>1. (2)综合法：利用平均不等式、二次方程根的判别式、二项式定理、数列求和等等。此方法灵活性大,需反复练习. (3)分析法：当综合法较困难或行不通时,可考虑此法,但不宜到处乱用.

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AB

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) (4)数学归纳法：凡与自然数n有关的不等式,可考虑此法,但有时使用起来比较困难,应与前面几种方法配合应用. 1.1.2选择典型范例,探求解题途径

例1.1.1 求证 12x42x3x2

分析 用相减比较法证明AB0.一般应将AB变形为[f(x)]

2、(f(x)g(x)，其中f(x),g(x)同号),或变形为多个因子的[f(x)]2[g(x)]

2、乘积、平方式.本题可化为两个完全平方式的和或化为一个完全平方式与一个正因式的积. 证： 2x42x3x212x3(x1)(x1)(x1)

(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)

132(x1)2[(x)2]

442x42x3x210

当xR时，即 12x42x3x2

例1.1.2 证明 n(n1)n1.... (n1). 分析 题中含n,但此题用数学归纳法不易证明,通过变形后可采用平均不等式来证. 11111(11)(1)(1)23n2n nn34n12n>n23.4...n1=nn1(再变形) =2323nn11111n1....(11)(1)....(1)23n2n

证：

nnn11n12131n第2页(共13页)

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计)

2 1n34n1....23nn234....n1nn1

n23n131n所以 n(n1)n1....

例1.1.3 求证：

1112+

11+„+>n (n1,n为自然数) 2n 分析 与自然数有关的问题,可考虑用数学归纳法.设nK时成立,需证nK1时也成立,需证明K+K+

1>K1,可采用“凑项”的方法： K1KK11KK1K11=>==K1

K1K1K1K1111221222,右边2,所以, 2 证： (1) 当n2时,左边左边右边. (2) 假设nK时, 1111+

11+„+>K成立,则当nK1时, 2K+

1111+„++ K+

K12K1KKK11K1 =>

KK1K1K1K1K1

综上所述： 1.2关于不等式证明的常规方法 (1)利用特殊值证明不等式

11+

11+„+>n 2n特殊性存在于一般规律之中,并通过特例表现出来.如果把这种辩证思想用于解题之中,就可开阔解题思路.

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 例1.2.1 已知ab,b0,ab1.求证(a+)(b+)≥

121a1b25. 412112211125只需证明当ab时，(a+)(b+)≥.故可设ax

ab2411b x,(|x|且x0) 22证：考虑a与b都去特殊值,既当ab时有(2)(2)=

25 4则

a21b21(a21)(b21)(ab1)2111(a+)(b+)=== abababab33(x2)21(x2)2125=4>4=. 114x244故原不等式得证. (2)利用分子有理化证明不等式

分母有理化是初中数学教材中重要知识,它有着广泛的应用,而分子有理化也隐含于各种习题之中,它不但有各种广泛的作用,而且在证明不等式中有它的独特作用. 例1.2.2[1] 求证13-12<12-11. 证：利用分子有理化易得：13-12=1312>12+11 1131211312,12-11=

11211, <

11211

即 13-12<12-11. (3)应用四种“平均”之间的关系证明不等式

四种“平均”之间的关系,既调和平均数H(a)≤几何平均数G(a)≤

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 算数平均数A(a)≤平方平均数Q(a). 写得再详细些就是：若a1,a2,a3，an都是正实数,则：

111aa121≤na1a2an≤

a1a2ann≤

a21a2ann22

an (注：这一串不等式在不等式证明中起着举足轻重的作用.) 例1.2.3 已知ab,求证a+证：a+

1≥3 (ab)b111=(ab)+b +≥3×3(ab)b3

(ab)b(ab)b(ab)b(4)充分利用一些重要结论,使解题简捷

①对实数a,b,c,d有

a2b2≥2ababba; a2b2c2abbcca; a2b2c2d2abbccdda. ②若a,b同号,则≥2;

若a,b,c均为正数,则≥3.

a2b2ab2 ③若是正数,则≥≥ab≥ (当且仅当ab时等号

1122abbaabbacbac成立)

a2b2c2abc3 若a,b,c是正数,则≥3abc≥

11133abc (当且仅当abc时等号成立)

例1.2.4 若a,b,c0,且abc1,求证 9

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1a1b1c

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 分析 证法较多,但由abc1与之间的联系,考虑算术平均与调和平均的关系式简便. 证：由算术平均数和调和平均的关系可知

abc3 1113abc1a1b1c所以 abc99, 又abc1得 1

111111abcabc1a1b1c即 9. (5)利用式的对称性证明不等式

形如xy,a2b2c2的式子中任意两个量交换位置后结果仍不变,这就是“式”对称,可以用对称关系来解决一些不等式的证明. 例1.2.5 设a,b,c,d是正数,且满足abcd1,求证 4a14b14c14d16

证：由4a1944a12942a13

8 注意到对称有：

94(abcd)1317(4a14b14c14d1)

422即 4a14b14c14d16 故原命题得证. (6)用“双十字法”证明不等式

例1.2.6 已知x,y0并且xy1 求证：

x23xy2y22xy32x221xy11y24x21y2

证：因 x23xy2y22xy3(x2y)(xy)2xy3

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) =(x2y3)(xy1)0 类似的，2x221xy11y24x21y2(2xy2)(x11y1)0 故结论成立. (7)用恒等变形推导

例1.2.7[2] 求证：对于任意角度,都有58cos4cos2cos3≥0

证：58cos4cos2cos3

=58cos4(2cos21)(4cos33cos)

=15cos8cos24cos3(1cos)(4cos24cos1) =(1cos)(2cos1)20

(8)分解为几个不等式的和或积

例1.2.8[2] 已知a,b,c是不全相等的正数,求证：

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

证： b2c22bc,a0,a(b2c2)2abc

2222b(ca)2abc,c(ab)2abc. 同理

a,b,c不全相等,所以上述三式中,等号不能同时成立.把三式相加

得

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc

(注：这里把不等式的各项分别考虑,然后利用不等式的性质和推论,证得所求不等式.)

例1.2.9 设是锐角,求证： (111)(1)5. sincos 证： 是锐角,0sin1,0cos1,0sin21, 这时 1121,1,2. sincossin2第7页(共13页)

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) (111112)(1)15. sincossincossin2(9)利用极限证明不等式

例1.2.10[2]证明：当x2(1+2)时,有

(2x1)2(2x3)3(2x5)....xx3

证： 在x0的情况下讨论,令

f(x)(2x1)(2x3)3(2x5)....x,g(x)x3

则 f(x)x(x1)(2x1),

6x(x1)(2x1)f(x)16于是 lim limxg(x)x3x3按极限的定义,对于,取2(12)当|x|2(12)有

f(x)11 , g(x)3414即 0f(x)71 从而f(x)g(x),故结论成立. 12g(x)12(10)利用平分法证明不等式

例1.2.11 若x0,i1,2,3,且xi1,则

i1311127 2221x11x21x310 证：因为12111911x时有,所以,且当 x1ii22331xi1xi101119273 222101x11x21x310故

1.3关于不等式证明的非常规方法 (1)换元法

这种方法多用于条件不等式的证明,换元法主要有三角代换和均值代

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 换两种.三角代换时已知条件特征明显.在结构上必须和三角公式相似. 例1.3.1 已知x2y21,求证：| x2+2xy-y2|≤2. 证：令xrcos,yrsin

则 | x2+2xy-y2|=|r2(cos22sincossin2| =r2|cos2sin2| = r2|2sin(2450)|≤12×1=2

例1.3.2[4]设a,b,cR 且abc1,求证：a2b2c2≥. 证：a=+α,b=+β,c=+γ, 因为abc1,所以 0

于是有a2b2c2=+()+(222)≥. (2)反证法

先假设所要证明的不等式不成立,即要证的不等式的反面成立,然后从这个假设出发进行正确的推理,最终推出与已知条件或已知真命题相矛盾的结论,从而断定假设错误,进而确定要证明的不等式成立. 例1.3.3[5]求证：由小于1的三个正数a,b,c所组成的三个积(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不能同时大于

证：(反证法)假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于

则有(1-a)b(1-b)c(1-c)a>

21313131313231314141 ① 641aa1但由01-a)a≤条件,即有，0(1-a)a≤.

24同理有0(1-b)b≤,0(1-c)c≤. 即 (1-a)b(1-b)c(1-c)a≤

1 ② 64

1414第9页(共13页)

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) ①与②产生矛盾,从而原命题成立. (3)构造法

在证明不等式时,有时通过构造某种模型、函数、恒等式、向量、对偶式等,完成不等式的证明. 例1.3.4 求证 证： 设A=1212342n11. 2n2n132n1242n,B=,

352n142n12342n12n由于,,，,因此AB,

23452n2n113242n1242n2n1)()A, 2n352n12n12n1所以A2AB(故 (4)判别式法

12342n11 2n2n1适用于含有两个或两个以上字母不等式,而另一边是关于某字母的二次式时,这时可考虑用判别式法. 例1.3.5[6]x2x113求证:≤2≤.

x122x2x1 证： 设f(x)y2,则(1y)x2x1y0,所以xR,

x1当y1时,Δ=b24ac≥0,即14(1y)2≥0,

所以 |y1|≤,即≤y≤. 又当y1时,方程的解x0,

x2x113故 ≤2≤.

x122121232(5)放缩法

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 为了证明不等式的需要,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性达到目的.

例1.3.6[5]设a,b为不相等的两个正数,且a3-b3=a2b2.求证1ab. 证： 由题设得a3-b3=a2b2a2abb2ab, 于是 (ab)2 a2abb2ab,则 (ab)1,又(ab)24ab,

(ab)2 而(ab)a2abbababab

422243即 (ab)2ab,所以(ab), 综上所述, 1ab (6)向量法

向量这部分知识由于独有的形与数兼备的特点,使得向量成了数形结合的桥梁,在方法和理论上是解决其他一些问题的有利工具. 对于某些不等式的证明,若借助向量的数量积的性质,可使某些不等式较易得到证明. 例1.3.7 求证：求证1≤ 1x2x≤2

9.

三、小结

证明不等式的途径是对原不等式作代数变形,在初等数学中常用的

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1a1b1c

数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 方法大致有放缩法、代换法、归纳法、反证法等等.然而涉及不等式的问题很广泛而且处理方法很灵活,仅在中学教科书上就有很多方法,但还不足以充分开拓人们的思维,为此,我们要进一步探究不等式的证明方法,并给出了在实例中的应用.

参考文献

[1] 段明达.不等式证明的若干方法[J].教学月刊(中学版),2007(6). [2] 彭军.不等式证明的方法探索[J].襄樊职业技术学院学报,2007(4). [3] 周兴建.不等式证明的若干方法[J].中国科教创新导刊,2007(26). [4] 郭煜,张帆不等式证明的常见方法[J].高等函授学报(自然科学版),2007(4). [5] 王保国.不等式证明的六种非常规方法[J].数学爱好者(高二版),2007(7). [6] 赵向会.浅谈不等式的证明方法[J].张家口职业技术学院学报,2007(1). [7] 豆俊梅.高等数学中几类不等式的证明[J].中国科技信息,2007(18). [8] 刘玉琏,傅佩仁. 数学分析讲义[M].北京:高等教育出版

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数学系数学与应用数学专业2009级年论文(设计) 社,1988,P201-211. [9] 牛红玲.高等数学中证明不等式的几种方法[J].承德民族师专学报,2006(2). [10] 王喜春.不等式证明常用的技巧[J].数学教学研究,1995(2).

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第五篇：不等式的多种证明方法

不等式的多种证明方法 汪洋，合肥师范学院

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法;延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等;特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

数学;不等式;证明;方法

目录

1.引言.................

12.基础类证明方法.............. 1

2.1比较法 ................. 1

2.2分析法 .................

22.3放缩法 .................

32.4综合法 .................

53.延伸类证明方法.............. 6

3.1换元法 ................. 6

3.2引入参变量法 ........... 8

3.3构造辅助函数法 ................ 8

3.4转化为向量不等式法 ........... 11

3.5转化为复数法 .......... 11

3.6分解、合成法 .......... 1

14.特殊类证明方法............. 1

24.1反证法 ................ 12

4.2数学归纳法 ............ 1

34.3借助证明法 .......... 1

54.4数形结合法 ............ 16

5.结束语.............. 16

参考文献.................17

不等式的多种证明方法

汪洋，合肥师范学院

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法;延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等;特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

关键词： 数学;不等式;证明;方法

Various Methods of Inequality Proof

Wangyang, Hefei Normal University

Abstract: Mathematics is a natural science of the life, and the inequality is an important component of many bases which constitute the natural science. So this article dedicated to a variety of proven methods of inequality.According to the professional knowledge from university courses during the school, I collect all types of inequality problem by books, material and network channels. Then according to different ideas and methods, I put them into three types of proof, which is base class identification method and extension methods of proof and special class methods. The base class method is the simplest proof, and it include the comparison and analysis, and the method of techniques and so on. Extension methods are proved by such substitution, structure, the inequality of thought for the form of simple changes to prove. For example, substitution method, the introduction of parametric method, constructs the auxiliary function method, etc. Special class that is for some special types of inequality structure or form of a question takes a special method of proof which can be made more concise proof, as required, mathematical induction, several form combination, etc. This topic is introduced by the start of various methods described, and the examples are relatively simple, the method is simple and reasonable, and acceptable, which is just only to convey various methods of thought.

Key words: Mathematics; Inequality; Proof; Method

1.引言

用不等号连结两个代数式所成的式子叫做不等式，是描写不等号两边式子的大小关系。不等式理论是等式、方程、函数论进一步的深入和发展，是数学知识又一次扩展的重要内容，是掌握初等数学不可或缺的重要部分，学习了等式后再学习不等式，使式的内容更加充实，更加完善，是我们进一步扩大数学视野，增加数学知识的必要基础。不等式的重要作用是十分明显的，因为在日常的生活、生产和科学研究中到处用到不等式的知识;而不等式的证明更体现了不等式的另一方面，它在数学领域中占有核心地位，它贯穿于初等数学和高等数学的方方面面。

著名数学家D. S. Mitrinovic在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中都引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”。分析学家Michiel Hazewinkel在《Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives》一书的序言中也讲道:“有时我有这样的感觉，数学(特别是分析学)就是不等式”。由此可见，给出一个关于不等式方面系统的、全面的证明方法具有很现实的意义。

因此，本文将对各种各样的不等式给出相应的证明方法，尽量把不等式的证明方法系统化、全面化。

2.基础类证明方法

在此介绍的四种方法仅需要根据命题本身的已知条件或常用结论即可证明。

2.1比较法

即借助不等式两边做差或做商的结果与0或1比较来证明不等式的方法。如果

aab0，则ab;如果a0,b0，1，则ab。 b1