因子VonNeumann代数上的可乘导子

1 引言及预备知识

导子是算子代数上一类重要的变换。近几十年来, 关于寻找使一个映射成为导子或内导子的条件的研究引起了许多数学家的注意, 许多非常深刻的结论不断涌现。

可乘导子的研究始于文[1], 他对包含幂等元并满足一定条件的环上的可乘导子的可加性进行了研究。文[2]对C (X) 上的可乘导子进行了刻画。文[3]证明了作用在环R上的三角代数上的可乘导子是可加的.显然, 可乘导子不一定是可加导子, 更不一定是导子, 就更别提是内导子了。

本文考虑了因子Von Neumann代数上的可乘导子, 并得到因子Von Neumann代数上的可乘导子是可加的, 以及B (H) 上的可乘导子是可加的, 当H是无限维时, 是内导子。

定义1设A是一个Banach代数, Φ:A→A是一个映射。

1) 若对任意a, b∈A, 有Φ (ab) =Φ (a) b+aΦ (b) , 则称Φ是A上的可乘导子。

2) 若对任意a, b∈A, 有Φ (a+b) =Φ (a) +Φ (b) , 则称Φ是可加的。我们称线性的可乘导子是导子。

3) 若存在m∈A, 使得对任意a∈A, 有Φ (a) =am-ma, 则称Φ是A上的一个内导子。

定义2设是一个因子Von Neumann代数, 如果M的中心

则称是因子的。

引理1[5]设N是作用在无限维Hilbert空间H上的套, 则每一个从τ (N) 到B (H) 的可加导子都是一个内导子。

2 主要结论及证明

定理设Φ:M→M是一个可乘导子, 则Φ是可加的。

以下是定理的证明过程:

于是

因此结论成立。证毕。

引理3

且

由 (2) 和 (3) 式, 从而

类似地, 我们可证 (2) 也成立.证毕.

引理4

同理可证 (2) 也成立。证毕。

且, 从而由引理2和引理3可得

引理6

并且

(2) 同理可证。证毕。

这说明Ψ是可加的。由Φ的定义, 因此Φ是可加的。证毕。

由于Hilbert空间H上全体有界线性算子之集B (H) 也是一个因子Von Neumann代数, 因此有下面的推论:

推论1设是一个可乘导子, 则是可加的。

由引理1, 又有下面的推论:

推论2若H是一个无限维的Hilbert空间, 映射是一个可乘导子, 则Φ是一个内导子。

摘要：设M是作用在Hilbert空间H上的因子VonNeumann代数, 若Φ:M→M满足Φ (AB) =Φ (A) B+AΦ (B) (A, B∈M) , 则Φ (A+B) =Φ (A) +Φ (B) 。

关键词：可乘导子,因子Von Neumann代数,可加性

参考文献

[1] DAIF M N.When is a multiplicative derivation additive[J].Internat.J.Math.&Math.Sci., 1991, 14:615～618.

[2] Goldmann.Helmut, P.Smerl, Multiplica-tive derivations on C (X) [J].Monatsh.Math.1996, 121:189～197.

[3] 纪培胜, 綦伟青, 三角代数T上的可乘导子的可加性[J].广西师范大学学报.2008, 26 (3) :26～28.

[4] J.Dixmier, Von Neumannn Algebras[M].Amsterdam, New York, Oxford:North-Holland Publishing company, 1981.

[5] HAN D G.Additive derivations of nest algebras[J].Proc.Amer.Math.Soc., 1993, 119:1165～1169.