合情推理第一课时

合情推理第一课时（精选9篇）

篇1：合情推理第一课时

归纳猜想

广州市86中学 张科

【教学目标】

知识与技能目标：1：理解归纳推理的思想；

2：能够通过观察一些等式，猜想、归纳出它们的变化规律。3：能够归纳、猜想出某些数列的通项公式。

过程与方法目标：让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生的积极参与，亲身经历归纳推理定义的获得过程，培养学生归纳推理的思想。

情感态度与价值观目标：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识，了解数学文化的积极态度。

【教学重点与难点】

重点：归纳推理的概念及应用。难点：归纳推理的应用。【教学方法】 启发、探索 【教学手段】

运用多媒体辅助教学 【教学过程】

一：创设情景，引入概念

师：今天我们要学习第二章：推理与证明。那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？

生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？

生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！

（引出推理的概念）。师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）

师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。大家看这3个等式都是什么运算？

生：加法运算。

师：对。我们看来这些式子都是简单的加法运算。但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？

生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？ 生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？ 生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？ 生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？

（学生观察，有人看出这些数还都是质数。）

师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？ 生：不行！

师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？

生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

师：这就是哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想的过程就是一个归纳推理的过程。他根据上述部分等式的基本特征，（什么特征呢？即等式左边的数都是大于6的偶数，右边是两个奇质数之和），就猜想出：任何大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。或者说，由这些个别等式的特征，就得出一个一般性的猜想。那么现在大家能不能用一般性的语言来描述归纳推理的定义？（学生得出归纳推理的概念）。

师：归纳推理的思想我们在日常生活中也经常用到。大家能不能结合自己生活的实际，举出几个例子说明归纳推理的运用。（学生思考，讨论，给出例子）。

二：讲解例题，巩固概念

师：应用归纳推理可以发现新事实、获得新结论。我们来看一个数学中的例子。

例题1：观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，你能猜想到一个怎样的结论？ 练习：观察下列等式：

1=1

1+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100，你能猜想到一个怎样的结论？ 例题2：已知数列an的第一项a11，且an1an(n1,2,3...)，试归纳1an出这个数列的通项公式。

练习：已知an(n25n5)2，求a1,a2,a3,a4的值？根据a1,a2,a3,a4的值，你能够猜想出an的值吗？你能得到什么结论？

三：问题探究，加深理解

观察下面的图形,请指出每个图形分别有几个球？按照这个规律，猜想第5个图形的形状应该是怎么样的？它应该由多少个球构成？第n个图形有几个球？

四：布置作业，巩固提高。

1：课本P44，A组1，2题，B组1题。

2：查阅相关资料，了解课本上提到的“四色猜想”，“费马猜想”等。

篇2：合情推理第一课时

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

（一）〖课前准备〗

【课型】新授课【课时】1教时

【课标要求】

1.知识与能力

了解合情推理的含义，掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题．

2.过程与方法

通过参与课堂活动,经历归纳推理概念的获得过程,了解归纳推理的含义．通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用合情推理去猜测和发现一些结论，探索和提供解决一些问题的思路和方法．通过具体解题，进一步感受归纳推理的优缺点及其使用方法．

3.情感态度与价值观

学生乐于主动探究，积极思考，欣赏合情推理的价值，认识到“大胆猜想，小心求证”的重要性。感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感．

【重点.难点】

重点：归纳推理及方法的总结．

难点：归纳推理的含义及其具体应用．

【教学用具】多媒体.〖教学过程〗

一、数学知识引入：

【提问】从古到今数学中有各式各样的猜想，同学们听说过哪些？下面我们来介绍几个猜想：

【数学猜想介绍】

1.哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, „„, 50=13+37, „„, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”

.02.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对F02213，F12215，F222117，F3221257，F422165537的观察，发现其结果都是123

4素数，于是提出猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn221的数都是素数.后来瑞士数学家欧

拉，发现F522142949672976416700417不是素数，推翻费马猜想

.5n

3.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里,来到一家科研单位搞地图着色工作，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.4.哥尼斯堡七桥猜想：18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）．有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.【思考】猜想是怎么提出来的呢？

【讨论】略．

【总结】比如哥德巴赫提出猜想的推理过程：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出哥德巴赫猜想，整个猜想的过程就是归纳推理的过程．

二、新课讲授

【概念】归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

【解释】归纳推理的特点：

⑴归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

⑵归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的． ⑶人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．

⑷归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．

【练习】

①由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，……，能归纳出什么结论？

③由三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……，能归纳出什么结论？

【解答】

①一切金属都能导电．

②三角形内角和是180度．

③凸n 边形的内角和是（n—2）×1800．

【问题】统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属于归纳推理？归纳推理的结果是否正确？归纳推理有何作用？

【讨论】略.【回答】统计学中，用样本估计总体属于归纳推理．归纳推理的结果不一定正确，比如费马猜想，就是经过半世纪之后欧拉才推翻了的．应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段.下面咱们看看数学中的例子．

【例１】观察等式：112,13422,135932,13571642,135792552，由上述具体事实能得出怎样的结论？

【分析】第一，所谓“规律”，是指“项数”与它们的“和”之间的关系，因此要努力把“和”与“项数”联系起来；第二，数学符号语言、图形语言、日常语言等相互转换，容易发现规律。

【解】将上述事实分别叙述如下：１等于１的平方；前２个正奇数的和等于２的平方；前３个正奇数的和等于３的平方；前４个正奇数的和等于４的平方；前５个正奇数的和等于５的平方；„„，*2由此猜想：前n(n∈N)个连续正奇数的和等于n的平方，即1+3+5+„+(2n-1)=n.【总结】归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【例2】已知数列an的第1项a12，且an1an(n1,2,)，试归纳出这个数列的通项公式.1an

【分析】数列的通项公式表示的是数列an的第n项an与序号n之间的对应关系．为此，我们先根

据已知的递推公式，算出数列的前几项．

【解】当n=1时，a11;

当 n =2时，a211； 11

2当n =3时，a1；

31312

当n=4时，a1．

4141

3观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an

【补例】数列an中，a12,a21,a31． n21,a4，求an? 32

【分析】当有整数和分数时，往往将整数化为分数；当分子分母都在变化时，往往统一分子(或分母)，再寻找另一部分的变化规律． 22222【解】因为a1,a2,a3,a4，所以猜想：an． n123

4〖课时小结〗

【课后小结】

⑴归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理．

⑵归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．

【板书设计】

略

【课后作业】

篇3：合情推理第一课时

笔者:我这两个月的用水量太不正常了,26吨,我怀疑是否抄错了。

收费员:一般不会抄错的,这是两个月的用水量,分一下,一个月的用水量不就少下来了。

笔者:我知道是两个月的用水量,但每个月13吨,也是太多了。你看我这一年每个月的用水量,最多时12吨,只有一个月;最少时6吨,大部分是7吨、8吨。而且这两个月雨水特别多,不存在大量用水洗地板、洗衣的情况。

收费员:那你回去看看水表上有没有“1880”,如果有就没抄错,如果没有就抄错了。

笔者回家后查看水表上有“1875”吨,没有“1880”吨。减去4月份的水表数1854吨,应该是21吨,果真抄错了!证明我的推理是合情合理的。

生活中像笔者经历的这样需要合情推理的事情无处不在。合情推理顾名思义是一种合乎情理的推理。小学数学教材中也含有丰富的显性或隐性的合情推理素材,需要教师用心挖掘,以培养学生的合情推理能力,从而较好地解决生活中遇到的问题。

一、挖掘显性合情推理素材培养合情推理能力

显性合情推理素材,教材里面或多或少都有明示。有的明示了合情推理依据,使学生知道为什么这么推理。如小数乘小数(见下图):

有的明示了合情推理方法,让学生懂得怎么推理。如一年级下册的实践活动一“摆一摆,想一想”呈现的是“从摆圆片到不用摆”的从具体到抽象逐渐提升的合情推理方法:你们能用2个○表示不同的数吗?你们能用3个O表示不同的数吗?用4个○、5个○……分别能表示哪些不同的数?不用摆,你能说出用9个O表示哪些数?教师应充分挖掘这些合情推理依据素材、方法素材的教育作用,让学生既明了为什么这样推理,又知道怎样推理,从而形成合情推理能力。

1. 挖掘合情推理依据素材培养合情推理能力。

任何一个数学知识都不是孤立存在的,都能找到与其有关联的基础或衍生。挖掘合情推理的依据素材,就是要找到新知识的“前世今生”,找到与新知识有密切联系的旧知识,解决从哪里开始入手思考的问题。

如“一个数除以小数”,在探究算理,明确算法(见下图)环节,重点在于让学生理解在竖式计算中,为什么除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也同时要向右移动几位的算理。这就必须引导学生思考:可以把除数“0.85米”转化成整数“85厘米”进行计算,那么被除数“7.65米”就变成“765厘米”。即0.85米=85厘米,7.65米=765厘米,765÷85=9(个)。表现在竖式中,就是把除数“0.85”扩大到它的100倍后,除数就变成了整数“85”,为了使商不变,被除数“7.65”也要扩大到它的100倍,变成“765”。765除以85商是9。其依据是商不变规律。

在随后的练习中,一是要多让学生叙述竖式中除数、被除数是如何变化的,也就是变化的依据是什么。二是可以出一些除数、被除数的小数点移动位数不对应的错题,让学生当“小医生”,诊断其错因。

在小学数学中占比重最多的计算,都要依据一定的公式、法则、运算定律等规则,明确算理的过程也就是进行合情推理的过程。因此,挖掘合情推理的依据素材,就成了计算算理教学不可缺少的一部分。分数的基本性质、比的基本性质的推导也同样要注意挖掘其依据素材,有意识地引导学生对相关知识展开合情推理,从而培养合情推理能力。

2. 挖掘合情推理方法素材培养合情推理能力。

学生对合情推理方法掌握得如何,决定着学生进行合情推理的速度和简洁度,体现其思维的敏捷与否、简洁与否。合情推理方法可以采用如上文中提到的一年级下册的实践活动“摆一摆,想一想”中的动手做——用圆片摆,或不用摆直接思考;还可以采用画示意图、线段图、列表等方法。在“空间与图形”领域则普遍使用转化方法,从长方形的面积计算公式到正方形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程,从长方体的体积计算公式到正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式的推导过程,教材都明示了转化方法。在“统计与概率”中可能性的推理有时采用实验方法,有时采用收集、整理、分析数据的方法。

例如教学六年级下册“统计”(见右图),书中“上面这幅统计图提供的数据不清,无法全面地反映有关彩电市场各品牌占有率的情况”就提示了进行合情推理的方法是要观察、分析统计图中的数据。因此,教学时,应先让学生观察扇形统计图,交流说出自己了解到的信息;然后老师提出问题:有人认为A牌彩电是市场上最畅销的彩电吗?学生可能会产生几种不同的看法:一部分会认为A品牌最畅销,还有一部分则认为A品牌不是最畅销的,从而引起认知冲突。接着教师引导学生观察、思考统计图里“其他”部分可能包含了哪些信息?让学生分别说说“其他”的具体含义,从而明确“其他”里面可能含有比A品牌更畅销的彩电品牌。由此,使学生明白这幅统计图提供的数据比较模糊,不够完整,我们无法从中得到有关彩电市场占有率的完整信息,所以从该统计图中不能得出A牌彩电最畅销这样的结论。并进一步使学生认识到在制作统计图时,一定要客观准确地反映信息;在分析统计图时,不要被数据模糊的统计图误导,一定要认真分析,找出问题的症结。

二、挖掘隐性合情推理素材培养合情推理能力

而隐性合情推理素材,教材没有明示,它或隐藏在数学各知识点之间的关系中,或隐藏在数学抽象中,需要教师有一双慧眼,引导学生透过现象看到问题的本质,找到合情推理的方法,寻找解决问题的途径。

1. 挖掘没有明示的其他合情推理素材。

由于教材篇幅的限制,教材中呈现的合情推理过程往往只体现一个视角的推理过程,而转换视角,从另一个角度的推理过程,则要教师引导学生去挖掘。

如“三角形的面积”,书中只明示了“拼”(见右边合情推理1)的方法,而折的方法、剪拼的方法则要教师引导学生自己去探究(见下面合情推理2、合情推理3)。通过这样的挖掘,可以让学生从多个角度探寻将三角形转化成学过的平面图形(长方形或平行四边形),体会三种合情推理方法,从而推导出“三角形面积计算公式”,并深刻理解该公式的来历。

2. 挖掘表面现象后的合情推理素材。

“存在即是合理的”。德国哲学家黑格尔的这句名言用在数学上,也是恰当的。有的数学知识,表面上看来好像没有道理,说不通。但如果能深挖隐藏在知识表面现象后的本质,就会发现其存在的合理性。

如“圆柱的表面积”,书中只呈现了“圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积”这一计算方法。这种方法先要分别计算圆柱的侧面积、两个底面的面积,然后求出侧面积和两个底面的面积之和,计算过程最少要三大步。尤其是π要参与两次运算,计算量相对较大,要保证计算100%正确不太容易。那么有没有可以让π少参与运算,计算量较小的相对简单的计算公式呢?答案是有的。笔者让学生推导出了“S=2πr(h+r)”这一简化公式。更进一步思考:这个公式有具体的意义吗?这就需要进行合情推理。下面是学生对其进行的合情推理(笔者对学生的推理过程进行了整理、完善):

首先看圆柱的表面积公式的逐步提炼简化过程:

其次,从下图1可以看出圆柱表面展开变成一个长方形和两个圆形。长方形的长是2πr,宽是h,面积是2πrh。根据圆面积计算公式的推导过程,把圆剪拼成一个近似的长方形(如下图2),长方形的长是圆周长的一半πr,宽是圆的半径r,这个长方形的面积是πr2。

第三,如果把圆柱侧面展开后的长方形和2个底面转化成的两个长方形拼在一起就形成一个大的长方形(如下图3),长是2πr,宽是(h+r),面积是2πr(h+r),这个大的长方形的面积就是圆柱的表面积,圆柱的表面积也就是2πr(h+r)。

经过这样的合情推理,学生对圆柱表面积的计算就会有深刻的认识,从而为提高圆柱表面积计算的准确率打下良好的基础。

3. 挖掘数学抽象中的合情推理素材。

有的数学问题没有具体的数据,学生思考时往往束手无策,找不到解决问题的突破口。这时教师应引导学生挖掘数学抽象中的合情推理素材,把具体问题上升为更一般的数学问题。

如“一个圆的半径扩大a倍,直径扩大()倍,周长扩大()倍,面积扩大()倍”,大多数学生都采用例举数据法来解决(见下表)。

篇4：合情推理和演绎推理

合情推理是合乎情理的推理，是根据已有的知识、经验在某种情境和过程中推出可能性结论的推理. 主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维过程或形式．合情推理包含归纳推理和类比推理两类：归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理．运用这两种推理所得的结论颇具偶然性，结论的可靠性有待进一步研究与证明．比如，已知[f(n)=-n2+5n-3]，可以[f(1)=1>0]，[f(2)=3>0]，[f(3)=3>0]，[f(4)=1>0]，若推出“对于任意的[n∈N*]，都有[f(n)>0]”，则这个结论是错误的，显然有当[n=5]时，[f(5)=-3<0]．但若推出“当[n∈N*,n4]，则有[f(n)>0]，当[n∈N*,n5]时，[f(n)<0]”，这一结论就是对的！又如，“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”，若类比为“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行”，则此结论是错误的，而若类比为“在空间与同一条直线垂直的两个平面平行”，此结论显然是正确的．

例1 半径为[r]的圆的面积[S(r)=π⋅r2]，周长[C(r)=2π⋅r]①，若将[r]看作[(0,+∞)]上的变量，则[(π⋅r2)=2π⋅r]，该式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为[R]的球，若将[R]看作[(0,+∞)]上的变量，请你写出类似于①的式子： ，该式用语言叙述为 .

例2 在等差数列[{an}]中，若[a10=0]，则有等式[a1＋a2＋…＋an=a1＋a2＋…＋a19－n][(n＜19，n∈N*)]成立. 类比上述性质，在等比数列[{bn}]中，若[b9=1]，则有等式 成立.

例3 在平面几何里，有勾股定理：“设[△ABC]的两边[AB、AC]互相垂直，则[AB2＋AC2=BC2].”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥[A-BCD]的三个侧面[ABC]、[ACD]、[ADB]两两相互垂直，则 .”

答案 1.①[(43πR3)=4πR2]，②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 2.[b1b2⋯bn=b1b2⋯b17-n][(n＜17，n∈N*)] 3.[S2ΔABC+S2ΔACD+S2ΔADB=S2△BCD]

二、演绎推理

演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理又称为逻辑推理．演绎推理是一般到特殊的模式即“三段论”：（ⅰ）大前提：已知的一般原理（[M]是[P]）；（ⅱ）小前提：所研究的特殊情况（[S]是[M]）；（ⅲ）结论：由一般原理对特殊情况作出判断（+S是[P]）. 在使用演绎推理时，常常有以下三种形式的三段论表达方式.

1. 显性三段论

可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”.

例4 若定义在区间[D]上的函数[f(x)]对于[D]上的[n]个值[x1,x2,⋯,xn]，总满足[1n[f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)]，称函数[f(x)]为D上的凸函数.现已知[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数，则[△ABC]中，[sinA+sinB+sinC]的最大值是 ．

解析 所有凸函数[f(x)]满足：[1n[f(x1)+f(x2)+][⋯+f(xn)]][f(x1+x2+⋯+xnn)]，（大前提）

而函数[f(x)=sinx]在[(0,π)]上是凸函数，（小前提）

所以[f(A)+f(B)+F(C)3f(A+B+C3)].（结论）

即[sinA+sinB+sinC3sinπ3=332].

因此，[sinA+sinB+sinC]的最大值是[332]．

2. 隐性三段论

三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的. 特别是大前提，很多是早已熟悉的定理、性质、定义，在证明和推理的过程中可以直接利用，省去表述．

例5 证明：函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数．

证明 [f(x)=-2x+2]，

因为当[x∈(-∞,1)]时，有[1-x>0]，

所以[f(x)=-2x+2=2(1-x)>0].

故函数[f(x)=-x2+2x]在[(-∞,1)]内是增函数．

点拨 本例好像没有用到演绎推理的三段论，其实大前提“在某个区间[(a,b)]内，如果[f(x)>0]，那么函数[y=f(x)]在这个区间内单调递增”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了．

3. 复式三段论

一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，可能需要多次使用三段论. 先从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论，而这个新得出的结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终得出结论．

例6 已知[a,b,m∈R+]，且[b

证明 [∵b0,]

[∴mb

[∴mb+ab

[∴ba

点拨 本题的论证共使用了三次演绎推理：第一层，大前提“不等式两边乘以同一个正数，不等号不变”；小前提“[b0]”；结论“[mb0]”；结论“[ba

三、合情推理与演绎推理的有机结合

合情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理是演绎推理的前提，演绎推理论证合情推理的可靠性.

例7 已知函数[y=x+ax(a>0)]在[(0,a]]上是减函数，在[[a,+∞)]上是增函数.

（1）如果函数[y=x+2bx(x>0)]的值域为[[6,+∞)]，求[b]的值；

（2）研究函数[y=x2+cx2(c>0)]在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数[y=x+ax(a>0)]和[y=x2+cx2(c>0)]作出推广，使它们都是你所推广函数的特例，研究并证明推广后的函数的单调性.

解析 （1）[b=2log23].

（2）令[t=x2]，显然函数[y=t+ct]在[(0,c]]上是减函数，在[[c,+∞)]上是增函数. 由[x2c]得[-c4xc4]；由[x2c]得[x-c4]或[xc4]. 又因为[t=x2]在[(-∞,0]]上是减函数，在[[0,+∞)]上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数[y=x2+cx2(c>0)]在[(-∞,-c4]]和[(0,c4]]上单调递减，在[[-c4,0)]和[[c4,+∞)]上单调递增.

（3）推广结论：对函数[y=xn+axn(a>0)]，当[n]为正奇数时，函数在[(-∞,-a2n]]和[[a2n,+∞)]上是增函数，在[[-a2n,0)]和[(0,a2n]]上是减函数. 当[n]为正偶数时，函数在[(-∞,-a2n]]和[(0,a2n]]上是减函数，在[[-a2n,0)]和[[a2n,+∞)]上是增函数.

证明： [y=nxn-1-nax-n-1].

当[n]为正奇数时，由[y>0]得，[x>a2n或x<-a2n]，所以函数在[(-∞,-a2n)]和[[a2n,+∞)]上是增函数. 又由[y<0]得，[-a2n

当[n]为正偶数时，由[y>0]得，[x>a2n或-a2n

（说明：也可以先考查函数在[(0,+∞)]内的单调性后，再利用函数的奇偶性加以完善.）

篇5：合情推理第一课时

学习目标

1。 能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理;

2。 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理;

3。 体会合情推理和演绎推理的区别与联系。

学习过程

一、课前准备

复习1：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习2：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

复习3：归纳推理是由 到 的推理。

类比推理是由 到 的推理。

合情推理的结论 。

复习4：演绎推理是由 到 的推理。

演绎推理的结论 。

二、新课导学

※ 典型例题

例1 观察(1)(2)

由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。

变式：已知：

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的`证明。

例2 在 中，若 ，则 ，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想。

变式：命题“正三角形内任一点到三边的距离等于常数，”对正四面体是否有类似的结论?

例3：已知等差数列 的公差为d ，前n项和为 ，有如下性质：

(1) ，

(2)若 ，

则 ，

类比上述性质，在等比数列 中，写出类似的性质。

例4 判断下面的推理是否正确，并用符号表示其中蕴含的推理规则：已知 是5的倍数，可知或者m+1是5的倍数，或者5m+1是5的倍数;因为5m+1不是5的倍数，所以m+1是5的倍数。

※ 动手试试

练1。若数列 的通项公式 ，记 ，试通过计算 的值，推测出

练2。代数中有乘法公式。：

再以乘法运算继续求：

…………

观察上述结果，你能做出什么猜想?

练3。 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积 ，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为 ，则四面体的体积V= 。

三、总结提升

※ 学习小结

1。 合情推理 ;结论不一定正确。

2。 演绎推理：由一般到特殊。前提和推理形式正确结论一定正确。

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1。 由数列 ，猜想该数列的第n项可能是( )。

A。 B。 C。 D。

2。下面四个在平面内成立的结论

①平行于同一直线的两直线平行

②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条相交

③垂直于同一直线的两直线平行

④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交

在空间中也成立的为( )。

A。①② B。 ③④ C。 ②④ D。①③

3。在数列 中，已知 ，试归纳推理出 。

4。 用演绎推理证明函数 是增函数时的大前提是( )。

A。增函数的定义 B。函数 满足增函数的定义

C。若 ，则 D。若 ， 则

5。 设平面内有n条直线 ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用 表示这n条直线交点的个数，则 = ;当n>4时，=(用含n的数学表达式表示)。

课后作业

1。判别下列推理是否正确：

(1)如果不买彩票，那么就不能中奖。因为你买了彩票，所以你一定中奖、

(2)因为正方形的对角线互相平分且相等，所以一个四边形的对角线互相平分且相等，则此四边形是正方形。

(3)因为 ，所以

2 证明函数 在 上是减函数。

3。 数列 满足 ，先计算数列的前4项，再归纳猜想 。

篇6：合情推理第一课时

1.教学目标

（1）知识与技能：

了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．（2）过程与方法：

体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．（3）情感态度与价值观：

培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．

2.教学重点/难点

【教学重点】：

正确地运用演绎推理进行简单的推理． 【教学难点】：

正确运用“三段论”证明问题．

3.教学用具

多媒体

4.标签

2.1 合情推理与演绎推理

教学过程

课堂小结

1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；

（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式为： 大前提：M是P 小前提：S是M 结

论：S是P 2．合情推理与演绎推理的区别和联系：

（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；

篇7：合情推理第一课时

推理与证明是人类必不可少的思维过程.推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整个知识体系，在其他学科领域也有多处涉及．物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理;高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例．通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用.同时，本节课的学习有助于学生更完整更准确地认识到数学不仅仅是演绎科学，更是归纳的科学，类比的科学；有助于学生形成合情推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯．

人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，主要是由于人们习惯上从数学研究的结果来看数学的本质特征．然而，结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，一个“思维的实验过程”．波利亚认为：“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”本节课的设计就是为了还原数学的本质，让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是推理的科学

篇8：合情推理第一课时

一、课前检测

1、演绎推理：

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：；

ⅱ小前提：；

ⅲ结论：．

集合简述：

ⅰ大前提：xM且x具有性质P；

ⅱ小前提：yS且SM；

ⅲ结论：y也具有性质P；

2、合情推理：与统称为合情推理．

①归纳推理：．

②类比推理：．

定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．③推理过程：

从具体问题出发→→归纳类比→．

二、例题讲解

例1：对任意正整数n，猜想2n与n2的大小

例2：已知“等边三角形内任意一点P到三边的距离之和相等，且等于三角形的高.”类比这一现象，在正四面体中你能得出什么结论？证明你的结论.xxx例3：设x1,x2,x10都是正数，证明：1210x1x2x10.x2x3x1

例4：设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.写出数列的前3项，由此猜想数列an的通项公式，并给出证明.三.课堂小结:

作业

班级姓名学号222

1.对于函数f(x)，若f(1)0,f(2)3,f(3)8,f(4)15.运用归纳推理的方法可猜测f(n)2.观察下列不等式：2323,355,223,归纳出一般结论为

3.当a,b,c(0,)时，由

论为

4.数列an中，a12,a28,a318,a432,运用归纳推理可猜测出an=2 ababc3ab,abc,运用归纳推理可猜测出一般结23

5.11111123,1221234,132231345,观察666

以上几个等式，运用归纳推理可猜测出一般结论为

6.将等式和不等式进行类比：

（1）由等式的性质：若ab,则anbn(nN),可猜测不等式的性质为

（2）由等式的性质：若acacac,则可猜测不等式的性质为bdbdbd

（3）判断以上猜测（1）（2）（对或错）

7.已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn，有如下的性质：

（1）若mn2p,m,nN，则aman2ap（2）Sn,S2nSn,S3nS2n构成等差数列.类比上述性质，在等比数列bn中，写出相类似的性质

（1）（2）

8.将以下两推断恢复成完全的三段论

（1）因为ABC三边的长依次为3，4，5，所以ABC是直角三角形；

（2）函数y2x5的图像是一条直线.9.已知：(1tan1)(1tan44)2，(1tan2)(1tan43)2，0000

(1tan30)(1tan420)2，根据以上等式，你能得出什么一般性的结论，并加以证明.10.用三段论证明函数f(x)x2x在(,1]上是增函数.x2y2

11.设AB是椭圆221(ab0)中与坐标轴均不平行的弦，其所在直线的斜率为ab

b2

k1,弦AB的中点为M，O为坐标原点，直线OM的斜率为k2，则有k1k22，将a

篇9：合情推理第一课时

禹州市褚河高级中学 杨峰烁

高中数学课程改革不论从理念，教材内容还是到实施处处彰显数学思维能力培养。在新课程实施过程中强调着重培养学生创新精神和实践能力，而合情推理能力的培养正是实现这一目标的重要方法。在教学实践中，通过创设问题情境，引导学生细心观察；变式训练，强化思维能力；特殊值代入，引导学生猜想；特别是强化合情推理的意识，提升思维水平，达到培养学生的创新精神和实践能力的目的。下面我就个人在数学教学中如何点燃学生的合情推理思维火花的点滴做法与大家共勉。

1．合情推理的含义

1．1什么是合情推理，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括经验和实践的结果），以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。这种推理的途径是从观察、实验入手，凭数学直觉，通过类比而产生联想、归纳而提出猜想。高中阶段合情推理主常用的思维方法：归纳推理、类比推理。新课标中指出：“让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义、步骤和方法，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。”在问题解决中，合情推理具有猜想和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识培养。

1．2合情推理与演绎推理的关系。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。根据数学建构主义认为：知识并非是主体对客体的被动的镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。学习者通过不断对各种信息进行加工、转换，形成假设，所以合情推理是数学建构主体思维的关键步骤，也是必不可少的思维方法，它可以促进知识的深化，加速知识的迁移，能力的提升。合情推理是演绎推理的前奏，演绎推理是合情推理的升华，作为数学逻辑思维的重要组成部分，在教学过程中要特别重视如何采用适当的途径强化合情推理的意识，培养学生的合情推理的能力。

2．合情推理的步骤

1、审题（观察具体问题）

2、联想：（可以向自己提出一系列问题：见过与其类似的问题吗？比如图形类似？条件类似？结论类似？注：这些表面上很普通、很平常的问题能帮助我们联想，可能使我们找到打开问题的大门钥匙。）

3、通过自身探究或合作交流（如：将问题特殊化，寻找类似结论或类似方法——归纳、类比猜想。）

4、得到问题结论并加以证明。

3．培养合情推理能力的关键点：

3．1教学中要不断增强学生合情推理意识。新课程标准下的各种版本教材都将合情推理纳入具体的教学内容中，要求学生了解合情推理含义，结合典型案例，体会并认识合情

推理在数学发现中的作用来激发探究意识和创新精神。特别在高中复习阶段利用合情推理将有效培养学生解题能力和构建完整的高中数学体系。

3．2教学中防止学生易犯的错误：想当然的用合情推理来替代演绎推理。学生在平时解决问题时首先要确定一个目标，然后通过分析和合情推理，总结出一个预期的解决方案或猜想，最后还需对此猜想做出严格的证明。

4．培养学生合情推理能力的可行性途径

4．1创设问题情境，培养学生的观察能力，激发合情推理意识。著名数学教育家波利亚曾指出：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”因此在教学中要从知识发生的过程设计合情推理的问题情境，留给学生足够的推理与猜想的时间，让学生通过合作交流或独立探究自主发现规律，从而获取新知，充分展示学生的思维过程，有利于学生理性思维的提高。问题是数学的心脏，创设的问题情境要适合学生的认知水平，让学生在具体问题的探索过程中热情参与，积极思考，大胆发言，在解答问题的过程中品尝成功的喜悦，激发合情推理的意识。

4．2特殊化引领，带动合情推理。合情推理中的归纳推理，指的是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事

实概括出一般性的推理，即由部分到整体，由个别到一般的推理。在探寻求解某些问题的过程中，特殊情况代入可起到引领的作用。

数列中的合情推理 例 对于等差数 列{an } 有如下命题：“若{an } 是 等差数列，a =0，s，t是互不相等的正整数，则(s.1)at.(t.1)(1)as = 0”．类比此命题，给出等比数列 {bn } 相应的一个正确命题． 评析本题以数列为载体，通过类比推理，考查 推理论证能力，由于类比等差数列的相关公式和性 质可以推导等比数列的相关公式和性质，等差数列 中的加减法、乘除法可以分别类比等比数列中的乘 除法、乘方开方运算．由等差数列中有 a1 =0，类比 得等比数列中 b =1，因此可得 b11tstsb..=． 例 2设无穷(1)等差数列{}的前 n项和为 anSn ．

(Ⅰ)若首项 a1 =23，公差 d = 1，求满足 S 2 =()Sk 2k 的正整数k；

(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切 =Sk 成立．正整数 k都有 S()2 2

评析作为特殊的函数，数列中的很多性质可以 类比函数得到，特殊化的思想方法在数列解题中经 常用到，本题的解答也可以从一般情况展开，但计 算量比较大、计算技巧比较强，运用合情推理（特 殊到一般）的手段来解决更简洁，取 k =1，可得 a1 =0 或 a1 =1；取 k =2 时，若 a1 =0，可得 d =0 或 d =6，从而 an=0 或 an= 6(n.1)（不合，舍去，不 满足S =(S3)2）．若

a1 =1，可得 d = 0或 d = 2，从而 an= 1，2、3 或 an= 2n.1，经检验 an= 0、an=1 或 an= 2n.1 满足题意． 4．3数形结合，有助于养成合情推理的习惯。数形转化就是通过数与形的相互转化来解决数学问题，数形结合兼有数的严谨与形的直观，利用数形转化可使复杂问题简单话、抽象问题直观化，通过数形相互转换，得到解决问题的方法。“它山之石可以攻玉”，用直观几何求解代数问题可以激活学生思维、产生直觉判断，从而引导学生主动联想，大胆假设推理，形成合情推理的能力，养成合情推理的习惯。

4．4由此及彼，求同存异，类比联想，培养合情推理能力。合情推理中的类比推理.指的是在两类不同事物之间进行对比 ,找出若干相同或相似点之后,推测在其它方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式。

类比推理具有以下三个特点：（1）类比是从人们已经掌

握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.（2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.（3）类比的结果是猜测性的，不一定可靠,但它却有发现的功能.在历史发展历程中，人类不断发现自然、征服自然，发明创造了不少有利于人类生存的工具：如①.工匠鲁班类比带齿的草叶,发明了锯。②.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇,„„