期末复习推理证明

第一篇：期末复习推理证明

期末复习：推理与证明,复数

高2013级数学(文科)期末复习

期末复习：推理与证明，复数

一、推理

1.归纳推理是由，从的推理。

Ex1:将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，

(二)间接证明：反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的

推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结

论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

(1)反设;(2)归谬;(3)结论。

Ex: 用反证法证明数学命题: 设0a,b,c1，求证：(1a)b, (1b)c, (1c)a,不可能同时大于1

4三、复数

24k4k+14k+24k+

31、虚数单位i，规定：i=;i=;i=;i=;i=(kN*)

2、复数的代数形式是，全体复数所成的集合叫做________集。用字母________来表示。

3.z=a+bi(a、bR)，则复数z的实部是;复数z的虚部是。复数z是实数，

复数z是虚数，复数z是纯虚数

4、z1=a+bi(a、bR)，z2=c+di(c、dR)，复数z1=z2;复数z1>z2

5、复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x轴叫做________轴，y轴叫做

_______轴.实轴上的点都表示______数;除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6、z=a+bi(a、bR)，则|z|=|a+bi|=，|z|的几何意义是

7、z1=a+bi(a、bR)，z2=c+di(c、dR)，则z1+z2=，对应向量运算;

z1-z2=，对应向量运算

8、z1=a+bi(a、bR)，z2=c+di(c、dR)，则|z1-z2|=，|z1-z2|的几何意义是

9、z1，z2是两个已知复数，z是满足下列等式的复数，写出z所对应的图形分别是什么?

(1)|z- z1|=a (aR，a>0)

(2)|z- z1|=|z- z2|

(3)||z- z1|+|z- z2||=2a(aR，|z1- z2|<2a)

(4)||z- z1|-|z- z2||=2a(aR，|z1- z2|>2a)

10、复数乘除法：(1)43i54i(2) 2i74i

11、z=a+bi(a、bR)，则复数z的共轭复数为z=，zz=

12、实系数一元二次方程ax+bx+c=0 (a、b、cR，且a0)的根的情况

当>0时，方程有根，分别为

当=0时，方程有根，为

当<0时，方程有根，分别为

四、题型分类

(一)i的运算

1、1iiii

123212320

10、1iiii20101232010i

3、i2i3i2010

5、f(n)=iinn

20

10、1i111i2i3i2010nn(nN*)的值域是1i

6、1i1i1i=

7、n为奇数，=1i1i

(二)复数分类

21、 z=(2+i)m-3(1+i)m-2(1-i) (mR)， z是实数，m取值; z是虚数，

m取值;z是纯虚数，m取值;

2、 z1=a+bi(a、bR)，z2=2+ci(cR)，则z1> z2的充要条件是

(三)复数的坐标表示、与向量之间的关系

1、3+4i的点关于原点对称的点对应的复数为

22、(m+m-2)+(6-m-m2)i对应复平面上的点一定不在第象限

3、平行四边形中，z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i对应复平面上的点为三个顶点，第四个顶点对应的复数

为

4、复数3-4i和5-6i分别对应向量，，求向量AB所对应的复数

(四)共轭运算

1、z1z223i，z1=1-5i，则z2=

2、(z+2)(z2)z,则z=

(五)模的运算及几何意义

2(12i)5(34i)

1、=

2、| z1+ z2|| z1|+| z2| 5(2i)

3、若集合M={z| |z+1|=1, zC},集合N={z| |z-2i|=|z|，zC},则MN=

4、复数z满足条件|z|=1，则|z+3-i|的取值范围是

5、复数z=cos+isin,(R)，则|z+1-i|的取值范围是

6、复数z1 z2满足| z1|=3，| z2|=4，| z1+ z2|=5，则|z1 –z2|=

7、|z|+z=8-4i，则z=

8、(1+i)z115i, z2=a-2i , |z1z2||z1|, a的范围(六)函数

1、f(z)=1-z,则z1=2+3i, z2=5-i, 则f(z1z

22、f(z)=z-1,则z1=2-3i,f(z1 –z2)=4+4i，求z2=, |z1+z2|=

(七)一元二次方程

1、2+ai，b+i(a、bR)是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，

2、、是方程xxm0(mR)的两个根，且||=2，求m的值

3、复数、是方程xxm0(mR)的两个根，且||||=2，

4、方程x+(k-2i)x+4+2i=0有一个根是2，复数另一个根为

五、反思小结

六、巩固练习

1、若zC,且|z-3i|-iz=6-3i,则z=_____.2、若|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=3,则|z1-z2|=________。

第二篇：推理与证明复习

一、基础知识

1.推理：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。推理一般分为合情推理与演绎推理两类。2.合情推理

比，然后提出猜想的推理，把它们通称合情推理。

3.演绎推理

定义：从出发，推出某个下的结论的推理。特点：由到。 模式：三段论——演绎推理的一般模式

“三段论”的结构：大前提——已知的;小前提——所研究的;

结论——根据一般原理，对做出的判断。 “三段论”的表示：大前提：; 小前提：;结论：S是P。 4.直接证明

定义：要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设(即Q的反

面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的的证明方法。 证明步骤： 6.数学归纳法

证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤：

(1)证明当n取n0时命题成立;(归纳奠基)

(2)假设n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。(归纳递推)

完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法就是数学归纳法。 习题精讲

1.已知函数f(x)=

x

2

21x

。

(1)分别求f(2)+f()、f(3)+f()、f(4)+f()的值;

3

4(2)归纳猜想一般性结论，并给出证明;

(3)求值：f(1)+f(2)+f(3)+„+f(2012)+f()+f()+„+f(

2112012

)

2.设a、b、c为一个三角形的三边，且s2=2ab，这里s=

3.已知数列{an}满足a1=，an1=

2

31

2(a+b+c)，试证s<2a。

an+n-4，其中为实数，n为正整数，求证：对

任意实数，数列{an}不可能是等比数列。

4.证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除

巩固练习

一 选择

1.下列推理是归纳推理的是()

A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆 B.由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C.由圆x+y=r的面积πr,猜想出椭圆

xa

22



yb

22

1的面积S=πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

2.下面使用类比推理正确的是()

A.“若a3b3,则ab”类推出“若a0b0,则ab”

B.“若(ab)cacbc”类推出“(ab)cacbc”

ab

acb

c(c≠0)”

C.“若(ab)cacbc” 类推出“

n

n

n

n

c

(ab)ab” 类推出“(ab)ab” D.“

nn

3.在十进制中2004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B. 254C. 602D. 2004 ππ

4.“三角函数是周期函数，y=sinx，x∈-是三角函数，所以y=sinx，x∈

22

-π，π是周期函数”.在以上演绎推理中，下列说法正确的是(). 22

A推理完全正确;B大前提不正确;C小前提不正确;D推理形式不正确.

5.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等

A.①; B.①②; C.①②③; D.③。

6.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数

符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：

0123

AB A6EB72C5FDB0

67

201

17.观察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，„，则5的末四位数字为A.3125B.5625C.0625D.812

58.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a，b，c中恰有一个偶数”,正确的假设为() A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数

C.a，b，c中至少有两个偶数

D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

9.已知fx是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若fkk成立，

则fk1k1成立，下列命题成立的是() A、若f39成立，则对于任意k1，均有fkk成立;

B、若f416成立，则对于任意的k4，均有fkk成立;

C、若f749成立，则对于任意的k7，均有fkk成立;

D、若f425成立，则对于任意的k4，均有fkk成立。

二 填空

1.设n2,nN,(2x

12

)(3x

12

n

13

13

将ak()a0a1xa2xanx，0kn)的

,T40,T5

12

n2n

最小值记为Tn，则T20,T3其中Tn。





13

,,Tn,

x2

2. 我们知道：过圆x+y=r上一点(x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r，2+

a

2y

=1上一点(x0，y0)的切线方程为________. b2

3.观察下列几个三角恒等式：

①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;

②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1; ③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1.

一般地，若tanα，tanβ，tanγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________.

4.已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，

AG

若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若GD

AO

M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD

OM

则

5.观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

„„

照此规律，第n个等式为。

6.若三角形内切圆的半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积等于S

12

r(abc)

，

根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别是S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V

7.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q的无穷 比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(选出 所有符合要求的组号) 其中n为大于1的整数, Sn为{an}的前n项和.①S1与S2;②a2与S3;③a1与an;④q与an.

8.问题“求方程345的解”有如下思路：方程345可变为()()1，

x

x

x

x

x

x

x

x

考查函数f(x)()x()x,可知，f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减，所以原方程有唯

34

一的解x=2.类比上述解法，可得到不等式：

x(2x3)(2x3)

6

x

的解集是

三 解答：

1通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

sin215°+sin275°+sin2135°=

23222

sin30°+sin90°+sin150°=

23

sin245°+sin2105°+sin2165°=

23

sin260°+sin2120°+sin2180°=2

2 用数学归纳法证明2n2n1(nN,n3)

第三篇：推理与证明总复习

编写人：杨素华审核：高二数学组(1)

一、知识结构框图

二、考纲分解解读

1合情推理与演绎推理

(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

2直接证明与间接证明

(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. 3数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.三、基础知识

(一)合情推理与演绎推理

1推理的概念

根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种___________叫做推理.从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做___________，一部分是由已知推出的判断，叫做___________. 

2合情推理

根据已有的事实，经过___________、___________、___________、___________，再进行___________、___________，然后提出___________的推理称为合情推理. 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类.

(1)归纳推理：由某类事物的___________对象具有某些特征，推出该类事物的___________对象具有这些特征的推理;或者由___________事实概括出___________

的推理称为归纳推

1理.简言之，归纳推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，归纳推理简称归纳.(2)类比推理：由两类对象具有___________和其中一类对象的某些___________，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理.简言之，类比推理是由___________到___________的推理，类比推理简称类比.

3演绎推理

(1)从___________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由___________到___________的推理.

(2)三段论是演绎推理的一般模式，它包括：①大前提——________________;②小前提——________________;③结论——________________________________.

(二)直接证明与间接证明

1.直接证明

(1)综合法：从题设的____________出发，运用一系列有关_______________作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.综合法的推理方向是由____________到____________，表现为____________，综合法的解题步骤用符号表示是：_____________________.

特点:“由因导果”，因此综合法又叫____________法.

(2)分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，论证中步步寻求使其成立的____________，如此逐步归结到已知的条件和已经成立的事实，从而使命题得证，表现为____________，分析法的证题步骤用符号表示为_____________________________. 特点：“执果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.

2.间接证明

假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这样的证明方法叫反证法.反证法是一种间接证明的方法.

(1)反证法的解题步骤：____________——推演过程中引出矛盾——____________.

(2)反证法的理论依据是：原命题为真，则它的____________为真，在直接证明有困难时，就可以转化为证明它的____________成立.

(3)反证法证明一个命题常采用以下步骤：

①假定命题的结论不成立.

②进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的.

④肯定原来命题的结论是正确的.

即“反设——归谬——结论”.

(4)一般情况下，有如下几种情况的求证题目常常采用反证法：

第一，问题共有n种情况，现要证明其中的一种情况成立时，可以想到用反证法把其它的 n-1种情况都排除，从而肯定这种情况成立;

第二，命题是以否定命题的形式叙述的;

第三，命题用“至少”、“至多”的字样叙述的;

第四，当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆命题又是非常容易证明的.(三)数学归纳法

1.数学归纳法

对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立;然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当________时命

题也成立，这种证明方法就叫做________.

2.用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤

(1)(归纳奠基)当n取第一个值________________________时，证明命题成立;

(2)(归纳递推)假设当_______________________时结论正确，证明当________时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.

3.特点注意

用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉.

四、题型归纳

(一)归纳推理

例1平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分?

分析：可通过画图当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论.

解析：设平面被n条直线分成Sn部分，则

当n=1时，S1 =1+1=2;

当n=2时，S2 =1+1+2=4;

当n=3时，S3 =1+1+2+3=7;

当n=4时，S4 =1+1+2+3+4=11.

据此猜想，得Sn=1+ n(n1)

2nn222= .

点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况.

(二)类比推理

例2(2009年微山模拟)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB=c,AC=b,BC=a，则

(1)a2+b2=c2;

22(2)cos2A+cos2B=1; ab

(3)Rt△ABC的外接圆半径为r=

2.

把上面的结论类比到空间写出相类似的结论.分析：我们在空间中选取3个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象，考虑面积，二面角，及外接球的半径即可得.

解析：(1)设3个两两垂直的侧面的面积

分别为S1,S2,S3，底面面积为S，则

S12+S22+S32=S2.

(2)设3个两两垂直的侧面与底面所成的角

分别为α,β,γ，则

cosα+cosβ+cosγ=1.

(3)设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分

别为a,b,c，则这个四面体的外接球的半径

为R=a2222b

32c2.

(三)演绎推理

演绎推理是证明数学问题的基本推理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必然真实.

2例3证明：函数f(x)=-x+2x在[1，+∞)上是减函数.

(四)用综合法证明数学命题

例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的任一点，过A点作AE⊥PC于点E，如右图所示.求证：AE⊥平面PBC.

(五)用分析法证明数学命题

例5若a>0，求证： a212a

(六)用反证法证明数学命题

例6已知：a3+b3=2,求证：a+b≤2.

分析：本题直接证明命题较困难，宜用反证法.

证明：假设a+b>2,则b>2-a .

于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a

=6(a-1)2+2≥2 .

与已知相矛盾，所以 a+b≤2.

(七)数学归纳法

ⅰ归纳、猜想、证明

例7在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足

(1)求a1，a2，a3.

ⅱ用数学归纳法证明恒等式11an.Sn= 2 a  n333322a1a2. (2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.

22例8用数学归纳法证明：n ( n1 ) 2n(n1)(3n1  223 12

211n10)

ⅲ用数学归纳法证明整除问题

例9用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11n+2+122n+1是133的倍数.

ⅳ用数学归纳法证明不等式问题

例10设函数f(x)xxlnx.数列an满足0a11，an1f(an). (Ⅰ)证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数;

(Ⅱ)证明：anan11;

1)，整数k≥(Ⅲ)设b(a1，a1ba1lnb.证明：ak1b.

解：

(I)当0

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函数f(x)在区间(0,1)是增函数，

(II)当0x

又由(I)有f(x)在x=1处连续知，

当0

因此，当0

下面用数学归纳法证明： 0

(i)由0

则由①可得0

故当n=k+1时，不等式②也成立

综合(i)(ii)证得：an

(III)由(II)知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k,使得am≥b,则ak+1>am≥b 否则，若amamlnam≤a1lnam

ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak

……

k

=a1-amlnam

m1

k

由③知amlnam

m1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1) =b

第四篇：2014届高三数学一轮复习巩固与练习：推理与证明推理与证明

巩固

1.下列几种推理过程是演绎推理的是() A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°

B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数均超过50人

C.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质

11D.在数列{an}中，a1=1，an=an-1+)(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式 2an-

1解析：选A.两条直线平行，同旁内角互补(大前提)

∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提)

∠A+∠B=180°(结论)

2.下列表述正确的是()

①归纳推理是由部分到整体的推理 ②归纳推理是由一般到一般的推理 ③演绎推理是由一般到特殊的推理 ④类比推理是由特殊到一般的推理 ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理

A.①②③B.②③④

C.②④⑤D.①③⑤

解析：选D.归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.

3.下面使用类比推理恰当的是()

A.“若a²3=b²3，则a=b”类推出“若a²0=b²0，则a=b”

a+babB.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ cc

a+babC.“(a+b)c=ac+bc”类推出“c≠0)” ccc

nnnnnnD.“(ab)=ab”类推出“(a+b)=a+b” c

解析：选C.由类比推理的特点可知.

4.(2010年安徽省皖南八校高三调研)定义集合A，B的运算：A⊗B={x|x∈A或x∈B且x∉(A∩B)}，则A⊗B⊗A=________.解析：如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B=C，运用类比的方法可知，C⊗A=B，所以A⊗B⊗A=B

.

答案：B

5.(2009年高考浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________， T16成等比数列. T1

2解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列.下面证明该结论的正确性：

设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，

则T4=b1q，T8=b1q=b1q，

121+2+„+111266

T12=b1q=b1q，

4681+2+„+7828

T8T12422438

=b1q，

T4T8T82T12T8T12

即)²T4，故T4，成等比数列. T4T8T4T8

T8T12

答案：T4T8

6.等差数列{an}中，公差为d，前n项的和为Sn，有如下性质： (1)通项an=am+(n-m)d;

*

(2)若m+n=p+q，m、n、p、q∈N，则am+an=ap+aq; (3)若m+n=2p，则am+an=2ap;

(4)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n构成等差数列.

∴=b1q，

请类比出等比数列的有关性质.

解：等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以推出以下性质：

n-m

(1)an=amq;

*

(2)若m+n=p+q，m、n、p、q∈N，则am²an=ap²aq;

(3)若m+n=2p，则am²an=ap;

(4)当q≠-1时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n构成等比数列.

练习

1.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是() A.三角形B.梯形 C.平行四边形D.矩形

解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.

7598139b+mb2，>>，„若a>b>0且m>0，则()

10811102521a+maA.相等B.前者大 C.后者大D.不确定

b+mb

解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得.

a+ma

3.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故此奇数(S)是3的倍数(P)”，上述推理是()

A.小前提错B.结论错 C.正确的D.大前提错 解析：选C.大前提正确，小前提正确，故命题正确. 4.下列推理是归纳推理的是()

A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C.由圆x+y=r的面积πr，猜想出椭圆=1的面积S=πab

ab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理.

5.给出下列三个类比结论.

nnnnnnn

①(ab)=ab与(a+b)类比，则有(a+b)=a+b;

②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则有sin(α+β)=sinαsinβ;

2222222

③(a+b)=a+2ab+b与(a+b)类比，则有(a+b)=a+2a²b+b. 其中结论正确的个数是()

A.0B.1 C.2D.3 解析：选B.③正确.

6.观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为(

)

A.Sn=2n-2nB.Sn=2n

22

C.Sn=4n-3nD.Sn=2n+2n

解析：选A.事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n=2时有S2=4，分别代入即可淘汰B，C，D三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n-1项和，即Sn=(n-1)³4(n-1)(n-2)2+2n-2n.

7.y=cosx(x∈R)是周期函数，演绎推理过程为________. 答案：大前提：三角函数是周期函数; 小前提：y=cosx(x∈R)是三角函数; 结论：y=cosx(x∈R)是周期函数.

8.对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：

12222

①aa+b)=a+2ab+b;③若|a|=|b|，则a=±b;④若a=ab，则a

22

a

=b.

那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________.

11

解析：对于①，当a=i时，ai+i-i=0，故①不成立;

ai

对于②④，由复数四则运算的性质知，仍然成立.

对于③，取a=1，b=i，则|a|=|b|，但a≠±b，故③不成立. 答案：②④

9.已知数列2008,2009,1，-2008，-2009，„，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S2009等于________.

解析：数列前几项依次为2008,2009,1，-2008，-2009，-1,2008,2009，„每6项一循环，前6项之和为0，故前2009项包含334个周期和前5个数，故其和为2008+2009+1-2008-2009=1.

答案：1

10.用三段论的形式写出下列演绎推理.

(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角; (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等. 解：(1)两个角是对顶角

则两角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是对顶角.结论

(2)每一个矩形的对角线相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的对角线相等.结论 11.观察：

(1)tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;

(2)tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1. 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论. 解：若锐角α，β，γ满足α+β+γ=90°， 则tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1. 12.已知等差数列{an}的公差d=2，首项a1=5. (1)求数列{an}的前n项和Sn;

(2)设Tn=n(2an-5)，求S1，S2，S3，S4，S5;T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.

解：(1)由已知a1=5，d=2，

∴an=a1+(n-1)²d=5+2(n-1)=2n+3. ∴Sn=n(n+4).

(2)Tn=n(2an-5)=n[2(2n+3)-5]，

∴Tn=4n+n.

22

∴T1=5，T2=4³2+2=18，T3=4³3+3=39， T4=4³42+4=68，T5=4³52+5=105.

S1=5，S2=2³(2+4)=12，S3=3³(3+4)=21， S4=4³(4+4)=32，S5=5³(5+4)=45. 由此可知S1=T1，当n≥2时，Sn

第五篇：高三推理证明与数学归纳法一轮复习

第十六模块推理证明与数学归纳法

第一部分合情推理与演绎推理

一、推理设前提：已知的事实或假 断结论：由前提推出的判

归纳推理合情推理

二、推理分类 类比推理演绎推理主要讲三段论推理

合情推理：前提为真，结论可能为真的推理

演绎推理：前提为真，结论必然为真的推理

合情推理的意义，可以根据条件猜测结论，为证明提供方向。

归纳推理：根据一类事物部分对象具有的性质推出这类事物所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理。

类比推理：根据两类事物A与B有某些性质P类似(或完全相同)。若A类事物还有性质q可猜测B事物也有q的性质。

例母鸡与母鸭都是家禽类，母鸭会下蛋，类比推理母鸡也会下蛋。

母鸡与母鸭都是家禽类，母鸭会游泳，类比推理母鸡也会游泳。

白母鸭与黑母鸭都是家禽类，白母鸭会游泳，类比推理黑母鸭也会游泳。

三段论推理：

大前提：一般性的判断，如性质，公理，定理，公式，已知常识等

小前提：已知条件

结论：由大前提和小前提推出的判断

例：用三段论推理证明下面问题

已知：AB//CD,

求证：∠1=∠

22大前提：两直线平行，同位角相等

小前提：∠1与∠2是同位角，

结论：∠1=∠2

第二部分直接证明与间接证明

综合法直接证明证明方法分析法

间接证明：反证法

一、综合法由因到果(略)

二、分析法：由果索因

若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg

要想结论成立 只需lgabbccalglglgalgblgc 222abbcca..lgabc成立 22

2由于y=lgx在x0,上为增函数 abbcca..abc①成立 222

abbccaab;;caa,b,cR由于a,b,c是不全相等的正数故 因为222

abbcca..abca,b,c是不全相等的正数，所以等号取不到 所以222故这只需

所以①成立。

所以原命题正确

分析法套话：要想„成立

只需„成立

这只需„成立

即„成立(变形)

因为„所以„显然成立

所以原命题正确

练习：

设a,b,c为任意三角形的三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca

试证：I24S

证明：要想结论成立

只需abc4abbcca成立① 2

这只需

即需

即需a222bc2ab2bc2ca0成立② 2222aabacbbcbaccacb0成立③ a

2abac0,bbcba0,ccacb0成立④ 22abc,bac,cab ∴aabac0,bbcba0,ccacb0显然成立 22

分析：①②③④„

分析法的每一步只要找上一步成立的充分性条件即可

⑵是否存在常数c,使得不等式xyxyc对任意的x,y恒成2xyx2yx2y2xy

立?试证明你的结论

分析：特值法找到c,再利用分析法证明

三、反证法：

1、 证明格式：首先做出与问题结论相反的假设

从假设出发，经过推理论证得出矛盾

所以假设不成立，原命题正确

注：这里的矛盾指的是与已知的矛盾，与假设矛盾，与公理，性质，定理矛盾。 例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

求证：a>0,b>0,c>0

师生活动：把“全(都)”，“不全(都)”，“至多”，“至少”化成恰好，找到原命题结论的否定结论。

A,b,c有3个数大于0，有0个数小于或等于0

a,b,c有2个数大于0，有1个数小于或等于0

a,b,c有1个数大于0，有2个数小于或等于0

a,b,c有0个数大于0，有3个数小于或等于0

从上面的分析可以看出，a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一个数小于或等于0 不妨设c≤0

由于abc>0故c≠0,故c<0以下略

第三部分数学归纳法

一、数学归纳法证明步骤

1、 奠基步：验证nn时命题成立(n是使命题成立的最小自然数) 00

2、 递推步：假设n=k时命题正确(此时默认

纳假设)

验证n=k+1时命题正确

3、 综上：nn0nk时命题正确，所以这一步也叫做归n,nN0命题成立

等式问题不等式问题

二、数学归纳法类型题数列问题

整除问题几何问题

(一) 等式问题

例求证：n1n2nn

分析：⑴当n=1(从哪看出来?)

左=?怎么算?两头代中间夹。

右=?两头代中间夹

∴左=右

∴n=1时命题正确

⑵假设n=k时命题正确。即k1k2kk2n122n1nN 2k132k1kN 

(把n换成k抄一遍)

当n=k+1时

左=?直接代入，再用“两头代中间夹”变形技巧把归纳假设找出来，用归纳假设证明问题。 右=?直接代入

∴n=k+1时命题正确

综上nN*命题成立

证明：⑴当n=1时

左=1+1=2，右=21

22k1∴左=右 ∴n=1时命题正确 ⑵假设n=k时命题正确。即k1k2kk

当n=k+1时

右132k1kN 2k1132k1

左=k2k32k2

k2kk2k2k12k2

k1k2kk2k12

2132k1 k

1=右

∴n=k+1时命题正确

综上nN*命题成立

㈡ 不等式问题

用数学归纳法证明

1111*nnnN,n1 2321

11 23证明：当n=2时 左=1

右=2

∴左<右

∴n=2时命题正确

假设n=k时命题正确，即1

当n=k+1时 111kk成立 2321

左=1111k1 2321

111111kkk1 2321221

∴n=k+1命题成立

∴n2,nN*命题成立

练习：

1、用数学归纳法证明n㈢ 数列问题

㈣ 整除问题 N*时，111n 2n12n12n1133

5是否存在正整数m使得fn2n73n9对任何nN能被m整除?若存在，求*

出最大m的值，若不存在说明理由

解释“最大”的含义

例6,8,12能被1,2整除，其中最大的且能整除这3个数是2，这个 2也叫6,8,12最大公约数。其中本题“最大的m”指所有项的最大公约数

f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360

猜想m=36

下证fn2n73n9能被36整除

证明：n=1时显然成立

假设n=k时命题成立，即fk2k7

当n=k+1时 3k9能被36整除

fk12k17

3kk19 1 32k793183

由二项式定理 k1

3k1121

0k11k11 1k21Ck1

2显然1Ck121Ck121k21k2Ck1211 k10k13k11能被2整除

∴183k11能被36整除 

∴f(k+1)能被36整除

∴n=k+1时命题成立

综上n

三常见问题 N*命题成立

1、 投机取巧：奠基步不证明，例当nn时，左边=右边，所以nn时命题正确 00

2、 把归纳假设证明了

3、 格式不完整，缺少最后总结语

4、 推理中没有用到归纳假设。在变形中一定要把假设变出来再用假设证明问题。