一次函数基础习题

一次函数基础习题（共9篇）

篇1：一次函数基础习题

一次函数基础练习题

1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y(km)与时间x之间的函数关系是________。

2.圆的面积y(厘米)与它的半径x之间的函数关系是______________。

3．直角三角形两锐角的度数分别为x,y，其关系式为________________。

4．若点A（m-1，2）在函数y=2x-6的图象上，则m的值为_______。

5.若一次函数y=kx+b的图像经过(-2,-1)和点(1,2),则这个函数的图像不经过_____象限.6.已知一次函数y=2x+4的图像经过点（m，8），则m＝________。

7．已知点P（a，4）在函数y=x+3的图象上，则a=________。

8．已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=________。

9．现有笔记本500本分给学生，每人5本，则余下的本数y和学生数x之间的函数解析式为___________，自变量x的取值范围是______．

10．若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是()

A.y=2xB.y=2x－6C.y=5x－3D.y=－x－3

11.若直线y=kx+b平行直线y=3x+2，且过点（2，-1），则k=______,b=______.12.函数y=kx(k≠0)的图象过P(-3，7)，则k=______，图象经过______象限。

13．若函数y=-2x是正比例函数，则m的值是______.14．在一次函数y=5x-3中，已知x=0，则y=______；若已知y=2，则x=______.15．已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是_________

16．已知一次函数y＝－3x＋6：(1)x______时，y＜0；x______时，y＝0；x______时，y＞0。(2)若－3≤x≤3,则y的范围是______。

17．已知一次函数y=(m+2)x+1,y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是______。

18．已知直线y=x+8与x轴,y轴围成一个三角形,则这个三角形面积为____________

19.(1)已知一个正比例函数的图象经过点（1，5），则这个正比例函数表达式是______;(2)已知一次函数y=kx-k+4的图象与y轴的交点坐标(0，-2)，那么此一次函数表达式是______。

20.两直线y=x-1与y=-x+2的交点坐标______,一次函数y=2x-4的图象与x轴交点坐标是____________，与y轴交点坐标是____________.21．直线y=4x－6与x轴交点坐标为_______，与y轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y随x增大而_________．一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______.22.已知函数y=-2x+8，当______时，y＞4；当x______时，y≤-2。m+22

篇2：一次函数基础习题

一次函数基础训练1 姓名： 日期：

1、在函数① y=2x ②y=－3x+1 ③y正比例函数有_____________。

2、函数yx2中，x是自变量，y是x的函数，一次函数有_____________，2x4 的图像与x轴交点坐标为________,与y轴的交点坐标为____________。

33、函数y=2x-1与x轴交点坐标为______ ,与y轴交点坐标为____,与两坐标轴围成的三角形面积是______。

4、（1）对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而________。

（2）对于函数y12x , y的值随x值的_______而增大。235、若直线y=kx+b和直线y=-x平行,与y轴交点的纵坐标为-2,则直线的解析式为_______.6、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k的值为________。

7、已知y-1与x成正比例，且x=－2时，y=4，那么y与x之间的函数关系式为_________________。

8、直线y＝kx+b过点（1，3）和点（－1，1），则k＝__________。

9、若函数y＝kx+b的图像经过点（－3，－2）和（1，6）求k、b及函数关系式。

10、已知一次函数 y=（6+3m）x+n-4，求:（1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）n为何值时，函数图象与y轴交点在x轴的下方？（3）m, n 分别为何值时，函数图象经过(0，0).11、在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图像经过三点A（2，0）、B（0，2）、C（m，3），求这个函数的关系式，并求m的值。

b

一次函数基础训练2

1、下列关于x的函数中，是一次函数的是（）A.y2x22 B.y111 C.yx2 D.yx2 x22、下列各点在直线y3x1上的是（）

A.(1,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,1)

3、下列函数中，是正比例函数，且y随x增大而减小的是（）

A.y4x1 B.y2(x3)6 C.y3(2x)6 D.y

4、点A(3,y1)和点B(2,y2)都在直线y2x3上，则y1和y2的大小关系是（）

A.y1＞y2 B.y1＜ y2 C.y1=y2 D.不能确定

5、直线y3x6与两坐标轴围成的三角形的面积是（）

A.4 B.5 C.6 D.7 6直线y1k1xb1与直线y2k2xb2交y轴于同一点.则b1和b2的关系是（）

A.b1＞b2 B.b1＜b2 C.b1=b2 D.不能确定

7、一根蜡烛长20cm点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（）

8、平分坐标轴夹角的直线是（）

A.yx1 B.yx1 C.yx1 D.yx

9、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，可知不挂物体时弹簧的长度为（）A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm

10、对于函数y3x6，与x轴交点坐标是 ,与y轴交点坐标是

篇3：二次函数习题的改造

一、封闭性问题的开放性改造

以问题状态 (条件、过程和结论) 的明确程度为依据, 可将数学问题分为封闭性和开放性两个问题.平时所见的大部分问题属于封闭性问题, 而开放性问题对于发展学生的个性、优化学生的思维品质, 特别是训练学生的发散性思维、创造性思维有着重要意义.对于封闭性问题, 如果我们在认清题目的实质下对于问题的条件、结论或者过程予以适当修改, 则可以使其具有一定的开放性.

题1 求函数f (x) = (x-1) 2对称轴、最值、单调性.

单纯求二次函数的最值、单调性, 难于培养学生发散性思维和创造性思维, 如果将此题的结论作为条件, 可以改编成开放性问题, 不仅调动了学生的学习兴趣, 而且使每名学生的思维能力都得到较大的发展.

题2 老师给出一个函数y=f (x) , 四名学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质.

甲:对x∈R, 都有f (1-x) =f (1+x) .

乙:在 (-∞, 0]上是减函数.

丙:在[2, +∞) 上是增函数.

丁:f (0) 不是函数的最值.

如果其中恰好有三名学生说得正确, 请写出这样一个函数.

适当放宽限制条件, 使得问题存在多种答案, 具有一定的开放性, 从而调动了学生的思维积极性.

题3 已知函数f (x) =asin2x+bsinx+c (a, b, c均为实数) .

(1) 当b=1时, 对任意实数x, 使f (x) ≠0, 求a, c满足的条件;

(2) 当a+c=0时, 求证:存在一个实数x, 使f (x) =0.

此题是比较典型的二次函数零点问题, 如果能放宽数学背景, 增加适当的实际情景, 可将此题改编为一道开放性较强的问题.不仅增加了数学的趣味性, 而且培养了学生的探索能力.

题4 已知函数f (x) =asin2x+bsinx+c, 其中a, b, c为非零实数.甲、乙两人做一游戏, 他们轮流确定系数a, b, c (如:甲令b=1, 乙令a=-2, 甲再令c=3) 后, 如果对任意实数x, 使f (x) ≠0, 那么甲获胜;如果存在一个实数x, 使f (x) =0, 那么乙获胜.

(1) 甲先选数, 他是否有必胜策略?为什么?

(2) 如果a, b, c是任意实数, 结果如何?为什么?

二、常规型问题的探索性改造

以问题解决者的知识经验为依据, 可以将数学分为常规性问题与探索性问题.平时所见到的例、习题大部分是常规性问题, 而探索性问题对于培养学生的探究能力, 激发学生的学习兴趣与主动性有着常规性问题不可比拟的作用, 改变常规问题的条件、结论或者设问方式就可以引导常规性问题改编为探索性问题.

题5 已知函数f (x) =-ax4+ (2a-1) x2+1, 当undefined时, 求f (x) 的单调区间.

考虑到a的任意性, 我们可以用逆向思维, 运用设问方式, 将此题改变为探索性问题.

题6 已知函数f (x) =-ax4+ (2a-1) x2+1, 问是否存在a (a<0) , 使得f (x) 在区间 (-∞, -4]上是减函数, 且在区间 (-4, 0) 上是增函数?若存在, 求出a;若不存在, 请说明理由.

题7 已知二次函数undefined, 求函数的值域.

这是一道单纯性二次函数在闭区间上的最值问题, 探究性不强, 我们不妨增加已知条件, 改编为下述具有一定探究性的问题.

题8 已知二次函数undefined, 是否存在实数m, n (m

三、纯粹性问题的应用性改造

以问题性质的数学过程 (抽象、变换、应用) 为依据, 可以将数学问题分为纯粹性问题和应用性问题.平时所见的例、习题大部分是纯粹性问题, 而应用性问题对于培养学生的数学建模能力、分析问题与解决问题能力都有着不可替代的作用.对于一些纯粹性问题, 如果能够结合具体的生活、生产实践, 赋予一定的实际情景, 则可以将其改变为应用性问题.

题9 求函数undefined的最值.

此题可看做特殊二次函数undefined为载体给予一定的实际背景, 将此题改编为方案优化型的应用问题.

题10 制作一个容积为18 m3, 深为2 m的长方体无盖水池.若池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元, 求水池最低造价?

题11 已知函数undefined, 定义域为 (0, m) .

(1) 求函数的最值;

(2) 当0

以undefined为载体设计适当的实际背景的文字表述, 可以将此题改编为应用性较强的实际问题.

题12 渔场中鱼群的最大养殖量为m吨, 要保证鱼群的生长空间.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空间率的乘积成正比, 比例系数为k (k>0) .

(1) 求y关于x的函数关系式, 并指出该函数的定义域;

(2) 求鱼群年增长量的最大值;

(3) 当鱼群的年增长量达到最大时, 求k的取值范围.

总之, 适当改造传统例、习题确实能调动学生的学习兴趣, 提高学生分析问题和解决问题的能力, 但不恰当的改造不仅没有带来益处, 反而给学生带来新的负担.因此, 哪些传统数学问题可以改造, 如何改造, 改造后如何应用于数学教学, 这些问题需要我们不断地探索.

参考文献

篇4：中考语文基础知识练习题

1．根据汉语拼音在下面语段的横线上写上相应的词。

突然，一幕人们意想不到的场景出现：绿衣人周身亮起银光，宛若万点繁星，组成一支振翼欲飞的和平鸽，晶莹ｔī ｔòｕ________，满场生辉。继而，演员们身形一变，翠绿如初，瞬间在场中央搭起一个巨大的“鸟巢”，ｓｈǎｎ sｈｕò

________ 着绿银交织的光芒。这一幕声、光、电在人体上ｍàｎ ｍｉàｏ________变化，充满灵性和神奇，给人留下难忘印象。

2．这是一位初中生写的日记，其中有3个错别字，请你帮助他改正。

2008名演员在开幕式欢迎仪式开始时击矢而歌，欢迎来自全世界的朋友。发明火药的中国以制造神奇的焰火闻名于世，但运用焰火达到鬼斧神功境界的莫过于今晚。在《历史的足迹》一幕中，象征奥运历史足迹的29个“巨人脚印”，用焰火接力的造形，洛印在北京夜空。

“________”改为“________” “________”改为“________” “________”改为“________”

3．新闻媒体在报道比赛胜负时往往避开“胜”“战胜”“获得”等一般用词，而是根据人名(或国名)的特点推敲动作性语句，制作标题，亮出创意，吸引眼球。2008北京奥运会上，媒体用的标题《“威”加海内兮》，就是指杨威获得体操个人全能冠军。8月14日，中国运动员刘子歌获得女子200米蝶泳冠军，请你按照上述要求，拟一条有创意的标题(不超过12字)。

________________________________

4．欣赏了北京2008奥运会精彩的开幕式表演，你一定会陶醉于中华优秀传统文化之中，对开幕式上亮出的(或喊出的、吟颂的)古籍名句有更深刻的记忆。请你写出其中你印象最深的两句。

①________②________

5．默写古诗词

①当举重运动员夺冠时，人们经常用项羽的一句诗“________”来形容运动员的风采。

②古诗词中经常写到梦境，有的写思乡之梦，如“黯乡魂，追旅思。夜夜除非，好梦留人睡”(梦范仲淹的《苏幕遮》)；有的写壮怀之梦，如“________，________”陆游《十一月四日风雨大作》)；有的写哀痛之梦，例如李煜在《浪淘沙》中用“________”这两句诗形容现实与梦境的无情差距。

③我国的酒文化有着悠久的历史。酒经常成为古今诗人抒发各种情感的载体。请按照要求写出相应的诗句。

（一）相思酒，怀念情：“________，燕然未勒归无计。”(范仲淹《渔家傲》）

（二）送别酒，难舍情：“________，________”(王维《送元二使安西》)

（三）出征酒，旷达情：“________，________。醉卧沙场君莫笑，古来征战几人回。”(王翰《凉州词》)

（四）迎宾酒，敬仰情：“________，________。寂寞嫦娥舒广袖，万里长空且为忠魂舞。”(毛泽东《卜算子•咏梅》)

6.2008北京奥运会上的耀眼明星，媒体都给了诙谐有趣的绰号。请你说说下列绰号所用的修辞手法(按序号填空)

①“李小鸟”——男子团体体操和双杠冠军李小鹏。(性子急，签名特快，字像小鸟飞舞，故名)

②“微波炉”——中国女篮名将李楠。(她一上场就能进入状态，故名)

①________ ②________________

7．阅读下面一段话，回答问题。

①北京奥运村的建筑美仑美奂，空间十分开阔，令人心旷神怡；②餐厅的菜肴品种多样，大饱口福：③休闲场所的器械设施应有尽有，运动员们尽情享受，留恋往返；④大厅里可以自由交换纪念品，那些精美稀少的纪念章炙手可热，很难换到。

①用错的加点成语是________。

②第________句是病句，可这样修改：

________ 。

8．口语与交流

班级举行“思考奥运，享受奥运”主题班会。你是班上的一员，请你就主持人提出的话题发表意见。发言要有观点有材料，简明扼要。

①主持人：北京奥运开幕式震撼世界。我班的奥运快报需要一副对联，上联已经拟好，谁来拟下联(宽对)?

上联：中国长卷世界惊艳

下联：________________

②8月13日，中国军团四次夺冠。我班奥运快报用了“神州勇士再挂四枚金镶玉”这一标题。这里的“金镶玉”用得对码?换成“金牌”好不好?

________________________________

③奥运会主题歌在开幕式前被列为“终极悬念”之一。开幕式上，一曲《我和你》亮相，由刘欢和英国歌手布莱曼演唱，这引来了不同看法。有人将它与亚运会主题曲《亚洲雄风》比较，说《我和你》“不够味”。你同意这种看法吗?现在我把两段录相放一遍，请大家作欣赏比较，然后谈谈你的看法，说的时候尽量有理有据。

________________________________

二、古诗词鉴赏

阅读北宋杨万里的一首诗，回答问题。

万山不许一溪奔，拦得溪声日夜喧。

到得前头山脚尽，堂堂溪水出前村。

9．根据诗意，你认为这首诗赞美了什么?

________________________________

10．这首诗的意境和刘禹锡的两句名句的意境很相似。请你写出这两句。

________________________________

11.台湾原国民党主席连战访问大陆后，中共中央台办主任陈云林在机场为连战送行，触景生情的陈主任吟诵杨万里的这首诗赠连战。你认为杨主任此时吟诵这首诗要表达的特殊意义是什么?

________________________________

12．如果以这首诗赠给你崇拜的参加北京奥运会的运动员，你会赠给谁?请简要说说理由。

________________________________

参考答案：一、1.剔透闪烁曼妙2.矢缶功工洛烙3.示例一：水立方唱响最美“刘子歌”；示例二：浪花里飞出神奇的“歌”(暗示游泳和人名各1分)4.①有朋自远方来，不亦乐乎②四海之内皆兄弟也(或“三人行必有我师焉)5.①力拔山兮气盖世②夜阑卧听风吹雨，铁马冰河入梦来梦里不知身是客，一晌贪欢③(一)浊酒一杯家万里（二）劝君更尽一杯酒，西出阳关无故人。（三）葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催。（四）问讯吴刚何所有，吴刚捧出桂花酒6.①借代②比喻7.①炙手可热②第②句改正：餐厅的菜肴品种多样，让(使)运动员大饱口福(或“运动员可大饱口福”)。8.①示例一：奥运盛宴全球共享示例二：鸟巢梦幻四海叹服②“金镶玉”体现了北京奥运会金牌特有的制作材料和工艺特点，这里的“金镶玉”指金牌，用的是借代手法，生动形象，能唤起读者的美感；如用“金牌”也通，但缺乏上述效果。③开放题，言之成理都可。示例一：我同意“不够味”的看法。奥运精神是“更高、更快、更强”，这都需要激情热情，需要高昂激动的旋律，《亚洲雄风》的歌词“我们亚洲山是高昂的头，我们亚洲河像热血流，……亚洲风乍起，亚洲雄风震天吼”气势宏大，乐曲的旋律雄壮激昂；而《我与他》太柔，太飘，与奥运精神不太吻合。示例二：我不同意“不够味”的看法。有两点理由：一是“更高、更快、更强”的奥运精神偏重于竞赛的一个方面，举办奥运会还有一个重要目标，那就是体现和平发展和谐共生的理念，《我与他》虽然只有4句，但简单的歌词和柔美的旋律把这一点表现的很到位；第二点是主题歌要与开幕式的风格相协调，开幕式很讲究“和”，演绎温情和人性，《我与他》舒缓朴实的风格和开幕式的主题很吻合。二、9、赞美溪水不怕艰难险阻，勇往直前奔向目标的执著精神。10.两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。11.尽管有“台独”等势力的阻挠，海峡两岸和平统一是大势所趋，不可逆转，正如冲破万山阻拦，“堂堂溪水”终于“出前村”一样。12.开放题。所答须把诗意与人物特点有机结合。示例一：赠刘翔。刘翔脚伤退出比赛，遭遇了最大的一座“大山”的阻拦，但我坚信，刘翔是一股执著而神灵的“溪水”，一定能冲破各种“拦路山”，重返田坛，傲视群雄。示例二：赠女子羽毛球单打冠军张宁。张宁战胜了年龄、伤病、心理等多重“大山”。在北京奥运会上又力克多名世界名将最终夺冠。

篇5：一次函数基础习题

（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）当x=

时，抛物线有最

值，是。

（3）当x

时，y随x的增大而增大；当x

时，y随x的增大而减小。

（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标；

（6）该函数图象可由y3x2的图象经过怎样的平移得到的

二、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

11（1）yx22x1；

（2）y3x28x2；

（3）yx2x4

三、以x为自变量的函数yx2(2m1)x(m24m3)中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且SABC=10,求这个一次函数的解析式.四.(10分)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标及△ABC的面积..(画图)

五.(12分)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3).(1)求m的值、抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标;(2)当x取什么值时,抛物线在x轴上方?(3)当x取什么值时,y的值随x的增大而减小.(画图)

篇6：一元一次函数练习题

1．下面哪个点在函数y=

1x+1的图象上（）2 A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=2x-1 B．y=

x C．y=2x2 D．y=-2x+1 33．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、二、四 D．一、三、四

4．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）

A．k>3 B．0

1．已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．

2．若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________． 3．已知一次函数y=-x+a与y=x+b的图象相交于点（m，8），则a+b=_________．

解答题

1．（14分）根据下列条件，确定函数关系式：

（1）y与x成正比，且当x=9时，y=16；

（2）y=kx+b的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．

篇7：一次函数练习题带答案

选择题

1.已知一次函数 ,若 随着 的增大而减小,则该函数经过:

(A)第一,二,三象限(B)第一,二,四象限

(C)第二,三,四象限(D)第一,三,四象限

2.某市的出租车的收费标准如下：3千米以内的收费6元;3千米到10千米部分每千米加收1.3元;10千米以上的部分每千米加收1.9元。那么出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系表示为

3.阻值为 和 的两个电阻，其两端电压 关于电流强度 的函数，

则阻值

(A) > (B) < (C) = (D)以上均有可能

4.若函数 ( 为常数)那么当 时， 的取值范围是

A、 B、 C、 D、

5.下列函数中，一次函数是().

(A) (B) (C) (D)

6.一次函数y=x+1在().

(A)第一、二、三象限(B)第一、三、四象限

(C)第一、二、四象限(D)第二、三、四象限

7.将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是

A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=2(x-2)D.y=2(x+2)

8.已知点A的坐标为(1，0)，点B在直线 上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为

A.(0，0)B. C. D.

9.把直线l沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线l′，则直线l/的解析式为

A.y=2x+4B.y=-2x+2C.y=2x-4D.y=-2x-2

10.直线y=kx+1一定经过点()

A.(1，0)B.(1，k)C.(0，k)D.(0，1)

11.在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE=∠C，

且AB=5，AC=4，AD=x，AE=y，则y与x的关系式是()

A.y=5xB.y= xC.y= xD.y= x

12.下列函数中，是正比例函数的为

A.y= B.y= C.y=5x-3D.y=6x2-2x-1

13，△ABC和△DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B=∠DEF=90°，点B、C、E、F在同一直线上.现从点C、E重合的位置出发，让△ABC在直线EF上向右作匀速运动，而△DEF的位置不动.设两个三角形重合部分的面积为 ，运动的距离为 .下面表示 与 的函数关系式大致是()

填空题

1.若正比例函数y=mx(m≠0)和反比例函数y= (n≠0)都经过点(2,3)，则m=______，n=_________.

2.如果函数 ，那么

3.点A(2，4)在正比例函数上，这个正比例函数的解析式是

4.若函数经过点(1，2)，则函数的表达式可能是(写出一个即可).

5.表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行使的路程 与经过的时间 之间的函数关系.请填空：

出发的早，早了小时，先到达，先

到小时，电动自行车的速度为km/h，汽车的速度为km/h.

6.某电信公司推出手机两种收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差元.

7.若一次函数y=ax+1―a中，y随x的增大而增大，且它与y轴交于正半轴，则|a―1|+ =。

8.已知，一轮船在离A港10千米的P地出发，向B港匀速行驶，30分钟后离A港26千米(未到达B港)，设出发x小时后，轮船离A港y千米(未到达B港)，则y与x的函数关系式为

解答题

1.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价 (元)与产品的日销售量 (件)之间的关系如下表：

(元)

15 20 25 30 …

(件)

25 20 15 10 …

⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立 与 的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

2.】李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。

⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗?为什么?

⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗?为什么?如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。

3.小明子在银行存入一笔零花钱，已知这种储蓄的年利率为n 。若设到期后的本息和(本金+利息)为y(元)，存入的时间为x(年)，那么

(1)下列那个更能反映y与x之间的函数关系?你能看出存入的本金是多少元?一年后的本息和是多少元?

(2)根据(1)求出y于x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)，并求出两年后的本息和。

4.某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他该月的销售量成一次函数关系，解答下列问题：

(1)求出小李的个人月收入y(元)与他的月销售量x(件)( 之间的函数关系式;

(2)已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元?

5、在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为6，O为坐标原点，边

OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，E是边AB上的一点，直线EC交y轴于F，且S△FAE∶S四边形AOCE=1∶3。

⑴求出点E的坐标;⑵求直线EC的函数解析式.

6 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系; 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。

(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式;

(2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式;

(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本;

(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利?(利润=收入-成本)

7.在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表(一)，爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗?”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”.

在游船上，他注意到表(二)，思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度.”爸爸说：“你真聪明!”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗?请你和小明一起求出：

(1)票价 (元)与里程 (千米)的函数关系式;

(2)游船在静水中的速度和水流速度.

里程(千米) 票价(元)

甲→乙 16 38

甲→丙 20 46

甲→丁 10 26

… … …

出发时间 到达时间

甲→乙 8:00 9:00

乙→甲 9:20 10:00

甲→乙 10:20 11:20

… … …

8.教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管.课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的`.两个放水管同时打开时，他们的流量相同.放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)的函数关系

(1)求出饮水机的存水量y(升)与放水时间x(分钟)(x≥2)的函数关系式;

(2)如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟?

(3)按(2)的放法，求出在课间10分钟内班级中最多有多少个同学能及时接完水?

9.某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：

印数x(册) 5000 8000 10000 15000 ……

成本y(元) 28500 36000 41000 53500 ……

(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围);

(2)如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册?

10.阅读：我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线;我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点就是一次函数y=2x+1的，它也是一条直线。

可以得出：直线=1与直线y=2x+1的交点P的坐标(1，3)就是方程组 的解，所以这个方程组的解为

在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它左侧的部分，y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分。

回答下列问题：

(1)在直角坐标系中，用作的方法求出方程组 的解;

(2)用阴影表示 ，

所围成的区域。

11一天上行6点钟，汪老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程S(km)(即离开学校的距离)与时间(h)的关系可用折线表示，根据提供的有关信息，解答下列问题：

(1)开会地点离学校多远?

(2)求出汪老师在返校途中路程S(km)与时间t(h)的函数关系式;

(3)请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述.

12.已知正比例函数y=kx与反比例函数y= 都过A(m,，1)点，求此正比例函数解析式及另一个交点的坐标.

13.小明暑假到华东第一高峰—黄岗山(位于武夷山境内)旅游，导游提醒

大家上山要多带一件衣服，并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降.沿途小明利用随身带的登山表(具有测定当前位置高度和气温等功能)测得以下数据：

海拔高度x米 400 500 600 700 …

气温y(0C) 28.6 28.0 27.4 26.8 …

(1)以海拔高度为x轴，气温为y轴，根据上表提供的数据在下列直角坐标系中描点;

(2)观察(1)中所苗点的位置关系，猜想y与x之间的函数关系，求出所猜想的函数表达式，并根据表中提供的数据验证你的猜想;

(3)如果小明到达山顶时，只告诉你山顶的气温为18.1，你能计算出黄岗山的海拔高度大约是多少米吗?

13.在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间x(h)的关系。解答下列问题：

⑴甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是，从点燃到燃尽所用的时间分别是;

⑵分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式;

⑶当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等?

14、A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O的两根，且x1<0

(1)求m的取值范围;

(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值;

(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式：

参考答案

选择题

1.B2.B3.A4.D5.B6.A7.A8.B

9.C10.D11.C12.A13.C

填空题

1. 6.2. 3.

4.答案不唯一;如

5.甲(或电动自行车)2乙(或汽车)21890

6.107.18.

解答题

1、⑴经观察发现各点分布在一条直线上∴设 (k≠0)

用待定系数法求得

⑵设日销售利润为z则 =

当x=25时，z最大为225

每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元

2、⑴这个游戏对双方公平∵P(奇)= ，P(偶)=

3P(奇)=P(偶)，∴这个游戏对双方公平

⑵不公平

列表：

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

得：P(和大于7)= ，P(和小于或等于7)=

李红和张明得分的概率不等，∴这个游戏对双方不公平

3、(1)能反映y与x之间的函数关系

可以看出存入的本金是100元

一年后的本息和是102.25元

(2)设y与x的关系式为：y=100n x+100

把(1，102.25)代入上式，得n=2.25

∴y=2.25x+100

当x=2时，

y=2.25*2+100=104.5(元)

4、(1)由题意可设 与 的函数关系式为：

可知：当 时， ， 时，

有

解得，

与 的函数关系式为：

(2)当 时， (元)

5、⑴∵S△FAE∶S四边形AOCE=1∶3，∴S△FAE∶S△FOC=1∶4，

∵四边形AOCB是正方形，∴AB∥OC，∴△FAE∽△FOC，

∴AE∶OC=1∶2，

∵OA=OC=6，∴AE=3，∴点E的坐标是(3,6)

⑵设直线EC的解析式是y=kx+b，

∵直线y=kx+b过E(3,6)和C(6，0)

∴3k+b=66k+b=0 ，解得：k=-2b=12

∴直线EC的解析式是y=-2x+12

6、1)y=x

(2)设 ∵直线过(0，2)、(4，4)两点

∴ 又 ∴ ∴

(3)当 时，销售收入等于销售成本

或 ∴

(4)当 时，工厂才能获利

或 时，即 时，才能获利。

7、(1)设票价 与里程 关系为 ，

当 =10时， =26;当 =20时， =46;

∴ 解得： .

∴票价 与里程 关系是 .

(2)设游船在静水中速度为 千米/小时，水流速度为 千米/小时，

根据提供信息，得 ，解得：

8、设存水量y与放水时间x的解析式为y=kx+b

把(2，17)、(12，8)代入y=kx+b得

解得k=- ，b=

y=- x+ (2≤x≤ )

(2)可得每个同学接水量是0.25升则前22个同学需接水0.25×22=5.5升

存水量y=18-5.5=12.5升 ∴12.5=- x+ ∴x=7

∴前22个同学接水共需7分钟.

(3)当x=10时存水量y=- ×10+ =

用去水18- =8.2升 8.2÷0.25=32.8

∴课间10分钟最多有32人及时接完水.

或设课间10分钟最多有z人及时接完水

由题意可得0.25z≤8.2z≤32.8

9、(1)设所求一次函数的解析式为y=kx+b，

则 解得k= ，b=16000。

∴所求的函数关系式为y= x+16000。

(2)∵48000= x+16000。∴x=12800。

10、1)

在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2，

这两条直线的交点是P(-2，6)。

则 是方程组 的解。

(2)如阴影所示。

11、1)开会地点离学校有60千米

(2)设汪老师在返校途中S与t的函数关系式为S=kt+b(k≠0).

经过点(11,60)和点(12,0)

∴ 解之，得

∴S=-60t+720(11≤t≤12)

(3)汪老师由上午6点钟从学校出发，乘车到市里开会，到了40公里处时，发生了堵车，堵了约30分钟才通车，在8占钟准里到达会场开了3个小时的会，会议一结束就返校，结果在12点钟到校.

12、∵y= 过A(m，1)点，则1= ，∴m=3，即A(3，1).将A(3，1)代入

y=kx，得k= ，∴正比例函数解析式为y= x.又 x= ∴x=±3.当x=3时，y=1;当x=-3时，y=-1.∴另一交点为(-3，-1).

13、(1)四个点都描对得2分

(2)猜想：Y与X之间的函数关系式可能是一次函数(若学生未先写猜想，而在后继解答中完成了对一次函数的就假设，仍可得这1分)

求解：设函数表达式为：y=kx+b，把(400，28.6)，(500，28.0)代入y=kx+b，得： 解得：k=-0.006,b=31

∴y与x之间的函数关系式可能是y=-0.006x+31

当x=700时,y=-0.006×700+31=26.8

∴点(600，27.4)，(700，26.8)都在函数y=-0.006x+31上

∴y与x之间的函数关系式是y=-0.006x+31

(3)，当Y=18.1时，有–0.006x+31=18.1

解得x=2150(米)

∴黄岗山的海拔高度大约是2150米

14、⑴30cm，25cm;2h，2.5h;

⑵设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为 ，

函数过点(2，0)，(0，30)，

∴ 解得 ∴

设乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为 ，

函数过点(2.5，0)，(0，25)，

∴ 解得 ∴

⑶由题意得 ，解得

∴当甲、乙两根蜡烛燃烧1h的时候高度相等。

：当0≤x<1时，甲蜡烛比乙蜡烛高;当1

15、(1)由题意，得

22-4(m-3)=16-m>0①

x1x2=m-3

①得m<4.

解②得m<3.

所以m的取值范围是m<3.

(2)由题意可求得∠OCB=∠CAB=30°.

所以BC=2BO，AB=2BC=4BO.

所以A0=3BO(4分)

从而得x1=-3x2.③

又因为x1+x2=-2.④

联合③、④解得x1=-3，x2=1.

代入x1x2=m-3，得m=O.

(3)过D作DF⊥轴于F.

从(2)可得到A、B两点坐标为A(-3，O)、B(1，O).

所以BC=2，AB=4，OC=

因为△DAB≌△CBA，

所以DF=CO= ，AF=B0=1，OF=A0-AF=2.

所以点D的坐标为(-2， ).

篇8：一次函数基础习题

这样解实际上是错的, 为什么?错在哪?让我们来仔细看看这个求导公式: (ax) ′=axlna;很多学生甚至包括有的老师在使用这个求导公式时含混不清, 把这个公式记成 (ax) ′=axlnx, 由此就出现了上面错误的解题结果。所以正确的解法应该是:

我曾经看到有个别的老师是这样解的:

结论居然是此题超出范围, 无法求解。

那么按照教材上介绍的两种方法:

(1) 第一种解法.套用教材上一阶线性微分方程的通解公式:

遍乘原方程等式的左右两边

(4) 重要极限公式的应用

《经济数学基础 (微积分线性代数) 》是电大开放教育部分经济类专业专科学生的一门公共基础课, 由于电大学生是成人业余学习, 基础教差, 所以我在讲授这们课程时不时复习中学数学的相关内容, 给学生讲解清楚具体思路和解题方法, 容易模糊的地方讲解清楚细微差别, 以帮助学生能够记忆清楚准确, 逻辑推导思路分明;通式强调学生多学多练, 把学生叫上台去演练, 不会的地方通过学生的相互讨论, 老师提示, 帮助学生分析, 指导学生完成解题过程, 以加深印象, 帮助学生掌握解题的方法和思路, 更重要的是教会学生以数学的思想和方法, 灵活运用公式定理分析解决问题的方法和能力, 由此可体会到学习数学的奥妙和乐趣, 提高学生学习的积极性。

参考文献

[1]李林曙, 黎诣远.经济数学基础 (微积分) [M].2版.高等教育出版社.

[2]李林曙, 黎诣远.经济数学基础 (线性代数) [M].2版.高等教育出版社.

[3]柳重堪.高等数学 (上册一分册) [M].中央电大出版社.

[4]李先明, 谌勇, 敖开云, 姚素芬, 许院年.《开放教育数学课程教学过程模式改革实践研究》 (结题报告) [C].

[5]谌勇.电大数学课程教学过程引发的几点思考[C]//湘鄂渝黔四省 (市) 边区电大教育研究协作会第18届年会论文集.2011, 11.

[6]李先明.现代远程教育教学模式研究[M].中国水利水电出版社.

[7]李先明.高等数学课程改革与实践[M].中国水利水电出版社.

[8]周美才.新疆电大:深化教学模式改革探索开放教育新路:《经济数学基础》课程教学模式改革的思考[J].新疆广播电视大学学报, 2009-06-20.

[9]吕冲浪.江苏电大:开放教育环境下《高等数学》教学质量的提高[J].山西广播电视大学学报, 2009-11-10.

篇9：一次函数基础习题

原题：（苏科版教材九下第48页习题3）已知：如图1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边AC，且Rt△ABC已知一边和一锐角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=15 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），进而求出AD=

15 cm.

说明：当一个直角三角形满足——除直角外，已知一边和一锐角或已知两边，就可以解出这个直角三角形.

变式1：已知：如图2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，且Rt△ABC已知两边（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=5 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=5 cm，∠D=45°），进而求出AD=5 cm.

说明：由原题和变式1可知，当两个直角三角形有一条公共边时，这条公共边就成了联系两个直角三角形的桥梁，沟通着“已知”与“未知”.

变式2：已知：如图3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，但两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一个锐角，故不能直接解出其中任何一个三角形. 考虑到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，从而可以此为相等关系构造方程解决这一问题. 设AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

变式3：已知：如图4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】本题中的△ABD显然不是直角三角形，考虑到∠B，∠D均为特殊角，可以通过作高AC构造直角三角形，将它们分别放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同变式2，设AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

说明：由变式2、变式3可知，当两个直角三角形有一条公共边，且两个直角三角形均不能直接解出时，通常设公共边这座桥梁为x，通过构造方程解决问题.

变式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】如图5，当高AC在△ABD内部时，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如图6，当高AC在△ABD外部时，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

变式5：如图7，某市在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2 000米的道路（记作线段AB）. 已知C点周围700米范围内有一电力设施区域. 在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

【解析】本题是一个实际应用问题，需要将题中的已知信息与图形相结合，将实际问题转化成数学问题. 过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因为BD+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不会穿过电力设施区域.

课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径掌握基础题型及基本图形，提升学习效率，避免低水平的重复和题海疲劳战术.

（作者单位：苏州市草桥中学校）

课本习题是数学知识、解题策略和思想方法的有机结合体，具有很强的生长性，许多中考试题就是在课本习题的基础上通过变式、拓展演变而来. 重视对课本习题的研究与应用有着重要的价值，本文以《锐角三角函数》一章中的一道课本习题为例，对习题进行变式探究，挖掘习题的最大价值，供读者参考.

原题：（苏科版教材九下第48页习题3）已知：如图1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边AC，且Rt△ABC已知一边和一锐角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=15 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），进而求出AD=

15 cm.

说明：当一个直角三角形满足——除直角外，已知一边和一锐角或已知两边，就可以解出这个直角三角形.

变式1：已知：如图2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，且Rt△ABC已知两边（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=5 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=5 cm，∠D=45°），进而求出AD=5 cm.

说明：由原题和变式1可知，当两个直角三角形有一条公共边时，这条公共边就成了联系两个直角三角形的桥梁，沟通着“已知”与“未知”.

变式2：已知：如图3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，但两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一个锐角，故不能直接解出其中任何一个三角形. 考虑到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，从而可以此为相等关系构造方程解决这一问题. 设AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

变式3：已知：如图4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】本题中的△ABD显然不是直角三角形，考虑到∠B，∠D均为特殊角，可以通过作高AC构造直角三角形，将它们分别放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同变式2，设AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

说明：由变式2、变式3可知，当两个直角三角形有一条公共边，且两个直角三角形均不能直接解出时，通常设公共边这座桥梁为x，通过构造方程解决问题.

变式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】如图5，当高AC在△ABD内部时，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如图6，当高AC在△ABD外部时，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

变式5：如图7，某市在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2 000米的道路（记作线段AB）. 已知C点周围700米范围内有一电力设施区域. 在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

【解析】本题是一个实际应用问题，需要将题中的已知信息与图形相结合，将实际问题转化成数学问题. 过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因为BD+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不会穿过电力设施区域.

课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径掌握基础题型及基本图形，提升学习效率，避免低水平的重复和题海疲劳战术.

（作者单位：苏州市草桥中学校）

课本习题是数学知识、解题策略和思想方法的有机结合体，具有很强的生长性，许多中考试题就是在课本习题的基础上通过变式、拓展演变而来. 重视对课本习题的研究与应用有着重要的价值，本文以《锐角三角函数》一章中的一道课本习题为例，对习题进行变式探究，挖掘习题的最大价值，供读者参考.

原题：（苏科版教材九下第48页习题3）已知：如图1，AC是△ABD的高，BC=15 cm，∠BAC=30°，∠DAC=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边AC，且Rt△ABC已知一边和一锐角（BC=15 cm，∠BAC=30°），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=15 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=

15 cm，∠DAC=45°），进而求出AD=

15 cm.

说明：当一个直角三角形满足——除直角外，已知一边和一锐角或已知两边，就可以解出这个直角三角形.

变式1：已知：如图2，AC是△ABD的高，AB=10 cm，BC=5 cm，∠D=45°，求AD.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，且Rt△ABC已知两边（AB=10 cm，BC=5 cm），故可以解出Rt△ABC，求出公共边AC=5 cm，从而Rt△ADC已知一边和一锐角（AC=5 cm，∠D=45°），进而求出AD=5 cm.

说明：由原题和变式1可知，当两个直角三角形有一条公共边时，这条公共边就成了联系两个直角三角形的桥梁，沟通着“已知”与“未知”.

变式2：已知：如图3，AC是△ABD的高，BD=（3+） cm，∠BAC=30°， ∠DAC=45°，求AC.

【解析】本题中的两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC具有一条公共的直角边，但两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ADC均只已知一个锐角，故不能直接解出其中任何一个三角形. 考虑到BD=（3+） cm，即BC+CD=（3+） cm，从而可以此为相等关系构造方程解决这一问题. 设AC=x cm，由∠BAC=30°， ∠DAC=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=3+，解得x=3，即AC=3 cm.

变式3：已知：如图4，△ABD中，BD=10 cm，∠B=60°，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】本题中的△ABD显然不是直角三角形，考虑到∠B，∠D均为特殊角，可以通过作高AC构造直角三角形，将它们分别放在Rt△ABC和Rt△ADC中. 同变式2，设AC=x cm，由∠B=60°，∠D=45°可得BC= cm，CD=x cm，所以+x=10，解得x=15-5，即AC=

15-5 cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×10×

15-5=

75-25（cm2）.

说明：由变式2、变式3可知，当两个直角三角形有一条公共边，且两个直角三角形均不能直接解出时，通常设公共边这座桥梁为x，通过构造方程解决问题.

变式4：已知：AC是△ABD的高，AC=2 cm，AB=4 cm，∠D=45°，求△ABD的面积.

【解析】如图5，当高AC在△ABD内部时，在Rt△ABC中，AC=2 cm，AB=

4 cm，所以BC=2 cm. 在Rt△ADC中，AC=

2 cm，∠D=45°，所以CD=2 cm. 所以BD=BC+CD=（2+2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2+2）×2=（6+2）（cm2）.

如图6，当高AC在△ABD外部时，由上同理可得BC=2 cm，CD=2 cm. 所以BD=CD-BC=（2-2） cm. 所以△ABD的面积=×BD×AC=×（2-2）×2=（6-2） cm2.

变式5：如图7，某市在棚户区改造工程中需要修建一段东西方向全长2 000米的道路（记作线段AB）. 已知C点周围700米范围内有一电力设施区域. 在A处测得C在A的北偏东60°方向上，在B处测得C在B的北偏西45°方向上. 道路AB是否穿过电力设施区域？为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

【解析】本题是一个实际应用问题，需要将题中的已知信息与图形相结合，将实际问题转化成数学问题. 过点C作CD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，∠CDA=∠CDB=90°. 所以在Rt△ADC中，AD=CD，在Rt△BDC中，BD=CD.

因为BD+AD=AB=2 000，即CD+CD=2 000，所以（+1）CD=2 000.

解得CD=1 000（-1）≈732>700. 所以AB不会穿过电力设施区域.

课本习题是教学的重要资源，同学们应多加重视，通过变式训练等途径掌握基础题型及基本图形，提升学习效率，避免低水平的重复和题海疲劳战术.