三要素法分析一阶电路

三要素法分析一阶电路（通用6篇）

篇1：三要素法分析一阶电路

分析一阶电路全响应的三要素法

由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即

f(t)f()[f(0)f()]e（6-36）

式中f(t)代表一阶电路中任一电压、电流函数。初始值f(0)，稳态值f()和时间常数称为一阶电路全响应的三要素。

1、求初始值f(0)的要点：(1)求换路前的uC(0)、iL(0)；(2)根据换路定则得出

tuC(0)uC(0)iL(0)iL(0)；

(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的u(0)或i(0)。

2、求稳态值f()的要点：

(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C相当于开路, L相当于短路）；

(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。

3、求时间常数的要点：(1)求t0时的；(2)ReqC,L； Req(3)将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求 Req。

[例6.3]

图6.15所示电路原已处于稳态，t0时开关闭合。已知us28V，L=1.2H, R1= R2= R3=2, 求电压源us140V激励时的电感电流iL。

[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以 iL(0)us22 A R2R3换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为

iL(0)iL(0)2 A 换路后电感两端的等效电阻为 ReqR3所以时间常数为 R1R23

R1R2 L0.4s Req当us140V时，电感电流的稳态值可求得为

us1us21R1R28 iL()111R3R1R2R3由三要素法可得电感电流为 iLiL()[iL(0)iL()]e

tA

86e2.5t A

篇2：三要素法分析一阶电路

实验报告

专业 班级

座号

姓名

日期 实验二十一

一阶线性电路过滤过程的观测

一、实验目的

1、测定RC一阶电路的零输入响应，零状态响应及完全响应。

2、学习电路时间常数的测量方法。

3、掌握有关微分电路和积分电路的概念。

4、学会用示波器测绘图形。

二、实验内容

RC串联电路，在方波序列脉冲的重复激励下，当满足τ=RC<

1..测量时间常数

2.．微分电路,积分电路

(a)微分电路

（b）积分电路

时间常数的测量

R=4K

R=1K

R=6K C=0.22U

R=1K

R=1K

三、误差分析

1)实验过程中的读数误差 2）仪器的基本误差

3）导线连接不紧密产生的接触误差

四、实验总结

在RC一阶电路的R=2k，C=0.047u中理论值t=RC=0.094MS，在仿真实验中t=0.093.5ms 其相对误差为r=0.0005/0.094*100%=0.531%<5% 在误差允许的范围内测得的数值可以采用。

当T=t时，Uc(t)=0.368Us，此时所对应的时间就是t，亦可用零状态响应波形增长到0.632Us所对应的时间测量。

在RC的数值变化时，即t=RC也随之变化，t越小其响应变化就越快，反之越慢。积分电路的形成条件：一个简单的RC串联电路序列脉冲的重复激励下，当满足t=RC>>T/2条件时，且由C端作为响应输出，即为积分电路。

积分电路波形变换的特征:积分电路可以使输出方波转换成三角波或斜波。积分电路可以使矩形脉冲波转换成锯齿波或三角波。

篇3：三要素法分析一阶电路

即可得到电压、电流响应的表达式。下面结合平时的教学举例说明三个要素的具体求解。

例 :电路如图1所示,已知US1=9V,US2=6V ,R1=6Ω,R2=3Ω,L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态,在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的

1初始值f(0+)的求解

电路中+t= 0时即电路换路后待求的电压、电流值称为初始值。

求解初始 值的理论 基础是动 态电路的换 路定则 :。该定则告诉我们在电路换路的瞬间电容元件上的电压和电感元件上的电流不能突变,而电路中其它的电压和电流是可以突变的。图1中开关S闭合前电路已经处于稳态,故在瞬间电感元件相当于短路(若为电容元件,此时可看作开路),故可得 :

2稳态值f(∞)的求解

稳态值是指换路后电路再次达到稳定时的电压、电流值,其求解可由换路后t→∞时的稳态等效电路求得,此时电感L同样可看作短路(若为电容元件,此时可看作开路),电路如图3所示,因此 :

3时间常数τ的求解

4小结

由上述例题可知计算含一个电容C或一个电感L的直流激励下一阶电路响应的一般步骤为 :

(1)初始值的求解 :

1根据换路之前的电路,计算出时刻(此时若电路已处于稳定状态,可将电容视为开路,电感视为短路)的电容电压

(2)稳态值f(∞)的求解。

画出换路后的等效电路,在直流激励下此时电容视为开路,电感视为短路,得到一个直流电阻电路,再从此电路中计算出稳态值f(∞) ,如图3所示。

(3)时间常数τ的求解。

因为时间常数τ是由换路后的电路结构和参数来决定的,所以可以先计算出除电容或电感之外的有源二端网络的等效电阻R0 ,然后再利用公式(2)计算出时间常数τ ,如图4所示。

(4)将f(0+)f、f(∞)和τ代入公式(1)得到响应的一般表达式。

(5)需要说明的几点。

1同一电路中各物理量的时间常数τ一样。

2三要素法只适合于直流激励下的一阶电路响应的分析,而不适合二阶电路或高阶电路。

篇4：三要素法分析一阶电路

关键词：微分方程；电路；暂态过程；应用

一、一阶线性微分方程及其通解

含有未知函数导数（或微分）的方程叫做微分方程，未知函数是一元的微分方程叫常微分方程，微分方程中未知函数的导数的最高阶数为一阶的微分方程叫一阶微分方程。本文所提到的微分方程均指一阶常微分方程。一阶微分方程的一般形式

y'+P（x）y=Q（x）

通解为y=e■[C+■Q（x）e■dx]（C为常数）

特殊地，当Q（x）≡0时，方程变为y'+P（x）y=0称为一阶齐次线性微分方程，通解为y=Ce■（C为常数）。当Q（x）≡B（常数）时，方程变为y'+P（x）y=B，通解为e■[C+B■e■dx]（C为常数）。在直流电源激励下一阶线性电路的暂态过程分析中，主要就是用这两个方程的通解得到电路的响应公式。

二、一阶线性电路的暂态过程

只含有一个储能元件（电容器或者电感线圈）或可等效为为一个储能元件的线性电路，不论是简单的还是复杂的，它的都是一阶常系数微分方程，这种电路叫做一阶线性微分电路。含有电容器和线圈的线性电路中，由于储能元件电容器和电感线圈的能量的变化是连续的，因此，在接通或断开线性电路时，电容器的端电压和电感中的电流均不能跃变，而是随时间变化的，这一变化时间是暂短的，我们把这个暂短的变化过程，也就是过渡过程，叫做暂态过程。

如图（1）所示，如果将两只同样的白炽灯泡EL1、EL2分别与电容器C、电感线圈L串联，然后一起并联在电路中。开关S原来处于断开状态，当开关S合上时，就会看到在外加直流电源的作用下，白炽灯EL1在开关S闭合瞬间突然闪亮了一下，随着时间的延迟逐渐暗下去，直到完全熄灭；白炽灯EL2由暗逐渐变亮，最后稳定发光。

为什么两只相同的白炽灯泡在开关闭合时出现了两种不同的发光现象呢？其实在图（1）中两只灯泡分别与电容器和电感线圈串联，分别构成了RC串联电路和RL串联电路。上述现象反映了在开关闭合（换路）时，RC电路、RL电路不同的响应。这是因为开关S原来是断开的，电路中电容的端电压和通过电感的电流均为零，两个灯泡都不亮，电路处于一种稳定状态。合上开关S以后，电路经历了一个短暂的过程，电容支路电流变为零，电感支路中的电流达到一个恒定值，电路处于另一种稳定状态。

那么电路从原来的稳定状态到另一种稳定状态的变化过程中，电容器的端电压和电感中的电流的时间函数关系如何？决定暂态过程快慢的因素又是什么？下面分别以RC线性电路和RL线性电路在直流电源激励下的暂态过程进行定量分析。

线性电路分析的理论依据：线性电路暂态过程虽然短暂，但是分析电路的暂态过程涉及的知识面比较广泛，既需要有一定的电学基础知识，又需要有一定的高等数学基础知识。在电学方面，电路中瞬时电流等于通过导体截面的电量对时间的导数，即i=■。电阻元件两端的电压与通过导体的电流成正比，即uR=iR。电感线圈两端的电压与导体中的电流的变化率成正比，即uL=L■。电容元件储存的能量与它两端电压的平方成正比，即EC=■Cuc2。电感线圈储存的能量与线圈中电流的平方，即EL=■LiL2。这些基本知识是定量分析线性电路的基础。基尔霍夫闭合回路电压定律、欧姆定理、换路定律是建立电路微分方程的依据。微积分的基本计算、解一阶线性微分方程是分析线性电路暂态过程的数学工具，。

线性电路分析的基本思路：首先，由于电路的暂态过程是一个短暂的变化过程，变化前电路处于稳定状态，变化后电路处于另一个稳定状态。为了论述的方便，我们把变化前电路的稳定状态叫做原稳态，用t=0-表示。把变化后的电路的稳定状态叫做新稳态，用t=∞表示。用t=0+表示暂态过程的起始时刻。其次，我们以相关电学知识为基础，以基尔霍夫回路电压定律为依据，列回路的电压方程，建立电路的微分方程。最后，通过求解电路的微分方程，得出回路电流或电压的时间函数关系。

三、线性电路暂态过程的分析

（一）RC电路暂态过程

1.微分方程的建立。如图（2）所示，电路中的直流电源电压为U，电阻为R，电容为C。接通开关到1位置，分析电路中电容端电压随时间的变化规律。

以换路瞬间作为计时起点，令此时t=0。

设当t≥0时，电路中的电流为i，电容端电压为uC，电阻的端电压为uR。根据基尔霍夫回路电压定律，可以知道uC+uR=U，而i=C■，uR=iR。因此uC满足微分方程

RC■+uC=U。

2.电路中的电源为直流电源，电源的电压U一定，此方程的通解为uC=U-Ae■，A为常数。

式中RC为电路的时间常数，用?子表示。这样，方程的通解可以表示为uC=U-Ae■■

3.RC串联电路的三种暂态过程讨论。

（1）RC串联电路的零状态响应。将图（2）中的开关S合到1位置。直流电源开始给电容器充电，电源电压U=恒量，充电前电容端电压为零。根据换路定律，可知t=0时，uC=0。将初始条件uC|t=0=0，代入uC=U-Ae■■，得A=U。于是有uC=U（1-e■）。

这就是RC电路的零状态响应公式。

（2）RC串联电路的零输入响应。图（2）中的开关S在1位置且电路稳定后，将开关S从1位置合到2位置，电容器开始放电。这时，电路与电源断开，可以认为RC回路的电源电压为零，电容开始放电。电容放电前两端电压为U0。根据换路定律，可知t=0时，uC=U0。将初始条件uC|t=0=U0以及U=0代入uC=U-Ae■■，得A=U0。

于是uC=U0e■。这就是RC电路的零输入响应公式。

（3）RC串联电路的全响应。如图（3），开关S在1位置且电路稳定后，将开关S从1位置合到2位置。这时，电容的端电压初始值和闭合回路中的电源电压均不为零。换路后RC回路电源电压为U，电容两端的电压的初始值为U0。即t=0时，uC=U0。将uC|t=0=U0代入uC=U-Ae■■得uC=U+（U0-U）e■■或uC=U+（1-e■）+U0e■■ 这就是RC电路暂态过程的全响应公式。

4.RC电路对矩形输入脉冲电压波形的改变。输入微分电路和积分电路暂态

（二）RL电路的暂态过程

1.RL电路微分方程的建立。如图（4）所示，电路中的直流电源电压为U，电阻为R，电感为L 。仍然以换路瞬间作为计时起点，令此时t=0。当t≥0时，根据闭合回路电压定律，可以知道uL+iLR=U。

而uL=L■。于是L■+RiL=U。

2.RC电路微分方程的通解iL=■-Ae■。式中的■叫做RL电路的时间常数，用?子表示。

于是iL=■-Ae■■

3.RL串联电路的三种暂态过程的讨论。

（1）RL串联电路零状态响应。将图（3）中断开的开关S合到1位置，RL串联电路与直流电源接通。根据换路定律，t=0时，iL=0，即iL|t=0=0。将初始条件iL|t=0=0，代入iL=■-Ae■■，得A=■。于是得出RL串联电路零状态响应公式iL=■-■e■■或者iL=■（1-e■■）

（2）RL串联电路零输入响应。当图（4）电路中的开关S在1位置，且电路稳定，电路中电流为I0时，把开关S从1位置合到2位置。换路后回路中的电源电压为零。根据换路定律可知iL（0+）=iL（0-）=I0，即iL|t=0=I0。将初始条件iL|t=0=I0和U=0代入iL=■-Ae■■，得A=I0。

于是得出RL串联电路零输入响应公式iL=I0e■

（3）RL串联电路全响应。如图（5）所示，当开关S闭合时，电源电压和电路中的电流均不为零。设t=0时，iL=I0，即iL|t=0=I0。由初始条件可以确定出A=■-I0。

则iL=■+（I0-■）e■■，或iL=I0e■■+■（1-e■）。■

这就是该RL串联电路全响应公式。

（三）一阶线性电路暂态分析的一般公式

篇5：三要素法分析一阶电路

一、一阶线性动态电路的输入—输出方程

二、一阶线性动态电路分析的“四要素”法

三、不同信号源激励时的“四要素”公式

(一) 直流信号源激励时的情况

(二) 非直流信号源激励时的情况

1.正弦信号源激励的情况。 (1) 初始值r (0+) 的求法: (1) 换路前, 电路为直流激励, 初始值r (0+) 的求法与式 (7) 相同。 (2) 换路前, 电路为正弦激励, 利用分析正弦稳态电路的相量法, 先确定t<0时刻的原正弦稳态响应rs (t-) , 再取t-=0计算初始值r (0+) =rs (0) 。 (2) 时间常数τ的计算方法。时间常数τ的计算方法与式 (7) 相同, 即电容电路τ=ReqC, 电感电路τ=L/Req。 (3) 稳态响应rs (t) 及其初始值rs (0+) 的求法。稳态响应rs (t) 可通过分析正弦稳态电路的相量法求得, 取t=0+计算初始值rs (0+) 。

解:开关合在a时:

开关合在b时:

代入公式 (8) 得t>0时:

2.非正弦信号源激励的情况。一阶电路的激励若为非正弦信号, 响应r (t) 一般形式仍可用式 (8) 表示。 (1) 初始值r (0+) 的求法: (1) 换路前, 电路为直流激励, 初始值r (0+) 的求法与式 (7) 相同。 (2) 换路前, 电路为正弦激励, 利用分析正弦稳态电路的相量法, 先确定t<0时刻的原正弦稳态响应rs (t-) , 再取t-=0计算初始值r (0+) =rs (0) 。 (3) 换路前, 电路为非正弦激励, 保持激励源不变, 采用电路分析方法, 先确定t<0时刻的原稳态响应rs (t-) , 再取t-=0计算初始值r (0+) =rs (0) 。 (2) 时间常数τ的计算方法。时间常数τ的计算方法与式 (7) 相同, 即电容电路τ=ReqC, 电感电路τ=L/Req。 (3) 稳态响应rs (t) 及其初始值rs (0+) 的求法。保持激励源不变, 采用电路分析方法, 确定稳态响应rs (t) , 取t=0+计算初始值rs (0+) 。

四、结论

“四要素”法比经典法、拉普拉斯变换法, 简便、直接、清晰, 是适用于各种信号激励的一阶线性动态电路全响应、零输入响应和零状态响应的分析, 它具有普遍意义。

参考文献

[1]邱关源.罗先觉, 修订.电路 (第5版) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

[2]李翰逊.电路分析基础[M].北京:高等教育出版社, 1992.

篇6：一阶线性动态电路的分析方法

如图1, RC电路开关S合上前电容已充过电, 电容上的电压UC (0_) =U0, 求开关合上后电路中的电流i和电压uc。

解法一:微分方程法

由, 得回路电压方程

由换路定律知：t=0时，uc (0_)=uc (0+)=U0代入上式确定常数A值

可见当开关S闭合后，电容充电电容电压由U0逐渐增大为Us，电路电流由按指数规律逐渐衰减为0。

解法二：三要素法

一阶线性动态电路的三要素公式为：

其中三要素为：稳态值f(∞)为t=∞时所求响应的稳定值初始值f (0+)为t=0+时所求响应的起始值时间常数τ=CR

解法三:拉氏变换法

对此方程作拉氏变换得:

解法四：R、C元件的复频域模型法

运用拉氏变换得：I (S)=CSUC (S)-CUC (0_)

根据图2所示的RC电路复频域等效模型，由基尔霍夫定律的复频域方程得：

文中用四种方法求解了一阶线性动态电路的响应，对比此四种方法，对一阶动态电路，三要素法只需根据换路后的等效电路，确定出三要素后就能直接按表达式写出响应。微分方程法要运用初始条件求常数A，且求解过程也相对复杂些，但微分方程是依据回路的电压方程列出的，物理意义很明确，是三要素法、拉氏变换法的基础。在二阶RLC动态电路分析中，所列出的方程是二阶微分方程，求解难度较大，此种情况下用拉氏变换把微分方程转化为代数方程，运用动态电路复频域分析法求解会较为方便。因此在分析动态电路时，选择合适的求解方法，会达到事半功倍的效果。

参考文献

[1]王慧玲.电路基础.高等教育出版社, 2007:11.