抽屉原理的应用与推广

抽屉原理的应用与推广（精选7篇）

篇1：抽屉原理的应用与推广

抽屉原理及其应用

张 志 修

摘要：抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。

关键词：代数 几何 染色 存在性

引言

抽屉原理最早是由德国数学家狄利克雷发现的，因此也叫狄利克雷重叠原则。抽屉原理是一条重要的理论。运用抽屉原理可以论证许多关于“存在”、“总有”、“至少有”的存在性问题。学习抽屉原理可以用来解决数学中的许多问题，也可以解决生活中的一些现象。

抽屉原理的内容

第一抽屉原理：

原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

[证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的nkk1，这不可能。

原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m1个或多于m1个的物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉

至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。

原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。.原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理：

把mn﹣1个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有mn﹣1个物体。

[证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

一、应用抽屉原理解决代数问题

抽屉原理在公务员考试中的数字运算部分时有出现。抽屉原理是用最朴素的思想解决组合数学问题，它易于接受，在数学问题中有重要的作用。

1、整除问题常用剩余类作为抽屉。把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用0，„，2，1，m﹣1表示。

例1：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除。

证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：

0，1，2

①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中

(即抽屉中分别为含有余数为0，1，2，的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1到5中取3,4,5)，其和34512 必能被3整除。

②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除。

2、还有的以集合造抽屉

例2：从1、2、3、4„„、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

分析与解答：在这12个自然数中，差是7的自然数有以下5对：12,5 11,4 10,3 9,2 8,1。另外，还有2个不能配对的数是6 7。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为12,5 11,4 10,3

9,2 8,1 6 7，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7。

二、应用抽屉原理解决几何问题

利用分割图形的方法构造抽屉

本方法主要用于解决点在几何图形中的位置分布和性质问题,通常我们把一个几何图形分割成几部分,然后把每一部分当做一个“抽屉”,每个抽屉里放入相应的元素。

例3：已知边长1为的等边三角形内有5个点，则至少有两个点

距离不大于1/2。

证明：用两边中点的连线将边长为1的等边三角形分成 四个边长为1/2的等边三角形，若规定边DE、EF、FD上的 点属于三角形DEF，则三角形ABC内的所有点被分为 4个全等的小等边三角形，由抽屉原理，三角形内的任意5个点至少有2个点属于同一小等边三角形，由“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”知这两个点距离不大于1/2。

抽屉原理与中学数学的关系，常用抽屉原理的最值的思路解中学数学题。

例4:用柯西不等式及二元均值不等式证明了如下三角不等式： 在△ABC中，有sin2Asin2Bsin2C.证明：由抽屉原理知sinA,sinB,sinC中必有两个不大于或不小于3294，不妨设sinA33,sinB22或sinA33,sinB22则[sin2A(323)][sin2B()2]0,故 2243sin2Asin2Bsin2Asin2B

34于是

43sin2Asin2Bsin2Csin2Asin2Bsin2C

344cos(AB)cos(AB)23]sin2C =[32413(1cosC)21cos2C 34219(cosC)2 3249 4

三、应用抽屉原理解决染色问题

染色问题是数学中的重要内容之一，也是深受广大师生喜爱的的题目类型之一。染色问题是借用图论的思想心提高解决问题的能力，所涉及的各科数学知识都不是很难，但染色法解数学问题技巧性非常强，而且解题的途径都比较独特，难度往往在于寻求解决问题的关键所在或最佳方法．

平面染色问题为点染色或线染色问题。通常是根据各个物体所存在的状态,将它们的状态看作抽屉原理中的“抽屉”和“元素”,从而来解决问题的。

（1）点染色问题

例5：将平面上每点都任意地染上黑白两色之一。求证:一定存在一个边长为1或3的正三角形,它的三个顶点同色。

证明：在这个平面上作一个边长为1的正三角形。如果A、B、C这三点同色，则结论成立，故不妨设A和B异色。以线段AB为底边,作一个腰长为2的等腰ABD。由于点A和B异色,故无论D为何色,总有一腰的两个端点异色。不妨设点A和D异色。设AD的中点为E,则AE=ED=1。不妨设点A和E为白色,点D为黑色。

以AE为一边,在直线AD两侧各作一个等边三角形:AEF与AEG。若点F和G中有一个是白点,则导致一个边长为1的等边三角形的三个顶点都是白点；否则,边长为3的等边DFG的三个顶点同为黑点。

（2）边染色问题

例6：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？

解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。

四、应用抽屉原理解决实际问题

在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。

例7：黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的2双筷子（每双筷子两根的颜色应一样），问至少要取材多少根才能保证达到要求？

解：这道题并不是品种单一，不能够容易地找到抽屉和苹果，由于有三种颜色的筷子，而且又混杂在一起，为了确保取出的筷子中有2双不同颜色的筷子，可以分两步进行。第一步先确保取出的筷子中

有1双同色的；第二步再从余下的筷子中取出若干根保证第二双筷子同色。首先，要确保取出的筷子中至少有1双是同色的，我们把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个抽屉，把筷子当作苹果，根据抽屉原则，只需取出4根筷子即可。其次，再考虑从余下的20根筷子中取多少根筷子才能确保又有1双同色筷子，我们从最不利的情况出发，假设第一次取出的4根筷子中，有2根黑色，1根白色，1根黄色。这样，余下的20根筷子，有6根黑色的，7根白色的，7根黄色的，因此，只要再取出7根筷子，必有1根是白色或黄色的，能与第一次取出的1根白色筷子或黄色筷子配对，从而保证有2双筷子颜色不同，总之，在最不利的情况下，只要取出4711根筷子，就能保证达到目的。

例8：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

分析与解答：共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n﹣1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n﹣2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、„、n﹣2，还是后一种状态1、2、3、„、n-1，握手次数都只有n﹣1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。

抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。掌握了抽屉原理解题的步骤就能思路清晰的对一些存在性问题、最小数目问题做出快速准确的解答。运用抽屉原理，制造抽屉是运用原则的一大关键。首先要确定分类对象（即“物体”），再从分类对象中找出分类规则（即“抽屉”）．根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。一般来说，“抽屉”的个数应比“物体”的个数少，最后运用抽屉原理。解决问题，抽屉原理是一个利器。我们在解题的过程中可以迅速代入，更多要思考怎样用抽屉原理让问题清晰化，简单化。通过学习，使我的逻辑思维能力得到了提高，扩展了我的知识面，掌握了“抽屉原理”的基本内容，懂得把所学知识运用到生活中去，运用“抽屉原理”解决生活中的许许多多以前不明白的现象。

参考文献：

[1] 殷志平、张德勤著《数学解题转化策略举要》

《中学教学教与学》1996.1 第19页 [2] 宿晓阳著《用抽屉原理巧证一个三角不等式》

《中学数学月刊》2010.6 第45页

[3] 其他参考：http:// http://baike.baidu.com/view/8899.htm http://wenku.baidu.com/view/4527ed3710661ed9ad51f30e.html http://wenku.baidu.com/view/158dd2***92ef78c.html http:///free/20101221/84545509713564.html http://wenku.baidu.com/view/4272e8f9941ea76e58fa0489.html 8

篇2：抽屉原理的应用

定理:如果将n+1个物体放进n个抽屉, 那么至少有一个抽屉中包含两个或更多的物体.

证明:如果这n个盒子中的每一个至多包含有一个物体, 那么物体的总数最多是n, 既然我们有n+1个物体, 于是某个盒子中就必然包含至少两个物体.

2.抽屉原理应用举例

例1:给定m个整数a1, a2, …, am, 存在0≤k

解:为了深入这个问题, 考虑m个和

a1, a1+a2, a1+a2+a3, …, a1+a2+a3+…+am

如果这些和当中的任意一个可被m整除, 那么结论就成立.因此, 我们可以设这些和中的每一个除以m都有一个非零余数, 余数等于1, 2, …, m-1.由于存在m个和而只有m-1个余数, 则必然有两个和数除以m有相同的余数.因此, 存在整数k和l, k

a1+a2+…+ak=bm+r, a1+a2+…+al=cm+r

二式相减, 我们发现ak+1+…+al= (c-b) m, 从而ak+1+…+al能够被m整除.

为了解释上面的论断, 令m=7, 并令整数为2, 4, 6, 3, 5, 5, 6.计算上面的和得到2, 6, 12, 15, 20, 25, 31, 其中当被7除时余数分别为2, 6, 5, 1, 6, 4, 3.有两个等于6的余数, 这意味着结论:6+3+5=14可被7整除.

例2:一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛, 他决定每天至少下一盘棋, 但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下棋超过12盘.证明:存在连续若干天, 期间这位大师恰好下了21盘棋.

解:令a1是在第一天所下的盘数, a2是在第一天和第二天所下的总盘数, 而a3是在第一天、第二天和第三天所下的总盘数, 等等.由于每天至少要下一盘棋, 故数值序列a1, a2, …, a77是一个严格递增序列.此外, a1≥1, 而且由于每周下棋最多是12盘, a77≤12×11=132.

因此, 我们有

1≤a1

序列a1+21, a2+21, …, a77+21也是一个严格递增序列:

22≤a1+21

于是, 这154个数

a1, a2, …, a77, a1+21, a2+21, …, a77+21

中的每一个都是1到153之间的一个整数.由此可知, 它们中间有两个是相等的.既然a1, a2, …, a77中没有相等的数, 并且a1+21, a2+21, …, a77+21中也没有相等的数, 因此必然存在一个i和一个j使得ai=aj+21.从而, 这位国际象棋大师在第j+1, j+2, …, j+i天总共下了21盘棋.

例3:从整数1, 2, …, 200中, 我们选择101个整数.证明:在所选的这些整数之间存在两个这样的整数, 其中的一个可被另一个整除.

通过分解出尽可能多的2因子, 我们看到, 任一整数都可以写成2^k×a的形式, 其中k≥0并且a是奇数.对于1到200之间的一个整数, a是100个数1, 3, 5, …, 199中的一个.因此, 在所选的101个整数中存在两个整数, 当写成上述形式时这两个数具有相同的a值.令这两个数是2^r×a和2^s×a.如果rs, 那么第一个数就能被第二个数整除.

注意, 例3在这种意义下是最好的可能:从1, 2, …, 200中可以选择这样的100个数, 其中没有一个能被另一个整除, 比如, 101, 102, …, 199, 200就是这样的整数.

我们以另外的, 来自数论中的应用来结束本段.首先我们回忆, 如果两个正整数m和n的最大公约数为1, 我们就称它们为互数.

于是, 12和35互数, 而12和15则否, 因为3是12和15的公因子.

3.问题的总结

通过上述三个例题, 我们看到, 利用抽屉原理能够解决看起来很复杂的问题, 而得出解决问题的关键是为后面巧妙地构造抽屉.

参考文献

[1]Richard.Brualdi著.罗平等译.组合数学.北京:机械工业出版社, 2005.2.

篇3：抽屉原理的简单应用

一、抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。

把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。

原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则至少有一类中有2个或2个以上的元素。

原理2：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。

原理2也可以变为：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至多要有k个元素。其中k＝〔m/n〕，这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。

二、应用抽屉原理解题的步骤

第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。

第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。

第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。

利用上述原理容易证明：

“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”

因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。

三、应用抽屉原理解题例举：

1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。

2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？

解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意

再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。

3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。

证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种；

若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。

4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜试证明：一定有两个运动员积分相同。

证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定

有两名运动员得分相同。

5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？

解题关键：利用抽屉原理２。

解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这

50個同学看作苹果50÷9＝5……5

由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。

6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝

46（人）抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。

1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：

“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。”

这个问题可以用如下方法简单明了地证出：在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

篇4：抽屉原理的应用与推广

一、激活学生原有认知，注重动手操作，让学生初步形成“抽屉”表象

教学要重视引导学生动手实践，让学生在“看一看，摆一摆，想一想”等操作中丰富感性认识，形成表象，掌握“抽屉原理”的基本特征。例如，教学例1时，由于例题中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。因此，让每个小组分别准备4枝铅笔和3个文具盒，先让学生通过实践验证“将4枝铅笔放在3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”，然后进行小组交流，逐步提高学生的逻辑思维能力。在此过程中，教师要适当给予指导，有意识地让学生理解“抽屉”的“一般模型”，即题中的“文具盒”就相当于“抽屉”。在学生探究的基础上，引导他们将教材中提供的两种方法(枚举法和假设法)进行比较，帮助学生理解“为什么要先考虑每个文具盒放1枝铅笔的情况”，从而体会假设法的基本思想———尽可能地平均分。在解决了“4枝铅笔放在3个文具盒”的问题后，教师进一步引导学生思考：把5枝铅笔放进4个文具盒里，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔，为什么?如果把6枝铅笔放在5个文具盒里，结果是否一样呢?把9枝铅笔放在8个文具盒中呢?把10枝铅笔放在9个文具盒中呢?把100枝铅笔放在99个文具盒中呢?进而引导学生得出一般性的结论：只要“待分的数量”比“抽屉”的数量多，就必定有一个“抽屉”有“两份”，即此题中要放的铅笔数比文具盒的数量多1，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。接着，进一步启发学生思考：如果要放的铅笔数比文具盒的数量多2，多3，多4呢?学生会从中发现：只要铅笔数比文具盒的数量多，这个结论同样也是成立的。

教学例1的“做一做”，先启发学生运用例题中的方法迁移类推，然后加以解释，从而加深学生对“抽屉原理”含义的理解，以形成稳定的认知结构。

二、操作体验，让学生经历将具体问题抽象为数学问题的过程

教学例2，首先根据教材提供的让学生把5本书放进2个抽屉的情景组织学生操作。在操作过程中，学生发现不管怎么放，总有一个抽屉至少要放进3本书，从而产生探究的愿望。学生先采用枚举的方法，把5分解成两个数，有(5, 0)、(4, 1)、(3, 2)三种情况。任何一种分法，总有一个数不小于3。之后，可以考虑更具一般性的假设法，即先把5本书“平均分成2份”(2个抽屉)。用有余数除法5÷2=2……1计算发现如果每个抽屉放进2本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有3本书了。

探究“把5本书放进2个抽屉”的问题后，教材进一步提出“如果一共有7本书，9本书，情况会怎样”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出“7本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进4本书;9本书放进2个抽屉，总有一个抽屉至少放进5本书”的结论，进而使学生对“抽屉原理”达到一般性的理解。

教学例2时，教师可鼓励学生用多样化的方法解决问题，深化对“抽屉原理”的理解。在此过程中，教师还可适当加大“待分数”，如：“将113本书放在2个抽屉里呢?”学生可以应用有余数除法列出算式：113÷2=56……1，即：113本书放进2个抽屉，每个抽屉放进56本，还剩1本。把剩下的这1本放进任何一个抽屉，该抽屉里就有57本书了。说明把113本书放在2个抽屉里，有一个抽屉至少有57本书。但由于这个除法算式的余数正好是1，学生容易将求“某个抽屉至少有书的本数”的方法是“用商加1”错误地理解“商加余数”。因此，教学中教师应结合余数不是1的情况，引导学生进行对比，并让学生在对比、辨析中更好地理解“抽屉原理”的实质。

教学例2的“做一做”，先让学生想一想，算一算，说一说从而明确例1和例2的联系与区别。

三、鼓励学生大胆猜测，激发解决问题的动机

“学生学习应当是一个生动活泼的，主动的和富有个性的过程”，所以，应将数学知识置于学生熟悉的情境中，鼓励学生大胆猜测、验证，提高学生学习的积极性，进而激发学生的参与意识。由于“抽屉原理”的变式很多，应用更灵活，因此，能否将具体问题和“抽屉原理”联系起来，能否找到问题与一般化模型之间的内在关系，是解决问题的关键。教学例3时，教师首先引导学生思考本例题的问题与“抽屉原理”是否有关系，有什么样的联系，如把“什么”看成抽屉，要分放的东西是什么。学生在思考这些问题时，一开始可能会缺乏思考的方向，很难找到切入点。此时，可以让学生先自由猜测，充分说一说后再验证。

例如，有的学生会猜测“只摸2个球就能保证这2个球同色”，类似说法只要举出一个反例就可以否定，如摸出的两个球正好是一红一蓝时，就不能满足条件。再如，由于受题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰，许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了，即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”。为了验证这个猜测，学生自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来，把两种颜色看成两个抽屉，根据5÷2=2……1可以知道，摸出5个球是没有必要的。那么，猜测错误的原因在哪里?关键是在此事例中学生未搞清“抽屉”是什么，“抽屉”有几个。弄清“抽屉”及其“个数”，就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个同色的球，分的物体个数至少比抽屉数多1”。现在“抽屉数”就是“颜色数”，结论就变成“要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色种数多1”。因此，要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的，最少要摸出3个球。

在此教学过程中，要在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。如果学生在理解时存在困难，可以引导他们这样思考：球的颜色一共有两种，如果只取两个球，会出现三种情况：两个红球;一个红球一个蓝球;两个蓝球。如果再取一个球，不管是红球还是蓝球，都能保证三个球中一定有两个同色的。

例3的“做一做”是例3解题思路的应用，教师要在生动有趣的情境中引导学生找出“抽屉”及判断其“个数”，激发学生探究的欲望，让学生自主合作解决问题。

四、重视联系实际，发展学生的数学思维

篇5：抽屉原理与电脑算命

其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。

抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方法。举个最简单的例子，把3个苹果按任意的方式放人两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多能放一个苹果，那么两个抽屉里最多只能放两个苹果。运用同样的推理可以得到：

原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

原理2把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋1个的物体。

如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70x365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口13亿，我们把它作为“物体”数。由于1．3×109＝25440×51100＋16000，根据原理2，存在25440个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦!

篇6：趣谈“抽屉原理”

例1 储蓄筒里有五分硬币50枚,二分硬币60枚。如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚五分硬币?

分析与解 如果一次倒出硬币1~60枚,有可能至少有一枚五分硬币,但不能确保有1枚五分硬币。因为二分硬币就有60枚,一次倒60枚有可能都是二分硬币,所以必须一次倒出61枚硬币,才能保证至少有一枚五分硬币。

(想一想:如果倒出硬币,一次必须倒出几枚,才能保证至少有1枚二分硬币?)

例2六年级(1)班共有学生42人,开展学雷锋活动,他们共做好事212件,是否有人至少能做6件或6件以上的好事?

分析与解 如果没有一个同学能做6件或6件以上的好事(与原题结果相反的结论),也就是说每位同学只能做5件或一件都不做。那么42个同学最多只能做52=210(件),而不是212件。这就推出了与已知条件相矛盾的现象,说明我们原先的假设是不对的。从而推出必定有人至少能做6件或6件以上的好事。

此题还可以这样解答:把42位同学看作42个抽屉,把212件好事看成212个苹果,如果每个抽屉放5个苹果,那么共放52=210(个)。因为210个少于212个,所以至少有一个抽屉放6个或6个以上苹果。从而得出42位同学做212件好事,肯定有的同学能做6件或6件以上的好事。

练一练 回答下列问题。

1.把5枝铅笔放进4个文具盒,总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔,为什么?如果把6枝铅笔放进5个文具盒,结果是否一样呢?

2.把5本书放进2个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉至少放进3本书,这是为什么?

3.任意13人中,至少有两人的出生月份是相同的,这是为什么?

4.任意367名学生中,一定存在两名学生在同一天过生日,对吗?

篇7：话说抽屉原理

原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

原理2：把多于m×n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则。抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且，许多看起来相当复杂甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快得以解决。

古代中国的抽屉原理

在我国古代文献中，有不少成功运用抽屉原理来分析问题的例子。例如，宋代费衮的《梁谿漫志》，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”迷信活动。费衮指出：把一个人出生的年、月、日、时辰（八字）作算命的根据，把“八字”作为“抽屉”，不同的抽屉只有12×360×60＝259200 个（60年，一年按360日计算，一日分12个时辰）。以天下之人为“物品”，进入同一抽屉的人必然千千万万，因而结论是同时出生的人为数众多。但是既然“八字”相同，“又何贵贱贫富之不同也？”清代钱大昕的《潜研堂文集》、阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而，令人遗憾的是，我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题，但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理。