课时30 等差数列及其前n项和

2024-05-11

课时30 等差数列及其前n项和（精选14篇）

篇1：课时30 等差数列及其前n项和

提升训练30等差数列及其前n项和

一、选择题

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝7，则a2＋a6＝()．

7911A．2B.C.D.224

2．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，„)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()．

A．S17B．S18C．S15D．S14

→→→3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a2OA＋a2 009OC，且A，B，C三点共线(该直

线不过原点O)，则S2 010＝()．010－ 2010A．2 010B．1 005C．2D．2

4．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2 0112，则S2 011的值为()． 2 0092 007

A．－2 010B．2 010C．－2 011D．2 011

5．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()．

674737A．1升B．升C．升D．升 664433

anan＋1＋126．等差数列{an}中，a1＝a3＋a7－2a4＝4，则2的值为整数时n的个数为()． n＋3n

A．4B．3C．2D．1

7．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝()．

1133A．BC．D．－2222

二、填空题

18．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝S2＝a3，则a2＝__________，Sn＝2

__________.S2 009S2 007an＋2an＋11，则a6－a5的值为__________． an＋1an

10．等差数列的前n项和为Sn，若S7－S3＝8，则S10＝__________；一般地，若Sn－Sm＝a(n＞m)，则Sn＋m＝__________.9．已知{an}满足a1＝a2＝1，三、解答题

n11．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋m·2(m是与n无关的常数且m≠0)．

(1)设bn＝n，证明数列{bn}是等差数列，并求an； 2

(2)若数列{an}是单调递减数列，求m的取值范围．

212.a2，a5是方程x－12x＋27＝0的两根，数列{an}是公差为正的等差数列，数列{bn}的前

1n项和为Tn，且Tn＝1－bn(n∈N*)． 2

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和 Sn.an

第 1 页

篇2：课时30 等差数列及其前n项和

一、选择题

11．已知数列{an}是等比数列，且a1＝，a4＝－1，则{an}的公比q为()． 8

11A．2B．－C．－2D． 22

2．在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则a20＝()． a10

A．1B．－3

C．1或－3D．－1或3

3．等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0，且q＞1”是“对于任意正整数n，都有an＋1＞an”的()．

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

2n4．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2，„，且a5·a2n－5＝2(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋„＋log2a2n－1等于()．

2A． n(2n－1)B．(n＋1)

22C．nD．(n－1)

5．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()．

A．80B．30

C．26D．16

6．在等比数列{an}中，a1＝2，其前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于

()．

n＋1A．2－2B．3n

nC．2nD．3－1

147．已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋mn

最小值为()．

359A.B.C.D．不存在 234

二、填空题

8．等比数列{an}中，Sn表示前n项和，a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q为__________．

19．在等差数列{an}中，a1＝1，a7＝4，数列{bn}是等比数列，已知b2＝a3，b3＝，则满足a2

bn＜的最小自然数n是__________． a80

10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列，b＝3，则△ABC的面积是__________．

三、解答题

11．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.*12．已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝a(a＞0)．数列{bn}满足bn＝anan＋1(n∈N)．

(1)若{an}是等差数列，且b3＝12，求a的值及{an}的通项公式；

(2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn；

(3)当{bn}是公比为q－1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

篇3：“等差数列前n项和”教学设计

随着新课程改革的深入,课堂教学有效性的研究不断发展,对数学课堂有效教学的追求已成为大家的共识,但要寻求一个“放之四海而皆准”的数学课堂教学有效性评价标准,非轻而易举之事.不管标准有多少,都离不开学生是否得到了发展.普通高中数学课程标准《实验》指出:评价既要关注学生的数学学习的结果,也要发关注他们数学学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化.

数学教育在学校教育中占有特殊地位,它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想,使学生表达清晰、思考有条理,使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神,使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界.教师要提高课堂教学的有效性,应该不断地学习先进教育教学理论,接受教改信息,认真学习教学大纲,钻研教材,努力设计出优秀的教学设计.

二、基于课堂教学有效性探究的教学设计分析

要提高课堂教学的有效性,首先需要明确一堂好课的标准.有了标准,才能对教学活动的绩效进行科学的评估.比如,教学目标明确具体;教学重点、难点确定科学合理;教学方法灵活多样;教学内容与时俱进;教学资源优化整合;学生学习积极性高;教学效率高、效果好;教学评价富于创新;教学反思及时深刻等.下面就以“等差数列前n项和”教学设计为例,从课程理论和教材分析角度谈谈自己的几点思考.

1.等差数列前n项和问题引入

加涅的累积学习理论告诉我们学习任何一种新的知识技能,都是以已经习得的从属于较简单、具体的知识为基础的.也就是说较复杂、较高级的学习,是建立在基础性学习的基础上,每一类学习都是以前一类学习为前提的.另外,布卢姆认为影响学生的学习效果主要有三方面:学生对新的学习任务的认知准备状态(学习新课必须具备的旧知识和技能掌握程度)、教学质量(对于学习任务要素的表达、解释与顺序安排趋向于最适合既定学习者的程度)、情感准备状态(学生对待学习任务的兴趣、态度以及完成学习任务的自信心等).所以教师在教学设计前,可通过分析前一层学习的结果,确定学生的内部条件,尽力使学生在每一项学习任务中获得成功的体验,让学生在学习中寻求快乐,从而形成好的学习动机.

环节一复习旧知

(1)等差数列的通项公式

(2)等差数列的性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(学生回答,教师板书)

设计意图:承上启下的复习提问,既是巩固上节课的探究成果,激起学生对上节课成功体验的美好回忆,又为接下来的合作探究作了知识性的铺垫.

环节二引入新课

提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事.小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学题:“把从1到100的自然数加起来,和是多少?”年仅10岁的小高斯略一思索就得出了答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙计算出来的呢?1+2+3+…100.

鼓励学生如果也懂得那样巧妙计算,那你们就是新世纪的新高斯.学生回答

设计意图:引出数学家高斯的故事,引起数学注意,激发学生学习兴趣,增强学生的数学情感.一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣,另一方面,使学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项和的这个规律,也为接下来求前n个正整数1+2+3+…n的和,求一般等差数列前n项和做好铺垫.

从这个算法中受到的启发,怎么计算1+2+3+…n.

问:设数列{an}是等差数列,求a1+a2+…+an.

设计意图:层层设问,步步加难,由浅入深,由易到难,把学生的思维一步一个台阶引向求知的高度,达到掌握知识,培养能力的目的.

教学启示:高斯的算法比较巧妙,蕴涵有求等差数列前n项和一般的规律性,教学时,应给学生提供充裕的时间和空间,让学生自己观察、探索发现这种数列内在的规律.从高斯的算法到一般求和公式,体现了人们在认识事物时,从特殊到一般的研究方法,这也是我们解决问题常用的思考方法和研究方法.

二、公式的教学

波利亚教育思想中的学习原则与过程中提到过学习东西的最好的途径是亲自去发现它,这就是说最富有成效的学习是学生自己去探索、去发现.以此相呼应,在教学原则与方法中,反复说道:教师尽量让学生在现有条件下亲自去发现尽可能多的东西.对于公式的推导,有了此前的铺垫,可以引导学生自己去推导出求和公式.

环节三公式的推导

教学活动:分组证明,合作探究,展示成果,教师引导学生结合前面的实例推导出公式并告之这种推导方法叫倒序相加.

设计意图:有前面的实例作为铺垫,学生能较容易地完成公式的证明,学生会有一种成就感,会有继续探索的欲望,亲自参与推导的公式,印象会非常深刻,进而突出了重点,突破了难点,体现了由特殊到一般的认知过程.

问:公式(*)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n,引导学生总结:这些公式中出现了几个量?

说明:在公式中有下列五个量

(1)首项a1,末项an,公差d,项数n,前n项和Sn

(2)五个量知三求二

教学启示:对于这个前n项和公式的推导,也可以有其他推导途径,如:

此外,还有教材中的另一种推导方法.三种推导方法可以根据教学设计灵活选择,而此例的推导方法与环节一相呼应,学生更容易接受.对于这两个公式,初学的学生在解决一些问题时,往往不知如何选取.教师可以引导学生对这两个公式的结构特征进行分析,帮助学生恰当地选择合适的公式.如,两个公式的共同点是需知a1和n,不同点是一个还需知an,另一个需知d.教学时,可以用熟知的梯形面积公式帮助学生理解记忆.

三、对课堂教学有效性教学设计的几点体会

1.需要以先进的学习理论为指导,符合教学规律进行教学设计

教学设计的理论依据主要有现代的学习理论和新课程的教学理念.当我们把这些理论依据吃透后,心中就有了一个明确具体的指导方向,进行教学设计也更顺手,更有效.比如,学习了加涅的累积学习理论(也即学习的层次理论),我们知道较复杂、较高级的学习是建立在基础性学习的基础上,故教学设计时,教师可以由易到难,由特殊到一般,由浅到难等进行安排教学的过程;学习了奥苏贝尔的有意义接受学习,我们知道新旧知识之间存在着潜在距离,把握好“适度”,就可以帮助学生有效地学习;学习了课程标准,在基本理念的指导下,更有利于培养出会用数学的思考方式去分析问题,解决问题的学生.

2.离不开学生的实际情况,深入了解学生

普通高中数学课程标准《实验》在教学建议中提到:数学教学要体现课程改革的基本理念,在教学设计中充分考虑高中学生的心理特点,不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段,引导学生积极主动地学习,掌握数学的基础知识和基本技能以及它们所体现的数学思想方法,发展应用意识和创新意识,对数学有较为全面的认识,提高数学素养,形成积极的情感态度,为未来发展和进一步学习打下基础.可见,课堂教学要有效,离不开学生的实际情况,需要我们深入了解学生,毕竟在我们教学生涯中,经常会碰到不一样的学生群体.深入了解学生的真实情况,也就是说,教学过程应以学生为中心,做好课前“备学生”的准备工作.关于这一原则,美国认知教育心理学家奥苏贝尔曾有论述,他认为:“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学.”显然,奥苏贝尔是把对学生的了解,看成一切教学工作的出发点.而对学生的了解,主要包括学生的知识基础和经验,思维状况,态度和价值认识.比如,当我们选择某一课题引导学生探究学习时,首先要了解学生对所学内容的了解程度和兴趣,爱好和需求,并寻求其原因.其次,要了解学生对数学的一些初步的价值认识.

3.重视学生的成功体验,提高他们的自信心,让学生爱学、乐学、主动学

波利亚的教育思想中提到中学数学课的目的有两方面,一个是教会年轻人思考,有目的思考,教会他们证明问题,甚至教他们猜想问题;另一个是培养他们的兴趣、好奇心、毅力、意志、情感体验等非智力品质.学习动机的形成有各种各样的原因,其中最为重要的是学生“在学习中寻求快乐”,也就是充分关注学生成功的体验,对数学知识本身的内在兴趣.在《等差数列前n项和》教学过程中,通过创设一系列的问题情境,边展示、边提问、让学生边观察、边思考、边讨论,鼓励学生积极参与教学活动,不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明等思维过程,体验等差数列前n项和“再创造”的过程.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程,在难点处适当放慢节奏,给学生充分的时间进行思考与讨论,充分发表自己的意思,体验成功的体验,激发了学生学习数学的兴趣,并鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯,提高解决问题的能力.

课堂教学有效性的探究是永远没有句号的,但重要标准之一就是在有限的时间内学生获得了多少知识,提高了多少能力,在情感方面有了什么样的改变.教学设计若能让学生快乐地学习,主动去学习,终究会让学生得到更全面的发展.

摘要：本文谈了对课堂教学有效性的认识,基于课堂教学有效性探究的教学设计分析,以等差数列前n项和问题引入和公式推导为例,对课堂教学的有效性进行了探究,最后得出了对课堂教学有效性教学设计的几点体会:需要以先进的学习理论为指导,符合教学规律进行教学设计;离不开学生的实际情况,深入了解学生;重视学生的成功体验,提高他们的自信心,让学生爱学、乐学、主动学.最后以课堂教学有效性的探究是永远没有句号的,但重要标准之一就是在有限的时间内学生获得了多少知识,提高了多少能力,在情感方面有了什么样的改变,教学设计若能让学生快乐地学习,主动去学习,终究会让学生得到更全面的发展.

关键词：教学,有效性,探究

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2]徐光考.数学课堂教学设计[M].北京:国家行政学院出版社,2013.

篇4：课时30 等差数列及其前n项和

【关键词】等差数列；前n项和公式；倒序相加；驾驭课堂

最近笔者有幸担任我市招聘教师评委，聆听了十七位应聘者关于《等差数列前n项和》的讲课比赛，听后感慨颇多，特别是在许多教学环节的呈现上，怎样才能自然和谐地推进而不生搬硬套，怎样才能突出数学的逻辑美，并且利于学生数学思维能力的培养，利于学生数学学习兴趣的激发等.因此本文欲从等差数列求和的教学中如何更好地驾驭课堂，如何根据课堂教学的实际情景灵活应对，谈一点个人的思考与体会.

1 以高斯故事引入

大多教师在教学等差数列求和公式时都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界广为流传，版本较多，最值得信赖的说法有两种：一是高斯10岁时算出他的老师布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案.二是据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899.当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）.E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他在老师刚写完题时就在小石板上写出了正确答案，而其他的孩子们都错了.可是高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题.数学史家们推测，高斯当时用的方法可能是：首尾配对法或倒序相加法.虽然两种方法本质都是配对凑成相同的数，变多步求和为一步相乘，但在方法的应用上是有区别的.作为时间宝贵的课堂教学当然宜采用第一种说法.

2 公式推导方法探究

4 教学难点的确定

本课难点常见的说法有三种：第一种，获得等差数列前n项和公式推导的思路；第二种，等差数列前n项和公式的推导及从函数角度理解该公式；第三种，①对公式推导过程中归纳出一般规律的理解与领会，②灵活应用公式解决一些简单的有关问题.不同学生的认知水平不同，不同教师的教学风格不同，理解角度不同，对难点的确定和教学安排多少都会有些许差别，属于正常现象.其实结合课标要求和课程内容特点，概括地讲难点就是：获得公式的推导方法及公式的理解应用.对于理解应用公式，值得参考的题目，如：

题1 求正整数中前500个偶数的和.

评注可以用两个公式求和，也可以用公式推导过程中使用的方法，倒序相加或首尾配对等多种方法求解.此题难度不大，但接地气，能有效的回顾复习当堂所学的知识.

题2 计算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

评注：本题可使学生进一步理解求和的意义，及对等差数列求和公式中基本量的理解和刻画.其次，公式推导中的配对，实质是一种并项法，宏观上也可以看作是分组求和，那么本题你是采用并项法，还是分组运用公式求和，是又一仁者见仁，智者见智的好题.题3 等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：

5 结束语

等差数列求和的两个公式，体现了数学知识的多样性和简洁性.公式Sn=n（a1+an）2的结构呈现对称美及与项的关系，同时也方便了记忆，如类比梯形的面积公式增强记忆.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，当d≠0时，Sn可看作是n的二次函数式，方便了从函数的角度进一步认识和理解等差数列的前n项和，特别是为求Sn的最值提供了新思路.普通高中《数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，等差数列求和公式的教学便是体现这一思想的良好素材，教学中应注重公式推导的来龙去脉，切莫囫囵吞枣，直接给出公式，然后布置大量习题，把学生赶进题海，将学生变成做题的机器，从而白白浪费了一次培养思维和提升数学文化价值的良机.另外，随着“以学生为主体，教师为主导”的教学理念逐步深入，学生自主探索、合作交流、观察发现的能力在不断加强，课堂教学情境千变万化，随机生成的问题将会越来越多，教师“以本论教，经验定教”是远远不能迎接新挑战的，正如时下流行的说法那样：过去的教师，要给学生一碗水，教师应有一桶水，现在的教师，要给学生一滴水，自己必须是长流水.因此，教师只有不断学习，不断钻研，教学相长，才能更好的活跃在课堂舞台上.作者简介

篇5：课时30 等差数列及其前n项和

长期以来，我们的教学太过于重视结论，轻视过程。为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念公式的教学中往往把学生强化成只会套用公式的解题机器，这样的.学生面对新问题就束手无策。基于以上认识，在设计这两节课时，我所考虑的不是简单地复习等差数列求和公式，而是让学生自己去推导公式。学生在课堂上的主体地位得到了充分的发挥。事实上，定义推导过程就是建构知识模型、形成数学思想和方法的过程。

等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式。它前承等差数列的定义，通项公式，后启等比数列的前项和公式。高三最后复习阶段，可千万要重视课本知识，要注意对课本知识和例题的挖掘，如果我们能指导学生不满足课本所给的知识，学会对课本例题的再研究和再探索，那势必会达到事半功倍的效果。

篇6：等差数列前n项和教案

一、教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式。过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

二、教学重难点：

教学重点: 探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、教学过程：

（一）、创设情景，提出问题

印度著名景点--泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+…+100=？（学生思考），著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出1+2+3+…+100=5050，介绍高斯的算法。

（二）、教授新课：

数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+…+100吗？（学生思考）

①老师介绍倒序相加求和法，记S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可发现上、下这两个等式对应项的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1）2S=101100=10100 S=10100=5050 2②如果要计算1,2,3,…,(n-1),n这n个数的和呢？（学生独立思考），老师引导，类似上面的算法，可得S=

1nn2

③1,2,3，…,(n-1),n这是一个以1为公差的等差数列，它的和等于S=1nn2，对于公差为d的等差数列，它们的和也是如此吗？

首先，一般地，我们称a1a2a3an 为数列an的前n 项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an

类似地：

Sna1a2a3an①

··a1② Snanan1an2· ①+②： 2Sna1ana2an1a3an2ana1

∵a1ana2an1a3an2ana1

∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)公式1 2由等差数列的通项公式ana1n1d有，Snna1

（三）、例题讲解：

nn12d 公式2（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（学生独立完成）

（2）、例：等差数列an中，已知： a14,a818,n8,求前n项和Sn及公差d.（教师引导，师生共同完成）

选用公式：根据已知条件选用适当的公式 Sn变用公式：要求公差d，需将公式2Snna1n(a1an)求出 Sn 2nn12d变形运用，求d 知三求二等差数列的五个基本量知三可求另外两个

（四）、课堂小结：

1、公式的推导方法:倒序求和

2、等差数列的前n项和公式

Snn(a1an)2Snna1nn12d

3、公式的应用。

（五）、作业

篇7：等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

篇8：课时30 等差数列及其前n项和

1高斯算法———千古佳话存局限

“高斯算法”的智慧在于把“不同数的求和问题”转化成了“相同数的求和问题”,策略是“首尾等距配对”.方法的局限性是当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”,这一关键问题往往被教学者忽略,事实上可能没有找到更好的方法予以突破,只好仁者见仁[1].

2钢管算法———触及实质不自然

“钢管算法”的本质就是梯形的面积公式的推导过程.“钢管算法”是一个对学生提供感知等差数列前n项和公式的绝好的生活素材,体现了数学来自于生活,数学是自然的,数学是有用的等新课程的理念.“钢管算法”的缺点是“倒放钢管”的设计似乎有些牵强[1].在生活中有谁会“倒放钢管”呢?钢管是堆放的,倒放的住吗?如何想到呢?只好由教师直接告诉学生,学生恍然大悟,佩服老师高明.这样的数学学生能学到手吗?

3棋子算法———文章天成偶得之

以上两种方法的不足,留下了缺憾.为此笔者受古希腊人玩三角形点阵的启发,设计了一种“棋子算法”,现介绍如下:

问题情境小聪和小明坐在桌子两边,模仿古希腊人玩三角形点阵.他们用围棋子替代石子,小聪用黑子,小明用白子,分别摆出了如图1的三角形点阵.

问题1如果小聪摆上100层,共需要多少颗黑棋子?如果小明也摆上100层,共需要多少颗白棋子?

设计意图引出高斯算法,增加知识的趣味性和文化性.本人教学证明学生很容易想到高斯算法,教学趣味盎然.

问题2如果小聪摆上101层,共需要多少颗黑棋子?

设计意图揭示高斯算法方法的局限性,当项数是奇数个时,无法实现“首尾等距配对”.高斯算法失灵.本人教学中学生想出利用“1+2+3+ … +100”的结果,再加上101;或在“1+2+3+…+100+101”的前面加一个0,实现“首尾等距配对”等方法.可以引导发现“首尾等距配对”没有直接实现,留下了遗憾.能否弥补这一遗憾呢?此时如图2,已有学生自然的想到把小聪和小明的棋子放一块算,可以说是倒序相加法水到渠成了.如果学生还想不到.就给出问题3.

问题3如果小明也摆上101层,共需要多少颗白棋子?可以把小聪和小明的棋子放一块算吗?

设计意图一般来说,这一问题估计用不上.就算用的上,也是自然的,不会再有牵强之感.至此,倒序相加法就很自然的水到渠成了.

问题4求1+2+…+n=?

设计意图用倒序相加法求正整数数列的前n项和,强化对倒序相加法的理解.

问题5为了研究的方便,我们记等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=a1+a2+a3+… +an-1+an.正整数数列是特殊的等差数列,以上方法对求一般的等差数列前n项和也适用吗?自己研究一下,看可以得出什么结论?

设计意图由特殊到一般,是本节课研究问题的一般方法,及时的把特殊问题中得到的方法应用到一般的问题,是提升学生能力的好时机.本问题一定要舍得花时间,让学生自己去探究,否则效果会大打折扣.

教学预设1用“倒序相加法”求等差数列的前n项和.由

教学预设3公式Sn=n(a1+an)/2的记忆:构造以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形求面积.

公式Sn=na1+n(n-1)d/2的记忆:把以a1为上底,以an为下底,n为高的梯形划分成一个以a1为一边,n为一边的一个平行四边形,和一个以(n-1)d为一边,以n为高的等腰三角形,然后求面积和.

本人的教学效果证明以上设计确实弥补了高斯算法和钢管算法中的遗憾.

篇9：课时30 等差数列及其前n项和

教学是师生共同参与的活动过程，在这个过程中，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师的主导要为学生主体达到学习目标服务，也就是就教师在使用讲授法的同时，必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动，为学生思维指路搭桥。通过学生自主的尝试活动，使他们在感知的基础上有效地揭示知识的内在联系，从而使学生获取知识，提高能力，本堂课的设计正是以这个原则为主旨的。

二、学生情况与教材分析

1.学生通过上一节的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点。

2.几何能直观地启迪思路，帮助理解，特别是对于职中类学生，他们对知识的理解还是处于模糊阶段，因此，借助几何直观学习来理解数学，是数学学习中的重要方面。

3.本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习，认识和理解数学知识，学会发现问题并尝试解决问题，在学习活动中进一步提升自己的能力。

三、教学目标

1.知识目标

（1）了解等差数列前n项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前n项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式。

（2）用方程思想认识等差数列前n项和的公式，利用公式求和；等差数列通项公式与前n项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值。

（3）会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究前n项和的最值。

2.能力目标

（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比的思维能力。

（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感目标

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

（2）通过公式的运用，树立学生“大众教学”的思想意识。

（3）通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

重点：等差数列前n项和公式。

难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路。

五、教学方法

启发引导、交流讨论、合作探究。

六、教具准备

现代教育多媒体技术。

七、教学流程图

八、教学过程

1.引入新课

（1）复习

师：上一节课中，我们学习了等差数列的定义及通项公式，知道了“公差d=______，通项公式an=______”（见黑板）

生1：（回答黑板上的问题）

（2）故事引入

师：那等差数列的前n项和怎样求？今天，我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和，我由地想起德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3…+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生2：5050

师：看来我们班还是有不少高斯的。继续努力，说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生3：（说明如何进行首尾配对进行求和的。）

师：根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法。不过，对于以下的题，“例：求等差数列8、5、2…的前20项的和（见课件）”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

2.合作学习，探求新知

师：下面我们从一个稍稍简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。

（学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管。）

师：如何求？

生4：利用刚才的方法.（略）

师：想一想，除了刚才的首尾配对求和的方法外，还有没有其他的方法呢？

（课件演示：引导学生设想，如果将钢管倒置，能得到什么启示）

生5：每一层都和上一层是一样多的。一共有8层，所以为8×（4+11），但一共有两堆，所以为S8=

师：那如果如下图所示共有n层，第一层为a1，第n层为an，请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和Sn等于多少？

生6：Sn=

解:钢管的数量为:S8=

等差数列前n项求和公式:Sn=

师：这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书：Sn=a1+a2+a3+…+an

即Sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+［a1+（n-1）d］

把上式的次序反过来又可以写成：

Sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+［an+（n-1）d］

两式相加：

2Sn=（a1+an）+（a1+an）+…（a1+an）=n（a1+an）

所以Sn=

看来，我们的猜想是正确的。下面我们做几道练习来熟悉一下公式。

3.合作学习，巩固并探求新知

学生练习一：（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=1，a10=8，求S10.

（2）求正整数列是前1000个数的和;

学生小组合作练习，分组进行交流。

师：看来，大家对公式的掌握还是不错的。下面，我们再来看一道练习。

学生练习二：在等差数列｛an｝中，a1=1，d=-2已知a1=1，d=-2，求S10；

学生思考，并讨论解答。

学生讲解如何进行求解这题。

师：刚才那道题给出了a1，d和n=10，a10没有给出，但我们一样可以将S10求出，

那我们能不能直接由a1，d和n，得到an呢？

学生根据求和公式一和通项公式导出公式二：Sn=na1+d

学生练习三：求正整数中前500个偶数的和（用多种方法求解）。

学生讨论解答此题，并请学生上台讲解。

4.总结

师：今天，大家学得不错。下面我们再来回顾一下本堂课的内容。今天我们主要倒序相加的方法推导了等差数列前n项和公式一，并结合等差数列通项公式二推导出等差数列前n项和公式二，希望同学们在今后的解题要灵活运用这两个公式。

5.教学反思

篇10：课时30 等差数列及其前n项和

说课—《等差数列前n项和的公式》

自己收藏的觉得很有用故上传到百度与大家一起分享！

说课-《等差数列前n项和的公式》教学目标

A、知识目标：

掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用

B、能力目标：

（1）通过公式的探索、发现

在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力

（2）利用以退求进的思维策略遵循从特殊到一般的认知规律

让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式

培养学生类比思维能力

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（3）通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析培养学生思维的灵活性

提高学生分析问题和解决问题的能力

C、情感目标：（数学文化价值）

（1）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶

（2）通过公式的运用树立学生“大众教学”的思想意识

（3）通过生动具体的现实问题令人着迷的数学史激发学生探究的兴趣和欲望树立学生求真的勇气和自信心增强学生学好数学的心理体验产生热爱数学的情感

教学重点：等差数列前n项和的公式

教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用

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教学方法：启发、讨论、引导式

教具：现代教育多媒体技术

教学过程

一、创设情景导入新课

师：上几节

我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质今天要进一步研究等差数列的前n项和公式提起数列求和

我们自然会想到德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事小高斯上小学四年级时

一次教师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050 这使教师非常吃惊

那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大家也懂得那样巧妙计算

那你们就是二十世纪末的新高斯（教师观察学生的表情反映然后将此问题缩小十倍）

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我们来看这样一道一例题

例1 计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外

还有没有其他有趣的解法呢？小组讨论后让学生自行发言解答

生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 所以可凑成5个11 得到55

生2：可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 根据加法交换律

又可写成S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1

上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110

10个

所以我们得到S=55

即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

师：高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法

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和上述两位同学的方法相类似

理由是：1+100=2+99=3+98=......=50+51=101 有50个101 所以1+2+3+......+100=50×101=5050 请同学们想一下

上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢？

生3：数列{an}是等差数列若m+n=p+q 则am+an=ap+aq.二、教授新课（尝试推导）

师：如果已知等差数列的首项a1 项数为n 第n项an 根据等差数列的性质

如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导并请一位学生板演

生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

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n个

=n(a1+an)

所以Sn=(I)

师：好！如果已知等差数列的首项为a1 公差为d 项数为n 则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II)

上面（I）、（II）两个式子称为等差数列的前n项和公式公式（I）是基本的我们可以发现

它可与梯形面积公式（上底+下底）×高÷2相类比这里的上底是等差数列的首项a1 下底是第n项an 高是项数n 引导学生总结：这些公式中出现了几个量？（a1 d n an Sn）

它们由哪几个关系联系？[an=a1+(n-1)d Sn==na1+ d]；这些量中有几个可自由变化？（三个）从而了解到：只

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要知道其中任意三个就可以求另外两个了下面我们举例说明公式（I）和（II）的一些应用

三、公式的应用（通过实例演练形成技能）

1、直接代公式（让学生迅速熟悉公式即用基本量观点认识公式）例

2、计算：

（1）1+2+3+......+n

（2）1+3+5+......+(2n-1)

（3）2+4+6+......+2n

（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

请同学们先完成（1）-（3）并请一位同学回答

生5：直接利用等差数列求和公式（I）得

（1）1+2+3+......+n=

（2）1+3+5+......+(2n-1)=

（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

师：第（4）小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能

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那应如何解答？小组讨论后让学生发言解答

生6：（4）中的数列共有2n项不是等差数列但把正项和负项分开可看成两个等差数列所以

原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

=n2-n(n+1)=-n

生7：上题虽然不是等差数列但有一个规律两项结合都为-1 故可得另一解法：

原式=-1-1-......-1=-n

n个

师：很好！在解题时我们应仔细观察寻找规律

往往会寻找到好的方法注意在运用Sn公式时要看清等差数列的项数否则会引起错解

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例

3、（1）数列{an}是公差d=-2的等差数列如果a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 求a1 d S10

生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12 即a1+d=4

又∵d=-2 ∴a1=6

∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

生9：（2）由a1+a2+a3=12 a1+d=4

a8+a9+a10=75 a1+8d=25

解得a1=1 d=3 ∴S10=10a1+=145

师：通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式在Sn公式有5个变量已知三个变量

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可利用构造方程或方程组求另外两个变量（知三求二）请同学们根据例3自己编题作为本节的课外练习题以便下节课交流

师：（继续引导学生将第（2）小题改编）

①数列{an}等差数列若a1+a2+a3=12 a8+a9+a10=75 且Sn=145 求a1 d n

②若此题不求a1 d而只求S10时是否一定非来求得a1 d不可呢？引导学生运用等差数列性质用整体思想考虑求a1+a10的值

2、用整体观点认识Sn公式

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例4 在等差数列{an}（1）已知a2+a5+a12+a15=36 求S16；（2）已知a6=20 求S11（教师启发学生解）

师：来看第（1）小题

写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较你发现了什么？

生10：根据等差数列的性质有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18 所以S16=8×18=144

师：对！（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1 a16和d的

但由等差数列的性质可求a1与an的和于是这个问题就得到解决这是整体思想在解数学问题的体现

师：由于时间关系

我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析引导学生观察当d≠0时

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Sn是n的二次函数

那么从二次（或一次）的函数的观点如何来认识Sn公式后这留给同学们课外继续思考

最后请大家课外思考Sn公式（1）的逆命题：

已知数列{an}的前n项和为Sn 若对于所有自然数n 都有Sn= 数列{an}是否为等差数列并说明理由

四、小结与作业

师：接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容

生11：

1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式

2、用所推导的两个公式解决有关例题熟悉对Sn公式的运用

生12：

1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值

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2、具体用Sn公式时

要根据已知灵活选择公式（I）或（II）掌握知三求二的解题通法

3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时要认真观察

灵活应用等差数列的有关性质看能否用整体思想的方法求a1+an的值

师：通过以上几例说明在解题中灵活应用所学性质

要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法同时希望大家在学习中做一个有心人去发现更多的性质主动积极地去学习

本节所渗透的数学方法；观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等

数学思想：类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等

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篇11：等差数列前n项和教学设计说明

本课的教学设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是本节课教学设计的重中之重；设计中结合本班学生学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节并以此来确定教学目标。下面从以下几个方面进行详细说明。

一、教学内容的本质、地位及作用分析

等差数列前n项和S n

 a 1 

a 2 



 a

，这是教材给出的前n项和的定n1an义，但需要说明的是这只是一个形式定义，表示求和是一般意义的加法运算，而本节课的数学本质是倒序相加法及其生成过程（即变不同“数”的求和为相同“数”的求和），进而推导和掌握等差数列的求和公式。

本节内容是必修五第二章第三节的第一课时，本节课对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式及性质的基础上进一步研究等差数列，其学习的平台是学生已掌握等差数列的性质以及高斯求和法等相关知识。对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加求和法，具有承上启下的重要作用．

对求和公式的认识中，将公式1与公式2与梯形的面积公式建立了联系，从而起到延伸知识，提示事物间内在联系，更能激发学生学习兴趣，感受思考的魅力。

二、教学目标分析

本节课是等差数列的前n项和的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对每个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中体会倒序相加求和的思想方法及生成过程，渗透新课标理念，根据学情进行了具体分析，并结合学情制定本节课的教学目标。

学情分析：

1、学生已学习了函数、数列等有关基础知识，并且高二学生的抽象逻辑推理能力基本形成，能在教师的引导下独立地解决问题。

2、学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题。

3、学生对新知识很有兴趣，对用多媒体进行教学非常热爱，思维活跃。结合以上的学情分析，确定知识技能目标是：（1）理解等差数列前n项和的概念（2）掌握等差数列的前n项和公式的推导过程（3）会灵活运用等差数列的前n项和公式。过程与方法的目标是：（1）通过对等差数列前n项和公式的推导过程，渗透倒序相加求和的数学思想且自然生成的过程（2）通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归的能力及掌握方程的思想和方法。并且从教学过程渗透本课的情感态度目标：结合具体情景，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

三、教学问题诊断

1、根据教学经验，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于在推导等差数列前n项和的过程中如何自然地生成倒序相加求和法，是本课教学环节中的一个重点内容。首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对相加，但是很快遇到问题，当项数为奇数的前n项和时配不成对，这里引导学生意识到奇数项与偶数项的问题影响了首尾配对法。为了改进首尾配对法的局限性，设计了两个探索与发现，分别对应项数为奇数和偶数时，根据动画引导学生发现颠倒顺序再相加变为上下配对，体现了倒序相加法自然的生成过程，避免了对项数是奇与偶的讨论，从而实现变不同“数”的求和为相同“数”的求和。

2、在对两个求和公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的动画来提示，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法且强化了对公式的记忆和理解。

3、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，多次设计动画帮助学生观察和思考，形象直观且高效地提升了课堂的效益和效率，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

4、等差数列求和的两个公式中涉及的量比较多，有a1、n，sn，d，an五个量，通过公式应用及练习引导学生体会方程的思想方法，具体来说就是熟练掌握“知三求二”的问题和方法。

四、教法特点及预期效果分析根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用“探究——发现”教学模式．引导学生在活动中进行探究，在师生互动交流中，发现等差数列前n项和的推导方法，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与发现，通过创设情景激发兴趣，在与教师的互动交流中，获得本节课的知识与方法。

根据学生具体情况，我力求达到：1、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。

篇12：课时30 等差数列及其前n项和

1.若等比数列an的前n项和Sn3na则a等于（）A.3B.1C.0D.1

2.等比数列an的首项为1，公比为q，前n项和为S，则数列（）

A.1S

1的前n项之和为na

B.SC.Sq

n1

D.1q

n1

3.等比数列an中，S27，S691，则S4等于（）A.28B.28或21C.21D.49 4.已知an是公比为

12的等比数列，若a1a4a7a97100，则

a3a6a9a99的值是（）

A.25B.50C.75D.125

二.填空题

1.等比数列an中，a1a310，a4a6

则a4，S5。

2.等比数列an中，S42，S86，则a17a18a19a20。3.等比数列an中，a11，S10S5

3132

则公比q。

4.一个数列的通项为an22n1，那么它的前9项的和S9。

三.解答题

1.已知等比数列an和等差数列bn，且an2，bn3n2，设数列an、bn中

共同项由小到大排列组成数列cn。

（1）求cn的通项公式（2）求出cn的前2001项的和S2001 2.数列an满足a11，an

an11（n2）

篇13：课时30 等差数列及其前n项和

数列是普通高中课程标准实验教科书《数学·A版必修5》 (人教版) 第二章中的内容, 而数列的前n项和在数列问题中占有重要的地位, 也成为考试考查的重点内容之一.下面以等差数列、等比数列为基础, 就数列前n项和形式进行了初步的探究, 可作为一节综合复习型的探究性学习课.

1.等差数列前n项和的形式

我们知道, 等差数列前n项和 $S_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2} = n a_{1} + \frac{n (n - 1)}{2} d$ (其中a1为等差数列{an}的首项, d为公差) .第二种形式可变形为 $S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ , 显然, 当d≠0时, Sn为二次函数的形式, 即Sn=An2+Bn;当d=0时, {an}为常数列, Sn=na1, 此时我们仍然可以将Sn写成Sn=An2+Bn (A=0) 的形式.因此, 等差数列前n项和Sn总可以写成关于n的“二次多项式” (不带常数项, 为和下面的叙述保持一致, 这里不用“二次函数”的说法) 的形式, 即Sn=An2+Bn (其中A, B为常数, A∈R, B∈R) , 反之亦真.

例1 已知{an}为等差数列, 其前n项和为Sn=n2, 求数列{an}的通项公式.

解a1=S1=1, 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n-1.

由于n=1时符合公式, ∴an=2n-1 (n≥1) .

评注本题若作为选择题或填空题出现, 则可以直接根据上述结论得出a1=S1=1, d=2, 从而an=2n-1.方法简便、快捷.

2.类等差数列前n项和的形式

由1可知, 等差数列前n项和Sn是关于n的“二次多项式” (不带常数项) 的形式, 那么, 数列的前n项和Sn=An2+Bn+C (C≠0) (其中A, B, C为常数) 数列又是什么情形呢?经探究易知, 相应数列从第二项起为等差数列 (不妨把这类数列成为“类等差数列”) , 反之亦真.

例2 已知{an}的前n项和为Sn=3n2+5n+1, 求数列{an}的通项公式.

简析易得

评注若数列的前n项和Sn=An2+Bn+C (其中A, B, C为常数) , 则数列一定为等差数列 (C=0) 或“类等差数列” (C≠0) , 而与A, B是否为0无关, 反之亦真.至此, 我们就讨论了Sn为常数函数、一次函数、二次函数的所有形式, 我们也可以把这三种情形称为“二次多项式”形式.

3.Sn为“k次多项式” (k≥3, k∈N) 形式的讨论

若数列前n项和Sn是关于n的“k次多项式” (k≥3, k∈N) 的形式, 那么, 数列又是什么情形呢?

例3 已知{an}的前n项和为Sn=n3, 求数列{an}的通项公式.

$\begin{array}{l} 简析易得 a_{n} = {\begin{cases} S_{1} = 1 (n = 1), \\ S_{n} - S_{n - 1} = 3 n^{2} - 3 n + 1 (n \geq 2, n \in Ν^{*}) ‚ \end{cases} \\ ∴ a_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 1 . \end{array}$

评注进一步探究, 若数列的前n项和Sn=Aknk+Ak-1nk-1+…+A1n+C, 则其通项公式an一定为

$a_{n} = {\begin{cases} S_{1} (n = 1), \\ B_{k - 1} n^{k - 1} + B_{k - 2} n^{k - 2} + \dots + B_{1} n + D (n \geq 2, n \in Ν^{*}) \end{cases}$

的形式 (其中Ai, Bi为常数) ;若C=0, 则a1也符合an (n≥2, n∈N*) 时的形式.反之亦真.上述结论与Ai是否为0亦无关.通过上面的讨论可以看出若数列的前n项和Sn为关于n的k次多项式的形式, 则其通项an必为关于n的k-1次多项式的形式.

4.等比数列前n项和的形式及推广

我们知道, 等比数列前n项和 (其中a1为等比数列{an}的首项, q为公比) .第二种形式可变形为 $S_{n} = - \frac{a_{1}}{1 - q} \cdot q^{n} + \frac{a_{1}}{1 - q}$ , 即如下形式:Sn=k·qn+C (k≠0, q≠0, q≠1) .我们有如下结论:若数列{an}的前n项和为Sn=k·qn+C (k≠0, q≠0, q≠1) 的形式, 则当C=-k时, {an}为等比数列;当C≠-k时, {an}从第二项起为等比数列 (不妨把这类数列成为“类等比数列”) .另外, 若{an}为等比数列, 则Sn=k·qn+C中的q即为数列的公比.

例4 已知数列{an}为等比数列, 其前n项和为Sn=3n+C, 求数列{an}的通项公式.

简析 {an}为等比数列, 则C=-1.

∴a1=S1=2, q=3, ∴an=2·3n-1.

评注本题若作为选择题或填空题出现, 则上述方法非常准确、快捷.再进一步观察探究还可以发现, 对于等比数列 (非常数列) 及类等比数列, Sn与an的表达式中均含有q, 且q的次数可通过变形保持一致, 如下: $S_{n} = - \frac{a_{1}}{1 - q} \cdot q^{n} + \frac{a_{1}}{1 - q} ‚ a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} = \frac{a_{1}}{q} \cdot q^{n}$ , 二者均可化作k·qn+C的形式.

例5 已知数列{an}前n项和为Sn=3n+1, 求数列{an}的通项公式.

简析 {an}为类等比数列,

$a_{n} = {\begin{cases} S_{1} = 4 (n = 1) ‚ \\ S_{n} - S_{n - 1} = 2 \cdot 3^{n - 1} (n \geq 2 ‚ n \in Ν^{*}) . \end{cases}$

评注抓准特点, 记准形式, 结论用来方能得心应手.

5.综合探究两例

例6 (2007年重庆理21) 已知各项均为正数的数列{an}, 其前n项和为Sn满足S1>1, 且6Sn= (an+1) (an+2) , (n∈N+) , 求数列{an}的通项公式.

解由6Sn= (a1+1) (an+2) , (n∈N+) ①

得6a1= (a1+1) (a1+2) , 易得a1=1 (舍去) 或a1=2.

当n≥2时, 6Sn-1= (an-1+1) (an-1+2) . ②

由①-②, 可得 (an+an-1) (an-an-1-3) =0.

又 ∵数列各项均为正数, ∴an-an-1-3=0,

即an-an-1=3, ∴{an}为等差数列, 易得an=3n-1.

简析下面我们从另一个角度进行猜想、探究.

由6Sn= (an+1) (an+2) , (n∈N+) , 可以看出Sn与a $_{n}^{2}$ 的次数相同, 这里我们猜想Sn为关于n的k次多项式的形式, 由前面的讨论可知, an应该为关于n的k-1次多项式的形式.再由Sn与a $_{n}^{2}$ 的次数相同可以得到k=2 (k-1) , 所以k=2, 所以an为pn+q的形式, 即{an}为等差数列, 设an=a1+ (n-1) d (其中a1为等差数列{an}的首项, d为公差) , 则 $S_{n} = \frac{d}{2} n^{2} + (a_{1} - \frac{d}{2}) n$ , 代入①, 得 $6 \cdot \frac{d}{2} n^{2} + 6 (a_{1} - \frac{d}{2}) n = [a_{1} + (n - 1) d]^{2} + 3 [a_{1} + (n - 1) d] + 2$ ,

$\begin{array}{l} 整理 ‚ 得 3 d n^{2} + (6 a_{1} - 3 d) n = d^{2} n + (2 a_{1} d - 2 d^{2} + 3 d) n + (a_{1}^{2} + 3 a_{1} - 3 d + 2 + d^{2} - 2 a_{1} d) . \\ ∴ {\begin{cases} 3 d = d^{2} ‚ \\ 6 a_{1} - 3 d = 2 a_{1} d - 2 d^{2} + 3 d, \\ a_{1}^{2} + 3 a_{1} - 3 d + 2 + d^{2} - 2 a_{1} d = 0 ‚ \end{cases} \begin{array}{l} ① \\ ② \\ ③ \end{array} \end{array}$