等差数列性质作业

2024-05-03

等差数列性质作业（精选8篇）

篇1：等差数列性质作业

等差数列的性质

1．数列

为等差数列，则a3=

2．设x，a1，a2，a3，y成等差数列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差数列，则的值是

篇2：等差数列性质作业

选材取自学生练习，针对性强，内容相对集中；从学生问题的点评答疑中，提炼结论，符合从具体到抽象的认知规律

2.充分发挥学生学习的自主性

学生在课堂上体现了高度的参与和热情。学生对于本节课的内容由于事先做好了导学案，所以有充分的思考和训练时间，通过合作学习，进一步应用定义解决问题，学生积极主动参与复习的全过程，特别是让学生参与归纳、整理的过程，为学生提供了充分的锻炼机会。

3.系统有效的完成教学任务

篇3：等差数列一个性质的应用

等差数列的一个性质:

若{an}是等差数列, m, n, p, q∈N*, 当m+n=p+q时, 则有am+an=ap+aq, 特别地, 当m+n=2 p时, 则有am+an=2ap。

注:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋅⋅⋅, 应用等差数列的这个性质解题, 往往可以回避求其首项和公差, 使问题得到整体地解决, 能够在解题时达到运算灵活, 方便快捷的目的。

例1.等差数列{a n}中, a4+a5=15, 7a=15, 则a2等于 ()

分析:利用基本量法, 可以求出a1和d, 再利用通项公式即可求出 (解法一) , 当然如果能看出4+5=7+2, 利用性质题目将会变得更为简洁 (解法二) 。

解法一:设首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) d, 有 (a1+3d) + (a1+4d) =15, a1+6d=15

解得1a=-3, d=3, 所以a2=0, 故选C。

解法二:利用性质若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq (m, n, p, q∈N*) , 则a4+a5=a7+a2, 所以2a=0, 故选C。

评注:遇到几个项的项数和相等时可以考虑这种应用技巧, 但要注意等式两边项的个数要相等。

例2.若{an}为等差数列, 且a1+a4+a7=45, a2+a5+a8=39, 则a3+a6+a9等于多少?

分析:同上, 可以求出a1和d, 再利用通项公式即可求出, 利用性质题目将会变得更为简洁 (如下) 。

解:因为{an}为等差数列, 且1+7=2×4,

∴a1+a4+a7=3a4=45, ∴a4=15

Qa2+a5+a8=39, 3a5=39, ∴a5=13

Qd=a5-a4=-2, ∴a6=a5+d=11

∴a3+a6+a9=3a6=3×11=33

例3.在等差数列{an}中, 已知a6+a9+a12+a15=34, 求前20项的和。

解:由

而a6+a15=a9+a12=a1+a20

∴a1+a20=17∴s20=10×17=170

例4.已知等差数列{an}前四项的和为21, 最后四项的和为67, 所有项的和为286, 求项数n。

解:依题意, 得

两式相加得 (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+an-2) + (a4+an-3) =88,

又 (a1+an) = (a2+an-1) = (a3+an-2) = (a4+an-3) , ∴a1+an=22

又, ∴n=26

例5.已知等差数列{an}中, a1+a4+a7=15, a2a4a6=45, 求此数列的通项公式。

解:Qa1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15∴a4=5

又Qa2a4a6=45∴a2a6=9

即 (a4-2d) (a4+2d) =9, 5 (-2d) (5+2d) =9, 解得d=±2

若d=, 2an=a4+ (n-) 4d=2n-3

若d=-, 2an=a4+ (n-4) d=13-2n

篇4：等差数列及等比数列的性质运用

【关键词】等差数列等比数列性质运用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0110-02

等差数列与等比数列是当前中学数学教学中的主要课程内容之一，对学生数学逻辑思维的培养与学生数学综合学习能力的提升能够产生重要的影响。在课堂教学活动中，教师可以通过多样化的课堂教学方式为学生进行等差数列与等比数列的知识引导，提升学生各项数学知识的掌握能力，保证课堂教学的质量。文章将基于等差数列及等比数列的性质进行分析，提出一些相关教学建议，希望能够对各项知识与技能的指导带来一定的借鉴意义。

一、等差数列的性质与运用分析

如果从一个数列的第二项开始，每一项与其前面的差，等于一个常数，那么这个数列则可以称之为等差数列，这个常数则可以称之为等差数列的公差，可以采用d予以表示[1]。等差数列是当前高中数学教学中的重要内容之一，学生的等差数列通项公式掌握情况能够直接影响学生的知识学习质量，加强对等差数列的相关性质与运用策略研究十分必要。

等差数据教学活动中，教师需要明确课堂教学的思维，在详细讲解数列的定义基础上，通过数列与自然集的关系、通项公式的推理方式等等流程，为学生循序渐进的指导等差数列相关知识与内容（详见图1）。

以“等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值为（）”题为例，由于a1+3a8+a15=120，故而a8为24。所以2a9-a10=a10+a8-a10为24。

等差数列的通项公式为a（n）=a（1）+（n-1）×d，n为项数。基于通项公式可以看出，a（n）是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），如果（n，an）处于同一条直线上，那么S（n）是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。结合等差数列的通项公式以及等差数列的内涵可以得出，前n项公式还可以推出a（1）+a（n）=a（2）+a（n-1）=a（3）+a（n-2）=…=a（k）+a（n-k+1）等公式。在课堂教学活动中，教师可以采用小组讨论的方式，在为学生介绍完成等差数列的通项公式以及内涵的基础上，组织学生结合定义进行小组合作研究，通过等差数列的公式等深入研究能够根据通项公式或者是定义推导出其他的可能性。

在学生小组合作讨论的过程中，教师需要走到学生身边给与学生适当的思维引导，在小组合作的教学方式下发挥学生的主观能动性与创造性，发现更多的可能性[2]。适当减少教师在课堂教学中的话语量，能够增加学生的课堂话语量，真正展现学生在高中数学课堂教学中的主体地位。

二、等比数列的性质与运用分析

等比数列是从第二项开始，每一项和它前一项的比与同一个常数相等，那么这个数列则可以称之为等比数列[3]。这个常数，也可以作为等比数列的公比，则可以采用q来表达，即为当q=1的时候，an是常数列。

等比数列通项公式中，如果变形为an=a1/q*q^n（n∈N*），在q大于0的时候，则可以将an作为自变量n的函数，那么（n，an）则可以看做曲线y=a1/q*q^x中一项孤独存在的点。

在教学实践研究中，等比数列的通项公式是：an=a1×q^（n-1）【（a1≠0，q≠0）】。结合求和公式：Sn=na1（q=1）能够得出等比数列中各项之间的关系。性质：数列{an}公差为a1等差数列的充分条件为an=，（n≥2）。

证明的过程中，可以首先证明必要性，这个时候的前n项公式和为Sn=a1，根据公差可以得出（n+1）Sn-1=（n-1）Sn，可以看出n大于等于2的时候，可以将带入上式综合分析得出Sn=a1，这是之前已经得出的前n项公式和，必要性能够得到论证。通过实践研究的方式能够明确等比数列公式的性质，根据数学归纳的原则，可以得出{an}是公式为a1的等差数列。

教师在指导学生学习完成等比数列的性质之后，可以通过适当问题的方式，为学生布置实践探究任务。教师可以结合等比数列的性质进行综合分析，提出一些相关案例：

比如等比数列{an}的首项a1=-1，前n项和为Sn，若S10/S5=31/32，则公比q为（）。在这道问题中，因为S10/S5=31/32，a1=-1.可以得出公比q≠1，故而S10-S5/S5=-32/1，根据等比数列前n项和公式的性质能够得出，S5，S10-S5，S15-S10成比数列，且公比为q5，故而得出q5=-32/1，q=-2/1。答案为-2/1。

以2012年北京高考数学题为例，已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（）

这一道习题考察的是学生的等比数列性质掌握情况，属于探究型习题，在课堂教学活动中，教师可以组织学生进行综合分析，为学生布置学习的任务。学生可以通过自主探究或者与其他学生进行讨论的方式解答问题。

在a1+a3=+a2q，同时在a2，q同在正时，a1+a3≥2a2成立，结合等比数列的性质，能够根据正负q的符号而明确答案。设等比数列公比为q，那么则可以结合公式求得结果，答案最后选择B。学生需要在明确掌握等比数列性质的基础上，深入分析各个选项的可行性，得出最后的答案。在任务输出的过程中，如果学生存在一定的疑虑，教师则可以结合学生的问题，给与适当的思维引导，比如教师可以通过“当且仅当a2，q同为正时，a1+a3≥2a2是否成立？”等话语，启发学生的思维，使学生能够明确逻辑思维的方式，通过等比数列的公比与等比数列的性质解答问题。

在高中数学课堂教学活动中，教师需要明确学生在课堂学习中的主体地位，结合学生的实际学习能力进行教学设计，关注学生综合知识的掌握情况。

三、结束语

等差数列与等比数列均为当前高中数学教学中的重要内容，在各类高考数学例题中普遍存在。通过等差数列的性质与运用分析与等比数列的性质与运用分析，能够结合高中学生的实际学习能力与性格特点进行教学设计，提升高中数学课堂教学的质量，为高中学生营造一个良好的学习与发展平台，提升学生的各项知识掌握能力，为学生数学知识的深入学习与全面发展奠定良好的基础。

参考文献：

篇5：等差、等比数列性质类比

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

篇6：等差数列性质作业

上海市桐柏高级中学李淑艳马莉

上海市普陀区教育学院刘达

一、案例背景

本课的教学内容是上海市高中课本《数学》（华东师范大学出版社）高中二年级第二学期《数列与数学归纳法》章节的数列性质探究课。

上海市《中小学数学课程标准（试行稿）》提出：普通中小学课程的基本观念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展和可持续发展。并指出：“关注学生学习的过程，通过创设学习情境，开发实践环节和拓宽学习渠道，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一”。在顾泠沅博士的“三个阶段、二次反思、行动跟进”的行动教育研究模式下。本课例从“背景研究”，“教学实践”和“评价反思”，都是在“以学定教”原则的基础上的。从教材体系来看，等比数列概念的学习就渗透类比的研究方法，鉴于学生的实际水平及乐于思考新问题的特点，我们设置了有一定层次的供类比的数列问题，同时也对学生学习过程可能出现的情况进行了预测。同时根据学生目前现状，以及教材内容收集、整理、提炼利用类比的思想方法，研究数列中问题等有关素材，在自我理解的层面上设计教学目标、教学思路及手段、教学过程，先进行第一次教学尝试，然后进行反思；再请专家、教研员、教研组长、全体组员在听取本人的设计初衷及反思后进行全方位的再设计与指导，而后开设公开课进行教研，在系统评价的基础上，再进行第二次实践；第三次看目标的达成度与教师理念的转变、教学经验与教训的总结。我们就是按照这种“行动教育”模式开展课堂教学研究的。

二、目标分析

本课教学目标的确定围绕着“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂教学模式。探索如何运用研究性学习的学习模式在《等差数列和等比数列的性质探究》教学中融合类比的本课希望通过“类比——发现——自悟”的教学模式，引导学生体会类比在数学教学中的三个维度：“一维——知识结构上的类比；二维——证明方法上的类比；三维——学生自主的理性思想方法的类比。”

三、教学流程

首先通过科学事实——鲁班造锯的典故引入类比思想，然后提出第一维问题（以回顾的通过这一回顾，学生能从“第一维”层面上开展类比学习，体会等差数列和等比数列在概念形式上的相似之处。

在基本认识了类比探究方法之后，教师通过问题提升本节探究课活动性和探究性，设置了若干性质探究的问题供学生思考。

问题1：在等差数列an中，若项数数列kn是等差数列(knN)，则akn仍是等差数

列。

类比：若an是等比数列，当kn(knN)是________数列时，akn是________数列。

问题一是在学生已掌握“数列an是等差数列，对an中下角标成等差数列的项也成等差数列”这一性质后，将“文字语言”转化成“符号语言”，让学生来类比等比数列中相应的性质，并加以证明。学生一方面从形式上加以类比，另一方面，从证明方法上也进行类比证明。这样的问题，在学生理解性质后，初步体验了发现问题并解决问题的“类比”方法。

问题一结束后，启发引导学生如何类比并得到正确结论？经历运用类比思想方法研究数列问题的过程。

问题2：有一位同学发现：若an为等差数列，则an1an也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若an为等比数列，则an1an、an1an也为等比数列。你认为呢？

问题二是一道开放性问题，有近85%的学生最初得到了an1an、an1an也为等比数列，并有部分同学给予了“证明”。学生初步感觉到“和”与“积”的类比，“差”与“商”的类比。此时，教师再抛出一个问题：“积”为等比数列，那么“和”呢？在你证明完“积”为等比数列后能说明“和”不是等比吗？对于这一问题，学生根据前面两个问题的解决已经隐约体验到类比不但是形式上的模仿，其证明方法、考虑角度也可进行类比，说明这种思考问题的方法已不自觉地纳入他们的思维体系之中，下面是一段课堂实录：

师：对刚才问题，同学可以得到什么结论？

生1：我判断并证明了等比数列的“和”仍然是等比数列，且公比什q。

（师环视四周，似乎每个人都投以赞同的目光，并且频繁点头表示同意）。

生2：我有点不同意（全班只有他一人有不同意见），我觉得，对数列-1，1，-1，1，„这个数列来说，其和不是等比数列。（此时全班恍然，都认为是正确的）

师：我们来看一下生1的证明过程（投影仪）： an1ana(q1)n（常数）q，anan1an1(q1)

an1an是等比数列。你们看证明过程严密吗？

生3：当q=－1时，他的第二步不成立。（此时同学们又都给予肯定）。

师：答得好。本来我们不知道这一反例，但在证明过程中发现了问题的存在，由此找到了反例，说明同学们在发现问题时，能够进行大胆猜想、小心论证的严密的科学态度。

师：学到这里，你有什么样的感受呢？

生4：在等差数列和等比数列的类比中，我发现除了形式上存在着类比之外，正确的要加以证明，错误的可以举出反例。

生5：我感到就算是类比的结论在形式上未必一致，但证明方法有相似之处。

这番交流的过程中，学生的思维几经“冲浪”辗转，他们的好奇心和探索热情已被唤起，严谨的数学发现历程正在探索中内化着。

问题3：一位同学发现：若Sn是等差数列an的前n项和，则Sk,S2kSk,S3kS2k也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

问题4：我们知道对于等差数列an，a1a2a3anna1n(n1)d成立。通过

2类比，尝试发现等比数列中的相似结论并给予证明.问题三的设计和问题四是结合在一起的，设计问题三的时候考虑到学生有可能只能通过证明找到反例从而得出Sk,S2kSk,S3kS2k不成等比数列的结论，而对类比的结论有困难，甚至会有同学得出Sk,S2kS3k成等比数列的结论。对于问题四，可以将问题三沟通起,SkS2k

来探索。经过讨论、形式上类比、对结论进行论证。我们可以在学生最终明确结论后再回到问题三，让同学们进一步思考并指出“Sk,S2kS3k成等比数列”的说法虽然不对，但在“类,SkS2k

比——发现”的探究过程中也有不少新的收获。继而提问：如何改动使得结论成立？这个过程，将“类比——发现——自悟”模式的核心——学生在思维上经过反复的类比、验证，自我领悟并掌握类比的思想方法——完全体现在了教学过程中。

四、教学反思

第一次教学之后，在教研员、教研组长等老师的指导下，总结了以下一些不足：

1．在教学设计时，偏向于行形式上类比，尽管在形式上的类比达成度较高，但反映在数学实质上的内容偏少；

2．问题之间的联系不是很好，问题似乎有些孤立；

3．题目偏多；

为此，教师在教学设计的调整过程中关注了这两个方面：

1．为将“类比——发现——自悟”的模式更加清晰地在教学中体现，教师的教学设计由重形式向重思维方式转变；

2．精选例题，设计的数学问题关注一题多变、多题环环相扣的连锁关系，同时体现思维“严密性”，并且搭建脚手架，帮助学生努力实现“发现——自悟”的过程。

在公开课教学之后，听课老师以及学科组的专家在一起再次开展了评课探讨，结合教师的反思总结如下：

1．本堂课是等差数列与等比数列性质的类比，在学生经历了类比的学习后，能够体会：从形式上得到类比的特征，从本质上体验思维的过程，了解类比不仅是形式上的“相似”，而是从相似中得到结论，再由论证使之成为类比。这样的教学模式，有利于激发学生的思维，使学生在辩证中掌握类比的思想方法。

2．本堂课知识目标的达成度较好，学生能够基本掌握类比的特征，但学习过程中教师没有刻意地总结、引导，学生在探究过程中以体验为主，只是学生对于“类比——发现——自悟”的探究方式仍略显模糊，需要今后不断尝试采用类似地教学方法促进学生的研究性学习方式的形成。

3．教师在平时应时时具备二期课改的理念，重视学生的思维活动。比如，在问题二中，有学生提出反例：在数列-1，1，-1，1，-1，1，„中，an1an0，所以an1an不是等比数列。教师应加以表扬，并紧接着提问：你是怎样想到这个反例的，你能得出什么样的规律？如果这位学生不能回答清楚的，可以再回顾他们的证明过程，从中寻找问题所在。这样不但顺应了学生的思维结构，而且在老师的点拨下，学生能进一步更深层次地考虑问题，从而为问题三打下伏笔。

4．在学生有困难的地方可以预先做准备工作，这样可以使这堂课的达成度更高。比如，在问题三中，Sk,S2kSk,S3kS2k是非常抽象的，它牵涉到子数列的问题，而且在原设计中是“数列Sn,S2nSn,S3nS2n,,S(k1)nSkn是等差数列，请同学在等比数列中进行类比”，但由于证明过于抽象，学生不容易理解，因此改为上述形势，而且考虑如果在课前能举一些例子，渗透子数列的概念，学生理解起来也许更容易。

因此在下一堂的课中，作了如下改进：

1．在等差数列复习中，将问题2、3在等差数列中的情况进行证明，再事先将等差数列的证明打在幻灯片上，如果在课堂中学生在证明等比数列的过程中遇到困难的话，就可以把等差数列的证明显示给他们看，从而使他们体验到证明的方法也可以进行类比，更加凸显类比的本质特征。事实上，在本堂课中也达到了这样的目的，学生的掌握度也更好了。如：在证明问题3的时候，有的同学利用前n项和公式证明较为繁琐，而有的同学很快就得出结论，她说：“证明是类比等差数列的思路和步骤，结论是类比问题二得出的。”这就充分说明她已经掌握了类比的本质，表明经历几次设计问题并逐步解决、探索，学生正体验着数学思想和方法，领悟其价值，滋生应用意识。

2．因为问题2和问题3是同类型的问题，尤其是它们的证明以及在证明过程中发现反例的这一思路是相近的，所以为了提高课堂效率，这里就采取分组的方法，请两组同学解决问题二，另两组同学解决问题三，再进行讨论总结。实施下来，时间缩短了，而且有了比较，同学的积极性也提高了，大大地提高了课堂的效率。并且把原先在上课时来不及解决的推论解决了，使得学生的思维得到延伸，而且使学生对类比的本质特征有了理性上的认识，从而达到了第三维：学生自主的理性思想的类比。

通过“类比——发现——自悟”的初步实施，学生在自主的学习和探究过程中体验知识发生的过程，通过对产生的见解的辩论进行了思维方式的转变，使得学习方法得到了改善，为他们今后的学习带来了信心和严谨的思维方式，其效果应该说是显见的。教师方面，我们得到的感受是：教学理念得到了很大的提升，尤其对于“类比——发现——自悟”的研究性学习课堂教学模式的初步应用的效果启发我们在平时的教学中应多为学生创设学习氛围和问题情境，教学设计应多从学生的认知基础和原有的知识结构出发，帮助学生在学习过程中体验、感悟学习经验。另外，用先进理念和经验指导教学，能使自己不断加深对课改理念的理解，并逐渐内化为自身的教学风格，促进自身业务水平的提高。

参考资料：

[1] 廖哲勋：关于课堂教学案例开发的理性思考——《中学数学教学参考》2003.6

篇7：等差数列性质作业

一：考试要求

1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义

3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳

（一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等差数列．

2．等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 3．等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等比数列．

5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}仍为等差数列．

an1

6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数

bnbn

列．

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

三：例题诠释，举一反三

例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A

3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8

________

3A3

例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()

A．130B．170C．210D．260

变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,则该数列前mk

项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则

1的值为()

A．4B．2C．－2D．－

4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1

例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；

(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

变式1已知数列{an}中，a1

3

5，an

2

1an1

(n2,nN

)，数列{bn}满足bn



1an1

(nN

)

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由

变式2设等差数列an的前n项和为sn，已知a324,s110，求： ①数列an的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？

变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求证数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．

32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求证数列－1}是等比数列；

ann

(2)求数列{前n项的和

变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

变式3.在数列an中，a11,an12an2（1）设bn

2n1,证明bn是等差数列;（2）

求数列an的前n项和Sn。

当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；

（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则

a4a6

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．

2．若数列{an}成等差数列，且Smn,Snm(mn)，求Snm．

3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a11，求其项数和中间项.4．若数列{an}（nN*）是等差数列，则有数列bn

a1a2an

（nN*）也为

等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（nN*），则有

n

nN*）也是等比数列．

5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：

anbn

S2n1T2n1

SnTn



7n14n27，．

四：课后练习

1基础部分

1已知各项均为正数的等差数列an中，a1a1136，则a6的最小值为（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.3B.4C.5D.23.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a75,S721,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.7设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144,则n=__________.S2007

S2005200

52

aSa20088在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007

S2008_________，则

2提高部分

1、（2010惠州第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8a1130，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不对

2．（2010揭阳市一模理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1

12，则

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一检）在等差数列an中，首项a10,公差d0，若

aka1a2a3a7，则k()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则

a9a10a7

A.1

a3,2a2成等差数列，B.1

C.3

D3

8（2010福建理）3．设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a32，a2a3a416, 则公比q10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列an中，a11，公比

q2，若an前n项和Sn127，则n的值为．

11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S981，则a2a5a8．

12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an

2n32

*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A{x|x2an,nN}，4Tn12Sn13n，B{y|y4bn,nN}．若等差数列{cn}任一项cnAB,c1是AB中的最大数，且

篇8：等差等比数列的性质

性质1 an=am+ (n-m) d; $d = \frac{a_{n} - a_{m}}{n - m} .$

性质2 若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 若2m=p+q, 则2am=ap+aq.

性质3 若{an}, {bn}是等差数列, 公差分别为d1, d2, 则{pan}, {an+p}, {an+bn}也是等差数列, 公差分别为pd1, d1, d1+d2.

性质4 若{an}是等差数列, 则an, an+m, an+2m, an+3m, an+4m, …也是等差数列, 公差为md.

性质5 若{an}是等差数列, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n, …也是等差数列, 公差为n2d.

性质6 若{an}是等差数列, 则S2n-1= (2n-1) an;当项数为偶数2n时, S偶-S奇=nd;当项数为奇数2n-1时, S奇-S偶=an.

二、等比数列的性质

性质7 an=amqn-m.

性质8 若m+n=p+q, 则aman=apaq, 若2m=p+q, 则2am=apaq.

性质9 若{an}, {bn}是等比数列, 公比分别为q1, q2, 则 ${p a_{n}}, {\frac{1}{a_{n}}}, {a_{n} b_{n}}, {\frac{a_{n}}{b_{n}}} ‚ {| a_{n} |}$ 也是等比数列, 公比分别为 $p q_{1}, \frac{1}{q_{1}}, q_{1} + q_{2}, \frac{q_{1}}{q_{2}}, | q_{1} | .$

性质10 若{an}是等比数列, 则an, an+m, an+2m, an+3m, an+4m, …也是等比数列, 公比为qm.

性质11 若{an}是等比数列, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, S4n-S3n, …也是等比数列, 公比为qn.

性质12 若{an}是等比数列, 则Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm;当项数为偶数2n时, S偶=qS奇;当项数为奇数2n-1时, S奇=a1+qS偶.

三、例题

例1 (1) 设{an}为等差数列, 已知a5=2, a3=1, 求通项公式.

(2) 设{an}为等差数列, 已知a3=5, a17=11, 求S19.

(3) 已知等比数列{an}的前m项和Sm=10, 前2m的和S2m=30, 求S3m.

$\begin{array}{l} 解析 (1) a_{5} = a_{3} + 2 d, a_{5} = 2 ‚ a_{3} = 1, 2 d = 1 ‚ d = \frac{1}{2}, a_{n} = a_{5} + (n - 5) d = \frac{1}{2} (n - 1) . \\ (2) S_{19} = \frac{19 (a_{1} + a_{19})}{2} = 19 (a_{3} + a_{17}) 2 \\ = 19 (5 + 11) 2 = 19 \times 8 = 152 . \end{array}$

(3) Sm, S2m-Sm, S3m-S2m成等比数列, 10 (S3m-30) =400, S3m-30=40, S3m=70.

点评灵活运用等差等比数列的性质, 的确可以达到简捷运算, 化难为易的目的.

例2 (2009年广东省) 已知等比数列{an}满足an>0, n=1, 2, 3, …, a5a2n-5=22n (n≥3) , 则当n≥1时, log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于 ( ) .

A.n (2n-1) B. (n+1) 2C.n2D. (n-1) 2

解析 ∵a5a2n-5=22n (n≥3) ,

∴a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=…=22n=a $_{n}^{2}$ .

令S=log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1,

S=log2a2n-1+…+log2a5+log2a3+log2a1,

2S=log2[ (a1a2n-1) (a3a2n-3) (a5 (a2n-5) …·

log2 (a2n-3a3) (a2n-1a1) ]=log2 (22n) n,

∴2S=2nn, S=n2.

答:C.

点评难点是要找出条件与目标之间的联系, 运用等差等比数列的性质解题.

例3 已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数, 数列{yn}满足ynlogxna=2 (a>0, a≠1) , y3=18, y6=12.

(1) 求数列{yn}的前多少项和最大, 最大值是多少?

(2) 试判断是否存在自然数, 使当n>M时, xn>1恆成立?若存在, 求出相应的M值;若不存在, 请说明理由.

(3) 令an=logxnxn+1 (n>13, n∈N*) , 试判断数列{an}的增减性?

解析 (1) 由已知得, yn=2logaxn, 设等比数列{xn}的公比为q (q≠1) , 由 $y_{n + 1} - y_{n} = 2 (\log_{a} x_{n + 1} - \log_{a} x_{n}) = 2 \log_{a} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = 2 \log_{a} q$ , 得{yn}为等差数列, 公差为d.由y3=18, y6=12, 得d=-2, yn=y3+ (n-3) d=24-2n.设前k项的和最大, 则yn+1≤0且yn≥0, 11≤k≤12, y12=0, 所以前11项与前12项的和最大, 最大值是132.

(2) xn=a12-n, n∈N*, 若xn>1, 则a12-n>1.

当a>1, n<12时, xn>1不成立;

当0<a<1, n>12时, xn>1恒成立.

(3) 由 $\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = q$ , 得

$\begin{array}{l} x_{n + 1} = q x_{n}, x_{n + 2} = q^{2} x_{n} (n > 13 ‚ n \in Ν^{*}) . \\ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\log_{x_{n + 1}}^{x_{n + 2}}}{\log_{x_{n}} x_{n + 1}} = \frac{\log_{x_{n}} x_{n + 2}}{(\log_{x_{n}} x_{n + 1})^{2}} \\ = \frac{\log_{x_{n}} q^{2} x_{n}}{(\log_{x_{n}} q x_{n})^{2}} = \frac{1 + 2 \log_{x_{n}} q}{(1 + \log_{x_{n}} q)^{2}} < 1 ‚ a_{n + 1} < a_{n} . \end{array}$