运筹与优化课程论文

运筹与优化课程论文（精选8篇）

篇1：运筹与优化课程论文

运筹与优化

——我的认知

黄德志

（上海大学 文学院“运筹与优化”第三组 11123850）

摘要：运筹学是一门现代科学，作为一门用来解决实际问题的学科，发展至今天已经有诸多的分支。其中，网络规划是其重要的一支分支，确立目标，制定方案，建立模型，制定解法一般是处理网络规划问题的四部曲，模型、案例、解法是迈进网络规划知识殿堂的三个重要关口。下面，我将选取运筹学中的重要分支之一——网络规划为例来带领大家进入运筹学的丰富世界，并通过模型、案例和求解三方面展开分析网络规划包含的最短路、最小费用流和最大流等问题，并列举几种相关的求解方法加以分析。网络规划无论是在市场销售、生产计划、库存管理还是在运输问题、设备维修更新、工程的最佳化设计等方面都有广泛的应用，其在政治、经济、社会、民生等方面发挥的作用越来越大。

关键词：网络规划、模型、案例、求解

1引言

在展开分析网络规划包含的最短路、最小费用流和最大流等具体问题前，我们先得理解网络规划的一些基本概念和特征。

（1）网络规划含有七个最基本概念，它们分别是：

1）图：由点和边组成的集合。常记为：G=(V,E)；其中：V={v1,v2,„,vn}表示点的集合,E={e1,e2,„,em}表示边的集合。如下图2.1-1为无向图，图2.1-2为有向图。

图2.1—1 无向图 图2.1-2 有向图

2）网络:带有某种数量指标的图(即:赋权图)称为网络如下图2.1-3为无向网络，图2.1-4为有向网络。

图2.1-3 无向网络 图2.1-4 有向网络

3)链:无向图G=(V,E)中与边依次交替出现的序列{vi0,ei1,vi1,ei2,vi2,„,vik-1,eik,vik}, 且eit=(vit-1,vit),t=1,„,k，则称这个点边序列为连接vi0到vik的一条链，链长为k。

4）圈:链{vi0,ei1,vi1,ei2,vi2,„,vik-1,eik,vik}中当vi0=vik时, 该链称为圈。如下图2.1-7中{v1,e1,v2,e3,v3,e2,v1}为圈

图2.1-7 链图2.1-8 路

5）路:有向图中当链(圈)上的边方向相同时,称为路(回路)。如图2.1-8中{v1,e3,v4,e4,v2,e7,v5}为路；{v3,e5,v4,e6,v5,e8,v3}为回路。

6）连通图:图中任意两点间至少有一条链相连，称此图为连通图。如图2.1-

7、图2.1-8。7）网络模型:对所关心的问题确定研究对象以及这些对象之间某种性质的联系，并用网络图及其图解的形式表示出来，这就是对问题建立网络模型。

（2）网络基本特征：

1）三要素——点、边、权。

2）一般将研究“对象”作为“点”，“对象”之间关系作为“边”，“对象”之间关系程 度作为“权” 我的认知

2.1 认知一——网络规划模型

网络规划包括最短路、最小费用流和最大流等经典模型。下面，我们分别来认识这些模型。

1、最短路

最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距离最短的一条路。有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。我们以下面这个问题为例来说明: 某企业拟铺设一条从A地到F地的输油管道，可供选择路线及各点间的距离如下图2.3-1 ；试问：应如何选择路线使总距离最短？

图2.3-1 A地到F地可供选择路线

从上面的网状图中可以看出来，该问题的求解就是对最短路问题的求解，以获得A地到F地的最短总距离。

再来看下面的一个设备更新问题，这是一个由矩阵图呈现出来的最短路问题。某公司拟对一台设备制定5年期的设备更新计划使总的支付费用最少。相关信息如下表2.3-1 ：

表2.3-1 设备更新相关信息

下面这个问题也是最短路问题：要求设计一个能够计算图1 中任意两个院校间最短路距的查询器。要求系统应具备较好的纠错与自动计算等功能。

①

图1 院校距离图

该问题可简化为如图2 所示的有向图。节点①：表示知行学院； 节点②：表示政法学院； 节点③：表示师范大学； 节点④：表示交通大学；

⑤、⑹、⑦为计算需要所附加的节点； 节点⑧：表示城市学院； 节点⑨：表示农业大学。

图2 院校距离有向图

3、最小费用流

最小费用流问题应满足如下条件: 至少有一个节点是供应点； 至少有一个节点是需求 点； 所有剩下的点都是转运点； 网络中有足够的弧提供足够的容量，使得所有在供应点中产生的流都能够到达需求点;；通过每一条弧的流的成本与流量成正比。下面就以一个资金

② 运作管理中最小费用流问题为例：例：美国某资金运作公司现储备日元12 亿，卢比105 亿，林吉特280 万。由于日本的经济危机波及东亚其他国家金融市场，导致上述三种货币的贬值，公司决定将上述三种货币全部兑换成美元。下面分别给出货币实时汇率、交易成本及交易限制的三份表格。问：如何交易可使交易后美元数额最大？

再来看下面这个问题：

一物流公司有大宗的业务是向安徽淮南矿业集团的各个矿运送井下物资和原材料(主要 是井下支护用的锚杆和锚固剂)。淮南市里有三家合成材料厂(国营原隶属淮南矿业集团的一家, 另外两家比较小, 是跳槽私人单干的)生产同一种锚固剂, 日产量分别为800 t、220 t、380;t 有六个矿(谢

一、张集、潘

一、潘

二、潘

三、顾桥)是公司的长期客户。他们的日需求量分别为200 t、350 t、100 t、150 t、200 t、400 t。把这三家企业设为A1、A2、A3 , 把六个矿设为B

1、B

2、B3、B4、B5、B 6。每个工厂到各矿的单位运费(元/ t)如表1所示。

表1 工厂到各矿的每吨单位运费

我们现在来对这个问题展开分析，这个问题的特点如下: 目标明确。作为物流企业, 经营总目标是明确的, 即寻求某个整体目标最优——运费最 低;多种方案。可以从多种供选择的运输方案中选取最佳方案;资源有限。运输决策必须受到限制, 如锚固剂的调运既要满足各个矿的井下生产需要量, 又不能超过各合成材料厂所能提供的锚固剂的生产量。

线性关系。约束条件及目标函数均保持线性关系。

正是因为具有以上特点, 公司的锚固剂运输问题, 可以归为线性规划问题。从数学模型上概括起来, 可以认为, 是求一组非负的变量即运费, X

1、X

2、X

3、X

4、X

5、∀、X 18 , 在一组线性等式或线性不等式的约束条件下, 使得目标总运费最小。解决这样一个线性规划问题的数学模型有以下共同特征: 存在一组变量X

1、X

2、X

3、∀、X 18 , 成为决策变量, 表示某一运输决策。这些变 量的取值是非负的;存在两个约束条件, 3 个工厂的实际生产能力和6个矿的实际需要量。可以用两组线性 不等式来描述;

③ 存在一个线性目标函数，实际总运费最小。

4、最大流

网络最大流问题是网络问题中的一类经典问题，对于这类问题，可以根据题意建立线性规划模型，运用运筹学软件求解，也可以用网络图论法求解。我们通过下列例子来认识最大④ 流模型:例题:某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点。这个网络的一部分如图1 所示，由于管道的直径的变化，它的各段管道（Vi,Vj）的流量（容量）Cij 也是不一样的，这在图中已标出。Cij 的单位为万加仑小时。如果使用这个网络系统从采地V1 向销地V7 运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？

图1 管道网络

解这类题目的根本方法是线性规划法，即根据已知条件列出目标函数与约束方程求解。根据题意可知：

设弧（Vi,Vj）上的流量为fij,网络上的总的流量为F，则有 Max F=f12+f14;约束条件：f12=f23+f25, f14=f43+f46+f47, f23+f43=f35+f36, f25+f35=f57, f36+f46=f67, f57+f67+f47=f12+f14, fij<=cij，fij>=0(i=1,2,⋯,6；j=2,⋯7).由此可得，f12=5,f14=5,f23=25,f25=3,f43=2,f46=1,f47=2,f35=2,f36=2,f57=5,f67=3.最优值（最大流）为10。由图可知，此系统的最大流量值为10。此时，V25=3，V35=2，V36=2，V46=1，V47=2，与线性规划方法所的解相同。

此例题中，各节点的级别可按方便情况划分，尽量使水流从低级流向高级。但是不排除另外一种情况的存在，即出现级间“逆流”，例如我们把V 4、V 3 级位颠倒，就出现水流从第三级流到第二级的情况，我们来推导更一般的方法，如图3。由于我们求的是最大流问题，所以不用考虑逆流情况，可视其为0，所得结果与前面所解一致。综上，我们可以得到这种解法的一般步骤：、按照流量从低级流向高级的原则将不同节点划分为不同等级，不宜划分者，可以按标号由小到大的顺序排列成由低到高。、按原题意标画出各个支路及流量，逆流可忽略。

3、每两个相邻级之间画一道竖线，将与竖线交叉的支路上所有正流量相加，标 记于竖线下方。比较各竖线下方标值，则其中最小值即为该网络最大流量。

图3 2.2 认知二——网络规划案例

1、最短路案例

例1：给定一个运输网络（如图1所示），两点之间连线上的数字表示两点间的距离，求从A到E 的运输线路，使总距离最短。

图1 点与点距离图

例2：电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，如何架设使其光缆线路最短？

⑤（甲、乙两地间的交通图如图2所示）

图2 甲乙两地间交通图

3、最小费用流

南方陶瓷公司销售陶瓷用品。有五个陶瓷供应地: A 1,A 2,A 3,A 4,A 5。拟建立三个销售点: B 1,B 2,B 3。各供应地的陶瓷日可供量及单位商品供应价(即单位进价成本)如表1。各销售点的陶瓷日最高需求量及销售单位商品三项费用(经营费用、管理费用、财务费用)如表2。有关交通道路网如图2, 其弧旁数字为(bij ,Cij), 即(单位商品运输途中经营费用, 路段流通能力)。问:

1、公司应如何组织采购、运输、销售, 在满足供应地可供量, 道路流通能力及销售点需求量的前提下,使公司的购运销总费用最低?

2、若销售点B 2, 因市场情况变化, 引起该处单位商品销售三项费用从110 提高到115。公司的购运销方案有否变动? 如何变动? 表1 和 表2

⑥

图2 有关交通道路网

4、最大流

图1为某交通管理部门所管制的路网，s为所管制的路网的起点，t为所管制的路网的终点，一般情形下，交通管理部门会按最大流原则分配流量。然而在现实情况下，交通管理部门事前无法知道哪一条路段会由于交通事故（或其他突发事件）而突然堵塞（或中断），而一旦出现堵塞，车辆就需要绕路。假如在某一时间段内只发生一次突然堵塞，那么该如何

⑦ 确定关键路段，加强管制，以使道路突然中断时最大可能减少路网效率损失？

图1 路网图

2.3 认知三——网络规划求解

1、最短路问题求解（1）穷举法：

1）适用于路不多的简单问题；

2）求出每条路长，比较各条路长求一路长最短的路。例2.3-3:求如下网络图2.3-2中点1到点6最短路。

图 2.3-2 网络图

解题步骤如下图2.3-3：

图 2.3-3 解题步骤图

序号 路 路长 最短路 1 1-2-4-6 16 2 1-2-4-5-6 23 3 1-3-5-6 17 4 1-3-2-4-5-6 22 5 1-3-2-4-6 15 1-3-2-4-6

（2）标号法：

例2.3-4：以例2.3-1为例，解题步骤如下图2.3-4

图 2.3-4 解题步骤 根据解题步骤图可知最短路为：AB1C2D2E2F；路长为：17

3、最小费用流问题求解

对于最小费用流的求解，我们以案例中的南方陶瓷公司的这个问题的第一问来说明：

⑧ 求解步骤：(一)设S 点为总源, T 点为总汇, 根据所给资料建立相应的网络如图3。

图3(二)从零流f始寻求最大流f可先后取增广链

L1=(S ,A 1,B 1, T)L2=(S ,A 2, C1,B 1, T)L3=(S ,A 2,B 2, T)L4=(S ,A 3,B 2, T)

L5=(S ,A 3, C3, C2,B 1, T)L6=(S ,A 4, C3, C2,B 1, T)L7=(S ,A 5,B 3, T)L8=(S ,A 5, C2,B 1, T)

分别对应得行流f 1, f 2, ⋯, f 8, 网络流流量不断增加: V(f 0)= 0, V(f 1)= 4, V(f 2)= 7, V(f 3)= 9, V(f 4)= 12, V(f 5)= 15, V(f 6)= 16, V(f 7)= 20, V(f 8)= 21, 对于可行流f 8 已不存在从S 到T 的增广链。因此, 已得网络最大流, 其流量分配图如图4 所示。弧旁数字为(bij ,f ij , C ij)。03

图4(三)从最大流f，求最小费用最大流f1、在图4 中对於圈L 1=(C1, B 1, T ,B 2, C1)上的所有弧按顺、逆时方向剖分为两弧组: L e = {(C1,B 1,(B 1, T)} L s = {(C1,B 2),(B 2, T)} 其中L e 的费用大(W e= 19+ 110= 129), L s 的费用小(W s= 16+ 110= 126)且弧组L e 均为非零弧, 弧组L s均为非饱和弧, 从而圈L 1 为可降圈。

3333取H= m in {fC1,B 1 , fB 1, T , CC1,B 2 – fC1,B 2 , CB 2, T – fB 2, T } = m in {3, 12, 65} = 3 313313令fC1,B 1 = fC1,B 1-θ= 0 fC1,T = fC1,T-θ= 9 313313 fC1,B 2 = fC1,B 2 +θ= 3

fC1,T = fC1,T-θ= 9

33于是得到总费用较f少(129-126)×3= 9 的最大流f1 , 其对应的流量分配图如图5 所示。33 3

图5 南方陶瓷公司按最佳方案组织采购、运输、销售陶瓷, 总费用可达最低。其值为:151 × 4 + 188 × 2 + 167 × 3 + 152 × 3 + 222 × 3 + 226 × 1 + 204 × 1 + 156 × 4 = 3657

4、最大流问题求解

计算网络最大流所采用的算法分为3种: Ford2Fulkerson标号法、辅助图最短路算法和割集矩阵算法。前两种是传统算法，Ford2Fulkerson算法通过节点标号法寻找增广路,确定增加的流量。此算法计算过程繁琐,不适合大规模编程。辅助图最短路算法利用最短路与最小割集具有对偶性的特性,通过计算最短路得到最小割,但是求解最短路的过程较复杂。割集矩阵算法不仅能快速求解复杂网络最大流,而且能方便地找出网络的关键路段,在运输

⑨网络分析方面比前两种算法更实用。对于此三种算法，第一种Ford2Fulkerson标号法是最为常见的对最大流问题的求解方法，具体求解案例这里就不做详细展示了。结论

运筹与优化是紧密而又不可分的，运筹学的世界是宏大而丰富的，网络规划只是其分支之一。从现在到未来，运筹学都有着广阔的应用领域，它已渗透到诸如服务、经济、库存、搜索、人口、对抗、控制、时间表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性等各个方面。网络规划虽然只有数量可数的几个模型，但其涵括的问题已经涉及到社会生产发展和人类生活的方方面面，其案例在生活中也是可以做到信手拈来，所以重要的是要掌握好对于其所牵涉的问题的解决，以更好的服务于实际情况。

以上就是我作为一名文科生对于运筹与优化的一些认知，我虽然是个门外汉，但运筹学就好比一块大磁铁，吸引着包括我在内的其他学科的学子，其分支之一的网络规划已经如同浩瀚的逻辑海洋，它的重要性和实际作用是不言而喻的。

参考文献：

[1]朱小军、崔剑波.《最短路算法及其应用》[Z].甘肃兰州：兰州城市学院，2008 [2]卢小青、田如玉《资金运作中最小费用流问题的规划求解》[J].《商场现代化》，2008，8（总第537期）：171-172 [3]李艳《利用运筹学模型在物流企业中解决实际问题》[J].《淮南职业技术学院学报》，2008,8(1)：95-98 [4]李昕伟《关于求网络最大流问题的另一种图解法》[J].《中国科技信息》，2008,1(3)：97-98 [5]段冰滢《最短路问题的解法探讨》[J].《科协论坛》，2010,11(1)：74-75 [6] 林景荣《最小费用流在商品购运销中的应用》[J].《系统工程理论与实践》，1994,14(8)：78-79 [7]石超峰、徐寅峰《交通网络最大流关键边》[J].《系统工程》，2009,27(9)：57-58 [8]林景荣《最小费用流在商品购运销中的应用》[J].《系统工程理论与实践》，1994,14(8)：79-81 [9]向红艳、张邻、杨波《基于最大流的路网结构优化》[J].《西南交通大学学报》，2009,44(2)：286-287

《运筹与优化》课程结业论文

11123850 黄德志

文学院

指导老师：王冰

篇2：运筹与优化课程论文

旅游线路设计与优化中的运筹学问题

旅游线路设计问题是旅游规划研究中一个重要的问题,本文把运筹学的方法引入旅游研究,探讨旅游线路的优化设计问题.基于定量分析与定性分析相结合的`认识,本文重点是展示运筹学方法、图论方法的应用潜力,而没有着力于具体的技术细节.

作 者：吴凯 作者单位：东北财经大学旅游与酒店管理学院,辽宁,大连,116025刊 名：旅游科学 CSSCI英文刊名：TOURISM SCIENCE年，卷(期)：18(1)分类号：F590.1关键词：旅游学研究 旅游线路 运筹学方法

篇3：运筹与优化课程论文

关键词：运筹与优化,模块,案例教学

0引言

运筹学是一门将数学建模方法与工程思想和管理思想相结合, 通过建模、检验和求解数学模型等定量分析方法研究和解决管理、经济和工程技术中的实际问题, 从而为决策者提供科学决策方法和量化工具一门学科。该课程属性决定了运筹学教学活动既要重视运筹学的基本理论和方法, 提高学生运用运筹学方法构建优化决策模型的能力, 又要培养学生解决具体优化问题的实践能力, 以更加新颖、有效的教学手段实现教学目标[1]。在运筹学实际教学过程中, 很多老师还是重理论轻实践, 导致很多学生在学了运筹学之后, 只是觉得运筹学理论高深、具体算法难以实现, 感觉不到运筹学的实际应用价值。基于此, 对运筹学课程进行模块化改革势在必行, 运筹与优化模块以运筹学课程模块化组织教学, 可以将某一模块内的理论与实践知识, 依据人的认知方式和信息加工的过程进行合理的整合, 使某一模块的知识包含认知与操作目标的实现。通过学习该模块, 学生不仅掌握该模块的基础知识、专业知识以及理论技能, 而且能够在实践环节中充分熟练操作技能, 将所掌握的理论知识科学合理地应用到实践当中, 并在实践的过程中巩固所学的知识, 加速认知目标的实现, 从而达成认知目标和操作目标的双赢。

案例教学这种亲验型、参与型的学习方法对运筹与优化模块的有着不可替代的重要作用, 这一点已为发达国家教育的成功经验所证实。运筹与优化是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课。目前国内运筹与优化教学中存在的普问题是偏重于数学理论推导及有关解题算法, 缺乏解决实际问题的能力培养。案例是现实问题的一个缩影, 案例的引入给学生提供了一个逼真的练兵场, 使他们边“干”边学习, 提高他们分析和解决实际问题的能力。

1案例教学释义

美国哈佛大学案例教学研究开发部主任、案例教学协会主学席John Boehrer教授对案例教学作了如下定义:案例教学是一种以学生为中心对现实问题和某一特定事实进行交互式的探索过程.在某些现实的约束条件下, 例如有限的时间、有限的信息和大量不确定性的条件下, 使学生运用智力和情感, 锻练他们面对复杂问题做出关键性决策的能力。在案例分析中, 学生必须从案例事件的主角地位来观察问题, 这就需要对所研究问题先进行分析然后才能决定怎样去解决问题, 对学生们所致力要解决的问题实际上并没有唯一正确的答案.在学生通过讨论来寻求答案从而努力做出决策的过程中, 他们需要对实际数据进行分类整理, 运用一定的分析工具和分析方法进行分析, 并根据他们的实际经验, 对所涉及的问题进行综合研究, 这样才能得出结论, 同时还可能发现新的问题.在案例教学过程中, 学生除了可以学到牢固的知识外, 还能够锻练和提高他们分析问题的能力、合作共事的能力和沟通交流的能力。[2]

1.1案例教学的特点

综合众多学者的意见, 我们认为, 所谓案例就是为了一定的教学目的, 围绕选定的一个或几个问题, 以事实为素材而编写成的对某一实际情境的客观描述。一般说来, 案例具有以下几大特点:

1) 真实性, 案例教学中所有涉及的问题都是实际中真实问题, 所以案例教学是一种模拟实践的教学活动, 是培养学生应用能力和实践能力的一种有效方法;

2) 典型性, 案例是由一个或几个问题组成的, 内容完整, 情节具体详细, 是具有一定代表性的典型事例, 代表着某一类事物或现象的本质属性, 概括和辐射许多理论知识, 包括学生在实践中可能会遇到的问题, 从而使学生不仅掌握有关的原理和方法, 而且也为他们将这些理论和方法运用于实践奠定了一定的基础;

3) 目的性, 案例教学有明确的教学目的, 为特定的教学内容服务.因此在每个案例中, 都应明确提出这个案例是和哪些教学内容相联系, 为哪些教学内容服务, 因此, 每一案例都应能够引人深思, 启迪思路, 进而深化理解教学内容;

4) 主导性, 案例教学以学生为中心, 教师只起协调和引导作用, 它是教师与学生之间交互式的探索过程, 学生以主角身份来积极地观察、分析和解决案例中的问题。在提出解决问题的方案之前, 学生必须动用一定的方法和工具, 对所面临的问题进行细致地分析、研究甚至辩论, 提出若干可供选择的方案;在案例中解决问题的方案不是唯一的, 但存在一个比较优良的解决方案, 学生们应该根据限制条件在各种方案的优缺点比较中找出优良的方案。

2运筹与优化模块案例教学的必要性

运筹与优化模块中每一个分支都有特殊的数学模式结构以及解法, 比较灵活多变, 要想充分理解就比较难, 传统的填鸭式教学方式是以教师的“教”为主, 课堂上教师对算法的介绍和理论的指导不能使学生对它们进行充分的理解。大部分学生采用死记硬背的方法。然而, 这种不理解就导致在上机实践中就不能有效的运用, 学生面对问题时就比较盲目[3]。如果这样下去, 很多学生就会产生厌学心理, 积极性无法得到提高, 学术不精, 不仅影响教学质量, 而且学生毕业后无法适应工作要求, 难以找到满意的工作。这就要求在运筹与优化模块中进行案例式教学, 通过“掌握概念、介绍原理、淡化原理、注重方法、突出实用”的指导思想, 结合计算机和数学工具软件的应用, 通过运筹学的知识和方法来解决实际问题, 以学生为主体来提高学生对学习的兴趣, 调动他们的学习积极性。

案例式教学是比较适合运筹与优化模块算法多、模型多的教学方法, 案例式教学具有趣味性以及实用性, 可以把实际发生的问题延伸到课堂上, 加强了师生间、生生之间的交流, 通过探讨发现自己的错误, 并进行反思、改正, 提高了教学质量, 学生的自主学习意识得到提高。案例式教学具有目的性、代表性、实用性、时效性、趣味性等特点。目的明确, 理解起来比较容易, 学生容易对案例提起兴趣。它是理论与实践之间的桥梁。在课堂上, 教师可以在对一些重点知识进行讲解、指导之后让学生小组讨论, 以此来体现学生的主体地位, 增强创新意识。以学生为中心, 教师做出相应的点评, 也可以将整理、分析过的案例发给大家, 分成若干小组, 让学生进行讨论、评价, 展示建立的数学模型和求解方法、分析结果, 最后, 教师来进行统一的讲解、分析、评价。还可以给不同的组不同的案例, 让他们自己找相关案例, 利用计算机将所学知识运用于案例中得出求解的方法。这些方法让学生可以容易地理解并利用所学知识, 增强了学生的理解能力, 提高了课堂效率和学生综合利用所学知识解决问题的能力, 同时培养了学生的思维的广阔性、严密性、创新性, 培养了学生对学习的兴趣和求知欲, 完成了知识的扩展和延伸。

运筹与优化模块案例教学是指在运筹学教师的指导下, 学生对案例中待解决的问题进行思考、分析、研究和辩论, 选择若干运筹学方法进行实际计算和分析, 并对计算过程和计算结果进行讨论、分析、比较和评价, 从而选择一个比较优良的解决方案的过程。运筹与优化模块案例教学与一般的课堂讨论是不同的。首先, 课堂讨论的主角是教师, 由教师来主持, 学生处于被动和依赖地位, 而案例教学以学生为主角, 由学生自己进行讨论、分析和研究, 选择最优的解决问题的办法, 老师只起引导作用。其次, 课堂讨论是教师讲授内容的理解和认识, 而运筹与优化模块案例教学则是以现实中的实际问题和实际数据为依据, 运用所学的运筹学理论和方法解决现实的问题, 因此运筹与优化模块案例教学是一种模拟运筹实践的过程。

3典型案例分析

指派问题是整数规划问题中的一个非常重要的问题, 在实际生活中有着广泛的实际应用。教学团队在讲授指派问题时及匈牙利解法时, 先给出下面的案例让学生进行讨论。

一份中文说明书, 需译成英、日、德、韩四种文字, 记作A, B, C, D四项工作, 现有甲、乙、丙、丁四人, 他们每个人都可以将该说明书翻译成四种文字, 四人将中文说明书译成各个语种的说明书需要的时间 (单位:小时) 如下表所示:

问应如何分配工作可使总的花费时间为最少?

教学安排:这个问题在实际生活中是很常见的, 在运筹与优化模块中这样类似的问题都被称为指派问题。现在给出这样的前提假设:每项工作只能由一个人来完成, 每个人也只能完成一项工作, 利用我们已经学习过的知识如何解决此问题?请学生分组讨论并给出结果。

下面给出其中一个小组的解法:

该组同学将该问题看成是产销量相等的运输问题借助Lingo软件[4]求解得最优解为:

x14=1, x22=1, x31=1, x42=1, minz=18。

即安排甲将说明书翻译成韩语, 乙将说明书翻译成日语, 丙将说明书翻译成英语, 丁将说明书翻译成德语, 此时总的花费时间最少。

提问:如果不是借助Lingo软件求解, 而是使用表上表业法手算的话计算量是否很大?考虑到指派问题变量取值的特殊性, 此时给学生讲解指派问题的匈牙利解法, 利用匈牙利解法再对案例进行求解, 请学生比较两种算法的计算量。至此利用案例既回顾了以前学过的知识, 又讲解了新知识, 并通过比较来说明对于指派问题, 有一套特殊的求解方法, 简便而有效。利用一个简单的案例, 来贯穿这一章的内容, 使学生通过对比从而对知识的掌握更牢固, 解决问题时能通过对比来寻求更加简便的方法。

4结语

一方面, 在运筹与优化模块每一章的每一个具体问题的讲解过程中, 通过案例引出问题, 然后通过案例来讲解问题, 再通过案例来解决问题, 学习完一章后通过一个具体案例的讲解来复习这一章的知识, 使案例教学贯串于教学的过程。学生学习起来不再感到枯燥, 相反感到很有意思, 也很实用。通过案例教学将知识与运用有机的结合起来, 教学效果非常好。

另一方面, 案例教学相对传统教学要求教师具备更高一层的素质。教师的素质是决定案例教学成败的关键.在运筹学案例教学中, 教师不仅要熟悉教材中的理论和方法, 对案例背景、案例中问题的解决思路和方法也要熟练地把握。教师事先要对各种方法亲手计算和分析, 对各种方法及计算结果的优缺点有较彻的评价, 这样在组织案例教学过程中, 在案例的采集、编写、案例讨论的组织、案例讨论后的总结等各个环节, 教师才能高瞻远瞩、胜任自如, 把案例教学引向深入。

参考文献

[1]胡发胜, 刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教学, 2006 (7) :9-10.

[2]John Boehrer.Case Teaching in Higher Education[EB/OL].Inter net网上信息.http://w ww.emc.maricopa.edu/Home page.1999-03-23.

[3]韩中庚.数学建模方法及应用[M].北京:高等教育出版社, 2005.

篇4：运筹与优化课程论文

关键词： 交通运输专业 交通运筹与优化 考核方法

1.引言

随着我国高校大学生教学改革和考试改革的逐步实施，学校对各专业的课程体系及教学大纲都进行了大幅度调整。《运筹学》作为一门应用学科，主要采用系统优化的核心思想，对社会各种系统进行整体优化，力求寻找最优解，因此这门学科被广泛应用于军事、工业、商业、服务业、民政事业等各领域的最优化及统筹决策问题。本校的交通运输专业根据交通运输专业服务性的特点，将《运筹学》课程在2015年的教学大纲中改成了《交通运筹与优化》，这将运筹学与交通运输的专业联系得更紧密，更贴近交通运输行业的教学和实际需求；该课程改革给老师提出了新的要求，在今后教学方法和课程考核方面都需要随之做适当调整，本文将针对这两个方面进行探讨。

2.教学方法方面

《交通运筹与优化》是一门学科基础核心课，总共56学时（其中课程实验8学时）。由此可以看出该课程是一门实践性比较强的课程，这就要求根据专业特点设计合适的教学方法，根据以往经验从课堂教学内容和实验相结合的教学手段上着手。

2.1优化教学内容

根据专业培养目标，该课程的重点是线性规划、运输问题、网络优化部分是重点内容，也是基础内容。

一是线性规划部分：要对单纯形法和对偶问题进行重点分析，这是线性规划部分的难点和重点。对偶理论涉及的“影子价格”，属于经济运筹学的范畴，因此进行课堂教学时要结合经济学理论，使学生对对偶理论有直观的理解和认识。

二是运输问题部分：运输问题实际上是一类特殊的线性规划，很多学生的线性代数基础知识不扎实，在理解单纯形法时遇到很大困难。授课时需要对单纯形法的思想和步骤在学时上加以倾斜。

三是网络优化部分：这部分主要是图论知识，针对交通网络的特点，结合路网优化的目的主要讲解网络最短路、最大流和最小费用最大流问题。

在各部分教学中都要适当引入交通运输相关的例题和案例进行分析，做到让学生不仅知道怎么“做题”，还让学生用这个建模和计算方法解决交通运输领域的相关问题。同时开辟第二课堂，将实际案例引入课堂中，让学生自主发现问题、解决问题，而不是一味做老师列出的“应用题”。

2.2开设实验教学课堂

目前，我院引入了一套运筹学教学软件，为今后开设该课程的实验教学提供了很好的平台。实验教学学时设定为8学时，在这部分学习时间内要求学生加强对基本理论、算法的理解和应用；训练学生的数学建模能力和创新能力。在教学中，加强对软件运行结果的分析和讨论，使学生加深对运筹学算法的理解。并将课堂上学到的方法学以致用，应用于生活实践中，加深学生对课堂学习的理解。

3.课程考核方面

《交通运筹于优化》是一门理论性和实用性都很强的课程，不仅要求学生对基础知识加以消化吸收，还要求学生加以利用和创新，因此单纯的理论考试会导致学生出现“高分低能”的现象。在该课程考核方面，结合专业特点要求，我们建立了多元化的考核体系。

一是建立试题库：试题主要分为两类，一类是基础理论知识，主要考核学生对基础知识的掌握情况，这部分考题要求学生在规定时间内完成；另一类是案例分析，题型可以灵活设置，要求学生在一定课外时间内完成，可以分小组完成，每个小组的题目不一样，这样既能考核学生的合作能力，又能考验学生的学习情况。

二是实验考核：在规定时间内，要求学生在计算机上利用相关运筹学软件解决规定的题目，包括建模、求解及验算等，根据完成的实验报告综合评定。

三是教师评价：根据学生平时课堂上提问、回答、课堂练习的情况，考虑老师的评价。

四是其他方面：考虑学生的自评、考勤、论文等。

4.结语

本文根据交通运输专业学科基础核心课程《交通运筹与优化》的课程内容和特点，通过分析教学过程中可能遇到的问题，提出了相应的教学方法，从教学内容和实验教学方面分別进行了讨论；分析了当代大学生教育考核体制下的常规理论考试的考核方法对学生学习效果的影响，并提出了几种可供参考的改革考核方式。

参考文献：

[1]胡发胜，刘桂真.国家精品课程运筹学的教学改革与实践[J].中国大学教育，2006（7）：9-10.

[2]石磊，蔡定教.关于运筹学课程教学改革的几点思考[J].广西教育学院学报，2010（2）：108-110.

[3]胡运权.运筹学基础及运用（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4]张杰，郭丽杰.运筹学课程的改革与数学建模教育[J].高等数学研究，2007（1）：103-105.

篇5：运筹与优化课程论文

物流配送中心优化布局的运筹模型分析

利用DEA模型对配送中心布局方案进行评价,结合评价结果建立复合整数规划模型来对原方案进行重新调整,最后给出了算例.

作 者：徐兵 吉阿兵 XU Bing JI A-bing  作者单位：徐兵,XU Bing(南昌大学,管理科学与工程系,江西,南昌,330047;复旦大学,管理学院,上海,33)

吉阿兵,JI A-bing(复旦大学,管理学院,上海,200433)

刊 名：南昌大学学报（理科版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF NANCHANG UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 29(6) 分类号：N945.16 关键词：选址   模型   DEA   整数规划  

篇6：运筹学课程设计论文

关键词:运筹学；数学；应用

运筹学是近代应用数学的一个分支，主要是研究如何将生产、管理等事件中出现的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解决的学科。主要就是利用高等数学, 线形代数等数学知识来解决问题，使成本最小化，或者利润最大化。运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。大学中, 经济, 管理系的学生运筹学是必修课。

在中国战国时期。曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这就是田忌赛马。田忌赛马的故事说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案．就会取得最好的效果。可见，筹划安排是十分重要的。现在普遍认为．运筹学是近代应用数学的一个分支．主要是将生产、管理等事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼．然后利用数学方法进行解决。前者提供模型．后者提供理论和方法。

运筹学的思想在古代就已经产生了。敌我双方交战．要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上．做出最优的对付敌人的方法，这就是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。

但是作为一门数学学科．用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排，却是晚多了。也可以说，运筹学是在20世纪4O 年代才开始兴起的一门分支。二战后，运筹学主要转向经济活动的研究．研究活动中能用数字量化的有关运用、筹划与管理等方面的问题，通过建立模型的方法或数学定量方法．使问题在量化的基础上达到科学、合理的解决，并使活动系统中的人、才、财、物和信息得到最有效的利用．使系统的投入和产出实现最佳的配置。运筹学的研究内容非常广泛，根据其研究问题的特点，可分为两大类，确定型模型与概率型模型。其中确定型模型中主要包括：线性规划、非线性规划、整数规划、图与网络和动态规划等；概率型模型主要包括：对策论、排队论、存储论和决策论等。

运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动．有些已经深入到日常生活当中去了 运筹学可以根据问题的要求．通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果．最后提出综合性的合理安排，已达到最好的效果。运筹学与物流学作为一门正式的学科都始于二战期间，从一开始．两者就密切地联系在一起．相互渗透和交叉发展。与物流学联系最为紧密的理论有：系统论、运筹学、经济管理学，运筹学作为物流学科体系的理论基础之一，其作用是提供实现物流系统优化的技术与工具。是系统理论在物流中应用的具体方法。二战后．各国都转向快速恢复工业和发展经济，而运筹学此时正转向经济活动的研究，因此极大地引起了人们的注意．并由此进入了各行业和部门．获得了长足发展和广泛应用，形成了一套比较完整的理论．如规划论、存储论、决策论和排队论等。而战后的物流并没像运筹学那样引起人们及时的关注，直到上世纪60年代，随着科学技术的发展、管理科学的进步、生产方式和组织方式等的改变，物流才为管理界和企业界所重视。因此，相比运筹学，物流的发展滞后了一些。

不过．运筹学在物流领域中的应用却随着物流学科地不断成熟而日益广 泛。下面对其在物流领域中的运用和发展作了一些思考。

虽然运筹学的理论知识很成熟，并在物流领域中的很多方面都有实用性，可现行许多物流企业。特别是中、小型物流企业．并没有重视运筹学理论的实际应用，理论归理论，遇到实际问题时许多还是凭几个管理者的主观臆断，并没有运用相关的数学、运筹学知识加以科学的计算、论证、辅助决策。因此，对于当前许多企业、部门，应该加强对管理者、决策者的理论实践教育．使之意识到运筹学这门有用的决策工具。

例如某港口拖车公司，自己购买了约100部大型集装箱拖车．每天公司大约有450个不同的运输订单需要完成．而其运输订单又会包括：A ．进口货物运输，B ．出口货物运输：其拖车作业分为很多段：拖头去拉相应的车架。之后去码头拉重箱：将箱运至客户处，装箱；将重箱运输至目的地：资源是有限的，这些成为约束条件．次要的约束条件包括：码头的作业时间．船期．司机的工作时间．司机的营业额的平衡系数，等等：在未采用运筹学进行优化调度作业之前．其拖头的利用效率(每天实际作业时间与可利用作业时间的对比为37％ ．单车的营业额约为3．5万元／月：1而采用了优化调度系统之后． 其车头的利用效率提升了100％，单车的营业额可以上升至4．2万元／月：100台拖车规模的公司．采用优化调度系统之后．大概只需要5～6个月就可以收回IT 方面的投资。电脑自动调度．减少调度人员数名，并且各个司机的营业额差别都不是很大，司机的满意度也大大提高：在优化排班方面．国际上有一个非常权威的优化引擎产品，ILOG ．它可以说是运筹学的精髓。航空公司的飞机排班。也会利用到运筹学的理论：另外，机票的折扣价格确定，也可以用到运筹学；还有，货物的装载优化方案，采用运筹学理论之后，装载的效率一般都可以提高10％-15％。

现行的运筹学知识在物流领域中的应用主要集中在以上的几个方面．运筹学作为一门已经比较成熟的理论．应该让其在物流领域中的发挥更大的作用，进一步探索，尽量把物流领域中数字模糊化、量化不清的方面数字化、科学化．运用运筹学的知识准确化、优化。

运筹学作为一门用来解决实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一般有以下几个步骤：确定目标、制定方案、建立模型、制定解法。

虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学．但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型．并能应用解决较广泛的实际问题。

随着科学技术和生产的发展．运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越重要的作用。运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。比如：数学规划(又包含线性规划；非线性规划；整数规划；组合规划等)、图论、网络流、决策分析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、模拟等等。

篇7：运筹与优化课程论文

结构：5章 图论基本概念、通过最短路问题引出动态规划

6章 统筹问题为最优路问题的另一个分支

7章 支撑树，匹配，流和图的最优化问题

软件：Mathematica和LINDO 第5章

最短路问题与动态规划 §5.1 图及其基本概念 §5.1.1 图及其图形

定义5.1 图G是一个有序的三元组(V,E,G)，V=V(G)，E=E(G)是两不交的非空集合，G是关联函数，即它使得E中的每个元素e对应V中的无序对uv(u,vV)，记作G(e)uv.图论：是研究各种特定关系的一门学问。

E的元素叫边，V的元素叫顶点，关系：边e连接顶点uv，这样的图简记为GG(V,E)，甚至G 对于一个图，画出来叫G的一个图形。

画图原则：简洁、匀称、尽量用直线或简单的弧段表示边。§5.1.2 软件

§5.1.3 基本概念

关联、相邻顶点、环、重边 V,E的基数：V,E 简单图：无环无重边 真子图：HG,HG

支撑子图：(或生成子图)V(H)V(G)底图：简单的支撑子图（删去重边）

导出子图：G关于V的导出子图

顶点v的度（次）:G中与v关联的边的数目记作d(v)，一条边给两定点各贡献1度，环对它的顶点贡献2度。

定理5.1（图G的顶点度数与边的基数的关系）设图G有n=V个顶点和E条边，则有

d(v):1iVd(v)d(v)d(v)2E.i12n定理5.2 在任何图中，奇（度）顶点有偶数个（因为总度数是2E）路：边、顶点、边的有序组合 路的表示：边法或顶点法

即：vi1,vi2,vij1,vij.或ei1,ei2,eij1,eij.路是简单的：路中无相同的边和定点，即不重复边也不重复顶点。否则叫迹 回路：首项和末项重合的迹 圈：简单的回路。

连通图：任何两点间都有路相连。

无向图、有向边、有向图、混合图、赋权图（边含权）

§5.2 最短路问题

§5.2.1 组合最优化与最短路问题的定义

赋权有向图中路的长度：权的总和

最短路问题：在赋权有向图中，从指定的始点到终点中的诸路中，求最短路和它的值。

组合最优化：在给定有限集的所以具备某些特征的子集中，按某种目标找出一个最优的子集的一类数学规则。

实例：最短路问题 §5.2.2 最短路的基本性质

路P与路Q：相离的(除起、终点不再有重合顶点)、相重的（顶点边重合）

定理5.3 设路的长度等于路上诸边的权之和，最短路的任何一个子路是最短的。

路上任何两个顶点之间的子路统称为节。

篇8：运筹学课程教学分析与方法探析

1 运筹学课程特点

运筹学是一门应用非常广泛的学科, 在统计专业、管理专业以及信息与计算机科学等专业都开设这门课程。

运筹学具有以下几个特点。

1.1 从全局的观点看问题

运筹学从系统和全局的观点出发, 提出和形成问题, 对问题进行建模、求解, 并对解进行分析和评价, 求出最优决策方案供决策者参考。

1.2 定量化分析

通过建立与求解模型, 使问题在量化的基础上得到合理的决策。

1.3 多学科交叉

因为要解决的实际问题来自各行各业各个不同的领域, 因此建立模型与求解模型时, 不可避免地要涉及到各方面的科学知识和方法。

1.4 实践性强

作为一门实践性很强的学科, 运筹学广泛应用于管理科学、交通运输、物流存储、网络优化等各个领域。

1.5 与计算机密切相关

对于大多数实际问题, 用运筹学求解时都需要处理比较复杂的运算, 因此手算基本上不大现实, 通过计算机甚至大型处理器求解是当前的主要途径。在一定程度上, 没有计算机的发展, 运筹学只是一门理论科学, 而运筹学的实际需要也促使了计算机软硬件的不断提升。

考虑到运筹学的特点, 在教学过程中, 需要对课程的教学模式、内容、方法等方面进行分析和研究。

2 运筹学教学模式与内容分析

运筹学课程自从开设以来, 一直是相关专业的必修课。由于该课程融入了大量的数学知识和理论, 并且较为枯燥和繁琐, 学生在学习上有一定困难。大部分学生对所学数学知识理解和掌握不够, 而且系统学习知识能力相对较差, 因此在学习运筹学时比较吃力。现阶段运筹学课程的教学大多还在采用传统的讲授法, 并注重对理论的推导及对例题的讲解, 使学生在学习本课程后不能理解该学科在实际问题中的意义和作用, 偏离了“学以致用”的教学目的, 因此许多学生认为运筹学就是繁杂的数学类课程而缺乏兴趣。

兴趣是学生主动学习的内在动力, 也是创造发展的必要条件。学生只有对运筹学产生浓厚的兴趣, 学习才能有主动性和积极性。但学生的兴趣往往在于教师的引导。在教学过程中, 怎样才能避免枯燥的照本宣科, 激发学生的积极性, 关键在于教师在讲授过程中的技巧和方法。

2.1 与实际相结合

运筹学是一门实践性很强的学科, 研究过程包括:分析问题;确定目标;制定方案;建立模型;寻求解法;检验控制;方案实施。对于大多数学生而言, 应明确定位在运筹学课程在实际问题中的应用上, 而对运筹学课程的基本概念、基本原理只要了解就行。教学目的旨在通过对本课程的学习, 使学生能够运用运筹学的思想、原理、方法去分析和解决实际问题。

在教学过程中, 要全面掌握教学内容, 从知识结构的整体出发, 把握知识间的联系, 确定教学内容在整个知识体系中的地位与作用。同时密切关注该课程的最新理论与模型分析的最新算法, 将生活中的鲜明案例渗透到课程中进行讲解, 增强课程教学的针对性、实践性与有效性, 从而可提高学生的学习兴趣。

2.2 思路明确

运筹学在解决实际问题时往往都有自己的工作步骤。分析过程中要搞清楚问题的目标、可能的约束, 根据建立的模型求解, 进一步对解进行检验、控制和实施。例如对一个运输问题的分析如下。

某工厂经销一种产品, 它下设三个加工厂A1、A2及A3, 每天的产量分别是7t, 4t, 9t。该工厂把这些产品分别运往四个销售点B1、B2、B3及B4, 各销售点每天的销量分别是3t, 6t, 5t, 6t。从各加工厂到各销点的单位产品的运价如表1所示, 问在满足各销点需要的前提下, 该工厂应如何调运产品, 使总运费最少。

分析过程中, 首先确定问题的类型———运输问题, 选择合理的求解方法, 明确求解思路, 运筹学中这一点很重要。利用表上作业法求解, 第一步用Vogel法给出初始方案;第二步用闭回路法检验该初始方案是否达到最优, 若已达到最优则停止, 否则转入下一步;第三步用闭回路调整法改进该初始方案, 重复第二、三步, 直到找到最优解。

运筹学课程包括若干分支, 教学课时有限, 教授过程中不可能做到面面俱到, 教学内容不可能包括所有分支。不同的专业, 不同的层次应合理选择内容, 以满足不同学生群体的需求。从实际应用情况来看, 线性规划、整数规划、运输问题、目标规划、动态规划、图论与网络等分支应用较为广泛, 应重点讲授。对于不同专业的要求及实际情况, 可适当调整其他分支的内容。

3 教学手段的改进

基于运筹学的基本特点和教学现状, 从以下几个方面对教学手段加以改进。

3.1 适当运用多媒体

将其与传统教学方式相结合。传统的教学方式与多媒体方式并无矛盾, 在教学实践中应使两种方式取其长, 相辅相成。

3.2 合理应用案例

典型案例的内容若符合教学目的的要求, 有助于提高学生分析和解决问题的能力, 教师应根据教学目的的要求有针对性地选择案例, 以培养学生综合分析问题的能力。

3.3 鼓励和引导探索式学习

学生的积极性对于教学效果有着明显的影响, 因此, 教学过程中尽量调动学生的积极性和主动参与的可能, 将教学内容与实际问题紧密结合起来。教学过程中, 可以将教学案例事先布置给学生, 留有思考的时间和空间。另外, 案例教学可以分组或合办的形式进行组织, 也可以是由学生主讲式的讨论。比如在决策论的教学中, 我们以“田忌赛马”为例, 讨论田忌怎样才能取胜。针对于典型的实际案例, 引导学生分析、解决问题, 深入的挖掘思考、对其中规律性的内容进一步探索研究。

3.4 结合计算机软件分析求解

运筹学的核心是最优化理论, 而手工实现最优化既不现实也无实用价值。利用相应的最优化软件去解决运筹学的应用问题是运筹学发展方向。

3.5 多种考核方式的结合

采用闭卷考试、大作业、课程实际、实验报告、小论文等多种方式结合的形式, 全面考察学生对所学基本知识的掌握情况和应用能力, 可以激发学生的学习热情和创造精神。

4 结束语

以数学为理论基础, 运筹学具体于解决科学管理问题, 与实际问题密切结合。针对于运筹学的基本特点, 探讨了运筹学的教学模式与内容改进。课程教学过程中, 结合实际案例进行分析, 调动学生的积极性, 针对于实际情况灵活的教授、考核, 可以有效的促进运筹学课程教学效果的提高。

摘要：运筹学是一门实践性很强的理论课程。系统的分析了运筹学课程的特点及教学模式。为了进一步提高运筹学的教学效果, 从教学内容的选择和教学模式的改进方面提出了一些有效的改革方法和建议, 并给出了改善教学手段的一些具体思路。

关键词：运筹学,教学模式,教学手段

参考文献

[1]吴振奎, 等.运筹学[M].北京:中国人民大学出版社, 2005.

[2]甘应爱, 等.运筹学[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[3]王定江.运筹学教学与数学建模[J].大学数学, 2003, 19 (6) .