坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程(知识总结)（通用11篇）

篇1：坐标系与参数方程(知识总结)

坐标系与参数方程专题

坐标系与参数方程

【要点知识】

一、坐标系

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

xx(0)设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换:的作用

yy(0)下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，我们把称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系

（1）极坐标系的概念

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.（2）极坐标

设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为.我们把有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).（3）极径、极角的取值范围

一般地，极径0，极角R.坐标系与参数方程专题

3.极坐标与直角坐标之间的互化

如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(x,y)，极坐标为(,).我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：

（ⅰ）直角坐标化极坐标：xcos，ysin；（ⅱ）极坐标化直角坐标：2x2y2，tany（x0）.x

【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意灵活选用.4.几个简单曲线的极坐标方程

（1）圆的极坐标方程：圆心在C(a,0)（a0），半径为a的圆的极坐标方程为2acos；

（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是

的直线l的极坐标方程为4 4和5.45.柱坐标系与球坐标系（1）柱坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，它在Oxy平面上的)（0，02）表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P射影为点Q，用(,2 坐标系与参数方程专题的位置可用有序数组(,,z)（zR）表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,z)叫做点P的柱坐标，记作P(,,z)，其中0，02，zR.【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：（2）球坐标系

如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设点P是空间中任意一点，连结OP，记OPr，OP与Oz轴正向所夹的角为，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r,,)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(r,,)叫做点P的球坐标，记作P(r,,)，其中r0，0，02.xrcoscos【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：yrcossin

zrsin 坐标系与参数方程专题

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函xf(t)数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在这条曲线yg(t)上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2.参数方程与普通方程之间的互化

曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式.一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，xf(t)由此得到的方程组就是该曲线的参数方程.yg(t)【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x，y的取值范围保持一致.3.几个简单曲线的参数方程

xrcosO（1）圆的参数方程：圆心在原点，半径为r的圆的参数方程为

yrsin（为参数）；

（2）椭圆的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）；

（3）双曲线的参数方程：中心在原点O，焦点在x轴上的双曲线的参数方程为

xacosybsinxasec1secsec（为参数），这里，是的正割函数，并且； cosybtan（4）抛物线的参数方程：以原点O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线 坐标系与参数方程专题

2pxtan22（不包括原点）的参数方程为（为参数）； y2px（p0）

y2ptan（5）直线的参数方程：过点M0(x0,y0)，倾斜角为（为2）的直线l的参数方程xx0tcos（t为参数）；

yy0tsin（6）渐开线的参数方程：xr(cossin)（为参数）；

yr(sincos)（7）摆线的参数方程：

xr(sin)（为参数）.yr(1cos)5

篇2：坐标系与参数方程(知识总结)

一、极坐标与参数方程

题型一：极坐标与直角坐标互化

题型二：极坐标方程转化为直角坐标方程

题型三：参数方程转化为普通方程（消去参数）

练习：

x3t21．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）yt1

A.直线B.双曲线的一支C.圆D.射线

2．已知极坐标系中点A(2,3)，则点A的普通直角坐标是（）

4A．（-1，-1）B.（1，1）C.（-1，1）D.（1，-1）

3．圆sin的半径是（）

A．2B．2C．1D．

4．直线：3x-4y-9=0与圆：1 2x2cos，(θ为参数)的位置关系是()

y2sin

A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心

5．已知直线l1:x13t(t为参数)与直线l2:2x4y5相交于点B的坐标是y24t

6．在极坐标系中，点A2,

到直线sin2的距离是4

x2cos（为参数，且R）的曲

y1cos2

7、若P是极坐标方程为

3R的直线与参数方程为

线的交点，则P点的直角坐标为.二、几何证明选讲

1、相似三角形性质

2、射影定理

3、切割线定理

4、相交弦定理

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

练习：

1．半径为5cm的圆内一条弦AB，其长为8cm，则圆心到弦的距离为（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm 2．如图，已知DE∥BC，△ADE的面积是2cm，梯形DBCE的面积为6cm，则

DE:BC的值是()

21C．1D．

323．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，A．2B．

CD4,BD8，则圆O的半径等于()

A．3B．4C．5D．6



4．如图，AB是半圆O直径，BAC30，C

A

O

第10题图

BC

为半圆的切线，且BCO到AC的距离 OD（）

A．3B．4C．5D．6

5．在RtABC中,ACB90,CDAB于点D，CD2,BD4，则AC=（）

A

．

．

32D． 23

6．如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE:AC=3:5,DE=6，则BF=_______

7．如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经 过圆心，若PA=6,，AB=7,，PO=12.则⊙O 的半径为_______________

真题演练： 2007年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l的方程为



sin3，则点(2,)到直线l的距离为．

6第15题．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O的直径AB=6，C

为圆周上一

点，BC3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=． 2008年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为

cos3,4cos(0,0)，则曲线C1 C2交点的极坐标为

第15题．（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切点，切点为A，PA＝2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R 2009年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）若直线

x12t

（

y23tt为参数）与直线

4xky1垂直，则常数k=________．

第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30o，则圆O的面积等于．

2010年文科

第14题．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=． 第15题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(ρ，)(0＜2)中，曲线

cossin1与sincos1的交点的极坐标为．

2011年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别

为

x

(0≤＜)和

ysin



52x4t(tR)，它们的交点坐标为． yt

第15题．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为．

2012年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C

2的参数方程分别为

x1x(t是参数）C2:(是参数，0）

和C2:，它们的交点坐标为．

2yy

第15题．（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O想切于点B，D是弦AC上的点，PBADBA，若AD

则,mAC，n

AB

2013年文科

第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为2cos．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．

第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD

中，ABBC3，BEAC，垂足为E，则ED．

图3

小节训练卷(27)参考答案

1．A∴选A 2．C

x3t2

将2式乘以3后减去1式得3yx5,即x3y50，此方程表示的是直线，yt1

2,

3，xcos1,ysin1，∴选C 4

∴选B

3．B

CDADBD,AD1,AC

4．D将sin两边平方得sin,xyy，整理得x2(y)25．C过圆心O作OD⊥AB，则OD为所求。DB=4，OB=5, ∴OD=3∴选C 6．B点(2,121，∴选D 4

，cos1的普通直角)的普通直角坐标为（0，2）

坐标方程是x=1，则（0，2）关于x=1对称的点为（2，2），化为

极坐标是)，∴选B

DE2SADE21DE1

8,,,∴选D

BC2SABC84BC2

7．D SADE2,SABC

8．D圆：

x2cos22

化成普通直角坐标方程是xy4，圆心是（0，0），半径r=2,圆心到直线3x-4y-9=0

y2sin的距离为d

95



r，所以直线和圆相交。∴选D 5

9．C CDADBD,AD2,直径AB10,r5∴选C

10．A

BAC30,BCAB,BCACABACCOS3012

OA6,又ODAC,ADOABC,

ODOA

,OD3,∴选A BCAC

x13t

(t为参数)化为普通直角坐标方程为4x3y10，联立方程2x4y5 11．l1:

y24t

5

5x

解得2，∴答案为(,0)

2y0

12．极坐标点A2,



，直线sin2的直角坐标方程是 的直角坐标是（1，1）

4

y2，所以点到直线的距离是3

13．由题知ADEABC，∴DE:BC=AE:AC=3:5，又DE=6, ∴BC=10 又CF=BE=6, ∴BF=4

篇3：坐标系与参数方程(知识总结)

高等数学作为高等职业院校中各专业的一门必修的基础课程, 如何服务于专业课教学, 如何与专业课进行有机的结合, 是我们数学专业教育教学改革的重要问题.根据高等职业院校的人才培养目标的要求, 首先在教学内容和方法上进行改革, 在教学内容上适当增加专业课教学案例, 开发应用数学教学内容, 使数学课教学内容与工科专业课教学进行有机融合, 根据对当前部分高等数学教材的大致了解, 发现目前大部分高等数学教材没有参数方程和极坐标的有关内容, 但是参数方程和极坐标对于机械类专业用途很广, 且有着非常重要的作用, 比如在机械传动中, 有的齿条的轮廓线是参数方程中的旋轮线的一部分如图1.机器上的齿轮的齿形, 多数采用圆的渐伸线如图2, 阿基米德螺线ρ=ρ0+aθ是当凸轮作等速旋转运动时, 从动杆作等速直线运动的凸轮的轮廓线方程.对数螺线ρ=emθ通常作为成形铲齿铣刀铲背的轮廓线, 由于对数螺线自身所具有的几何性质, 使用对数螺线作为成形铲齿铣刀铲背的轮廓线可以使铣刀修磨后, 前角保持不变.另在计算凸轮外缘上的点坐标, 用转角和这个点到转动中心的距离用极坐标表示比用直角坐标表示方便得多, 作为高职高等数学我认为有必要添加参数方程、极坐标有关内容.

下面举例说明:

案例1 在机械传动中, 用主动齿轮带动从动齿轮是常见的.设主动齿轮的节圆半径为r, 从动齿轮的节圆半径为R, 求主动齿轮上的一点A, 相对于从动齿轮的运动轨迹如图3.

解 如图3所示, ⊙O代表主动齿轮, ⊙O′代表从动齿轮, 取xOy为固定的直角坐标系, 而在从动齿轮上取坐标系x′O′y′, x′O′y′固定在从动齿轮上, 当从动齿轮转动时, x′O′y′也一起转动.⊙O上的一点A, 相对于动坐标系x′O′y′运动.现在要求的是, 主动齿轮上一点A相对于坐标系x′O′y′的运动轨迹.

设开始时A点位于OO′上, 当主动齿轮以角速度ω旋转时, 从动齿轮以角速度ω′转动, 由于齿轮彼此啮合转动, 在同一时间内转过的弧长应相等, 有

rωt=Rω′t, 即${\omega }^{\prime }\frac{r}{R}\omega .$

在坐标系xOy中, A点运动的轨迹方程是

$\{\begin{array}{l}x=r\text{c}\text{o}\text{s}(\omega t+\text{π})=-r\text{c}\text{o}\text{s}\omega t‚\\ y=r\text{s}\text{i}\text{n}(\omega t+\text{π})=-r\text{s}\text{i}\text{n}\omega t.\end{array}(1)$

由坐标变换公式, 在x′O′y′系中任一点的坐标 (x′, y′) 与该点在xOy系中的坐标 (x, y) 有下列关系:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=[x-(-R-r)]\cos (-{\omega }^{\prime }t)+y\text{s}\text{i}\text{n}(-{\omega }^{\prime }t)‚\\ y^{\prime }=-[x-(-R-r)]\sin (-{\omega }^{\prime }t)+y\text{c}\text{o}\text{s}(-{\omega }^{\prime }t).\end{array}$

(相当于从xOy, 先平移到O′ (-R-r, 0) , 然后顺时针旋转ω′t, 得到x′O′y′) 即有

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(x+R+r)\cos \frac{r}{R}\omega t-y\text{s}\text{i}\text{n}\frac{r}{R}\omega t‚\\ y^{\prime }=(x+R+r)\sin \frac{r}{R}\omega t+y\text{c}\text{o}\text{s}\frac{r}{R}\omega t.\end{array}(2)$

将 (1) 代人 (2) 并化简, 就得到A点相对于坐标系x′O′y′运动轨迹的方程, 有

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=(R+r)\cos \left(\frac{r}{R}\omega t\right)-r\text{c}\text{o}\text{s}\left(\frac{R+r}{R}\omega t\right)‚\\ y^{\prime }=(R+r)\sin \left(\frac{r}{R}\omega t\right)-r\text{s}\text{i}\text{n}\left(\frac{R+r}{R}\omega t\right).\end{array}$

它的轨迹就是外旋轮线 (或外摆线) .

在机械传动中, 常常利用凸轮把旋转运动变成直线运动 (如图4) , 当凸轮绕定轴旋转时, 推动从动轮上下作往复直线运动, 不同形状的凸轮, 可以是从动杆上下作各种不同的往复直线运动, 根据不同的要求, 需要对凸轮的轮廓线作不同的设计, 这就要求出轮廓线的方程.

机械传动中最常用的是等速凸轮, 当凸轮作等速旋转运动时, 从动杆作等速直线运动, 怎样的凸轮才能满足这种要求呢?下面来求具有这种特性的凸轮的轮廓线方程.

案例2 在机械传动中, 当凸轮作等速旋转运动时, 从动杆作等速直线运动, 求凸轮的轮廓线方程.

解 取凸轮的旋转轴心为基点O, 水平方向为极轴.为研究方便, 假设凸轮不动, 从动杆B紧贴凸轮逆时针转动, 设t=0时从动杆B和凸轮接触点在 (ρ0, 0) 处, 经过时间t, 相当于从动杆B逆时针转过角度θ, 因此从动杆B和凸轮接触点在P (ρ0, θ) 处, 如图5.

从动杆B作等速直线运动, 设速度为v, 它的位移等于ρ-ρ0.ρ-ρ0和t成正比, 即ρ-ρ0=vt, 凸轮以等角速度ω转动, θ=ωt.所以

$\rho =\rho {}_0+\frac{v}{\omega }\theta (0\le \theta \le 2\text{π})$,

此方程为当凸轮作等速旋转运动时, 从动杆作等速直线运动的凸轮的轮廓线方程.

数学上通常把形如ρ=ρ0+αθ的曲线, 叫做阿基米德螺线.

阿基米德螺线又叫等进螺线.车床夹具三爪卡盘的背面, 有一条螺纹, 他的形状就是等进螺线, 根据等进螺线的性质, 当我们使螺纹旋转θ角时, 三个爪就在螺纹槽内, 沿过中心的射线方向, 同时伸缩相同的距离如图6, 从而保证加工零件的中心始终位于卡盘的中心线上.

参考文献

[1]陈立德.机械设计基础[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]刘国仁, 张礼.参数方程及其应用[M].呼和浩特:内蒙古人民出版社, 1983.

[3]陈举华.以齿轮传动为例浅谈《机械设计》教学中的创新教育[J].中国科教创新导刊, 2009, (31) .

篇4：坐标系与参数方程“考点”扫描

一、 坐标系

1. 以坐标系为工具,用代数方法研究几何图形的性质是解析几何的本质,它的特点是“数形结合”.

2. 能否根据题设条件建立适当的坐标系,是能否准确地解决相关问题的关键.

例1 已知△ABC的周长为6,三边长BC,CA,AB构成等差数列,求BA•BC的取值范围.

分析 由条件可知CA=2,BC+AB=4.因为4>2,所以B在以A,C为焦点,4为长轴长的椭圆上,

因此可以建立直角坐标系解决本题.

解 以边CA所在的直线为x轴,CA方向为x轴正方向,线段CA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则点C为(-1,0),点A为(1,0).

设点B为(x0,y0)(y0≠0),则BA=(1-x0,-y0),BC=(-1-x0,-y0),且x204+y203=1.

所以BA•BC=x20+y20-1=x204+2,

因为-2

二、 极坐标

1. 要注意直角坐标系与极坐标系的区别:在直角坐标系中,平面上的点与有序实数对(x,y)是一一对应的;但在极坐标系中,平面上的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的,只有在规定了ρ>0,θ∈[0,2π)的前提下才一一对应.因此在解题时要注意点的



极坐标的多种表示形式.

2. 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.要注意直角坐标与极坐标相互

转化的前提:(1)极点与原点重合,(2)极轴与x轴正半轴重合,(3)取相同的单位长度;以及方法:设点P的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ),则x=ρcosθ,y=ρsinθ

且ρ2=x2+y2,tgθ=yx.注意:把点P的直角坐标转化为极坐标时,要确定点P所在的象限(即极角θ终边的位置),以便正确地求出极角θ.

例2 在极坐标系下:

(1) 求过点A2,π4且平行于极轴的直线的方程.

(2) 求过点A3,π3且到极轴的角为-3π4的直线的方程.

图1

解 (1) 如图1,在所求直线上任取一点M(ρ,θ),过M作MH垂直极轴或其延长线于H,过A作AA′垂直极轴或其延长线于A′.

又因为A2,π4,由题意,MH=AA′=2sinπ4=2.

在Rt△MOH中,有MH=OMsin∠MOH,所以ρsinθ=2,即为过点A2,π4且平行于极轴的直线的方程.

(2) 设M(ρ,θ)为所求直线上的任意一点,B为所求直线与极轴的交点,则∠ABx=3π4,

图2图3

由已知,得OA=3,∠AOB=π3,所以∠OAB=3π4-π3=5π12,

如图2或3,所以∠OAM=π-5π12=7π12,∠OMA=3π4-θ,或∠OAM=5π12,∠OMA=π4+θ.

在△MOA中,根据正弦定理,得3sin3π4-θ=ρsin7π12,或3sinπ4+θ=ρsin5π12,

又sin7π12=sin5π12=sinπ4+π3=6+24,sin3π4-θ=sinπ4+θ=22(cosθ+sinθ),

可得ρ(sinθ+cosθ)=332+32,即为过点A3,π3且到极轴的角为-3π4的直线的方程.

点评 求曲线方程的关键是找出曲线上的点满足的几何条件并将它用坐标表示出来,再通过代数变换进行化简.另外,解本题时,也可先将极坐标转化为直角坐标,求出所求直线的直角坐标方程,再将其转化为极坐标方程;还可直接利用公式ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

例3 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ和ρ=-4sinθ.

(1) 分别把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2) 求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程.

解 以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,并对两坐标系取相同的长度单位.则x=ρcosθ,y=ρsinθ.

(1) 由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,

得x2+y2=4x,即为圆O1的直角坐标方程.

同理x2+y2=-4y为圆O2的直角坐标方程.

(2) 由x2+y2-4x=0,x2+y2+4y=0,解得x1=0,y1=0,x2=2,y2=-2.

所以过这两个圆交点的直线的直角坐标方程为y=-x.

点评 注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提及互化时的等价性.

三、 参数方程

1. 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点

的坐标之间的关系的方程,是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式,而且有时参数还具有几何意义或物理意义.

2. 面临一个轨迹问题时,如何选择和利用参数是同学们要掌握的主要问题,必须在学习过程中深刻地领会.

例4 求直线x=1+2t,y=1-2t(t为参数,t∈R)被圆x=3cosα,y=3sinα(α为参数,α∈R)截得的弦长.

解 把直线的参数方程x=1+2t,y=1-2t化为普通方程,得x+y=2;

将圆的参数方程x=3cosα,y=3sinα化为普通方程,得x2+y2=9.

于是不难求得所截得的弦长为27.

点评 在参数方程与普通方程互化的过程中,要注意等价性.

例5 设P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点.

(1) 求2x+y的取值范围;

(2) 若x+y+a≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解 (1) 已知圆即为x=cosθ,y=1+sinθ(θ为参数,

θ∈R),

故2x+y=2cosθ+sinθ+1=5sin(θ+φ)+1,

所以2x+y的取值范围是[1-5,1+5].

(2) x+y+a=cosθ+sinθ+1+a≥0恒成立,

即a≥-(cosθ+sinθ)-1=-2sinθ+π4-1恒成立.

所以实数a的取值范围是[2-1,+∞).

点评 对于二元函数x+2y,也常直接消元,不过,由x,y满足的方程x2+y2=2y来用y(或x)表示出x(或y)时,会出现无理式,这样,进一步求函数最值时,会比较麻烦;但若通过三角函数换元(即这里的“参数方程法”),则既可实现消元,又使求最值变得很容易.

例6 已知A和B分别是椭圆x236+y29=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC重心的轨迹的普通方程.

解 由动点C在已知椭圆上运动,可设C的坐标为(6cosθ,3sinθ).设重心G的坐标为(x,y).

又可知A(6,0),B(0,3),

故x=6+0+6cosθ3=2+2cosθ,

y=0+3+3sinθ3=1+sinθ,

得x-22=cosθ,y-1=sinθ,

两式平方相加,得(x-2)24+(y-1)2=1,

即为重心的轨迹的普通方程.

点评 本题的解法体现了椭圆的参数方程(即“三角换元法”)对于解决轨迹问题的优越性.要消去sinθ和cosθ,常用“平方相加法”.

巩 固 练 习

1. 若某三角形的一个顶点为极点,其他两个顶点的极坐标分别为(-5,109°),(4,49°),则这个三角形的面积为.

2. 设M和N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsinθ+π4=22上的动点,则M与N的最小距离是

.

3. 若某曲线的参数方程是x=1-1t,y=1-t2(t为参数,t≠0),则它的普通方程为 .

4. 已知圆C的参数方程为x=cosθ+1,y=sinθ(θ为参数),则点P(4,4)与圆C上的点的最远距离是.

篇5：极坐标与参数方程题型和方法归纳

题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下：

1、已知直线的参数方程为

（为参数）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线与曲线交点的一个极坐标.题型二：三个常用的参数方程及其应用

（1）圆的参数方程是：

（2）椭圆的参数方程是：

（3）过定点倾斜角为的直线的标准参数方程为：

对（3）注意：

点所对应的参数为，记直线上任意两点所对应的参数分别为，则①,②，③

2、在直角坐标系中，曲线的参数方程为

（为参数，）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（Ⅰ）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；

（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.3、已知曲线：（参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点的直角坐标；

（2）设为曲线上的点，求中点到曲线上的点的距离的最小值．

4、已知直线：（为参数），曲线：（为参数）.（1）设与相交于两点，求；

（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.5、在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）过点且与直线平行的直线交于两点，求弦的长．

6、面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)=．l与C交于A、B两点.（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P(0,－2),求：①

|PA|＋|PB|，②,③,④

题型三：过极点射线极坐标方程的应用

出现形如：（1）射线：（）；（1）直线：（）

7、在直角坐标系中，圆的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线：（）与圆交于点、，求线段的长．

8、在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数),以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程为，其中满足与交于两点，求的值.9、在直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；

（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．

10、在直角坐标系中中，已知曲线经过点，其参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若直线交于点，且，求证：为定值，并求出这个定值．

11、在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别是（是参数）和（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；

篇6：坐标系与参数方程(知识总结)

ρθ

⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ 极轴

一、极坐标与参数方程选讲

1、极坐标与直角坐标的公式转换:

2、点的极坐标含义(, M ρθ: 练习:

(1 在直角坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线 C 的直角坐标 方程.04222=+-+y x y x(2 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 的直角坐标为(1,.若以原点 O 为极点, x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是.(2,2(3 k k Z π π-∈

(3在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 3, 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 4, 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则△ AOB(其 中 O 为极点的面积为.提示:1 sin 2 S ab C = =3

(4在极坐标系(ρ, θ(0 ≤ θ<2π中,曲线 ρ=2sin θ 与 cos 1p θ=-的交点 的极坐标为 ______.3 4 π

提示:这两条曲线的普通方程分别为 222, 1x y y x +==-.解得 1, 1.x y =-⎧⎨=⎩

(5 已 知 直 线 l 的 参 数 方

程 为 :2, 14x t y t =⎧⎨

=+⎩(t 为 参 数 , 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

ρθ=,则直线 l 与圆 C 的位置关系为 相交(6已知直线的极坐标方程为(4R π θρ=

∈,它与曲线 12cos 22sin x y α α

=+⎧⎨=+⎩(α为参数相 交于两点 A 和 B ,则(7若直线 12, 23.{x t y t =-=+(t 为参数与直线 41x ky +=垂直,则常数 k =________.6-=k(8设直线 1l 的参数方程为 113x t y t =+⎧⎨

=+⎩(t 为参数 ,直线 2l 的方程为 y=3x+4则 1l 与 2l 的 距离为 _______ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线 1l 的普通方程为 023=--y x ,故它与与 2l 的距离为 3|24|=

+。

(9 在极坐标系中, 直线 l 的方程为 ρsin θ=3, 则点(2, π/6到直线 l 的距离为.【解析】法 1:画出极坐标系易得答案 2;法 2:化成直角方程 3y = 及直角坐标 可得答 案 2.(10在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(33 R t t y t x ∈⎩

⎨⎧-=+=参数 ,圆 C 的参数 方程为 [] 20(2 sin 2cos 2πθθθ , 参数 ∈⎩⎨

⎧+==y x ,则圆 C 的圆心坐标为.(0, 2 ,圆心 到直线 l 的距离为 22.(11在极坐标系中, P Q , 是曲线 C :4sin ρθ=上任意两点,则线段 PQ 长度的最大值 为.4【解析】最长线段 PQ 即圆 22(2 4x y +-=的直径.(12曲线 C 的参数方程是 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧

-=+= 1(3 1(2t t y t t x(t 为参数 ,则曲线 C 的普通方程 是.136 162 2=-y x 提示:1213 x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,平方后相减消去参数 t(13 已知曲线 132 14x t y t ⎧

=-+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数与曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数的交点为 A , B , ,则 AB =

(14 若直线 :l y kx =与曲线 { 2cos :sin x C y θθ=+=(参 数 ∈θR 有唯一的公共点,则实数 k =

.二、几何证明选讲

1、与切线有关 构造直角三角形

如图, AB 是 ⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点, 过 P 作 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 C , 2=PC , 若

︒=∠30CAP ,则 ⊙ O 的直径 =AB 4.切割线定理

如图 1所示, 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A , B 两点, 已知 PA =2, 点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为 ________.6 弦切角定理 弦切角 ABD=角 C 如图,直角三角形 ABC 中, ︒=∠90B , 4=AB ,以 BC 为直径的圆交 AC 边于点 D , 2=AD ,则 C ∠的大小为

提示 连接 BD ,在直角三角形 ABD 中可求得 角 ABD=30°,弦切角 ABD=角 C

2、相交弦定理、垂径定理

如图 AB , CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P , PD=23 a ,∠OAP=30°, 则 CP =______.【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由 垂径定理 知, OP AB ⊥.在 Rt OPA ∆ 中, cos30BP AP a ===

.由 相交弦定理 知, BP AP CP DP ⋅=⋅ 2 3 CP a =⋅,所以 98CP a =.图 1 A B C 图 3

N

3、射影定理

2, CD AD DB =⨯ 2BC BD AB =⨯, 2AC AD AB =⨯ 如 图 , AB 是 半圆 O 的 直 径 , C 是 半 圆 O 上 异于 A B , 的 点 , C D A B ⊥, 垂 足 为 D , 已

知 2AD =, CB =, 则 CD =

.提示 222(2 6, 12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=

4、相似比

如图,在 ABC ∆中, DE //BC , EF //CD , 若 3, 2, 1BC DE DF ===,则 AB 的长为 __9 2 _________.5、圆的内接四边形对角互补 如图 3,四边形 ABCD 内接于⊙ O , BC 是直径, MN 与⊙ O 相切 , 切点为 A , MAB ∠35︒=, 则 D ∠=.125︒

6、圆心角 =2倍圆周角

如图,点 A B C、、是圆 O 上的点,且 4AB =, o 30ACB ∠=, 则圆 O 的面积等于 _________.解:连结 OA , OB ,则∠ AOB=2∠ ACB=60O ,所以△ AOB 为正三角形,圆 O 的半径 r=4AB =,于是,圆 O 的面积等于 πππ1642 2 =⨯=r 如图 , 已知△ ABC 内接于⊙ O ,点 D 在 OC 的 延长线上, AD 切⊙ O 于 A ,若 o 30ABC ∠=, 2=AC , 则 AD 的长为

.提示 连接 OA ,圆心角 AOD=2B=60°, AOC 是等边三角 形。所以 OA=AC=2,在直角三角形 OAD 中求 AD。

篇7：坐标系与参数方程(知识总结)

1.（2014海淀一模）4.已知直线l的参数方程为

=

A.xy20B.xy20C.xy0D.xy20

2.（2014西城一模）3．在极坐标系中，过点(2,)且与极轴平行的直线方程是（）

（A）ρ2（B）θx1t,(t为参数)，则直线l的普通方程为y1tπ2 2（C）ρcosθ2（D）sin=2

3.（2014东城一模）

（5）在极坐标系中，点)到直线cossin10的距离等于

（A）4

（B

（C）（D）2 22

4.（2014石景山一模）11．已知圆C的极坐标方程为=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆C的直角坐标方程为_______________，若直线l:kxy30与圆C相切，则实数k的值为_____________．x

2+y2=4；k 5.（2014大兴一模）（3）在极坐标系中，点(1,0)到直线

A.π(R)的距离是 41B

.C.1

D.22

6.（2014丰台一模）2.在极坐标系中，点A（1,）到直线cos2的距离是

（A）1（B）2（C）3（D）4

几何证明

1.（2014海淀一模）11.如图，AB切圆O

于B，ABAC1，则AO的长为_______．2

2.（2014东城一模）（10）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，CD是圆O的切线，使AB2BC，且BC2，切点为D，连接AD，则CD；

DAB．30

3.（2014石景山一模）4．已知Rt△ABC中，C90o，AB5，BC4，A

以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（）A．4

12C． 9 516D． B．AB

C 55

4.（2014丰台一模）(11)如图,已知圆的两条弦AB与CD相交

于点F，E是AB延长线上一点,且DF=CF

AF:FB:BE=4：2：1.若CE与圆相切,则线段CE的长

为

．2

篇8：《坐标系与参数方程》考点精析

1．极坐标系与点的极坐标

【定义】：苏教版选修4-4课本P7

【注】：极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况①给定有序实数对

（ρ，θ），在极坐标平面内有唯一确定的点M；

②给定极坐标平面内的一点M.，有无数个极坐标与之对应；

③如果限定ρ>0,0≤θ<2π，那么除去极点外，平面上的点就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)一一对应；

④一般地，若(ρ,θ)是某点的极坐标，则(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π),k∈Z都可以作为该点的极坐标.

【约定】：极点的极坐标中，极径ρ=0，极角θ可取任意值.

二、掌握简单图形的极坐标方程

1．直线

① 经过点A(a,0)且与极轴垂直的直线ρcosθ=a

②经过点A(a,π2)且与极轴平行的直线ρsinθ=a

③经过A(ρ1,θ1)点，且倾斜角为α的直线ρsin(θ-α)=ρ1sin(θ1-α)

2．圆 

① 圆心在A(a,0)且过极点的圆ρ=2acosθ

②圆心在A(a,π2)且过极点的圆ρ=2asinθ

③圆心在A(ρ0,θ0)，半径为r的圆ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ20-r2=0

3．圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep1-ecosθ

01 双曲线

三、掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化

【互化的前提条件】：① 极点与直角坐标系的原点重合；② 极轴与x轴正方向重合；③ 两种坐标系取相同的单位长度.

【互化公式】：设点M的直角坐标为(x,y)，它的极坐标为(ρ,θ)，则

x=ρcosθy=ρsinθ或

ρ2=x2+y2tanθ=yx

通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ>0,0≤θ<2π.

【注】：把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点M所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.

例1（2010江苏）在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值.

解：ρ2=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2+y2=2x,(x－1)2+y2=1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以|3·1+4·0+a|32+42=1,解得：a=2或a=－8.

四、参数方程

1． 曲线的参数方程

【定义】：苏教版选修4-4课本P43

五、直线、圆和椭圆的参数方程

1．经过点P（x0,y0），

倾斜角为α的直线的参数方程为x=x0+tcosαy=y0+tsinα(t为参数)

其中t表示有向线段P0P的数量，|t|=|P0P|

2．以C(x0,y0)为圆心，r为半径的圆的参数方程x=x0+rcosαy=y0+rsinα(α为参数).

注意与直线的参数方程进行比较.

3．椭圆、双曲线、抛物线的参数方程

椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为

x=acosθy=bsinθ(θ为参数)

双曲线x2a2-y2b2=1的参数方程为

x=acosφy=btanφ(φ为参数)

抛物线y2=2px的参数方程为

x=2pt2y=2pt(t为参数)

注意：参数方程与普通方程互化时，要注意变量的范围有无变化.

六、掌握参数方程与普通方程的互化

1．消去参数方程中的参数就得到普通方程，但要注意到普通方程中变量x,y的取值范围应与参数方程中相应的取值范围一致.消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑.

消参方法：①代人消去法由其中一式解出t，代人另一式.②加减消去法由两式加减（平方加或减）或乘除消去参数.③换元法通过代数或三角换元消去参数.

2．普通方程化为参数方程，要恰当地选择参数t和函数x=f(t)，并且使x=f(t)的值域与普通方程中变量x的范围一致，然后将x=f(t)，代人普通方程中解出y=g(t)，

即得参数方程x=f(t)y=g(t).普通方程化为参数方程，通常参数是给定的.

例2（江苏2009）已知曲线C的参数方程为x=t－1ty=3(t+1t) ,（t为参数，t>0）.求曲线C的普通方程.

解：因为x2=t+1t－2,所以x2+2=t+1t=y3,

故曲线C的普通方程为：3x2－y+6=0.

七、参数方程的简单应用

例3（江苏2008）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．

解： 因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφy=sinφ (φ为参数）故可设动点P的坐标为(3cosφ,sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2(32cosφ+12sinφ)=2sin(φ+π3)所以，当φ=π6时，S取最大值2.

八、知识综合应用

例4（江苏2011）

在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆x=5cosφy=3sinφ （φ为参数）的右焦点且与直线x=4－2ty=3－t （t为参数）平行的直线的普通方程.

解析：椭圆的普通方程为x225+y29=1,右焦点为（4，0），直线x=4－2ty=3－t （t为参数）的普通方程为2y－x=2，斜率为12；所求直线方程为：y=12(x－4),即x－2y－4=0

例5直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=22，求点A(4,5π6)到直线l的距离.

解：在以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，A(4,5π6)的直角坐标为A(4cos5π6,4sin5π6)即A(－23,2)，

直线l的极坐标方程 ρsin(θ+π4)=ρ(22sinθ+22cosθ)=22，∴ρsinθ+ρcosθ=1，

化为直角坐标方程为 x+y－1=0.

点A(－23,2)到直线x+y－1=0的距离d=|－23+2－1|2=6－22，

∴点A(4,5π6)到直线l的距离为6－22.

例6在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=22sin(θ－π4)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=1+45ty=－1－35t （t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长.

解：将曲线C的极坐标方程ρ=22sin(θ－π4)化为直角坐标方程为x2+y2+2x－2y=0.直线l的参数方程 x=1+45ty=－1－35t 化为普通方程：3x+4y+1=0.

由曲线C的圆心为C(－1,1)，半径为2，所以圆心C到直线l的距离为25，故所求弦长为22－(25)2=2465.

（作者：晏良江，江苏省新沂市高级中学)

篇9：坐标系与参数方程(知识总结)

1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角 的范围是 .

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点 ，则有斜率公式 . 特别地是，当 ， 时，直线与x轴垂直，斜率k不存在;当 ， 时，直线与y轴垂直，斜率k=0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k=0;当 时，斜率 ，随着α的增大，斜率k也增大;当 时，斜率 ，随着α的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.

两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为 、，有：

(1) ? ;(2) ? .

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴;….

直线的点斜式方程

1. 点斜式：直线 过点 ,且斜率为k，其方程为 .

2. 斜截式：直线 的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为 .

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线 过点 且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 .

4. 注意： 与 是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点 ，后者才是整条直线.

直线的两点式方程

1. 两点式：直线 经过两点 ，其方程为 ，

2. 截距式：直线 在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为 .

3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.

4. 线段 中点坐标公式 .

直线的一般式方程

1. 一般式： ，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程 化为斜截式方程 ，表示斜率为 ，y轴上截距为 的直线.

2 与直线平行的直线，可设所求方程为 ;与直线 垂直的直线，可设所求方程为 . 过点 的直线可写为 .

经过点 ，且平行于直线l的直线方程是 ;

经过点 ，且垂直于直线l的直线方程是 .

3. 已知直线 的方程分别是： ( 不同时为0)， ( 不同时为0)，则两条直线的位置关系可以如下判别：

(1) ; (2) ;

(3) 与 重合 ; (4) 与 相交 .

如果 时，则 ; 与 重合 ; 与 相交 .

两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行;若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程 为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是 与 的交点.

两点间的距离

1.平面内两点 ， ，则两点间的距离为： .

特别地，当 所在直线与x轴平行时， ;当 所在直线与y轴平行时， ;当 在直线 上时， .

篇10：平面直角坐标系知识点总结

一、目标认知 学习目标:

1．理解平面直角坐标系产生的背景，能正确画出平面直角坐标系.能在直角坐标系中,根据坐标找点，由点求出坐标，掌握点坐标的特征（包括四个象限内点坐标的特征，数轴上点坐标的特征，象限角

平分线上点坐标的特征和对称点坐标的特征）.2．由数轴到平面直角坐标系,渗透了类比的数学思想方法.通过学习习近平面直角坐标系的基础知识,逐步

理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应的关系,进而培养数形结合的数学思想．

3．在掌握平面直角坐标系的基础知识基础上，可把该知识应用到地理位置识别以及图形平移,培养应用

数学的意识,并激发学习数学的兴趣.4．通过学习活动，验证平面直角坐标系的特征，获得理性认识.重点:

正确画出平面直角坐标系，掌握点坐标的特征．

难点:

掌握点坐标的特征，知道如何在平面直角坐标系内进行平移．

二、知识要点梳理 知识点一：有序数对

比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作(a，b)，表示一个物体的位置。我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作:(a,b)． 要点诠释：

对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，表示不同位置。

知识点二：平面直角坐标系以及坐标的概念

1.平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1)。

注：我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。

2.点的坐标

点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:A(a,b).用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。

注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。

②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。

知识点三：点坐标的特征

l.四个象限内点坐标的特征：

两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．

2.数轴上点坐标的特征：

x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；

y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)．

注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。

3.象限的角平分线上点坐标的特征：

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．

注：若点P(a，b)在第一、三象限的角平分线上，则a＝b；

若点P(a，b)在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b。

4.对称点坐标的特征：

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．

5.平行于坐标轴的直线上的点：

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。

6.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律： 象限

横纵坐标符号(a，b)图象

第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0

第二象限

(－，＋)a＜0，b＞0

第三象限

(－，－)a＜0，b＜0

第四象限

(＋，－)a＞0，b＜0

x轴上

正半轴(＋，0)负半轴(－，0)

y轴上

正半轴(0，＋)负半轴(0，－)

原点(0,0)

知识点四：简单应用

l.用坐标表示地理位置

根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，一般地只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起。利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况，也就是绘制平面图的过程：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 要点诠释：

在建立平面直角坐标系时，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等。在具体问题中要注意分析题目，灵活运用。而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的。

2.用坐标表示平移

（1）点的平移：

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)。

由上可归纳为：

①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；

②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；

③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．

（2）图形的平移：

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。

注：平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.三、规律方法指导

篇11：《坐标系与参数方程》高考全解

一、要点回顾

1.极坐标

平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ<0时，点M（ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=|ρ|.M（ρ，θ）也可以表示为（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+（2k+1）π）（k∈Z）.

2.参数方程

参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.

参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.

常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.

二、题型探究

1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标

例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.

分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.

解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），

所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.

（2）联立解方程组ρcosθ=3

ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23

θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.

评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.

2.由极坐标求最值

例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.

分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.

解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.

解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.

评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.

3.用参数方程研究两曲线的位置关系

例3求直线x=1+2t

y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα

y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.

分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.

解：把直线方程x=1+2t，

y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，

y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.

所以直线x=1+2t，

y=1-2t，被圆x=3cosα，

y=3sinα，截得的弦长为27.

评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参.endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.

（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.

（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.