多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨（共11篇）

篇1：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

吴吉

中共阿坝州委党校

摘要：随着经济的发展，区域经济日益重要。我国有着人口多、人均资源少、基础弱等特殊的国情，做好区域经济规划有助于我国的快速持续健康发展。本文主要探讨多目标最优化的概念以及在区域经济规划中国的应用。

关键词：多目标最优化；区域经济规划；应用探讨

我国的区域经济随着经济的发展不断壮大，区域经济的规划是目前工作中的重点。将区域经济规划做好，能够有效地进行资源配置优化，实现区域经济合理的发展。

一、区域经济规划解析

区域经济规划主要是指在特定的区域范围内，对未来的经济建设进行总体的部署。区域经济规划是国民经济、区域经济的发展战略和社会发展的部分体现，是结合了科技、经济和环境的整体形式。科学的区域经济规划首先要对区域调研，然后进行确定区域规划发展思路，然后指导进行区域经济规划的科学分析、制定、评估和落实，区域经济规划是区域经济发展的基础。

二、区域经济规划的内容

区域经济规划的范围十分庞大，根据国家相关法律法规，一般规划的内容包括生产要素、自然资源已经对经济的分析等。

（一）区域经济的发展方向

我国区域经济的发展不一致，在区域经济的发展方向和规划设置上有着较大的不同。总结起来，主要有两种具有代表性的看法。一种就是传统的发展观念，把经济的发展认为是经济的增长，所以将区域经济的发展方向就定位经济增长；另外一种看法是比较科学的发展观念，这种观念认为社会和人才是发展的主体，经济增长只是社会进步的一种手段，更多的人认可第二种观念。区域经济规划有三个目标。就是生态环境的改善、社会进步以及经济增长。这些目标互相促进又彼此联系，互相扶助又彼此制约。比如很多的经济增长目标需要对生态环境产生影响，但是经济增长又能够建设生态环境，所以在经济增长中要注意生态环境，避免对生态环境的破坏。

（二）科学选择主导产业

区域的主导产业要进行科学的选择，因为这对区域经济有着巨大的影响。所以在区域经济规划中，选择主导产业是核心环节。在对主导产业进行选择时，要考虑能够成为区域产业的中心，能够带动区域经济的持续发展。同时主导产业还应该在区域分工中有明显的优势，能够强化区际间分工合作。区域内的主导产业要具有区域特色，能够在市场贸易中，发挥区域优势，取得较高利益。总体来说就是区域产业的产品应该是由良好的市场前景，有足够大的市场需求，未来能够占有经济市场，有较高的积极效益，对区域的增长有强大的作用。

（三）合理配置产业结构

在主导产业确定以后，要对整体的产业结构进行优化配置。区域的产业结构是组合了不同的产业，设计的产业较广，那么就需要对产业进行分类以及合理配置。所以在对区域经济进行规划时，要注意几个问题。首先是要详细分析区域内的产业结构问题、特点和现状，然后通过经济因素、环境因素、社会因素和政府政策等对影响区域产业配置的因素进行全面分析，接着对产业间的联系进行优化组合，将主导产业与其他产业进行协调，下面就是按照要求指标，将生产要素同产业之间进行资源配置，提高产业效益，最后要注意优势产业的配植，增强产业结构在未来变化中的适应性。

三、区域经济规划遵循的原则

为了保证区域经济健康持续的发展，要对区域经济科学合理的规划，同时必须遵守相适应的原则。

（一）以劳动分工进行区域经济规划

社会劳动分工有地域性，不同的地域分工决定着不同的区域经济发展方向，体现了区域经济发展的本质特征。劳动地域分工是区际间客观存在的优势，各个区域间的劳动区域分工形成了产业结构。区域经济规划的主要内容就是区域间的优势比较、产业结构的配置以及主导产业选择。所以区域经济规划能够发展区域分工，形成专业化部门与综合性结合的产业机构体系，使区域间能够互相配合，彼此协调的有效分工，共同促进区域的经济发展。

（二）以区域特点进行区域经济规划

在区域经济规划中，要充分分析区域的特点，根据区域的特点进行区域经济的规划和决策，否则就会影响区域的整体发展，造成重大的经济损失。对区域进行分析要从两个方面，第一是对区域内市场、人文、生产要素以及生态环境进行科学的分析，第二是对区域内的外部环境进行分析。通过对区域特点的分析才能够制定出现实合理科学的区域经济规划。

四、多目标最优化问题在区域经济规划中的应用

一般来说，多目标最优化模型就是针对一个需要决策的问题，有着多种决策的选择，并且所有的选择都能达到目标，不分主次，这样就会产生一个数学函数模型，不同的函数变量，就会相应的产生不同的目标函数。在区域经济规划中，为了处理区域间的关系，加强共同协调发展，就必须根据科学的方法，将抽象的问题具体化，从而使区域经济规划决策更加科学。

（一）建立数学模型

首先要对规划区域的自然资源、市场情况以及区域历史进行详细了解，然后对针对规划区域的经济发展和生态环境等进行规划区域的数据统计，比如规划区域的生产要素，市场供给以及人口数量等。第三是对收集的数据进行科学的处理，对规划的决策进行分析，然后将具体问题简化。第四，根据对已经获得的资料进行综合分析，利用数学公式，初步建立模型。第五，将建立的数学模型与区域内的实际情况和对规划的决策进行比对分析，验证数字模型的准确性。

（二）最优化模型建立的原则

多目标最优化模型的建立需要几个原则，第一是要对规划区域的特点和优势能够充分发挥出来，这样有利于区域内生产要素，自然资源的利用，促进规划区域内的经济发展。第二是在区域经济规划过程中，要把实际情况作为基础，建立最适合规划区域的数学模型。因为不同的规划区域有不同的特点，需要考虑的因素也不同，素以要综合考虑全面因素，促使建成的数字模型能够与规划区域的实际情况一直。第三是能够保证各部门之间互相配合，经济发展不影响生态环境，真正做到可持续健康发展。

结语：

多目标最优化问题可以根据实际情况，协调区域内的各种资源，对区域经济规划进行科学有效合理的配置以及优化，真正促进区域经济健康稳定持续的发展。

参考文献：

[1]温录亮.多目标最优化方法与应用[D].济南大学.2009.[2]金天坤.多目标最优化方法及应用[D].吉林大学.2009

[3]送军.多目标最优的若干问题[D].南昌大学.2008

篇2：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

[关键词] 投资组合 数学模型 多目标规划 最优解

1 综述

投资者把资金投放于有价证券市场以获取一定的收益的行为就是证券投资，它的主要形式是股票投资和债券投资。

在投资者看来，证券的价值是以投资该证券的收益来衡量的。

投资者投资证券的主要目的在于获得较高的收益率，而证券投资的收益率在于受许多不确定因素的影响，主要受企业因素、宏观经济政策与环境因素及市场因素的影响。

证券预期收益率的不确定性使证券投资具有风险性，这种风险是与收益相伴而生的，因此我们也可以把证券收益看成是对投资者承担风险的一种补偿。

投资者投资于证券都希望获得较高的预期收益率，而真正得到的实际收益率却有可能低于预期收益率，这时风险就发生了，使投资者遭受损失。

然而，风险在经济学、决策学、统计学和金融保险学中还尚无统一的定义，通常有七种基本的观点，但我倾向于这种定义：风险----是指在决策过程中，由于各种不确定性因素的影响，决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性及可能损失的程度。

对风险的描述和计量是基于投资收益率指标。

具有投资风险的证券称为风险证券，无风险证券是指象国库券一类的收益率确定的证券。

一般情况下，风险证券的预期收益率往往要高于无风险证券的确定收益率，但风险证券的预期收益率越高，其投资风险也就越大。

面对这种情况，证券投资者均具有既追求较高预期收益率，又厌恶较高投资风险的心态，于是便倾向于选择既能避开风险又能取得较高收益率的证券组合投资方案，即证券投资按某种比例对无风险证券和多种风险证券进行有机的组合。

证券市场的规律是高收益伴随着高风险，但采用适当的投资策略可以减低投资风险，事实上，证券组合投资是降低投资风险的有效途径。

证券组合----就是由不同证券(或其他资产)构成的资产组合。

本文通过对证券组合投资的预期收益率和投资风险进行综合定量分析，建立了证券组合投资的预期收益率和投资风险进行综合定量分析，建立了证券组合投资的预期收益率和投资风险两个目标均达到最优的多目标规划模型，并对模型进行分析验证求解。

2 多目标规划模型的建立

确定一个有效的投资组合是一个非常复杂的决策过程，从以上分析可以看出利用多目标投资组合做证券投资不失为一种很奏效的方法，利用投资取舍原则，缩小问题规模，使问题易于解决且在求解过程中将十分复杂的多目标规划转化为线性规划问题，这样不仅求解简单，而且给投资者提供了多种可选择方案，并达到降低风险提高收益的效果，可操作性强。

参考文献

[1] 吴冲锋,王海成.金融工程研究[M].上海交通大学出版社，.

[2] 曹凤岐主编.证券投资学[M].北京大学出版社，1994.

[3] 张保法.经济预测与经济决策[M].经济科学出版社..

[4] 王明涛.证券投资风险计量、预测与控制.上海财经大学出版社..

[5] 运筹学编写组编.运筹学[M]. 清华大学出版社.1982.

[6] 荣喜民. 组合证券资产选择模糊最优化模型研究[J ].系统工程理论与实践, .

多目标规划方法优化投资组合的应用【2】

摘 要：在现实生活当中，诸多问题由相互冲突和相互影响的目标构成，我们解决问题通常是将这些目标以给定区域为条件得出最佳方案，也就是通常所说的多目标优化问题。

多目标优化问题在现实生活中占有绝对重要的地位，自上个世纪六十年代开始，多目标优化问题成为了广大 研究人员共同关注的研究课题之一，其作为解决多目标优化问题具有十分重要的科研价值。

鉴于此，笔者在本文中将针对多目标规划方法投资组合的应用分析展开理论研究，仅作参考。

关键词：多目标规划方法;优化投资组合;优化问题

一个项目的投资决策往往拥有诸多目标，如某企业产品的流水生产管理，决策层会希望生产所能达到的利润最大且消耗的优质资源越少越好，多于一个目标的问题即可称之为多目标优化问题，此例也叫多目标决策问题。

解决这样的多目标优化问题一般通用的途径是将求解多个目标问题转化为求解单目标问题或求解多个单目标问题。

1、多目标规划问题概述

多目标规划最优的思想起初由法国经济学家V.帕雷托提出，他由政治经济学的角度将不可比较的多个目标转化为多个单目标的最优问题，涉及到了多目标规划的概念。

上世纪40年代末，J・冯・诺伊曼和O・莫根施特恩又基于对策论又提出了在多个决策人相互矛盾的前提下引入多目标问题。

50年代初，T・C・库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。

同时，H・W・库恩和A・W・塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。

自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。

至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

2、多目标规划方法优化投资组合的应用分析

某生产车间计划在10天内安排生产甲类和乙类两种商品。

已知生产甲类商品需要A号配件5组，B号配件3组;生产乙类商品需要A号配件2组，B号配件4组。

在十天的计划期内该生产车间仅提高A号配件180组，B号配件135组。

同时，我们还知道该生产车间没生产一个甲类商品可获取利润为20元，生产一个乙类商品可获取利润15元。

那么，通过以上条件甲乙两类商品分别生产多少可实现利润最大呢?下面我们将各项数据列表如下表1所示：

表1

我们假设，X1和X2分别为甲乙两类商品的生产数量，Z为总利润，以此可以线性规划描述此问题，建立数学模型应该是：

(1)

(2)

其中，X1和X2均为整数。

理想状态下，可以利用图解法即可得出公式(1)的最优解为Z=775，X1=32，X2=9。

但是，站在车间生产计划人员的角度上将，问题往往比较复杂。

首先，这是一种单一目标优化问题。

但通常来讲，一个规划问题需要满足多个条件。

例如，例如财务部门的利润目标：利润尽可能大;物资部门的节约资金：消耗尽可能小;销售部门的适销对路：产品品种多样;计划部门的安排生产：产品批量尽可能大。

规划问题其本质上是多目标决策类问题，只是因为利用线性规划模型处置，致使生产计划人员不得已从诸多目标中硬性选择其中的一种作为线性规划的数学模型。

这样一来，由数学模型目标函数得到的结果可能会违背部分部门的根部意愿，从而导致生产过程受阻，又或者是从生产计划开始阶段就因为某些矛盾而不能从诸多目标中选取一个最优目标。

其次，线性规划问题存在最优解的必要条件是可行解集合非空，也就是说各个约束条件之间彼此相容。

但在优化投资组合等实际应用问题中有时候也未必能完全满足这样的条件。

如因设备维修养护、消耗能源或其他产品自身原因导致生产计划期内不能提供足够的工时而无法满足计划生产的进度和产量，又或者因投资资本有限的束缚生产原材料的供应不能满足计划产品的需求等等。

第三，线性规划问题的可行解和最优解具有非常明确的价值，这些可行解和最优解都依数学函数模型而定。

在实际的投资组合应用当中，决策人发出决策后往往还需要对其决策进行某种修正，主要原因就在于数学函数模型与实际问题之间不尽相同，具有一种近似性，也就是建立数学模型时应对实际应用问题进行简化且不考虑新情况的发生。

计划人员为决策人提供的数学可行解并不是严格意义上的最优解，仅作为决策实现最优的一种参考性计划方案。

上世界六十年代初期，由查恩斯(A・Charnes)和库柏(W・w・CooPer)提出的目标规划(Goalprogramming)直接已得到了重视和推广，该法在处置实际应用问题方面承认诸项决策条件存在的合理性，即便多个决策条件是相互冲突的、相互影响的都具有合理性，在做出最终决策中不会强调绝对的最优性。

由此看来，多目标规划问题可以认为是一种较之于线性规划问题更切合于实际应用的决策手段。

3、多目标规划方法优化投资组合的常见途径

(1)加权法(或效用系数法)。

加权法(或效用系数法)将投资问题中所有的目标进行统一度量(例如以钱或效用系数度量)。

本方法的的基本原理是将多目标模型转化为多个单目标模型。

多个目标，有主次不同和轻重缓急不同等区别，最重要的一个目标我们将之赋予为优先因子P1，次重要的目标依次赋予优先因子P2，P3，P4，…，同时约定PK>>PK+1(PK比PK+1拥有更好的优先权)。

如果非要将拥有相同优先因子的目标加以区别，我们可以将其分别赋予不同的权系数wj。

它的优点在于适用于计算机运算求解可行解和最优解(如线性函数模型可用单纯形法求解)，而缺点则在于难以找到合理的权系数(如某高速公路建设投资，在减少建设投资和保证施工质量降低交通伤亡事故率之间难以衡量人的生命价值)。

(2)序列法(或优先级法)。

序列法(或优先级法)并不是对每一个目标进行加权，它主要是按照目标的轻重缓急不同将其分为各个不同等级后再行求解。

它的优点在于可规避权系数的困扰，适用范围比较广，各种决策活动几乎都可使用。

例如，某公司在决定提拔人员，很多单位主要根据该人员的工作积极性、工作能力和对单位的贡献价值等几个方面予以考虑，这几个方面也会按照先后顺序依次评定，等级不同参考评定的比重也会有所不同。

它的缺点在于难以区分各个目标的轻重等级，难以排定优先顺序无法保证最终的求解结果是最令人满意的。

(3)有效解法(或非劣解法)。

有效解法(或非劣解法)与上两种方法不同，它拜托了加权法(或效用系数法)和序列法(或优先级法)具有的一定局限性，利用本法可找到所以的有效解集，也就是非劣解集，众多非劣解可供决策人从中挑选最为满意的解。

它的缺点则在于实际应用问题中非劣解数量很多，为决策人提供的非劣解集范围过于宽泛。

4、结束语

综上所述，利用多目标规划方法优化投资组合的核心是目标函数模型，在合理地假设基础上将实际问题转化为线性规划问题，使之目标函数模型具有一定的可操作性。

本文通过分析多目标规划方法优化投资组合的应用，旨在于促进交流与学习，如有差误，请指正。

参考文献

[1] 任立民，邓芳;投资组合中多目标规划最优化数学模型的应用[J];海峡科学;，(07).

[2] 魏世振;面向过程波动的质量测定与改进方法及其应用研究[D];南京理工大学;.

[3] 李群;不确定性数学方法研究及其在经济管理中的应用[D];大连理工大学;.

[4] 方运生;多目标规划最优投资组合方法[J];池州师专学报;，(03).

多目标最优化问题在区域经济规划中的应用【3】

摘要：随着经济的发展，区域经济日益重要。

我国有着人口多、人均资源少、基础弱等特殊的国情，做好区域经济规划有助于我国的快速持续健康发展。

篇3：线性规划在多目标问题中的应用

关键词：水资源,优化配置,多目标,线性规划

前言

目前区域水资源优化问题多采用多目标规划的方法,然而用线性规划的方法也能解决,并且过程也比较简单,最后得到的结果和用多目标规划的方法得到的基本吻合,甚至更优,下面以丰水年的沂沭河流域水资源优化配置分析为例子,说明如何用线性规划解决多目标的水资源配置问题。

1 线性规划模型

1.1 沂沭河流域概况

整个沂沭河流域按6个市来划分,并且本节所用模型是按徐州、连云港、宿迁、日照、淄博、临沂来排序的,整个流域的水资源量作为一个公共水源,本模型主要是解决水资源在6个市的优化配置。

1.2 确定模型目标

该模型要实现经济目标、社会目标、生态目标,其中,经济目标为主要目标,可按照水资源经济效益最大来确定,对G D P直接产生贡献的用水为生产用水,因此,经济目标函数的系数需要采用单位水资源产值(万元GDP用水量的倒数)和生产用水占用水总量的比例(生产用水量/用水总量)来计算;社会目标则按照缺水量最小来确定,此目标的实现是通过对供水保证率(分配水量/需水量)加以限制实现的,并把它作为经济目标的约束条件;生态需水量按照污染物总体含量最小来确定,具体是根据污水排放系数(污水排放总量/用水总量)和单位污水污染物含量(污染物排放总量/污水排放总量)来计算,此目标的实现也是通过对污染物排放总量进行限制实现的,也把它作为经济目标的约束条件。其中,单位水资源产值、生产用水占用水总量的比例、污水排放系数、单位污水污染物含量分别见表1、表2、表3、表4[1]。

1.3 模型约束条件

(1)整个流域分配到每个市的水资源量上下限,为各个市丰水年和特枯年的水资源量。

(2)分配到每个市水资源量不超过该流域水资源可供给总量。

本文只讨论多年平均开发利用率情况下的水资源优化配置,因此现状年和规划年的水资源可供给量均为91.03亿m3。规划年的线性规划最优化模型的目标函数定义为f(x)形式,其中为x1,x2,x3,x4,x5,x6,决策变量,其中1,2,3,4,5,6分别表示6个城市的序号,模型的最优解即为整个流域的水资源分配到6个市的水资源量。

目标函数是经济效最大化目标,由每个市各自的单位水资源经济效益决定,由于能对GDP做出贡献的用水部门为生产部门,因此,每个自变量的系数为单位水资源产值乘生产用水占总用水量的比例,具体数值见表1和表2,由此可得到规划年目标函数的系数。第二个目标是社会缺水量最小化目标,此目标在实际应用中若一味追求最小化将会对经济目标产生负面影响,而把缺水量限定在允许范围内则对经济目标有利,因此这里把缺水量放在约束条件中实现,以各城市需水量的80%保证率为下限,即把分配水量/需水量限制在80%以上,在实际应用中则应该根据当地情况来确定。第三个目标是生态目标,也即从环保的角度,此目标要追求零污染是不切实际的,并且会严重制约经济的发展,环境是有一定的纳污能力的,因此把生态目标限制在纳污能力范围即可,在实际应用中可取国家或者地方的环保标准为限制条件,本文目的只是为了说明用线性规划解决多目标问题,就没去找相关环保标准为限制条件,这里取表3中各系数的中位数0.0036为环保目标的限制,并把此目标放在约束条件中实现。

根据上述分析,规划年丰水年的多目标优化模型为

约束条件中,第一个是水资源总量约束,第二个是需水的上下限约束,第三个是社会目标在约束条件中的实现,第四个是生态目标在约束条件中实现,第四个是非零约束。

2 水资源优化配置

利用matlab的优化工具箱来计算,运行结果为(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=(10.71,15.37,5.89,9.10,3.99,40.35),因此,该运行结果可作为优化配置的结果。由于是对未来年的模糊水权配置,此运行结果只作为一个未来年的参考。基于以上结论,可得规划年的水资源配置,具体结果见表5。

3 结论

根据对未来年2010年水资源配置结果进行分析,得出以下结论:2010年,整个沂沭河流域各地区总需水量为56.7亿m3,作为丰水年缺水量仅3.82亿m3,缺水率(缺水量/需水量)为6.7%结果与黄学超用多目标规划的模型得到的结果基本吻合,可见用线性规划也能解决区域水资源配置问题,并且简单易行!

参考文献

[1]黄学超.丰枯水年的沂沭河流域水资源优化配置分析[J].长江科学院院报.2009.

[2]钱正英,张光斗.中国可持续发展水资源战略研究综合报告及各专题报告[M].北京:中国水利水电出版社.2001.

[3]夏军.国际水资源研究与塔里木河流域可持续水资源管理问题[c]塔里木河流域水资源、环境与管理学术讨论会论文集.北京:中国环境科学出版社.1998:296—303.

[4]夏军,左其亭,邵民诚.博斯腾湖水资源可持续利用·理论·方法·实践[M].北京:科学出版社.2003.

篇4：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

关键词：灰色系统理论；多目标规划；最优方案；公交模式

会议筹备问题是2009年全国大学生数学建模竞赛D题，要求参赛者为会议筹备组制定一个预订宾馆、租借会议室、租赁客车的合理方案。同时，赛题提供了两类数据：一是前几届会议与会人员的信息及本次会议发来回执的与会代表对住房的要求，二是会议筹备组筛选出10家宾馆的客房信息。

通过分析可知，会议筹备问题的解题思路是多目标规划，即预定宾馆客房在满足与会代表住房要求的前提下不仅要使空房的费用最低，而且宾馆数量应该尽可能少、距离尽可能近；会议室的安排上要兼顾租借会议室费用最低和派车最少，最后通过编程对以上问题一一作答。

一、预定宾馆客房

（一）预测与会代表人数

筹备组提供的数据有发了回执而未到的人数和没发回执但是到会的人数，因为数据较少，所以利用灰色预测法来处理。首先对未发回执而到会的代表人数进行预测，建立模型：

第一步，作1-AGO生成

X（1）（K）=■X（0）（m）=[57，126，201，305].

第二步，确定数据矩阵B、Y

B=-0.5（X（0）（1）+X（0）（2）） 1-0.5（X（0）（2）+X（0）（3）） 1-0.5（X（0）（3）+X（0）（4）） 1= -91.5 1-163.5 1 -253 1.

Y=X（0）（2）X（0）（3）X（0）（4）=126207305.

第三步，通过MATLAB计算参数矩阵

u=u1u2=（BTB）-1BTY.

第四步，白化微分方程

■-u1X（1）=u2，■-0.2201X（1）=45.2445，

■（1）（k+1）=261.729e0.220997k-204.729.

第五步，利用残差进行精度检验，经检验为一般精度可以进行预测。

预测结果为124人。同理可得发来回执未到的人数为258人，因此本届会议到会人数预测为621人。

（二）多目标规划模型的建立和求解

宾馆的选择上要使得空房费用最低，可预定满足要求的价格最低的房间，并且安排有独住要求的代表先入住各价位的高价房，这样可以使空房费用降低。根据预测人数和发来回执代表对住房的要求，我们忽略男女差异，按比例安排房间如下：合住196间，合住263间，合住320间，独住1137间，独住279间，独住349间。

符号说明：p（i，j）：价格矩阵，i宾馆j规格客房的单价，i=1?撰10，j=1?撰6；a（i，j）：未知矩阵，i宾馆j规格客房的预定数量，i=1?撰10，j=1?撰6；x（i）：取0或1，0代表没有预定该宾馆，1代表选择了该宾馆，i=1?撰10；dist（i，j）：i宾馆到j宾馆的距离，i=1?撰10，j=1?撰10；z（i）：i宾馆的房间总数，i=1?撰10；d1（i）、d2（i）、d3（i）：各宾馆各价位合住与独住房间数的可选择的总数；dem（i）：各规格的宾馆预定数量；u（i，j）：i宾馆j规格客房的数量。

建立模型如下：

目标函数：

z1=min■■p（i，j）·a（i，j），z2=min■x（i），

z3=min■■dist（i，j）·x（i）.

约束条件：

■a（i，j）x（i）≤z（i），i=1?撰10；

■a（i，j）x（i）≥dem（j），j=1?撰6；

[a（i，1）+a（i，4）]·x（i）＜d1（i），i=1?撰10；

[a（i，2）+a（i，5）]·x（i）＜d2（i），i=1?撰10；

[a（i，3）+a（i，6）]·x（i）＜d3（i），i=1?撰10；

a（i，j）≤u（i，j），i=1?撰10，j=1?撰6.

利用分层序列法[2]，编程求得最小费用为77620元，最少宾馆数为4个，宾馆间最短距离和为24100米。具体客房预定如下：1号宾馆普通双标间50间，商务双标间30间，普通单人间30间，商务单人间20间；2号宾馆普通双标间50间，商务双标间35间，豪华双标间A30间，豪华双标间B8间；3号宾馆普通双标间31间，普通单人间27间，商务双标间24间；7号宾馆普通双标间50间，商务单标间40间，商务套房19间。

二、租借会议室

根据要求我们应该安排6个会议室，因为是全国性的会议，所以我们不妨假设会议规模相当，这就要求会议室的大小应在百人以上。会议室租借我们考虑两个问题：一是费用最少，二是外出人数最少。

符号说明：rs（i）：第i个宾馆入住人数（1代表1号宾馆，2代表2号宾馆，3代表3号宾馆，4代表7号宾馆）；hr（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的容量；hs（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的间数；hj（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的价格；ha（i，j）：第i宾馆第j规格的会议室的需要安排的间数。

建立模型：

z=min■■ha（i，j）·hj（i，j）+18.5■1-■·rs（i）

约束条件：

■■ha（i，j）·hr（i，j）＞621；

0＜ha（i，j）＜hs（i，j），i=1?撰4，j=1?撰3；

■■ha（i，j）=6.

通过lingo编程计算得：2号宾馆130人，会议室2间；3号宾馆100人，会议室2间；7号宾馆140人，会议室2间。

三、租用客车

在车辆的安排上我们大胆使用公交运营模式，首先计算出路线：7号宾馆-1号宾馆-2号宾馆-3号宾馆上的最大人流量为201人，3号宾馆-2号宾馆-1号宾馆-7号宾馆上的最大人流量为174人，我们就从7号宾馆和3号宾馆分别发车，沿途各宾馆的代表可上可下。建立模型如下：

目标函数：z=min■b（i）·p（i）.

约束条件：■r（i）·b（i）＞z（i），j=1，2.

其中b（i）：第i类型的车辆数，p（i）：第i类型的车辆租金，r（i）：第i类型的车容量，z（i）：第j路线上的最大人流量。

最后求解得路线7-1-2-3需45座3辆和33座2辆；路线3-2-1-7需45座4辆，总计租金6800元。

四、评价结论及分析

相对于传统模型来说灰色系统理论的GM（1，1）预测模型具有预测精度高，预测误差小的特点。多目标规划模型的建立可以快速、高效地解决宾馆的预定、客房的安排问题。租借会议室和租用客车综合考虑得到费用最小方案。

参考文献：

[1]刘思峰.灰色系统及其应用[M].4版.北京：科学出版社.2008：322-500.

[2]谢金星，薛毅.优化建模与LINDO/LINGO.软件[M].北京：清华大学出版社.2005：322-340.

[3]唐焕文，秦学志.实用最优化方法[M].3版.大连：大连理工大学出版社.2004：7-9.

[4]王小平，曹立明.遗传算法理论与软件实现[M].西安：西安交通大学出版社.2002.

[5]胡运权，运筹学教程[M].北京：清华大学出版社.2003：111-114.

篇5：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

改进的多目标遗传算法在无人机机翼结构优化中的应用

现有的多目标遗传算法往往只能求得整个非劣曲线的一部分,同时局部搜索能力差,收敛速度较慢.为了解决这些问题,提出了一种改进算法,该算法将非劣分层遗传算法(NSGA)与向量评估遗传算法(VEGA)的优点结合起来,并且提供了一个利用往代信息构造搜索方向的局部搜索算子,有效扩展了非劣曲线的范围,加快了收敛速度.以某无人机机翼结构的`多目标优化问题为例,证明本文改进算法可以较为快速地获得一个分布均匀的非劣解集.

作 者：苟仲秋 宋笔锋 李为吉 GOU Zhong-qiu SONG Bi-feng LI Wei-ji 作者单位：西北工业大学,航空学院,陕西,西安,710072刊 名：空军工程大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：7(3)分类号：V214.19关键词：多目标优化 遗传算法 结构优化

篇6：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

学生宿舍的合理分配涉及学生高考入学成绩、生源地等诸多约束条件, 在充分分析现行学生宿舍分配问题的基础上, 对学生宿舍的合理分配问题进行了研究, 提出了解决这类问题的一种新方法--基于矩阵存储的回溯算法. 在对该算法的.时间复杂度进行分析的基础上, 得出了该算法较同类问题的回溯法具有更好的时间效率, 在多约束分配问题中更具合理性和有效性.

作 者：王文发 马燕 李宏达 WANG Wen-fa MA Yan LI Hong-da 作者单位：王文发,马燕,WANG Wen-fa,MA Yan(延安大学计算机学院,延安,716000;延安大学软件研究与开发中心,延安,716000)

李宏达,LI Hong-da(中国科学院软件研究所信息安全国家重点实验室,北京,100080)

篇7：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

摘 要：本文提出了一种用于解决约束多目标优化问题的方法。本算法在进化算法的基础上加入了邻里竞争与邻里合作算子，并通过引入agent-based模型的设计理念，更加注重个体变化对整个群体的影响。本算法首先使用约束偏离值的方法将约束多目标优化问题简化为多目标优化问题;然后使用自我更新算子，当新产生的个体优于原先的个体时予以替换;之后通过邻里竞争与邻里合作加快种群内部的信息交流;最后加入量子加速算子，通过使用量子旋转门来扩大计算搜寻范围提高程序计算速度。本文最后与两种已有算法进行对比，实验结果表明，本算法完成了设计目标。在运行时间和输出结果精度方面都有不错的表现。

关键词：约束多目标优化 约束偏离值 邻里竞争 量子计算

一、引言

进化算法是以达尔文的进化论思想为基础，通过模拟生物进化过程与机制的求解问题的自组织、自适应的人工智能技术。与传统的优化算法相比，进化计算是一种成熟的具有高鲁棒性和广泛适用性的全局优化方法，具有自组织、自适应、自学习的特性。尤其是在处理多目标优化问题时，进化算法表现出很好的效果。

近年来，出现了很多优秀的算法用于解决约束多目标优化问题，其中Deb提出的NSGA-II算法是最为经典的一个算法。NSGA-II成功的将进化算法应用在约束多目标优化问题上，在进化算法的基础上引入了约束偏离值。Hongguang Li提出了基于agent的进化算法用于求解约束多目标优化问题。算法利用agent概念认为每个个体与其种群内其他个体都有相互的作用和影响，虽然算法精度不是很高但是计算速度很快。本文受到基于agent概念的启发，希望设计出一个计算速度快，精度高的算法。

二、量子进化算法

2.1 邻里竞争与邻里合作

agent-based模型是一种从底层到高层的数学模型，模型更加注重的是每个个体对整个群体的影响，通过改变个体的某些特征和表现从而影响整个整体。本算法在此基础上，通过模仿自然界种群内部个体之间既有竞争又有合作的关系，设计出了邻里竞争与邻里合作算子。邻里竞争算子采用的是吞并算子，算子表示如下：

设对于一个种群共有k个个体X1，X2，…，Xi，每个个体的目标函数值分别为，则：

(1)

其中表示的是新产生的个体。公式表达的意义是：每个个体与其排名靠后一位的个体进行竞争，将两者目标函数值进行对比，目标函数值较小的个体成为这一位置上的新个体。

邻里合作算子如下：

(2)

(3)

其中，是个体i、j的第k个决策变量，且。r，u是分布在[0，1]之间的随机数。

2.2 量子计算

加入量子算子是为了加快计算速度，希望通过更少的进化代数进化出更加优秀的种群。本算法通过设计出一个对周围区域具有自适应调整搜索步长的量子旋转门，从而提升量子计算运行效率。量子计算首先需要将个体的基因编码从实数编码形式转换为量子编码形式，之后通过量子旋转门的计算快速搜索周围空间寻找更加优秀的个体进行输出。

个体在完成量子旋转门的计算后，个体的基因编码需要映射回实数域，完成其他计算过程。量子算子的本质也就是通过将个体基因编码转换为量子域，通过利用量子计算在量子域具有指数级加速和指数级存储的能力，快速的寻找最优解的过程。

2.3 算法的主要流程

图1为本算法流程图。算法采用顺序结构设计，结构简单， 在进化计算的基础上首先使用了约束偏离值的方法，将约束多目标问题进行简化。其次借鉴了基于agent模型里种群中个体之间又相互的影响和作用，设计了邻里竞争与邻里合作算子。又利用了量子计算的加速性能，提升了算法的运行速度。

若为第一代种群，本算法通过之前修正好的目标函数向量进行选择，首先在可行解里选取非支配解，形成种群FeaPop，并在全部种群中寻找非支配解，放入种群NonPop中;若不是第一代种群，则将上一代产生的父代FeaPop与当代的进化种群Pop合并形成NPop，在合并之后的种群里再去寻找可行非支配解形成当代的FeaPop种群，寻找非支配解形成当代的NonPop。变异算子对于防止种群陷入局部最优解起到了重要的作用，本算法采用文献中非一致性变异算子。

三、仿真实验与结果分析

本文的测试问题是Deb提出的.六个经典的约束多目标最小化问题， 算法参数设计为：初始种群大小为100，合作概率为0.9， 合作指数为10，变异概率为0.5，非一致系数为2，自我更新指数为20。最大的可行非支配解集FeaPop大小为100，非支配解集NonPop大小为100。对比算法初始种群大小为100， 交叉概率为0.9， 交叉分布指数为15， 变异概率为0.1， 变异分布指数为20。

文中所有测试问题均独立运行30次，我们采用的度量指标分别为GD和算法运行时间。世代距离指标(GD)，是度量算法所得Pareto前端与真实前端之间的距离。其数学表达式如下式所示：

(4)

其中，，n为个体数目，是中第个个体的目标函数向量与中最近个体间的欧氏距离。GD值越小，所求得的前端就越接近真实前端，解集的收敛性就越好。运行时间则是算法的跑完相同进化代数所需要的时间，时间越短说明算法运行速度越快，本文中涉及到的几种算法运行代数均为1000代。

表1给出本文算法与两种对比算法运行6测试问题的结果。

CTP2、CTP7是寻找离散的几个线段，CTP3、CTP4两个问题要寻找的Pareto前端都是离散的端点，CTP5是离散点和线段的组合，CTP6问题是寻找连续的直线。从表中我们可以看出几种算法对于处理CTP2问题都有不错的结果，都可以很好地找到几个离散端点。对于CTP3和CTP4问题由于测试函数难度的加大，算法[3]已不能很好地找出真实Pareto前端所在位置，而NSGA-II、本算法还能找到真实Pareto前端所在区域，不过已经无法做到很精准的定位Pareto前端的位置。对于CTP5，几种算法在找离散点的能力都很不错。对于CTP6问题几种算法都找到了Pareto前端，只是均匀性稍有差异。CTP7问题，除了算法[3]之外也都很好的找到了前端所在区域。

4 总结与展望

篇8：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

1 多目标线性规划问题的数学模型及特点

一般形式 (向量形式) 为[2]:min Z=CQ满足AX+Q′+Q″=B X, Q, Q′, Q″>0, 这里C、Q、A、X、Q′、Q″、B均为矩阵或向量的形式。与线性规划相比, 多目标规划标准型的特点在于:

(1) 构建偏差列向量Q′、Q″。分别为负、正偏差列向量, 各有m (m是约束方程的个数) 个元素。负偏差变量的含义为当实际值小于目标值时, 实际值与目标值的偏差为负偏差, 正偏差变量则为当实际值大于目标值时, 实际值与目标值的偏差为正偏差。

(2) 价值系数行向量C。C的元素最多不超过2m个, 由目标优先权等级Pi (i=1, 2, …, 2m) 和目标优先权系数ηi组成。目标优先权排序P[1], P[2], …, P[2m]给出了多目标规划迭代过程中实现目标的顺序。低级目标的实现不能影响高级目标的实现。

(3) 在多目标规划的目标函数中, 出现的变量只能是偏差变量。目标优先权等级Pi既不是变量, 也不是常数, 它只是说明不同目标实现的先后顺序, Pi的确定一般是由决策部门根据单位具体情况及各目标的轻重缓急加以确定的。而同级目标优先级系数ηi, 则通常用来说明同一优先级目标相互之间的比例关系, 比例关系的确定应按具体问题的性质和决策要求来定义。

(4) 多目标规划的目标函数是向量值函数, 一般情况下不存在通常意义的最优解, 而是一组解的向量空间。因此多目标规划主要考虑如何使问题的向量目标在某种意义下获得非劣的有效解。必须根据决策者的满意程度在有效集中找到最终满意解作为决策的依据。

2 多目标规划在项目管理中的意义

纵观项目管理领域, 决策问题可谓种类繁多, 因为除了一些普遍的原则以外, 更多的决策问题取决于项目本身的关注点和具体的目标要求。然而有一点是能达成共识的, 即在多项目组合管理中, 如何在确保实现某单位整体战略目标的基础上, 兼顾各个项目的目标, 并自上而下地平衡和协调各个项目的资源使用, 使得现有的资源能得到最大化地利用是项目组合资源优化管理中的核心问题。实际工作中通常的情况是项目管理委员会可能会从两方面来考虑:第一种情况, 要求项目A完工时间必须最短, 项目B预算成本最低, 项目C质量最好, 项目D所使用的人员最少等, 这种情况下, 各个目标的关注点不同, 因而目标相互之间独立, 无明显的冲突和矛盾。第二种情况, 要求每个项目无论是成本、完工时间、质量和资源配置等目标都要同时最优化。这种情况下, 目标之间往往互为影响, 甚至存在严重的冲突。前面的分析已经指出, 很难利用线性规划来解决上述问题。因为线性规划只研究在满足一定条件下, 单一目标函数如何取得最优解, 线性规划也并不区分各个约束条件重要性。而多目标规划能弥补线性规划的这些局限性, 特别是当出现多个目标互为制约和矛盾时, 通过多目标规划方法, 使一些线性规划无法解决的问题能得到满意的解答。本文正是从这个角度出发, 来研究现有资源的优化和配置问题, 特别是针对第二种情况, 通过分析具体问题建立相应的规划模型, 以期获得各个项目应具有的贡献度, 并在此基础上为今后的各项具体管理决策提供科学的依据。

3 研究方法

3.1 首先设定项目管理部门的整体目标

对于一个项目管理部门来说, 需要制定一些整体目标。这些目标的制定可以通过统计推断历史数据, 或通过线性规划, 也可通过其他定量化方法得到。总之, 一般来说我们总可假设, 在作多目标管理决策前, 这些整体目标数据是存在的。

3.2 区分各个目标的优先等级

因为现有资源总是有限的, 且当目标之间出现不可调和的矛盾时, 必然需要将目标按重要性的不同分成一级目标、二级目标, 等等。可以把目标优先级作如下约定:

(1) 对同一个目标而言, 若有几个决策方案都能使其达到, 可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案;若达不到, 则与目标差距越小的方案越好。

(2) 不同级别的目标的重要性是不可比的。所以在判断最优方案时, 首先判断较高级别的目标是否达成, 如果达成的话, 再进行下级目标的判断。

(3) 同一级别的目标可以是多个。它们之间的重要程度可用数量 (权数) 来描述。

(4) 若多目标规划问题的解能使所有的目标都达到, 就称该解为多目标规划的最优解;若解只能满足部分级别较高的目标, 就称该解为多目标规划的次优解或可行解。若找不到满足任何一个目标的解, 就称该问题为无解, 这表明当前所有的约束条件互为矛盾, 提示管理层应该重新设定可行的目标。

如果能直接从规划模型中得到每种资源的配置数据, 那固然最好, 但建立这样的模型往往比较困难, 甚至是做不到的。因为通常来说每个项目对每项资源的需求函数是不同的, 甚至得不到正确的函数表达式。由于函数结构的不同, 所以就不太可能在一个模型中一次完成规划。笔者仔细研究后发现可以简化该问题, 即可以将该问题转换为多次规划。首先通过目标规划模型计算各个项目的贡献度, 然后以贡献度指标作为下一步各种资源配置模型或其他管理决策模型的重要输入做二次或多次规划。

3.3 目标规划数学模型

多目标规划模型的一般数学形式 (多项式形式) 为[1]:

说明:括号中多项式等式是由约束条件结合偏差变量转换而来。达成函数是一个使总偏差量为最小的目标函数, 记为min Z=f (dk-, dk+) 。一般说来, 偏差变量有以下3种情况, 但只能出现其中之一:

(1) 要求恰好达到规定的目标值时, d-=0, d+=0;∴d-×d+=0。

(2) 要求不超过目标值, 也就是正偏差变量尽可能小, 则+min Z=f (dk) 。

(3) 要求超过目标值, 但不低于目标值, 也就是负偏差变量尽可能小, 则min Z=f (dk-) 。

优先权等级Pi和权系数wlk的作用前面已说明。满意解即可行解:具有层次意义的解。对于这种解来说, 前面优先级高的目标可以保证实现或部分实现, 而后面的目标就不一定能保证, 有些可能就不能实现。此时需要管理层调整目标, 然后重新规划。

4 建立多目标规划模型的步骤

(1) 根据要研究的问题所提出的各目标与条件, 确定目标值, 列出目标约束与绝对约束;

(2) 可根据决策者的需要, 将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。

(3) 给各目标赋予相应的优先权等级Pi, 同一优先级中的各偏差变量, 若需要可按其重要程度的不同, 赋予相应的权数wlk。

(4) 根据决策者的要求, 按下列情况之一构造一个由优先权等级和权系数相对应的偏差变量组成的, 要求实现极小化的目标函数, 即达成函数。对于两个目标的决策, 可以采用图解法。对于多目标的决策则采用相关算法。 (限于篇幅本文不作讨论, 请参考有关算法内容)

(5) 结合检验结果, 调整和修正约束条件, 重复上面步骤 (1) 。

5 例子详解

设有m个项目:N1, N2, …, Ni, …, Nm (i=1, 2, …, m)

ii表示第i个项目的预计投资收益率;

ti表示第i个项目的从立项到上市的时间;

ui表示第i个项目的供应链可靠性;

ri表示第i个项目的综合风险系数 (假设主要指市场和技术) 。

由前面分析可知, 在规划前, 我们总可以得到一些总体目标数据, 不妨设:

I表示整体项目投资收益率目标 (P1)

R表示整体项目可承受的风险目标 (P2)

T表示整体项目的平均完成时间目标 (U表示整体供应链可靠性要求目标P3)

据此可得到如下约束条件,

在这样一个四目标甚至大量目标的决策问题中, 由于资源是有限的, 不太可能对所有目标能绝对找到最优解, 故必须定义各项目标的优先次序, 如上所示 (P1, P2, P3) 。我们也可假设在P3级别里, 项目的上市时间应该更重要, 不妨假设它们的重要性之比为2∶1。最后得到多目标规划模型如下 (略) :

求解后将得到一组向量X= (x1, x2, …, xi, …, xm) (i=1, 2, …, m)

每个向量元素xi就是我们目标规划所得到的可行解。它表示:为了完成项目管理部门的整体各项目标, 经过目标规划后, 可以精确得到每个项目贡献度指标。对管理者来说, 如何配置现有的各项有限资源就有了准确的决策依据。因为在后续的资源配置规划模型中, 除了其他因素, 各个项目的贡献度是一定要被考虑的。譬如, 现有5个项目N1~N5, 还是上述4个目标, 经过规划得到N1的贡献度=40%;N2=20%;N3=12%;N4=18%;N5=10%。假设每个项目所需的工作量为1人, 现有总人数资源为4人。如果仅从工作量维度考虑如何分配人力资源, 那么在没有做规划而获得贡献度指标前按照一般的做法, 可能会采取以下3种办法来处理: (1) 做算术平均处理。即每个项目平均分配到0.8人, 然后每个人适当地加加班, 就能应付过去了。但这种处理办法存在某些项目由于人力不充分而失败的风险, 毕竟靠加班完成不是一个稳妥的决策。 (2) 补充一人, 确保每个项目有足够的人力资源。这种情况, 虽说项目的成功是有保证的, 但由于额外增加的人力成本会导致整体的效益下降。 (3) 粗略地考虑一些权重的因素, 譬如哪个项目的投资收益率高, 就多放些资源。但这样做的结果只能保证一个最赚钱的项目却无法保证整体目标的实现, 因而也不能确保整体效益的最大化。如果在决策时将各个项目的贡献度考虑进来, 再做人员需求决策, 则情况就不同了。此时结合贡献度和其他的约束条件就可以通过二次或多次目标规划来确定最佳人员需求 (限于篇幅本文不展开讨论) 。只有这样的分配方案才是最优化的方案, 才能确保只有4人的资源下整体效益最高 (本例) 。从中可以看出, 多目标规划模型所给出的可行解是如何影响管理决策的。不过需要注意的是在实际工作中, 人力资源的分配还要依赖其他的约束条件, 如每个人的能力大小等等。但正如本文指出的那样, 无论具体约束条件如何变化, 由考虑整体效益最大化模型而规划出的合理的项目贡献度指标一定是一个重要的决策因素之一, 必须加以考虑, 否则无从谈起整体效益最大化。推广开来, 对于其他资源的分配, 譬如资金、试验设备等, 都可以参照上面的思考方法, 进行二次和多次规划。

6 结语

现有的各种项目管理理论和方法往往从不同的角度, 针对不同的目标试图为项目管理人员提供一整套行之有效的管理体系。从实际情况来看, 确实取得了很好的效果。但据笔者观察, 在多项目组合管理中, 采用多目标规划的思想来优化资源配置, 特别是提出项目贡献度概念的还不多见。本文试图从这一概念出发, 通过建立多目标规划模型, 使项目贡献度概念的应用得以延伸, 进而引伸出了多次规划以获得资源配置最优化的想法, 其本身具有一定的应用价值。应该认识到, 资源配置最优化中的多目标规划问题是一项较复杂的工作, 前期涉及到整体各项目标的如何确定, 后期还需要根据具体要求结合各项目贡献度建立多次规划方案。本文提出的目标规划模型只是整个资源优化配置中的重要一环, 只有将上述各个环节的工作有效地结合起来, 并且发挥计算机对复杂模型的处理能力才能最终形成一个可行的资源最优化配置体系。

参考文献

[1]牛映武, 杨文鹏, 郭鹏, 等.运筹学[M].第2版.西安:西安交通大学出版社, 2006.

篇9：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

关键词:量子遗传算法;多目标分配;最优化

中图分类号:TP18 文献标识码:A 文章编号:1674-7712 (2012) 12-0176-01

一、引言

遗传算法不同于传统寻优算法的特点在于:遗传算法在寻优过程中,仅需要得到适应度函数的值作为寻优的依据;同时使用概率性的变换规则,而不是确定性的变换规则;遗传算法适应度函数的计算相对于寻优过程是独立的;算法面对的是参数的编码集合,而并非参数集合本身,通用性强。它尤其适用于处理传统优化算法难于解决的复杂和非线性问题。[1]

目前,GA已经在很多领域得到成功应用,但随着问题规模的不断扩大和搜索空间的更加复杂,GA在求解很多具体问题时往往并不能表现出其优越性。于是,近年来便出现了遗传算法与其它理论相结合的实践,其中遗传算法与量子理论的结合是一个崭新的、极富前景和创意的尝试。

量子遗传算法QGA是量子计算特性与遗传算法相结合的产物。基于量子比特的叠加性和相干性,在遗传算法中借鉴量子比特的概念,引入了量子比特染色体。由于量子比特染色体能够表征叠加态,比传统GA具有更好的种群多样性,同时QGA也会具有更好的收敛性,因此在求解优化问题时,QGA在收敛速度、寻优能力方面比GA都将有较大的提高。QGA的出现结合了量子计算和遗传算法各自的优势,具有很高的理论价值和发展潜力。

本论文提出用量子遗传算法处理和解决多目标分配问题,为多目标问题的解决提供一种新的思路。

二、量子遗传算法

在传统计算机中,信息存储是以二进制来表示,不是“0”就是“1”态,但是在量子计算机中,充当信息存储单元的物质是一个双态量子系统,称为量子比特(qubit),量子比特与比特不同之就在于它可以同时处在两个量子态的叠加态,量子进化算法建立在量子的态矢量表述基础上,将量子比几率幅表示应用于染色体的编码,使得一条染色体可以表示个态的叠加,并利用量子旋转门更新染色体,从而使个体进达到优化目标的目的。

一个 位的量子位染色体就是一个量子位串,其表示如下:

其中 。在多目标优化中,一个量子染色体代表一个决策向量,在量子态中一个 位的量子染色体可以表达 个态,采用这种编码方式使得一个染色体可以同时表达多个态的叠加,使得量子进化算法比传统遗传算法拥有更好的多样性特征。

为了实现个体的进化,经典进化算法中通过染色体的交叉、变异操作推进种群的演化,而对量子进化算法而言,量子染色体的调整主要是通过量子旋转门实现的,算法流程如下:

(1)进化代数初始化: ;

(2)初始化种群 ,生成并评价 ;

(3)保存 中的最优解 ;

(4) ;

(5)由 生成 ;

(6)个体交叉、变异等操作,生成新的 (此步可省评价);

(7)评价 ,得到当前代的最优解 ;

(8)比较 与 得到量子概率门 ,保存最优解于 ;

(9)停机条件 当满足停机条件时,输出当前最优个体,算法结束,否则继续;

(10)以 更新 ,转到4)。

三、基于量子遗传算法的多目标分配应用

如今为了满足市场的需要,很多工厂的生产种类多、生产量大,从而设置了不同的生产车间,根据产品的性质分配生产车间合理与否直接影响工厂的经济收益,这同样可采用遗传算法的目标分配方法进行分配。

模型构建:设工厂有i个生产车间。 为在第i个车间生产第j种产品的收益, 为第j种产品的需求量;如果第j种产品被选中,则 为在第i个车间生产该产品的总收益。由题意知为求解 最大问题。

仿真实例:设有10个生产车间,要生产15种产品,用Matlab程序编程,设定40个粒子,迭代200次,代沟0.9。运行结果如下:

此图表明经200次迭代后的目标分配方案为:第1种产品由第3个车间生产,以此类推,车间5生产第2种产品,车间8生产第3种产品,……。次方案对应的车间总收益值为2.7030e+003,成功进行了多目标分配问题的解决。

四、结论

基于量子遗传算法的多目标分配,为多目标分配突破传统寻优模式找到了一个可行的解决方法。根据这种方法实验,仿真结果可以看出,基本符合要求,并且能够在一定的时间内得到最优的分配方案,因此,本文在探索多目标分配问题上找到了一种新的解决思路。

参考文献:

[1]吉根林.遗传算法研究综述[J].计算机应用与软件,2004,21(2):69-73

[2]肖晓伟,肖迪.多目标优化问题的研究概述[J].计算机应用研究,2011,3,28(3):805-808

[3]原银忠,韩传久.用遗传算法实现防空导弹体系的目标分配[J].火力与指挥控制,2008,3,33(3):80-83

[4]郭张龙,李为民,王刚.基于遗传算法的目标分配问题的研究[J].现代防御技术,2002,6:0172-0180

[5]孙祥,徐流美.matlab7.0基础教程[M].北京:清华大学出版社,2005

篇10：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

车间调度[1] (Job Shop, JS) 是一类符合任务配置与顺序约束的资源分配问题, 其目标在于寻找到一种将各资源安排到各设备上的最优方案。一般情况下, Job Shop的约束条件有很多, 如缓存容量、资源数量、工件到期时间与操作顺序等, 还有人为的附加因素, 如机器负荷平衡等约束条件。Job shop的求解方法一般可以分为枚举方法、解析方法、邻域搜索方法、人工智能方法、构造性方法。其中, 邻域搜索法有可能出现局部搜索, 使得算法在搜索过程中陷入局部极小。近年来为了避免该问题, 进化算法、禁忌搜索、模拟退火算法、噪声方法等改进邻域搜索算法得到了广泛应用。文献[2]提出分步法, 其基本思想是将机器调度问题和分配问题分开考虑, 以降低问题的复杂程度;文献[3]采用了禁忌搜索法;文献[4]采用了模拟退火法;文献[5]在遗传算法的基础上, 通过加权系数法将多目标问题转化成单目标问题。

遗传算法不受函数约束条件的限制, 如可导性、连续性等, 搜索过程从问题解的一个集合开始, 具有操作简单、鲁棒性好、高效等特点, 但该算法有可能出现早熟问题。协同进化遗传算法考虑个体之间和个体与环境之间的关系, 种群中的个体进化受其它个体和环境的影响。该算法的优点在于采用相对适应值, 同一种群的个体之间相互影响、相互制约、共同进化。文献[6]讨论了多种群协同。

本文提出将协同进化多目标优化算法应用于车间调度问题, 计算实例显示, 该算法不仅可以改善优化效果, 而且具有较高的计算效率。

1 问题描述

1.1 Job Shop问题描述

Job shop调度问题可描述为:有n个工件在m台机器上加工, 每个工件包含有工艺约束关系的多个操作。已知每个操作的加工时间与各工件在机器上加工次序的约束, 要确定符合约束条件的各机器上所有工件的加工开始或完成时间以及加工次序, 使得设定的加工性能指标能达到最优。其中工件i包含的工序数是li, 令为总工序数, 工件加工路线和加工时间确定。调度任务是安排所有工件加工的调度顺序, 使得约束条件被满足, 同时使得给定的性能指标得到优化。

JS需要考虑的约束条件如下: (1) 每个工件须按照约束条件按顺序以此在指定的机器上加工, 即每个工件的每一道工序必须在前一道工序加工完成后才能够开始; (2) 任何一个工件的每一道程序一旦开始执行, 便不可中断, 须等到此道工序完成后, 才能够在该机器上加工其它工件; (3) 任何一个工件不能同时在多台机器上同时加工; (4) 任何一台机器不能同时加工多个工件。每个工件的加工工艺路线与每道工序的加工时间段是已知的, 且不随加工排序的改变而改变。

1.2 协同进化多目标优化算法

多目标优化问题很少出现最优解, 而存在一个相对最优解 (Pareto解集) , 多目标优化的主要目的是寻求Pareto解集中的一个或者多个相对最优解。对于解决这类问题有两类比较普遍的方法: (1) 采用一定的方法将多目标优化问题转化为单目标问题然后求解, 如约束法、权重加和法和理想点法等, 这种方法的优点是每次优化只得到一个解因而无需决策者的参与, 但是权重系数的确定人为因素较大; (2) 直接寻求Pareto解集, 然后再根据一定的准则寻求满意解, 由于该方法寻求到的解集不受决策者偏好的影响, 只取决于问题本身, 所以本文在Pareto解的基础上运用协同进化遗传算法讨论车间调度的优化方法。

Husband在1991年就创建了多种群合作型协同进化遗传算法模型, 并将它应用于车间调度问题[7]。目前比较成熟的多目标遗传算法有小生境Pareto遗传算法 (Niched Pareto Genetic Algorithm, NPGA) [8]、强度Pareto进化算法 (Strength Pareto Evolutionary Algoithm, SPEA) [9]、非支配排序遗传算法 (Nondominated Sorting Genetic Algorithm NSGA) [10]。

2 求解Job Shop的协同进化多目标算法

用遗传算法解决车间调度问题常见的方法有基于工序顺序的编码方法[11]、基于先后表的编码、基于工件的编码、基于优先规则的编码、基于工件对关系的编码、基于设备的编码、随机件编码等。其中, 基于工序顺序的编码能够保证搜索空间是一个完整的解空间, 并且操作者的任何交换对应合适调度, 每一个基因对应于一道工序, 代表着这道工序在进行调度操作时的处理优先级, 对于一个m台机器设备n个工件的调度问题, 一个染色体是由 (n×m) 个基因组成。

例如, 考虑2台设备{M1, M2}对应3个工件{J1, J2, J3}的加工次序矩阵:

加工时间矩阵:

对应的甘特图分别为:

2.1 编码

车间调度问题包含机器分配和工序顺序两个方面, 则真题编码由两段染色体共个基因组成。前面一段个基因的顺序决定着工序调动的顺序, 给每个工件的工序指定相同符号, 再根据它们在染色体中出现的顺序给予解释。例如给定一个染色体 (2, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2) , 染色体第一次出现2表示的是工件2的第一道工序, 第二次出现2表示的是工件2的第二道工序, 其它以此类推。后面的一段个基因表示的是各道工序加工时的机器号。将这两种编码方法产生的染色体上相同位置的基因对应起来, 就可得到车间调度的一个可行解。

2.2 复制

复制操作就是从一个旧的种群中选取比较优良的个体组成新种群的过程, 这个选择过程的依据是适应度, 个体适应度越大被选中的机会就越多。

2.3 交叉

根据上面的染色体编码方式, 设计与之相应的交叉操作。在此采用的是基于机器分配的交叉和基于工序顺序的交叉相结合的交叉方法。对于基于工序顺序的交叉操作, 从车间调度约束条件中可知, 同一工件的所有工序之间存在着先后顺序, 因此在进行交叉操作时要保证每个工件在加工过程中出现的次序不变。例如选定两个个体P1、P2为父体:

工件J1的加工顺序为O11、O21、O31, 工件J2的加工顺序为O22、O12、O32, 工件J3的加工顺序为O13、O23。对于P1, 提供O11、O21、O31这3个位置;对于P2, 提供O22、O21、O23这3个位置, 交叉后得到的两个个体中, 第一个个体P1*保持O11、O21、O31不变, 剩下的位置按P2中的顺序填入, 第二个个体p2*保持O22、O21、O23这3个位置不变, 剩下的位置按P1中的顺序填入:

对于基于机器分配的交叉操作采用的则是单点交叉方法, 对于用于交叉的两个父体, 随机选择一个交叉点, 将交叉点前后两个父体上的所有工序所分配的机器进行交换。对于上面给出的两个父本分配的机器分别为: (4, 2, 1, 4, 2, 1, 3, 4) 与 (1, 2, 4, 3, 1, 2, 4, 1) , 随机取位置四, 将位置四前后的两个父体所有工序对应的机器进行交换得到 (3, 1, 2, 4, 4, 2, 3, 1) 与 (2, 1, 4, 4, 1, 1, 2, 4) 。

2.4 变异

对于基于工序顺序的变异, 选中一个父体, 接着随机选一个工序, 比如说O33在O21与O31之间, 由于每个工件工序顺序是确定的, 可在O21与O31之间随机挑选一个位置插入O33。对于机器分配的变异, 由于每道工序均可由多台机器加工完成, 所有可把完成该道工序的机器放入一个集合中。选定一个父体, 随机挑选一道工序, 接着在可执行该道工序的机器集合中选一个机器。

3 数值实验与算法性能评测

通过对一个Job Shop实例的计算来验证协同进化多目标优化算法的性能。某加工系统加工8个工件, 此系统包括3台车床 (1, 2, 3) 、一台磨床 (4) 、一台铣床 (5) 。加工次序经预先设定, 每个工件要经过多道工序, 每道工序允许在不同的机床上加工, 加工参数见表1, 表1中给出了工序号、工件号、设备号、加工时间、交货时间。

为了测试本文算法的优化效果, 给出本文算法及常规多目标进化算法NSGA的优化结果。仿真实验中的参数为:种群规模200, 进化代数100, 交叉概率0.80, 变异概率0.10。

图1和图2显示, NSGA算法优化的平均延迟时间为11.1min, 加工时间为33min;而协同进化多目标优化算法的平均延迟时间为7.8min, 加工时间为29min。可见, 协同进化多目标优化算法对于Job Shop问题比常规多目标进化算法能找到更优的调度方案。

上述两种算法的运行时间如表2所示, 其中的均值数据是各自运行10次的平均值。表2中的数据显示, 基于协同进化的多目标优化算法具有比常规多目标进化算法更高的优化效率。

4 结语

本文借鉴了生态学中的优胜劣汰、协同进化思想, 提出将协同进化多目标优化算法应用于车间调度问题。实验结果表明, 将协同进化多目标优化算法应用于该问题, 不仅可以提高优化解的质量, 而且具有较高的计算效率。后续工作主要是探讨关联权重对该算法的影响, 以及提出更加接近生态系统的协同进化多目标优化模型。

摘要：针对车间调度问题计算复杂度较高的特点, 将协同进化多目标优化算法应用于车间调度问题。计算实例结果表明, 协同进化多目标优化算法应用于车间调度问题不仅可以优化效果, 而且能够在一定程度上提高计算效率。

关键词：多目标优化,协同进化,车间调度,计算复杂度

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篇11：多目标最优化问题在区域经济规划中的应用探讨

关键词：多目标规划；物流优化；Lindo；模型

中图分类号：F062 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2012.03.004

文章编号：1672-0407(2012）03-012-04 收稿日期：2012-01-12

引言

近20年来，我国先后建起了一批现代化程度较高的物流中心，同时也有许多公司已经通过规划和管理物流取得了显著的竞争优势。实施物流管理的目的就是要在尽可能最低的总成本条件下实现既定的客户服务水平，即寻求服务优势和成本优势的一种动态平衡，并由此创造企业在竞争中的战略优势。

传统的物流优化问题所追求的目标是在运输费用和库存费用的情况下，来优化物流系统，降低物流成本，确定系统的运输方案和库存策略。一方面，这种方法往往把库存和运输分开单独研究，忽略了库存与运输之间的相互制约；另一方面，物流优化通常只考虑到运输因素和库存因素，还有很多现实因素被忽略，具有一定的局限性。本文的研究对象是供货方和需求方组成的系统，不仅综合了库存和运输问题，而且考虑到了时间成本、库存约束，并在此基础上综合运用多目标规划的方法，根据实际情况排列出物流优化问题的先后次序，建立了新的优化模型，最后编写该模型的Lindo程序。

1.成本因素分析

采购成本是企业经营成本中最大的一部分，一般在40%~70%之间，而一项研究也标明，降低采购成本1%，对企业利润增长的贡献平均为10%以上，因此，控制采购成本对企业来说意义重大。

运输是物流活动过程中的一个主要环节，涉及装卸、搬运等多种环节，运输成本在物流成本中也占据了较大比例，设计合理的运输路线、选择合理的运输工具、消除相向运输及迂回运输等不合理现象可以减少运输费用。

库存成本是物流成本控制中的关键一环，需求的不确定性要求企业必须持有一定的安全库存，但是持有库存越多，成本越高，将库存水平控制为最优水平至关重要。库存成本包括在途库存和在库库存。

时间成本是由于存货周转慢而产生的存货投资机会成本和相关的储存费用, 如为租用场地、因货物损害、腐烂变质和进行材料管理而支付的相关费用。这里的时间成本主要以存货为对象, 包括时间的资本成本, 还包括保存成本和由于货物运抵时间推迟造成质量下降、甚至货物腐烂所引起的损失成本。时间成本逐渐在企业成本中占据重要地位，开展时间成本相关研究具有一定的现实必要性。

库存约束因素是考虑到库存量既不能低于安全库存，又不能高于仓储能力，在建立目标函数时对变量进行约束。

2.多目标规划模型概述

多目标规划的特点是引入了正、负偏差变量p、n，以及优先算子和权系数。正偏差变量p表示考察变量值超过目标值的部分；而负偏差变量n表示考察变量值少于目标值的部分，并且p×n=0。在实际问题中常常有多个考察目标，达到这些目标的优先次序也不一样。就本文而言，物流优化目标不仅有采购费用、库存费用、运输费用这些因素，而且根据实际情况，将时间成本，库存约束考虑进去，这些目标的先后顺序为采购费用、运输费用、库存费用、时间成本。假设用u 表示优先程度，且u>u，i=1,2,…,n。当同一优先级有多个考察目标的时候，以权系数区别不同目标之间的差别。

Lindo是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。用Lindo求解多目标规划，可按多目标优先级数展开，将多目标转化为线性规划。实践证明，这种方法简单易行，容易被使用者接受。

多目标规划模型可以用以下形式来表示：

MinZ=U（p,n）

s.t.Ax-p+n=b

x,p,n≥0 （1）

其中p和n分别为正、负偏差量。若Ax-b>0，则p>0,n=0。若Ax-b<0，则n>0,p=0所以若要满足x使得Ax≥b 或者Ax≤b都可以转化成（1）式。对于目标Ax≥b，要求负偏差量n达到极小，对于目标Ax≤b，则要求正偏差量p达到极小。

3.物流优化研究的比较

3.1 传统的物流运输优化模型和库存优化模型

mincx

s.t.x=b,j=1,2…,n

x≤a,i=1,2…,n （2）

x≥0,i=1,2,…,m,j=1,2…,n

上式中：

c：供应方i向需求方j运送物资的运输费用（元/kg）；

ｘ:供应方i向需求方j运送的物资数量；

b：需求方j的需求量；

a：供应方i的供应能力。

传统的库存优化模型——经济订货批量：

经济订货批量（EOQ，Economic Order Quantity）的研究前提是：假设需求已知、延续性、不变性；存货单位成本已知，且不变；不会出现缺货情况；交货周期为零。

只对某一种产品分析，该产品独立需求且不可替代采购价格和订货成本不随着订货数量大小而变化每次运货均为同一订单。

设定用户需求D 件/年，订单批量Q件/次，运作周期T 年，单位成本：UC 件/元，再订货成本：RC元/次，持有成本：HC 元/(件*年)

每个存货周期内总成本=UC×Q+RC+

经济订货批量Ｑ＝

由上可见，传统的物流优化模型割裂了物流中的运输和存储环节，实际上，物流中的运输和储存是相辅相成的，对现代物流系统的研究不仅应综合考虑运输和库存，还应该考虑到采购成本，时间成本等因素，不仅可以使总物流成本最低，还可以提升物流效率和服务质量。

3.2 多目标物流优化模型

多目标物流优化模型的假设是:

（1）需求点的决策管理属于集中决策，由一个人管理；

（2）不允许缺货；

（3）各个需求点的需求是相互独立的、均匀的；

（4）所有需求点的各种货物的需求量之和是确定的。

建立目标函数：

minC=cx+（w+λ）p+wx+txy

s.t.w+λ≥s,j=1,2,…n,k=1,2,…,0

w=Qk=1,2,…,0

x=w,i=1,2,…m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,0

x≤B,i=1,2,…m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,0

c,x,w,λ,ρ,ψ,t,Q,B,γ≥0,

i=1,2,…m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,0

上式中：m,n分别为供货方和需求方的数目；

ｃ：需求方j在供应方i处第k种货物的采购费用（元/kg）；

x:供货方i向需求方j运输第k种货物的运量；

w：需求方j第k种货物的库存需求量（kg）

λ:需求方j第k种货物的初始库存量（kg）

ρ：需求方j第k种货物的单位储存费用（元/kg）

Q：需求方对第k种货物的总需求量（kg）

S：需求方j第k种货物的安全库存（kg）

B：供货方i第k种货物的供应能力（kg）

ψ：供货方i向需求方j运输第k种货物的单位运输费用（元/kg）

nlc202309031149

t：供货方i向需求方j运输第k种货物的单位时间成本（元/kg）

γ：供货方i向需求方j运输第k种货物的平均时间。

目标函数中，第一项为采购费用，第二项为库存费用，第三项为总运输费用，第四项为采购、提货、运输、交货等各个环节的总时间成本。

第一项约束表示任何一个需求点的任何一种货物库存总量不低于其安全库存，第二项约束表示所有需求点的第k种货物的库存需求之和等于其总需求量，其中（w+λ）表示需求方j第k种货物的平均库存量，第三个约束条件表示需求方j第k种货物的运输总量等于其库存需求总量，第四个约束表示供货方i处第k种货物的运输量不超过其供应能力。

该目标函数与付晓凤等研究的库存和运输一体化的物流优化模型类似，但是将物流系统中时间成本和库存约束这两个重要的因素与采购成本、库存成本、运输成本结合起来，作为一个整体进行研究, 以求得总物流成本的最低，增加了该模型理论价值和实际意义。

3.3 基于Lindo软件的多目标规划物流优化模型

按照采购费用、运输费用、库存费用、时间成本，库存约束的先后次序，结合上文中的多目标规划模型，将其标准化，并编成Lindo程序如下：minz=U（p）+U（p）+U（p）+U（p）+U（n+p-n+p-n+p）s.t.

（w+λ）ρ+n-p=k

ψx+n-p=Y

cx+n-p=C

txγ+n-p=αT

（w+λ）+n-p=S

w+n-p=Q

x+n-p=w

x+n-p≤B

c,x,w,λρ,ψ,t,Q,B≥0,

i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,0 （4）

（4）式中：K表示采购费用的上限约束值，Y表示运输费用的上限约束值，C表示库存费用的上限约束值，T表示需求方可以接受的最大时间成本，α表示运输的提前到达率，其他符号所代表的意义与（3）式相同，在运算过程中，可依照已经确定的优先顺序，依次用Lindo求解，最后得到优化解。管理者可以增加或者减少规划条件，调整优化结果。

4.结论

本文分析了影响物流优化的因素，在传统研究的基础上加入时间成本和库存约束因素，综合运用了运输——库存模型以及多目标规划的方法，建立了新的多目标物流优化模型，解决了在综合优化诸多物流环节的条件下如何确定供应商配送数量的问题，最后给出了Lindo算法，具有很强的创新意义和实际意义。进一步的研究可以通过具体实例来验证模型的有效性，并可以和传统的优化算法进行对比分析。

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