粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

2024-04-12

粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用（共15篇）

篇1：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

介绍了粒子群优化算法的原理和实现方法,分析了该算法的主要参数对搜索方向的影响.将粒子群优化算法与遗传算法在优化过程和搜索技术方面进行了对比.利用粒子群优化算法与遗传算法分别对测试函数和桁架结构优化设计问题进行求解,将两种算法的计算结果进行了对比.计算结果表明在满足相同的.计算精度的前提下,粒子群优化算法的效率更高,利用粒子群优化算法可求解机翼结构优化设计问题,因此,粒子群算法是一种有效的优化方法,适用于大型复杂结构优化设计.

作者：王允良李为吉 WANG Yun-liang LI Wei-ji 作者单位：西北工业大学,航空学院,西安,710072刊名：机械科学与技术 ISTIC PKU英文刊名：MECHANICAL SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)：24(2)分类号：V221+.6关键词：粒子群优化算法演化计算结构优化设计

篇2：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

一种改进粒子群优化算法及其在投资规划中的应用

粒子群优化算法(PSO)是模拟生物群体智能的优化算法,具有良好的`优化性能.但是群体收缩过快和群体多样性降低导致早熟收敛.本文引入了多样性指标和收敛因子模型来改进PSO算法,形成多样性收敛因子PSO算法(DCPSO),并且对现代资产投资的多目标规划问题进行了优化,简化了多目标规划的问题,并且表现出了比传统PSO算法更好性能.

作者：刘羿陈增强袁著址 LIU Yi CHEN Zeng-qiang YUAN Zhu-Zhi 作者单位：南开大学,自动化系,天津,300071刊名：数学的实践与认识 ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：200737(11)分类号：O1关键词：PSO算法(Particle Swarm Optimization) 现代资产投资多样性收敛因子模型多目标优化

篇3：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

关键词：粒子群算法,演化算法,桁架结构,结构优化设计

0 引言

目前,结构优化设计技术在结构工程中的应用已深入到了结构设计、强度与寿命分析、结构选材和失效分析等各个领域中。采用传统的优化算法对结构构件进行优化设计,国内外学者已作了很多研究[1]。传统的结构优化算法大多数是基于函数的梯度信息,因此在使用上受到了一定的限制;其次,传统优化算法存在着局部最优现象,使得目标函数的解很难达到全局最优解。为了解决这一问题,先后出现了一般启发式算法及遗传算法、禁忌搜索法、模拟退火法和人工神经网络法等,并取得了一些较好的效果[2]。

20世纪90年代以来,群体智能的研究引起了众多学者的极大兴趣,并出现了两种基于群体智能的算法:蚁群算法(Ant colony optimization)和粒子群算法(Particle swarm optimization)。前者是对蚂蚁群落食物采集过程的模拟,已经成功运用到很多离散变量结构优化设计问题上。后者也是源于对简单社会系统的模拟,由美国社会心理学家James Kennedy和电气工程师Russell Eberhart在1995年共同提出[3],算法模拟鸟群飞行觅食的行为,通过鸟之间的集体协作使群体达到最优。与遗传算法类似,它也是基于群体迭代,但没有交叉和变异操作,群体在解空间中追随最优粒子进行搜索。

PSO算法的优势在于简单容易实现,具有深刻的智能背景,是群集智能的代表方向之一,既适合科学研究,又特别适合工程应用,是一种很好的结构优化设计工具[4]。

1 粒子群优化算法

1.1 产生背景

粒子群优化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法是对鸟群捕食行为的研究而产生的。有这样一个场景:一群鸟在随机搜索食物,在这个区域里只有一块食物。所有的鸟都不知道食物的位置,但它们已知道当前位置距离食物的距离。找到食物的最优策略就是搜索离食物最近的鸟的周围区域。PSO算法就是从这种模型中得到启示并用于求解优化设计问题。

1.2 基本原理

在PSO算法中,每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟(粒子),解群相当于一个鸟群,鸟群从一地到另一地的飞行相当于解群的进化,“好消息”相当于解群每代中的最优解,食源相当于全局最优解。

PSO算法中的每个粒子均作为解空间中的一个解。它根据自己的飞行经验和同伴的飞行经验来调整自己的飞行。每个粒子在飞行过程中所经历过的最好位置,就是粒子本身找到的最优解,称为个体极值(Pbest);整个群体所经历过的最好位置,就是整个群体目前所找到的最优解,称为全局极值(Gbest)。每个粒子都是通过上述两个极值不断更新自己,从而产生新一代群体。在实际操作中,由优化问题所决定的适应度值(Fitness Value),来评价粒子的“好坏”程度。每个粒子还有一个速度决定它们飞行的方向和距离,然后粒子就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

PSO算法的数学抽象为:设在一个N维目标搜索空间中,有m个粒子组成一个群落。其中第i个粒子的位置为Xi=(xi1,xi2,…,xin),飞行速度为Vi=(vi1,vi2,…,vin),i=1,2,…,m;适应值为fitnessi=f(Xi),则Pbesti和XiPbest=(x Pbest i1,x Pbest i2,…,x Pbest in)分别为第i个粒子曾经达到的最小适应值及其对应的位置。x Gbest g为群体所有粒子经历过的最好位置,其索引号为g。所有粒子将按下面的公式来更新自己的速度和位置[5]:

式中,i=1,2,…,m;k为迭代次数;c1和c2为学习因子,一般取c1=c2=2.0;r1和r2为[0,1]内均匀分布的随机数;ω为惯性权重。

1.3 算法步骤

(1)随机给出N维空间粒子的初始位置Xi(0)和初始速度Vi(0),并设定最大迭代次数genmax;

(2)设定每个粒子的适应值,即计算每个粒子的目标函数fitness(i);

(3)将(2)中计算的适应函数值fitness(i)与自身的个体极值(Pbesti)进行比较,若fitness(i)<Pbesti,则用新的适应函数值取代前一轮的个体极值,即Pbesti=fitness(i),XPbesti=Xi;

(4)将每个粒子的个体极值(Pbesti)与全局极值(Gbest)进行比较,若Pbesti<Gbest,则Gbest=Pbesti,XgGbest=XiPbest;

(5)完成以上计算后,再进行新的一轮计算:按公式(2)将粒子进行移动,从而产生新的粒子,返回步骤(2)。直至完成设定的迭代次数或满足事先给定的精度要求为止。

1.4 参数分析

PSO算法的参数包括:粒子群规模m;惯性权重ω;学习因子c1和c2;最大迭代次数genmax。

1.4.1 粒子群规模和维数:

粒子个数一般可取20-40,对于大部分结构优化问题10个粒子已经足够取得好的工程结果。对于比较难的问题或特定类别的问题,粒子个数可以取到100或200个。

1.4.2 惯性权重ω

它使粒子保持运动惯性,使其有扩展搜索空间的趋势,有能力探索新的解空间。若w=0,由于速度本身没有记忆性,粒子的新位置只取决粒子的当前位置Xi和其历史最好位置XiPbest和XgGbest,故粒子群将收敛到当前的全局最好位置,更像一个局部算法;若ω不等于零,粒子有扩展搜索空间的趋势,即有全局搜索能力。故对于较大的ω值有利于跳出局部极小点,而较小的ω值有利于算法收敛。

1.4.3 学习因子

该项参数用于调整粒子自身经验和社会经验在其运动中所起的作用,表示将每个粒子推向Pbesti和Gbest所在位置的统计加速项的权重。低的值允许粒子在被拉回前可以在目标区域外徘徊,而高的值则导致粒子突然冲向或越过目标区域。若c1=0,则粒子没有认知能力。在粒子的相互作用下能达到新的搜索空间,但也易陷入局部极值点。若c2=0,粒子间没有社会信息共享,该算法变成一个多点的随机搜索,若c1=c2=0,则粒子将以当前速度飞行直到达到约束边界。通常取c1=c2=2.0。

2 粒子群优化算法在桁架结构优化设计中的应用

2.1 结构优化数学模型

2.1.1 设计变量对于桁架结构,采用的设计变量为杆件截面面积Ai。

2.1.2 目标函数

采用杆件总重量为目标函数的公式,

式中,W为结构杆件总重量;Ai为第i根杆件的截面面积;Li为第i根杆件的长度;

2.1.3 约束条件

式中,[σi],σi为杆件i的许用应力以及各种工况下最不利应力;[uj],uj为特定节点给定方向上的位移允许值和位移值;{S}为杆件截面尺寸变量的离散集合。

在对约束函数处理时采用罚函数法,即最终目标函数(粒子的适应度函数)是由原优化目标函数(结构重量)和约束函数(应力约束、位移约束)构成的罚项组成的罚函数。对桁架结构优化问题,最终优化设计的数学模型为:

适应度函数:

式中,准为罚因子,取适应度函数值较小者为优。

2.2 粒子群算法在结构优化设计中的应用

对应一组设计变量应用有限单元法,可以求出目标函数植和约束值。以个设计变量为坐标,可以构成维设计空间。利用PSO算法,每个粒子就是维设计空间中的一点,也对应了一个桁架结构的设计方案。维设计变量的取值范围限定了设计空间的范围。每个粒子的适应度可以由优化目标函数和约束值根据公式(7)确定。按照粒子群优化算法的实现方法在设计空间中随机初始化一群粒子(一组设计方案)。根据给出的流程方法进行迭代,反复对先前建立的数学模型求解。PSO算法最终可以收敛到结构设计问题的最优解。PSO算法仅仅根据粒子的适应度,通过粒子间的信息共享机制来决定粒子的运动,可以对设计空间进行有效地搜索。虽然计算量较大,但是实现方法简单,不需要梯度信息。使那些无法获得梯度信息的结构设计问题能够得到解决。因此PSO算法是求解复杂的结构优化设计问题的更一般化的方法。

3 算例分析

算例:如图1所示10杆平面桁架,各杆件使用同一的材料,密度为2768.04kg/cm2,弹性模量为68.9GPa,许用应力σ=±172MPa,集中荷载P=444.5KN,杆件截面取值变化范围为6.45×10-5-0.0258m,各节点的位移约束为50.8mm。优化目标为桁架结构的重量最轻。

用FORTRAN95对PSO算法编制仿真程序,计算结果如表1所示,并把结果与应力准则法和基本遗传算法进行了对比,可以看出PSO算法在最终结果上优于前两种算法。

4 结语

本文在分析PSO算法原理的基础上,对两个土建结构优化设计实例-桁架结构进行了优化仿真计算。计算结果表明:与GA算法相比,PSO算法最大的特点在于:迭代运算中只涉及初等计算,且运算量较少,没有许多参数需要调整,容易实现;其次,整个搜索过程是跟随当前最优解的过程,是一种基于领域的单向信息流动机制的搜索技术,在大多数的情况下,所有粒子将更快的收敛到最优解,这为复杂的土建结构优化设计提供了一个新的算法思路。

参考文献

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篇4：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

摘要：供热管网优化设计一直是多年来城市地下管网工程中的研究热点。通过分析供热管网的优化模型，建立关于供热管网的目标函数即供热管网投资费用，根据供热管网的目标函数及约束条件建立适应度函数。利用粒子群优化算法对该非线性模型进行求解，借鉴遗传算法中变异操作的思想，设计基于遗传算法的混合粒子群算法，寻求在水力约束条件下目标函数的最小值。实例结果表明，将粒子群优化算法应用于供热管网优化设计可以取得较好的优化结果，并且充分的体现出粒子群算法的寻优能力。

关键词：供热管网；目标函数；粒子群优化算法；遗传算法；水力约束条件

中图分类号：TP311文献标识码：A

Abstract：By analyzing the optimization model of heat supply network， a heat supply network objective function， i.e.， the heat supply network investment cost， was established， then the fitness function was established on the basis of the objective function and constraint conditions of heat supply network. To solve this nonlinear model with the particle swarm optimization algorithm， by using the idea of the mutation operation of genetic algorithm， a hybrid particle swarm algorithm based on genetic algorithm was designed， and the minimum of objective function with the hydraulic constraint was sought. The results show that the application of the particle swarm optimization algorithm in the optimization design of heat supply network can achieve better optimization results， and the searching capability of the particle swarm algorithm can be fully embodied.

Key words：heat supply network；objective function； particle swarm optimization algorithm；genetic algorithm；hydraulic constraints

1引言

取暖是保证我国寒冷区域基本生活必要条件之一。随着我国城市供热管网建设的快速发展，原有的供热管网已不能完全满足城市建设的需求，这就需要准确地把握城市供热管网的现状，包括旧管线的维护管理、新管线的设计建设和新小区的管网规划等[1]。目前，对于供热管网的需求，我国已经不满足于规模的逐渐扩大，对于供热管网的适用性、合理性以及热能的有效以及充分的利用率也有了更高的需求。

对于传统的供热管网设计，设计者一般是根据经验进行设计，并且优化设计方案也仅仅是考虑几种不同的布置形式方案比较，并未考虑到同一种布置形式的不同设计的参数组合方案比较[2]。随着优化方法的不断完善，如何使用优化设计优化水力参数，已经成为供热管网设计中非常重要的课题。

粒子群算法由于有精度高、容易实现、收敛速度快等优点，引起学术界的重视，并且在应用于实际的问题中展示了优越性[3]。通过研究粒子群优化算法及遗传算法，以供热管网投资费用作为目标函数，建立供热管网数学优化设计模型，并把粒子群算法应用于这一模型。

2供热管网优化模型

2.1目标函数

管线是供热系统的主要组成部分，供热管材的选择关系到整个供热系统的可靠性和安全性[4]。在供热管网优化设计中，主要设计目标就是在满足管网设计约束条件情况下，使供热管网投资费用即目标函数C最小，以保证经济性。考虑到管径、施工环境、地下水位以及地下及地上构筑物等因素，需要考虑各节点的用水量及水压，来确定根据管线上各管段的设计流量及水压来确定管线干路和支路上流量及水压[5]。供热管网投资费用由供热管线造价、实施费用、年折损值、水电的运行费用四部分组成。本文主要考虑粒子群优化算法在供热管线中的应用，目标函数包括管线造价和管线运行费用两部分。

目标函数如下：

2.2约束条件

通常的情况下，在供热管网中默认水为不可压缩的流体，密度恒定不变[6]。为了解决供热管网优化模型的目标函数，即使供热管网投资费用在一定约束条件下获得最优解，需要在目标函数基础上加上约束条件[7]。

1）管段流速的约束条件

在供热管网设计中，管段流速理应在管段设计最小流速与管段设计最大流速之间，即：

3粒子群优化算法基本理论

粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）是一种基于种群的智能算法[9]。是20世纪90年代由作者J.Kenndy和R.C.Eberhart等提出一种基于启发式的优化算法。PSO算法起源于对鱼群和鸟群等运动轨迹的观察[10]。此算法中，个体仅仅是通过对同伴的行为追踪以及自身简单的行为，就可以让整个群体的运动达到一种和谐的状态。

其中，每个个体抽象成一个“粒子”，它不具有体积，仅仅包含速度和位置的信息，所有的粒子都有适应度值（fitness），且fitness=1/C。粒子根据不断地向自身经历过的最优的位置和当前种群的最优位置学习，向解空间中更好位置进行搜索，直到搜索到全局最优解[11]。

图1为第t代和第t+1代的粒子位置和速度调整示意图。其中，v1为迭代时刻t粒子通过对“社会部分”的学习使粒子向群体位置最优值（gbest）方向不断靠近的速度；v2为迭代时刻t+1粒子通过对“自知部分”的学习使粒子向群体位置最优值（pbest）方向不断靠近的速度；v3表示粒子自身具有的速度。在速度v1，v2和v3的共同作用下，粒子在迭代时刻t+1以速度vt+1到达位置xt+1，在下一个迭代时刻，粒子以同样模式的位移和速度组成方式继续向最优位置靠近，从位置xt+1如此继续迭代下去。

粒子群优化算法的基本数学模型如下：假设问题求解于D维的搜索空间，每个粒子作为一个可能解，所有的粒子形成一个群体（Swarm）。Swarm={x（k）1，x（k）2，…，x（k）m}，其中，m为粒子个数。在D维搜索空间中，k时刻第i个粒子当前的位置向量为x（k）i=（x（k）i1，x（k）i2，…，x（k）id），i=1，2，…，m，这是目前为止个体在搜索空间内的极好位置，即个体极值[12]。其中，下标d表示为粒子第d维（d=1，2，…，D）。与该个体的位置向量对应的该个体速度向量是v（k）i=（v（k）i1，v（k）i2，…，v（k）id）。在k时刻第i个粒子的第d维领域计算公式如下：

v（k）id=w·v（k-1）id+c1·r1·（p（k-1）id-x（k-1）id）+

c2·r2·（p（k-1）ld-x（k-1）id）（13）

x（k）id=x（k-1）id+v（k）id（14）

式中：w为惯性权重[13]，用来表示粒子的惯性对于速度的影响程度；c1，c2为粒子加速因子，用来影响粒子速度，一般c1=3，c2=2；r1，r2为（0，1）之间的随机数；k为迭代次数；p（k-1）id，p（k-1）ld分别为粒子个体位置最优解与粒子群体位置最优解。

粒子更新机制是在搜索空间中随机的初始每个粒子的初始速度和粒子群的初始速度，通过粒子的不断迭代从初始粒子群开始搜索粒子的适应度函数最优解[14]。每次迭代过程中，粒子通过跟踪个体位置最优解与粒子群体位置最优解不断调整自己的方向和速度，用来更新粒子位置。

4PSO算法在供热管网优化设计中的应用

由于粒子群优化算法容易陷入局部最优解，所以通过对照遗传算法中变异操作的思想，使用变异算子对粒子进行变异操作，设计基于遗传算法的混合粒子群算法。对操作算子的引进进行解析：

首先，对于算子选择方案，按照一定比例选择进行选择，按照实际问题采用相应的比例度。本文根据适应度函数选取前半部分较好的粒子直接进入下一代，使粒子的优良基因一直地传递下去，有利于找到更优解。

杂交算子操作的设定，采用遗传算法中杂交操作的概念，提出杂交粒子群算法思想。在每一次的迭代过程中，选择适量的粒子放入一组中，并赋予粒子一个与适应度函数无关的随机的概率，即杂交概率ρn*。首先，凭借ρn*对选取的粒子进行杂交的操作计算，并且把上一代个体替换成新产生同等数量的个体。其次，在整体数量不变的基础上，凭借原来粒子位置加权来计算新粒子的位置。然后，根据类似交叉的思想，选择已经根据适应度值排序完毕的前半部分粒子进行两两交叉操作运算，赋予与适应度不相关的一个随机的ρn*，产生同等数量的粒子安置到下一代的粒子群的后半部分替换原来粒子群[15]。按照下列式子进行位置交叉：

是两个即将进行杂交操作的粒子速度，采用杂交之后的粒子速度用来替换上一代粒子速度，这样粒子就完成了对于位移和速度的杂交方案。

变异操作是在随机初始化整个粒子群的基础上，设定一个变异概率ρn*，与随机产生的变异概率进行对比，若满足了相应的条件，即随机生成的变异概率小于ρn*，那么就进行对粒子得变异操作。ρn*表达式如下：

ρn*=0.10-m·（0.10）/n（19）

其中，m表示粒子当前的序数，通过粒子的变异操作可以有效的防止PSO算法陷入收敛或局部早熟。

基于PSO算法的供热管网优化设计步骤如下：

1）确定供热管网数学模型，初始化粒子群的个体位置与速度，输入原始数据；

2）根据初始的粒子位置和速度计算粒子的适应度值；

3）初始化粒子的个体最优值pbest和群体最优值gbest；

4）计算惯性权重w值，更新粒子速度和位置；

5）计算当前粒子适应度值，按照适应度值排序；

6）按照改进的选择交叉变异算子进行操作；

7）重新计算粒子的适应度值，更新粒子个体最优值pbest；

8）判断全部粒子是否计算完毕，未完成粒子数加1，转步骤4），若完成则更新群体最优值gbest；

9）判断是否达到迭代次数n，未达到迭代次数则n+1，转步骤4），达到则输出结果，运行结束。流程图如下；5实例分析

实例：图3为某小区供热管网示意图，进行管段优化设计计算。小区的供热管网共有一个热源和17个热源连接节点，热源节点为1，设计流量300 t/h（吨/时），管线压力为0.4 MPa，热源连接节点分别为2～18。由于此小区管线管线敷设方式为直埋，故β=0.15。

6结论

供热管网的优化设计一直是多年来城市地下管网系统中的研究热点[16]。针对供热管网管径的选择问题，本文通过借鉴遗传算法中变异操作的思想，使用变异算子对粒子进行变异操作，设计基于遗传算法的混合粒子群算法。通过粒子的速度与位置的寻优寻找最优解，即最优供热管线管径组合。实例结果表明，优化后年运行费用比优化前年运行费用节省约61万元。理论上年运行费用节约7%，管线年基础费用节约5%。故粒子群优化算法在供热管网优化设计中取得了满意的效果，同时也证明了该粒子群算法在供热管网优化中的可行性。此外，PSO算法最终的解还需要更进一步的验证，优化算法的效率也有待更进一步的提高。

参考文献

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[15]谢元平.改进粒子群优化算法的研究及其在控制系统设计中的应用[D].北京：北京化工大学硕士学位论文，2011.

篇5：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

粒子群算法是近期发展的一种有效的`优化方法.基于浓度的概念对粒子群优化算法做了改进,改善了粒子群的多样性,增强了算法的全局搜索能力,从而提高了优化效率.盘式制动器是保证汽车行驶安全的重要部件.应用此方法,以制动时间最短为目标,在几何约束、强度约束、温度约束等条件下,对盘式制动器的主要设计参数进行了优化设计.所得结果表明,盘式制动器的制动效率得到提高,保证了汽车行驶的安全性.

作者：吴军李为吉 WU Jun LI Wei-ji 作者单位：西北工业大学,航空学院,西安,710072刊名：机械设计与制造 ISTIC PKU英文刊名：MACHINERY DESIGN & MANUFACTURE年，卷(期)：“”(4)分类号：O224关键词：盘式制动器粒子群算法优化设计

篇6：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

混合遗传算法及其在翼型气动[1*9/9]多目标优化设计中的应用

把基于实数编码的自适应遗传算法(SAGA)与可变容差法相结合,建立了数值优化设计中的混合遗传算法(HGA),并将其与翼型的气动分析相结合进行跨声速翼型的单目标和多目标气动优化设计.与自适应遗传算法相比,混合遗传算法的优化质量略有改善,优化效率有明显的`提高.优化结果表明混合遗传算法在翼型单目标和多目标气动优化设计中是十分有效的.

作者：王晓鹏作者单位：西北工业大学刊名：空气动力学学报 ISTIC EI PKU英文刊名：ACTA AERODYNAMICA SINICA年，卷(期)：19(3)分类号：V211.1关键词：混合遗传算法跨声速翼型气动优化设计

篇7：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

基于改进粒子群优化算法的新安江模型参数优选

新安江模型是一种实用有效的水文模型,在洪水预报以及水资源评估和管理中得到了广泛的应用.为此,结合新安江模型参数的`特点,提出了基于改进粒子群优化算法的新安江模型参数优选方法,并将该模型应用到日径流预报中.实例表明,该方法能快速地完成参数寻优,并能较好地寻找出参数的全局最优解.

作者：刘力周建中杨俊杰刘芳安学利 Liu Li Zhou JianZhong Yang JunJie Liu Fang An XueLi 作者单位：华中科技大学水电与数字化工程学院,湖北,武汉,430074刊名：水力发电 ISTIC PKU英文刊名：WATER POWER年，卷(期)：200733(7)分类号：O224 TV125关键词：参数优选新安江模型粒子群优化算法径流预测

篇8：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

1 粒子群优化算法

粒子群优化算法也是一种进化计算方法, 它是由Kennedy和Eberhart博士于1995年提出的一种基于群体智能的进化计算技术[5]。该算法具有并行处理、收敛速度快、鲁棒性好和计算效率高的特点, 近年来已经在工业控制系统、电力系统、交通系统中得到广泛应用。

在粒子群优化算法中, 每个优化问题的候选解都随机初始化为搜索空间中的一个粒子, 每个粒子有一个适应度和飞行速度, 通过迭代运算, 跟踪局部最优值和全局值, 更新自己的速度和位置, 最终搜索到最优解。

粒子群优化算法的步骤如下。

(1) 先在解空间随机生成一个粒子群并初始化每个粒子的初始位置和速度, 然后初始化算法参数。

(2) 计算每个粒子的适应度。

(3) 更新粒子的局部最优值和全局最优值。

(4) 按式 (4) 和式 (5) 对粒子的速度和位置进行更新, 并将其位置限定在边界条件内。

(5) 检查算法是否已经满足结束条件。若满足, 则中止运行, 否则, 跳转到步骤 (2) , 进行下一次迭代。

在应用粒子群优化算法求解机械设计优化问题时可分三个步骤, 首先要建立待优化问题的数学模型, 然后确定设计变量、目标函数和约束条件, 最后采用合适的优化方法编写程序, 找到最优解, 并对解的精度、算法的收敛性及计算效率进行评价。在用粒子群优化算法解决优化问题时, 把待优化问题的每一个候选解抽象为粒子群中的一个粒子, 经过多次迭代后, 收敛到最优解。现以凸轮机构的最大压力角及其位置的确定来说明粒子群优化算法在机械优化设计中的应用。

2 仿真算例

已知直动从动件盘形凸轮机构的理论基圆半径r0=40mm, 从动件偏距e=0, 行程h=20mm, 推程运动角ϕ0=90°, 从动件运动规律为余弦加速度, 求凸轮机构的最大压力角及其对应的凸轮转角[4]。

过凸轮与推杆的接触点作公法线, 它与垂直于推杆导路且过轴心的直线相交于P点, P点就是凸轮与推杆的瞬心。其压力角为:

当从动件按余弦运动规律运动时其运动规律为:

S对φ的一阶导数为:

从上式可见压力角与凸轮转角间存在函数关系, 凸轮机构的最大压力角及其位置的确定可转化为一个求极小值的优化问题。

将凸轮转角作为优化变量, 该优化问题是一个一维优化问题。

目标函数为:

约束条件为:

在MatLab环境中编写了程序并进行了计算, 程序的运行硬件环境为C PU 1.73GHz、RAM1GB的计算机上运行, 算法搜索精度ε=10-5时, 计算得到最优解X=[x]=[39.31], 对应的凸轮最大压力角αmax=22.2o。将计算结果与文献[4]中采用黄金分割法优化的结果进行对比, 两者的计算结果基本无差异, 证明了本文采用的方法的可行性。

3 结语

综上所述, 机械优化设计是一门实践性很强的课程, 其教学重点在于教会学生根据分析机械的工作原理建立优化问题的数学模型, 然后选择合适的优化方法寻找其最优解, 粒子群优化算法是一种智能优化算法, 它对优化问题无可微性和连续性要求, 具有全局收敛性, 在机械优化设计教学中引入粒子群优化算法, 可以开阔学生的思路, 为学生解决复杂的工程优化问题打下良好的基础。

参考文献

[1]程耿东, 顾元宪, 王健.我国机械优化研究与应用的综述和展望[J].机械强度, 1995, 17 (2) .

[2]李旻, 李静, 饶雄新, 等.M AT LA B优化工具箱在机械优化设计教学中的应用[J].装备制造技术, 2010 (3) .

[3]张荣沂.智能优化算法在机械优化设计中的应用[J].机械设计与制造, 2003 (1) .

[4]李滨城, 徐超.机械原理MATLAB辅助分析[M].化学工业出版社, 2011 (5) .

篇9：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

关键词：计算机神经网络；粒子群优化算法；应用

中图分类号：TP183

粒子群优化算法是一种相对简单、有效的随机全局优化技术，通过对粒子群优化算法进行相应的改进，以此确保其收敛性，然后再将粒子群优化算法应用到神经网络的学习训练中，能够更有效的找出最优化解。粒子群优化算法和遗传算法相比，粒子群优化算法并没有遗传算法复杂的交叉、变异以及编码，而是对粒子所在解空间的具体位置进行搜索，不需要对众多的参数进行调整，其收敛速度相对较快。

1 粒子群优化算法的基本原理以及优化改进

1.1 粒子群吧优化算法的基本原理

PSO中，每一个优化问题的解都是搜集空间中的一个“粒子”的状态，粒子群优化算法是对群体的全局进行考虑，通过迭代搜寻选取最优值，通过将系统转化成一组随机的例子，由于例子在解空间追随最优的例子进行凑所，所以粒子群优化算法是一种具有全局寻优能力的优化工具。例子群优化算法的基本原理表现为：假设在一个D维的目标搜集中间中，由N个不同的粒子组成了一个特定的群体，其中第i个粒子表示成其在这个D维空间中的向量（xi），也就是该粒子在D为空间中的位置，每一个粒子的位置都存在一个特定的解，通过将xi带入到相应的目标函数中，通过适当的函数计算就能得到其适应度值，然后根据该xi适应度值的大小，以此衡量xi的优劣程度。其中，第i个粒子飞行的速度表示D维中的另一个向量，表示为vi，将在D维空间中搜索到的第i个粒子的最有位置记录为pi，则整个粒子群搜索到的最有位置pi的粒子群优化算法表现为：公式一：vi=ci+c1r1（pi-xi）+c2r2（pg-xi）；公式二：vik+1=vik+c1×rand（）×（pbest-xik）+c2×rand（）×（gbest-xik）；公式三：xi=xi+vi，其中i=1，2，…N；r1和r2为学习因子，rand（）表示介于[0，1]之间的随机常数，c1和c2表示为非负常数。其中迭代的终止条件是根据选择的最大迭代次数决定的，表示的为第i个李在迄今为止搜索到的最优化位置应该满足的适应度的最小值。

从社会学角度方面来说，粒子群优化算法公式中的表示的是粒子的记忆项以及自身认知项，能够表示上次速度的方向以及大小对粒子造成的影响，还能够将当前的指向粒子当作自身的最优化矢量，以此表示粒子的动作来源于自身的经验，能够反映粒子之间的协同作用以及知识共享，粒子能够根据粒子群中相邻粒子的最好经验，然后再结合自身的经验，以此来决定自身的下一步运动，从而形成PSO的标准形式。

1.2 粒子群优化算法的改进

粒子群粒子群优化算法需要用户确定的参数相对较少，并且其操作相对简单，因此该种方法使用起来非常方便，但是，由于粒子群优化算法容易陷入局部极值点，导致搜索的收敛性相对较低，并且粒子群优化算法的收敛性分析已经收到众多学者的重视，因此，为了增强粒子群优化算法的收敛性，可以将抗体多样性保持机制引入到粒子群优化算法中，其步骤表现为：首先，确定参数值，记忆粒子个数M，即常数因子c1和c2粒子群的个数N，粒子的浓度概率选择阀值Pi，其随机产生的N个粒子xi的飞行速度表示为vi，以此计算粒子的适应度函数值；根据公式计算粒子的选择概率，将粒子群体中前M个最大适应度的粒子当作记忆细胞进行储存，将概率大于Pi的粒子根据相应的方法进行计算，从而把M个记忆细胞替换成适应度最差的M个粒子，以此形成全新的粒子群，最终判断其能付满足相应的选择条件，如果满足输出适应度值最好的要求，则选定该粒子。由此可见，通过上述的方法对粒子群优算法进行改进，能够保证粒子群优化算法的精确性，并且通过实践证明，经过改进后的粒子群优化算法，其计算机的仿真结果显示，该种粒子群优化算法的收敛速度明显优于没有改进的粒子群优化算法的收敛速度。

2 粒子群优化算法在计算机审计网络中的应用

计算机神经网络能够模拟大脑的思维能力，然后通过对各种数据进行分析，从而建立其相应的数学模型，计算机神经网络中除了包含许多处理器以外，还包含了许多与人脑神经相似的节点，这些节点按照一定的规律进行连接。如果将计算机神经网络中的每一个过程都细分为若干个微程序，并且将所有的微程序都交付于处理器进行处理，那么处理器处理所有的微程序的过程，就是一条微程序的处理流水线，这样计算机处理信息的速度也将会显著的提高。粒子群优化算法在计算机神经网络中的应用，包括的内容有组合优化、参数优化、神经网络训练、学习算法、网络拓扑结构和传递函数、链接权重等，通过把个体转化成微粒，其中包括计算机神经网络中的所有能够用到的参数，然后经过一些列的复杂、重复的程序，最终达到最终的训练目标。相对于传统的神经训练法来说，由于BP算法需要可微的函数以及梯度信息等大量的数据，只有通过大量的计算才能得到相应的训练结果，其运行难度较大、程序相对复杂，而采用离子群优化算法，其处理信息的速度显著的提升，能够有效的克服其运行效率低的问题。粒子群优化算法在计算机神经系统网络中的应用，主要表现在两个方面：其一，粒子区优化算法在参数优化中的应用，能够通过解决计算机神经网络中的各种离散型问题，从而进行参数优化；其二，粒子群优化算法在组合优化中的应用，其中典型的应用表现为其在工程经济问题中的应用，其能够通过将各种资源进行科学的组合，通过设置一定的约束条件对这些组合进行排序，通过不断的尝试最终能够找到最有效的解决方案，然后合理的利用所有的组合实现经济效益的最大化。此外，粒子群优化算法不仅能够应用在计算机神经网络中，还能够应用在更多的领域中，例如软件编辑、游戏开发、电力系统等领域中。

3 结束语

文章对计算机神经网络中粒子群优化算法的应用进行了研究，对粒子群优化算法进行了相应的改进，有效的提高了粒子群优化算法的收敛速度。将粒子群优化算法应用在计算机神经网络中，其操作相对简单，比较容易实现，并且其还能够更快的收敛于最优解，有效的克服了传统遗传算法缺点。因此，在计算机神经网络学习训练中，广泛的推广和应用粒子群优化算法具有很大的现实意义。

参考文献：

[1]丁玲，范平，闻彬.粒子群优化算法在计算机神经网络中的应用[J].理论与算法，2013（17）：39-41.

[2]曹大有.一种免疫粒子群优化算法及在小波神经网络学习中的应用[J].计算机应用于软件，2009（06）：189-192.

[3]刘爱军，杨育，李斐.混沌模拟退火粒子群优化算法研究及应用[J].浙江大学学报（工学版），2013（10）：1722-1729.

[4]虞斌能，焦斌，顾幸生.改进协同粒子群优化算法及其在Flow Shop调度中的应用[J].华东理工大学学报（自然科学版），2009（03）：468-474.

[5]刘宝宁，章卫国，李广文.一种改进的多目标粒子群优化算法[J].北京航空航天大学学报，2013（04）：458-473.

作者简介：张小军（1980.01-），男，河南人，讲师，研究方向：云计算，数据挖掘，通信技术。

篇10：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

基于粒子群算法的神经网络在水资源评价中的应用

为了改善传统的人工神经网络,在训练过程中容易陷入局部最小导致应用于水资源评价时存在对训练样本的拟合精度不高的缺点,采用粒子群算法优化人工神经网络的权值和阈值,然后将其应用于中国12个地区的水资源可持续利用系统评价实例中,并和传统的.人工神经网络进行了对照.结果表明,基于粒子群算法的人工神经网络和传统的人工神经网络相比,能较好的提高对训练样本的拟合精度,表明基于粒子群算法的人工神经网络,用于水资源可持续利用系统评价是可行的.

作者：赵吉武邹长武作者单位：成都信息工程学院,四川,成都,610225 刊名：成都信息工程学院学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF CHENGDU UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGY 年，卷(期)： 25(3) 分类号：X824 关键词：环境科学环境评价粒子群算法人工神经网络水资源

篇11：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

改进的多目标遗传算法在无人机机翼结构优化中的应用

现有的多目标遗传算法往往只能求得整个非劣曲线的一部分,同时局部搜索能力差,收敛速度较慢.为了解决这些问题,提出了一种改进算法,该算法将非劣分层遗传算法(NSGA)与向量评估遗传算法(VEGA)的优点结合起来,并且提供了一个利用往代信息构造搜索方向的局部搜索算子,有效扩展了非劣曲线的范围,加快了收敛速度.以某无人机机翼结构的`多目标优化问题为例,证明本文改进算法可以较为快速地获得一个分布均匀的非劣解集.

作者：苟仲秋宋笔锋李为吉 GOU Zhong-qiu SONG Bi-feng LI Wei-ji 作者单位：西北工业大学,航空学院,陕西,西安,710072刊名：空军工程大学学报(自然科学版) ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF AIR FORCE ENGINEERING UNIVERSITY (NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：7(3)分类号：V214.19关键词：多目标优化遗传算法结构优化

篇12：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

混沌优化算法在不可分稳态大系统优化中的应用

讨论了整体目标函数关于各子系统不具有可加形式的大规模稳态系统的`优化问题,将混沌优化算法应用于其最优值的求解,利用混沌运动的遍历性来得到优化问题的全局最优值.仿真结果表明,该算法简单易行,求解精度和可靠性较高,是解决不可分稳态大系统优化问题的一种有效方法.

作者：李薪宇康波吕炳朝 LI Xin-yu KANG Bo LU Bing-chao 作者单位：电子科技大学,自动化工程学院,四川,成都,610054刊名：数学的实践与认识 ISTIC PKU英文刊名：MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY年，卷(期)：38(3)分类号：O1关键词：稳态大系统混沌优化全局最优

篇13：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

关键词：粒子群,量子,云计算,应用

1粒子群优化算法

粒子群优化是由美国心理学家James Kennedy和电器工程师Russell Eberhart于1995年提出的。首先说,标准的粒子群算法是通过控制权重系数 ω 的线性下降来使得种群收敛的,从收敛图上看,如果在多次迭代后(比如100次迭代后)如果最优粒子的适应度值不再变化即认为此时算法已经达到收敛。

理论上,粒子群通过自身的更新机制使得每个粒子在每次的迭代中会向该粒子的历史最优位置以及全局粒子位置的中间(或周围)位置靠近,这样虽然保证了粒子搜索的高效性(假设最优点存在于全局最优点与历史最优点的中间位置)但势必带来了粒子搜索范围的减少,所以容易出现局部收敛,并且已有相关文献证明了这不是一个全局最优的算法。

还有一种简单的做法是证伪,即不去直接证明粒子群是一个全局最优,而是试图去找到一个点,这个点的适应度值比粒子群找到的全局最优点的适应度值更好,这样就间接说明了算法没有找到全局最优点(可以采用纯随机, 直到找到比粒子群提供的全局最优点好为止),其实陷入局部最优不只是粒子群的问题,进化类的算法都存在这个问题,只不过有些算法随机性强一些,收敛速度慢一些, 所以更加容易跳出局部最优(但不是绝对避免)。其搜索过程数学描述为:假设在一个Ⅳ维的目标搜索空间中,由M个代表潜在问题解的粒子组成群体, 在t时刻,第f个粒子位置为速度为

对于最小化问题 (1.1),目标函数值越小,对应的适应值越好。粒子f的个体最好位置加P盯由式 (2.1) 确定:

下面的内容是带收缩因子Z的粒子群优化算法:

每次更新粒子位置后都要判断的限制位置分量是否超过预定范围,如果超过,则人为讲位置设置为边界值,速度也是有限定的,一般设置为 [-a,+a],这个a值要根据你的问题范围确定,目的是限制粒子每次移动的最大步长。一个与某个收敛模式相符合的改进了的速率方程式以以下形式提出:

优点:搜索速度快、效率高,算法简单,适合于实值型处理。

缺点:对于离散的优化问题处理不佳,容易陷入局部最优。

确切的讲,以上波函数、概率密度函数和分布函数都应该写成条件概率的形式:

但对于给定了的Pi.l,两种写法对于用Monte Carlo法求粒子位置的坐标是没有影响的。这样对于粒子f的每一维应用定理,可得第j维的坐标基本进化方程:

同样对于每一维应用定理,很容易得到以下单个粒子收敛条件。

2粒子优化算法在云计算任务调度的应用

既然是数学系的,可以考虑从粒子群算法的收敛性证明和分布性检验方面着手,偏理论性的证明,这方面比较欠缺,有点类似于高楼地基不稳,大家却在上面继续研究。

可以参考遗传算法的模式定理或隐性并行性定理等, 如果能够提出关于粒子群算法的定理,应该足够具有挑战性了。

还有就是对粒子群算法进行算法融合或改进,然后针对改进的算法进行测试,检验其在函数优化等方面的效能。

其中,XIJ表示子任务TI与虚拟资源VMI的分配关系,

篇14：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

【关键词】结构设计；优化设计技术；应用

结构设计优化方法和技术的应用具体体现在房屋工程结构总体的优化设计和房屋工程分部结构的优化设计两方面。其中房屋工程分部结构的优化设计包括：基础结构方案的优化设计、屋盖系统方案的优化设计、围护结构方案的优化设计和结构细部设计的优化设计。对以上几个方面的优化设计还包含选型、布置、受力分析、造价分析等内容，并应在满足设计规范和使用要求的前提下，结合具体工程的实际情况，围绕其综合经济效益的目标进行结构优化设计。

1.结构设计优化方法

建筑结构设计追求适用、安全、经济、美观和便于施工五种效果，而建筑设计优化设计技术方法的应用不但满足了建筑美观、造型优美的要求又能使房屋结构安全、经济、合理，成为实际意义上的"经济适用"房。从建筑上分析结构设计优化方法，它主要体现在房屋工程分部结构的优化设计和房屋工程结构总体的优化设计量方面。进行结构设计时，应在满足设计意图后，尽量使平面布置规则，缩小刚度和质量中心的差异，这样水平荷载就不会使建筑物有太大的扭转作用。竖直方向上应避开使用转换层，减少应力集中现象。

1.1结构优化设计模型

结构设计优化就是在各种影响变量中选择主要参数，并建立函数模型，运用科学合理的方法得出最优解。结构总体的优化建立模型的大致步骤如下：一是设计变量的合理选择。通常的设计变量选择对设计要求影响较大的参数，将所涉及的参数按照各自的重要性区分，将对变化影响不大的参数定为预定参数，通过这种方法可减少很多计算编程的工作量。二、目标函数的确定。使用函数找出满足既定条件的最优解。最后，约束条件的确定。房屋结构可靠度优化设计的约束条件，包括了应力约束、裂缝宽度约束、结构强度约束、尺寸约束、从正常时的极限状态下弹性约束到终极状态的弹塑性约束、从可靠指标约束到确定性约束条件等。设计中，要保证各约束条件必须符合现行规范的要求。

1.2结构优化计算方案

结构设计优化设计多个变量、多个约束条件，属于一个非线性的优化问题，设定计算方案时，常将有约束条件转变为无约束条件来计算。常用的方法有拉氏乘子法、符合型法、Powell等。完成计算方案的设定后只需编制相应适用的运算程序即可得到我们的最终优化结果。

2.结构设计优化技术的实践应用

结构设计优化方法应用于实践之中，是目前一个比较广泛的课题，利用结构优化的方法在不改变适用性能的前提下达到降低工程造价的目的。结构设计优化设计应用于项目的整体设计、前期设计，旧房改造，抗震设计等设计的各分部环节，发挥着巨大的效益。在按照结构设计优化的方法及模型进行实践的过程中，要注意下面的几个问题。

2.1结构设计优化应注意前期参与

因为前期方案的确定直接影响建筑的总投资，而现在存在的普遍问题就是前期方案阶段结构设计并不进行参与，建筑师进行建筑设计时大多并不考虑结构的合理性以及它的可行性，但是建筑设计的结果却直接对结构设计造成影响，某些方案可能会增加结构设计的难度，并使得建筑的总投资提高。如果在方案的初期，结构优化设计就能参与进来，那么我们就能针对不同的建筑类别，选择合理的结构形式，合理的设计方案，获得一个良好的开端。

2.2概念设计结合细部结构设计优化

概念设计应用于没有具体数值量化的情况，例如地震设防烈度，因为它的不确定性，计算式难免与现实有较大的差异，在进行设计的时候就要采用概念设计的方法，把数值作为辅助和参考的依据。设计过程中需要设计人员灵活的运用结构设计优化的方法，达到最佳的效果。

与宏观把握相对应的，设计的过程同时要注意对于细部的结构设计优化，比如现浇板中的异形板拐角处易出现裂缝，可划分为矩形板。注意钢筋的选择，I级钢和冷轧带肋钢市场价格差不多，但是他们的极限抗拉力却相差很大，所以在塑性满足要求的情况下，现浇板的受力钢筋就可选择冷轧带肋钢筋。在做里面设计的时候，外立面上的悬挑板及配筋，满足基本的规范要求即可，达到既安全又经济的目的。

2.3下部地基基础结构设计优化

地基基础的结构设计优化首先要选择合适的方案，如果为桩基础，那么要根据现场地质条件选择桩基类型，尽量节省造价。桩端持力层对灌注桩桩长的选择影响很大，应多进行比较以确定最合适的方案。

3.结构设计优化技术在建筑结构设计中的应用

（1）直觉优化（概念设计优化）技术与建筑结构设计对于同一建筑方案，可以有许多不同的结构布置设计；确定了结构布置的建筑物，即使在同种荷载情况下也存在不同的分析方法；分析过程中设计参数、材料、荷载的取值也不是惟一的：建筑物细部的处理更是不尽相同，这些问题是计算机无法完全解决的，都需要设计人员自己作出判断。而判断只能在结构设计的一般规律指导下，根据工程实践经验进行，这便是前面所说的概念设计。因此，概念设计存在于设计师对多种备选方案进行选择的过程中。

（2）概念设计处理的实际建筑设计问题概念设计所要处理的问题多种多样。但可以肯定的是希望通过概念设计，建筑结构能在各种不期而遇的外部作用下不受破坏，或将破坏程度降至最低。因此，分析如何应付建筑物可能遭遇的各种不确定因素成为概念设计的重要内容。其中，地震作用最为难以琢磨，破坏性也最大。故而，建筑设计过程中就应该未雨绸缪，从计算及构造等各个方面都要采取一些有助于提高抗震能力的措施，不利于抗震的作法则应尽量避免。刚度均匀、对称是减小地震在结构中产生不利影响的重要手段；延性设计则能有效地防止结构在地震作用下发生脆性破坏；多道设防思想能使建筑在特大地震作用下次要的构件先破坏，消耗一部分地震能量。这些抗震设防思想在整个设计过程中都应该作为概念设计的重要指导思想。

【参考文献】

[1]谈建筑结构的优化设计[J].建筑科学，2009（4）.

[2]张红友.优化结构设计减少建筑投资成本[J].陕西建筑，2008（11）.

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[4]卢亦焱，黄银燊，唐红.房屋加层外框架结构方案的优化设计[J].哈尔滨工业大学学报，2009（4）.

篇15：粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用

直接切入主题，TF-idf算法到底是如何计算的：

公式：

TF：词频

IDF：逆文本频率指数

TF-IDF=TF*IDF

我们举例说明，TF词频的意思，是指一个词出现在页面中的次数，如果一篇文章的总词语数是200，而“网站优化”这个词出现了4次，那么这个词频TF=4/200，也就是0.02。

而IDF也就是很文件频率，指这个词在多少页面出现过计数为N，文件总数计数为M，那么IDF=lg(M/N)。假设“网站优化”在2000个页面出现，总文件数为1亿,那么文件频率IDF=lg(100000000/2000)=4.69897,那么计算最后的TF-IDF=0.02*4.69897=0.0939794。

这只是一个判断一个页面的相关度的问题，而在SEO网站优化中，并不只是判断TF-IDF的值加分，我们需要一个识别度高的词来为页面加分。例如：搜索引擎收录一万亿个页面，应该说每个页面都会有“的、是、中、地、得”等等词，这些高频词也叫噪音词或停止词，搜索引擎会去除这些词，所以这些词的加分权重其实应该是0。计算公式：TF-IDF=log(1万亿/一万亿)=log1=0。

其实在搜索引擎检索中，计算权重的时候，会根据每个词分词来计算，例如：“SEO网站优化的技巧”这个词。

假设：SEO页面检索数位2000万，网站优化的检索数为1000万，技巧的检索数为50000万

搜索引擎索引总数假设为100亿，

SEO在www.ruihess.com这个网站中页面(页面总词数400)出现8次，网站优化出现10次，技巧出现16次。

那么各自的词频

TF(SEO)=8/400=0.02,

TF(网站优化)=10/400=0.025

TF(技巧)=20/400=0.04

TF(的)=上面已近提到，的属于高频停止词，权重为0。

那么搜索“SEO网站优化的技巧”这个页面的相关度为：TF(总)=0.02+0.025+0.05=0.095。

而IDF(SEO)=LOG(10000000000/20000000)=2.69897

IDF(网站优化)= LOG(10000000000/10000000)=3