函数定义域意识培养

函数定义域意识培养（精选四篇）

函数定义域意识培养 篇1

函数解析式包括定义域和对应法则, 所以在求函数解析式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误的.

例1等腰三角形的周长是20, 底边长y是腰长x的函数, 写出这个函数解析式.

解:由题意易得函数解析式为:y=20-2x.但是作为三角形的腰长和底边, x和y都应该是正数, 即, 而且三角形两边之和大于第三边, 所以2x>y, 即函数解析式为:

很多学生在解这道题时总是写到对应法则时就认为结束了, 其实此时本题的函数关系式还欠完整, 因为还没有自变量的范围, 也就说学生的解题思路不够严密.

这个例子告诉我们, 在用函数方法解决实际问题时, 函数定义域应该由问题的实际意义确定.在教学中, 教师应该引导学生理解并充分认识到应用问题中自变量的实际意义, 从而不断提高学生思维品质的严密性.

二、函数之单调性问题与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

例2指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解:先求定义域:

因为x2+2x>0, 所以x>0或x<-2.

所以函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数, 在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又因为f (x) =log2u在[0, +∞) 是增函数.

所以函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性.

三、函数之奇偶性问题与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例3判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解:因为2∈[-1, 3]而-2[-1, 3].所以定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称, 所以y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目, 就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:因为f (x) = (-x) 3=-x3=-f (x) .所以函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

错误剖析:因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因.

函数定义域意识培养 篇2

1． 培养思维的广阔性

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误.如：

例1 某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S=x(50-x)

故函数关系式为：S=x(50-x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0＜x＜50

即：函数关系式为：S=x(50-x)（0＜x＜50）

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，要跳出数学看数学，培养思维的广阔性.

2． 注重思维的严密性

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题.如果不注意定义域，将会导致最值的错误.如：

例2 求函数y=x2-2x-3在［－2，5］上的最值．

解：∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴当x=1时，ymin=-4

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)在R上适用，而在指定的定义域区间［p,q］上，它的最值应分如下情况：

(1) 当-b2a＜p时，y=f(x)在［p,q］上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；

(2) 当-b2a＞q时，y=f(x)在［p,q］上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；

(3) 当p≤-b2a≤q时，y=f(x)在［p,q］上最值情况是：

f(x)min=f-b2a=4ac-b24a，

f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.

故本题还要继续做下去：

∵-2≤1≤5

f(5)=52-2×5-3=12

∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

∴f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12

∴函数y=x2-2x-3在［－2，5］上的最小值是－ 4，最大值是12．

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的严密性.

3． 挖掘思维的深刻性

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.如：

例3 求函数y=4x-5+2x-3的值域．

错解：令t=2x-3，则2x=t2+3

∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78

故所求的函数值域是78,+∞．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在［0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是［1, +∞）．

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维的深刻性.

4． 植入思维的批判性

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.如：

例4 指出函数f(x)=log2(x2+2x)的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为(-∞,-2)∪(0,+∞)．

令u=x2+2x，知在x∈(-∞,-2)上时，u为减函数，

在x∈(0,+∞)上时， u为增函数.

又∵f(x)=log2u在［0,+∞)是增函数．

∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-∞,-2)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数.

即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间(0,+∞)，单调递减区间是(-∞,-2).

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏批判性.

5． 利用思维的灵活性

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.如：

例5 判断函数y=(x-1)2x-1+1的奇偶性．

解：∵定义域为{x｜x≠1}

∴定义域关于坐标原点不对称

∴函数函数y=(x-1)2x-1+1是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f(-x)=-x=-f(x)

∴函数函数y=(x-1)2x-1+1是奇函数．

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.

综上所述，在求解函数函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的灵活性.

参考文献

［1］《中学数学教学参考》 陕西师范大学

［2］《高中数学题根》 黄坪 尹德好 编著

函数定义域意识培养 篇3

关键词：函数,思维品质

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域 (或变量的允许值范围) 似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100米，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为 (50-x) 米，由题意得：S=x (50-x)。

故函数关系式为：S=x (50-x).

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：

例2求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值。

初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用，而在指定的定义域区间[p, q]上，它的最值应分如下情况：

⑴当

⑵当p时，y=f (x) 在[p, q]上单调递减函数f (x) max=f (p) ，f (x) min=f (q) ;

⑶当p≤≤q时，y=f (x) 在[p, q]上最值情况是：

f (x) max=max{f (p) ，f (q) }，即最大值是f (p) ，f (q) 中最大的一个值。

故本题还要继续做下去：

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4，最大值是12。

这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例3求函数的值域。

错解：令

故所求的函数值域是[，+∞)。

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞) 上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例4指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间。

解：先求定义域：∵x2+2x>0

∴x>0或x<-2

∴函数定义域为 (-∞，2) ∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈ (-∞，-2)上时，u为减函数，

在x∈ (0，+∞)上时，u为增函数。

又∵f (x) =log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x) =log2 (x2+2x)在 (-∞，-2)上是减函数，在[0，+∞)上是增函数。

即函数f (x) =log2 (x2+2x)的单调递增区间是(0，+∞)，单调递减区间是 (-∞，-2)。

如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x)

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

例谈运用函数定义解题能力的培养 篇4

一、据“定义语”想定义

“定义语”是指定义的文字语言叙述, 有些题设的情境已明确显露。如果不注意这一点, 而是一味地进行运算, 会使解题过程变得复杂, 运算量加大。而如果注意这些情境, 可以使解题的过程简化, 计算量减小, 节省解题时间, 达到事半功倍的效果。

例1:求到定点A (3, -3) 的距离比到定直线y=2的距离小1的点的轨迹。

分析:这是一道考察圆锥曲线统一定义的题目, 是一道变形题, 将原题中的直线y=1改为了直线y=2, 增加了思维含量, 仔细分析题中条件可知动点M到定点A与到定直线y=1的距离相等, 符合抛物线的定义, 解法应然而生。

解:由条件可知动点M到定点A与到定直线y=1的距离相等, 所以其轨迹为抛物线, 其中A (3, -3) 为焦点, y=1为准线。

∴顶点为 (3, -1) , p=4,

∴所求轨迹方程为 (x-3) 2=-3 (y+1) .

二、据“定义词”想定义

“定义词”是指圆锥曲线中“焦点”“准线”等关键词。而圆锥曲线统一定义中所涉及到的都是焦点到准线距离的比值, 所以见此就应积极联想运用定义求解。

例2:已知椭圆左顶点为A (2, 0) , 左准线为y轴, l是过左焦点且倾斜角为60°的直线, l被椭圆所截弦长为, 求椭圆方程。

分析:许多人见到本题的第一反应是设出椭圆方程、直线方程进行联立, 再利用根与系数关系和l被椭圆所截弦长为求出椭圆方程中的未知量, 进而得到椭圆方程。计算量很大, 而且涉及到的变量较多, 容易出错, 难度也很大, 但如果注意到题中涉及到了焦点、准线, 联想到统一定义, 所涉及到的变量只有离心率, 可以表示出椭圆方程。再由焦点坐标, 直线的倾斜角为60°, 可以设出直线方程, 联立只有一个变量, 再由l被椭圆所截弦长为, 求出离心率, 可得椭圆方程, 本题得解。

解:此题不仅涉及焦点, 而且明确给出准线, 故首先想到统一定义。

由可知F (2+2e, 0) , 则椭圆方程为,

即 (x-2-2e) 2+y2=e2x2…… (1) ,

再据椭圆基本定义得:弦长

代入 (1) 整理得椭圆方程

三、据“定义式”想定义

“定义式”是指圆锥曲线定义的符号表达式, 包括定义和统一定义。在解题时要善于提炼这种特征式, 分析出圆锥曲线的类型, 再由题中条件求出相应的变量值, 使问题得以解决。

例3:求过定点A (-5, 0) 且x2+y2-10x-11=0与圆相切的动圆圆心的轨迹。

分析:许多学生解答本题时首先想到的是设出动圆圆心的坐标, 动圆的半径。再由过定点A (-5, 0) , 与圆x2+y2-10x-11=0相切, 消掉变量, 得到动圆圆心的轨迹方程, 但计算量也较大, 而且消参时难度也较大, 学生的出错率很高。但如果抓住与圆x2+y2-10x-11=0相切这一要素, 在进行分类讨论, 即外切和内切时, 结合圆锥曲线的定义, 得出曲线类型, 可以使解题过程简化, 提高准确率。

解:圆即为 (x-5) 2+y2=36, ∴圆心为B (5, 0) , 半径为36。设动圆圆心为M (x, y) , 则当两圆外切时, 有|MB|=6+|MA|, 即|MB|-|MA|=6, 此式即为双曲线的“定义式”, 可知动圆圆心M的轨迹为双曲线 (左分支) 。其中2a=6, 2c=10, ∴b=4故其方程为。