林寿《数学史概论》教案(156页)

林寿《数学史概论》教案(156页)（精选1篇）

篇1：林寿《数学史概论》教案(156页)

《数学史概论》教案（156页）

主讲人：林寿

导言

主讲人简介：林寿，宁德师专教授，漳州师院特聘教授，四川大学博士生导师，德国《数学文摘》和美国《数学评论》评论员。1978.4~1980.2宁德师专数学科学习；1984.9~1987.7苏州大学数学系硕士研究生；1998.9~2000.5 浙江大学理学院攻读博士学位。拓扑学方向的科研项目先后20次获得国家自然科学基金、国家优秀专著出版基金等的资助，研究课题涉及拓扑空间论、集合论拓扑、函数空间拓扑等，在国内外重要数学刊物上发表拓扑学论文90多篇，科学出版社出版著作3部。1992年获国务院政府特殊津贴，1995年被授予福建省优秀专家，1997年获第五届中国青年科技奖、曾宪梓高等师范院校教师奖一等奖。

个人主页：http://www.ndsz.net/ls.asp

一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史的选修课？

数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。

庞加莱（法，1854－1912年）语录：如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。

萨顿（美，(1884-1956年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且培植他们高雅的质量。

数学史的分期：

1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪）；

2、初等数学时期（公元前6世纪－16世纪）；

3、近代数学时期（17世纪－18世纪）；

4、现代数学时期（1820年至今）。

二、教学工作安排

授课形式：讲解与自学相结合，分13讲。

第一讲：数学的起源与早期发展； 第二讲：古代希腊数学； 第三讲：中世纪的东西方数学I； 第四讲：中世纪的东西方数学II； 第五讲：文艺复兴时期的数学；

第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立； 第七讲：18世纪的数学：分析时代； 第八讲：19世纪的代数； 第九讲：19世纪的几何与分析I； 第十讲：19世纪的几何与分析II； 第十一讲：20世纪数学概观 I； 第十二讲：20世纪数学概观 II； 第十三讲：20世纪数学概观 III； 选

讲：数学论文写作初步。

作业：每一讲写600字左右的读书笔记，30%记入学期总成绩。

考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿（约 2000字），并把讲稿内容制作成PowerPoint文档（约15分钟，5－8张文档），70%记入学期总成绩。

要求：讲稿用A4纸单面打印，连同PowerPoint文档于2008年6月18日（第17周星期三）上交。

三、主要参考书

1、[美]克莱因.古今数学思想.牛津大学出版社，1972（中译本：北京大学数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979~1981，4卷本）；

2、张奠宙.20世纪数学经纬.上海：华东师范大学出版社，2002；

3、吴文俊主编.世界著名数学家传记（上、下册）.北京：科学出版社，1995；

4、程民德主编.中国现代数学家传（5卷本）.南京：江苏教育出版社，1994－2002；

5、中国大百科全书编辑委员会.中国大百科全书（数学卷）.北京：中国大百科全书出版社，1988；

6、王元，严士健，石钟慈，谈德颜编译.数学百科全书（5卷本）.北京：科学出版社，1994－2000；

7、郭金彬，孔国平.中国传统数学思想史.北京：科学出版社，2004；

8、徐品方，张红.数学符号史.北京：科学出版社，2006。

第一讲

数学的起源与早期发展

主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。

1、数与形概念的产生

从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最原始、最方便的工具是手指。

如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形数字），西安半坡遗址出土的陶器残片。

早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部）等。

世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。

2、河谷文明与早期数学 2.1 古代埃及的数学 背景：古代埃及简况

埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。

古代埃及可以分为5个大的历史时期：早期王国时期（公元前3100－前2688年）、古王国时期（前2686－前2181年）、中王国时期（前2040－前1768年）、新王国时期（前1567－前1086年）、后期王国时期（前1085－前332年）。

（1）古王国时期：前2686－前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。（2）新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。

直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。

埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。

吉萨金字塔（公元前2600年）（刚果，1978），它显示了埃及人极其精确的测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。

古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。莱茵德纸草书（1858年为苏格兰收藏家莱茵德购得，现藏伦敦大英博物馆，主体部分由84个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试“化圆为化”的公式）。

莫斯科纸草书（1893年由俄国贵族戈列尼雪夫购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，包含了25个数学问题）。

埃及纸草书（民主德国，1981）。

数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。

公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊数学所取代。

2.2 古代巴比伦的数学 背景：古代巴比伦简况

两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。

（1）古巴比伦王国：公元前1894－前729年。汉穆拉比（在位前 1792－前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。

（2）亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。（3）新巴比伦王国：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之一的巴比伦“空中花园”。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所见，永难磨灭”。

公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比伦王国。

了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约50万块泥版出土。苏美尔计数泥版（文达，1982）。

现在泥版文书中大约有300多块是数学文献：以60进制为主的楔形文记数系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根），能处理三项二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。

泥版楔形文，普林顿322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前1600年以前，数论意义：整勾股数）。

巴比伦泥板和彗星（不丹，1986）。2.3 西汉以前的中国数学 黄河壶口瀑布（中国，2002）

《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21世纪）中提到“左规矩，右准绳”，表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。

考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。

1952年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中，有一些符号就是表示数字的符号。

在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷墟甲骨上数学（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年间河南安阳出土）。

算筹（1971年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源大约可上溯到公元前5世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前300年）。怎样用算筹记数呢？公元3－4世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万。

中国传统数学的最大特点是建立在筹算基础之上，是中国传统数学对人类文明的特殊贡献，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

我国是世界上首先发现和认识负数的国家。战国时法家李悝（约公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持变法，我国第一部比较完整的法典《法经》（现已失传）中已应用了负数，“衣五人终岁用千百不足四百五十”，意思是说，5个人一年开支1500钱，差450钱。甘肃居延海附近（今甘肃省张掖市管领）发现的汉简中有“负四筭（suàn，筹码，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。

在2002年中国考古发现报告会上，介绍了继秦始皇陵兵马俑坑之后秦代考古的又一重大发现：湖南龙山里耶战国－秦汉时期城址及秦代简牍。2002年7月，考古人员在湖南龙山里耶战国－秦汉古城出土了36000余枚秦简，记录的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝历史，其中有一份完整的“九九乘法口诀表”。在《管子》、《荀子》、《战国策》等先秦典籍中，都提到过“九九”，但实物还是首次发现，这是我国有文字记录最早的乘法口诀表。

最后给一首数字诗，取自宋朝理学家邵康节（公元1011－1077年，中国占卜界的主要代表人物）写的一首诗，描绘像花园一样美丽的地方，一幅朴实自然的乡村风俗画，宛如一副淡雅的水墨画：

一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。

思考题

1、您对《数学史》课程的期望。

2、谈谈您的理解：数学是什么?

3、数学崇拜与数学忌讳。

4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。

5、数的概念的发展给我们的启示。

6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。

第二讲 古代希腊数学

主要内容：论证数学的发端，亚历山大学派，古希腊数学的衰落家，简述11位哲学家或科学家的数学工作。

恩格斯指出：“没有希腊的文化和罗马帝国奠定的基础，没没有现代的欧洲。” “如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” ——Claude Hugo Hermann Weyl 背景：古希腊的变迁 古希腊地图。

希腊时期（公元前11世纪－前3世纪）：分为爱奥尼亚时期和雅典时期。爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪，其中公元前11世纪－前9世纪希腊各部落进入爱琴地区，公元前9－前6世纪希腊各城邦先后形成，前776年召开了第一次奥林匹克运动会，标志着古希腊文明进入了兴盛时期。希波战争（前499－前449年）以后，雅典成为希腊的霸主。

雅典时期：公元前6－前3世纪，伯罗奔尼撒战争（前431－前404年，雅典及其同盟者与以斯巴达为首的伯罗奔尼撒同盟之间的战争），希腊各城邦陷入混战之中。

马其顿帝国崛起：前6世纪－前323年。马其顿位于希腊的北部，处于希腊文明的边缘，被希腊人视为蛮族。公元前4世纪起马其顿逐渐成为希腊北部的重要国家，正当希腊的城邦在经历将近100年的内战之后都精疲力竭的时候，马其顿的菲利普二世（公元前382－前336年）把整个希腊统一于其统治之下，前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位。前334年，亚历山大（公元前356－前323年）率大军渡海东征，拉开了征服世界的序幕。亚历山大最大的敌人是强大的波斯帝国，他先后从波斯人手中夺取了叙利亚和埃及，攻下巴比伦，波斯帝国灭亡。前323年，亚历山大病死，他庞大的帝国也随之分裂，古希腊历史结束。但在帝国扩张的过程中将希腊文明传播至东方，史称希腊化时代。

希腊化时期（公元前3世纪－公元7世纪）：分为亚历山大时期和亚历山大后期。

亚历山大时期：公元前323－前30年，前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及。亚历山大后期：公元前30－公元640年，公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书。

罗马帝国：公元前27－公元395年（公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷，现为土耳其的伊斯坦布尔），西罗马帝国：公元395－公元476年（为日尔曼人所灭），东罗马帝国：公元395－公元1453年（610年改称拜占廷帝国，为奥斯曼土耳其人所灭）。

本讲分三节介绍：古典时期的希腊数学、亚历山大学派时期、希腊数学的衰落。

1、古典时期的希腊数学 公元前600－前300年。

1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于爱奥尼亚的米利都城，早年经商，被称为“希腊哲学、科学之父”。

哲学：万物源于水，即“水生万物，万物复归于水”。其思想的影响是巨大的，在他的带动下，人们开始摆脱神的束缚，去探索宇宙的奥秘，经过数百年的努力，出现了希腊科学的繁荣。泰勒斯首创之功，不可磨灭。

数学：创数学命题逻辑证明之先河，希腊几何学的鼻祖，最早留名于世的数学家，证明了一些几何命题，如“圆的直径将圆分为两个相等的部分”，“等腰三角形两底角相等”，“两相交直线形成的对顶角相等”，“如果一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等”，“半圆上的圆周角是直角”（泰勒斯定理），测量过金字塔的高度。

预报了公元前585年的一次日食。

1.2 毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯（约公元前560－前480年），出生于小亚细亚的萨摩斯岛，与中国的孔子（公元前551－前479年）同时，曾师从爱奥尼亚学派，年青时曾游历埃及和巴比伦，在萨摩斯岛建立了具有宗教、哲学、科学性质的学派，致力于哲学和数学的研究，繁荣兴旺达一个世纪以上。

哲学（，智力爱好）：万物皆为数。没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物，宣称宇宙万物的主宰者用数来统御宇宙，试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙永恒的真理。

数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，“μαθηματιχα”（可学到的知识），“毕达哥拉斯定理”（希腊，1955），完全数（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，„）、亲和数（一对数，其中每一个数除它本身以外的所有因子之和是另一个数，如220，284），正五角星作图与“黄金分割”（正五角星是该学派的标志，正五角星相邻两个顶点的距离与其边长之比，或简单说正五边形边长与其对角线之比，正好是黄金比），发现了“不可公度量”，困惑古希腊的数学家，出现的逻辑困难史称“第一次数学危机”。

希波战争以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，可谓哲学盛行、学派林立、名家百出。雅典古卫城最宏伟、最精美、最著名的建筑是为敬奉城市庇护女神雅典娜建造的“帕提农神庙”（也称“巴台农神庙”，建造于公元前447－前432年），其中应用了一些数学原理。

雅典时期：开创演绎数学。掷铁饼者（米隆，约前450年）。

1.3 伊利亚学派：芝诺（约公元前490－前430年），出生于意大利南部半岛的伊利亚城邦，毕达哥拉斯学派成员的学生。

芝诺悖论：两分法，运动不存在。再由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，即不可能在有限的时间内通过无限多个点，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

阿基里斯（荷马史诗《依里亚特》中的希腊名将，善跑）、飞矢不动。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。

1.4 诡辩学派（智人学派）：活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，代表人物均以雄辩著称，诡辩的希腊原词含智慧之意，故亦称智人学派。

古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。

安蒂丰（约公元前480－前411年），有关他的生平至今没有确切的定论，只知他在雅典从事学术活动，是智人学派的代表人物，在数学方面的突出成就是用“穷竭法”讨论化圆为方问题。他从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍到正八边形、正十六边形、、持续重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安蒂丰认为这个内接正多边形将与圆重合，既然通常能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么就能作出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安蒂丰却因此成为古希腊“穷竭法”的始祖。

希腊人对三大作图问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制。1855年，法国科学院拒绝再审查化圆为方问题的解。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）证明了数的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。

1.5 柏拉图学派：柏拉图（约公元前427－前347年），出生于雅典的显贵世家，曾师从毕达哥拉斯学派，哲学家苏格拉底（公元前469－前399年）的学生。作为一名哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响，特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，后人将分析法和归谬法归的使用归功于柏拉图，在古代希腊社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。代表作《理想国》。

柏拉图说：“上帝按几何原理行事”，“不懂几何者免进”，认为打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形，发展了用演绎逻辑方法系统整理零散数学知识的思想。

柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，公元前387年以万贯家财在雅典创办学院，讲授哲学与数学，直到529年东罗马君王查士丁尼下令关闭所有的希腊学校才告终止。意大利文艺复兴三杰之一拉斐尔•桑蒂（1483－1520年）的壁画：雅典学院（创作于1509－1510年）。

古希腊最著名的哲学家、科学家：亚里士多德（公元前384－前322年）（乌拉圭，1996），柏拉图的学生。

1.6 亚里士多德学派（吕园学派）：出生于马其顿的斯塔吉拉镇，公元前335年建立了自己的学派，讲学于雅典的吕园，又称“吕园学派”，相传亚里士多德还做过亚历山大大帝的老师。“吾爱吾师，吾尤爱真理”。

集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，创立了独立的逻辑学，堪称“逻辑学之父”，“矛盾律”、“排中律”成为数学中间接证明的核心，努力把形式逻辑的方法运用于数学的推理上，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。

1207年亚里士多德的著作全部被译成拉丁文。13世纪由托马斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了经院哲学，对亚里士多德哲学稍加篡改用来适应基督教教义，试图从哲学上以理性的名义来论证上帝的存在。

亚历山大帝国版图、亚历山大帝国解体。

希腊化时期的数学（公元前300－公元600年）。亚历山大去世后，帝国一分为三：安提柯王朝（马其顿）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（叙利亚）。

亚历山大灯塔（匈牙利，1980）。亚历山大城现在是埃及最大的海港城市。邮票中的主图是世界古代七大奇观之一的亚历山大（法罗斯）灯塔，建于托勒密王朝鼎盛时期的公元前285－前247年，建成的灯塔高达117米，1375年的一次猛烈地震，灯塔全毁，法罗斯岛连同附近海岸地区慢慢沉入海底，千古奇观从此烟消云散。

世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像，他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，那是古代西方人眼中的全部世界，而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所见，永难磨灭”。

2、亚历山大学派时期

公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特尔，约前367－前283年）统治下的希腊埃及，定都于亚历山大城，于公元前300年左右，开始兴建亚历山大艺术博物馆和图书馆，提倡学术，罗致人才，进入了亚历山大时期：希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。

2.1 欧几里得（公元前325－前265年）

早年学习于雅典，公元前300年应托勒密一世之请来到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，他的公理化思想和方法历尽沧桑而流传千古，成为后人难以跨跃的高峰。“几何无王者之道”，后推广为：“求知无坦途”。

《原本》（Στοιχετα，意指：学科中具有广泛应用的最重要的定理）。13卷： 第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理（世界最早、完整、严格的证明）、初等作图法等；

第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积等； 第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切； 第五、六卷：比例论与相似形； 第七、八、九、十卷：数论；

第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源。采用了亚里士多德对公理、公设的区分，由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。

5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量减等量，差相等；（4）彼此重合的图形是全等的；（5）整体大于部分。

5公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；（2）一条有限直线可不断延长；（3）以任意中心和直径可以画圆；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

《原本》是数学史上第一座理论丰碑，确立了数学的演绎范式，正如英国著名哲学与数学家罗素（1872－1970年）说过：“欧几里得的《原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一”。它也成为科学史上流传最广的著作之一，仅从1482年第一个拉丁文印刷本在威尼斯问世以来，已出了各种文字的版本1000多个。存在缺陷，定义借助直观，公理系统不完备。

2.2 数学之神：阿基米德（公元前287－前212年）与牛顿（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以来最伟大的三大数学家之一，出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大城师从欧几里得的门生。

“给我一个支点，我就可以移动地球”。最为杰出的数学贡献是，在《圆的度量》中，发展了200年前安蒂丰的穷竭法，用于计算周长、面积或体积，通过计算圆内接和外切正96边形的周长，求得圆周率介于3•10/71和3•1/7之间（约为3.14），这是数学史上第一次给出科学求圆周率的方法，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。阿基米德螺线，一位应用数学家，阿基米德之死（在保卫叙拉古的战斗中被罗马士兵所杀）。墓碑上是阿基米德最引以为豪的数学发现的象征图形：球及其外切圆柱。

2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年），出生于小亚细亚的珀尔加，年青时曾在亚历山大城跟随欧几里得的门生学习，贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相当完美的圆锥曲线论，以欧几里得严谨风格写成的传世之作《圆锥曲线》，是希腊演绎几何的最高成就，用纯几何的手段达到了今日解析几何的一些主要结论，确实令人惊叹，对圆锥曲线研究所达到的高度，直到17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。

克莱因（美，1908－1992年）：它是这样一座巍然屹立的丰碑，以致后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作。

贝尔纳（英，1901－1971年）：他的工作如此的完备，所以几乎二千年后，开普勒和牛顿可以原封不动地搬用，来推导行星轨道的性质。

3、希腊数学的衰落

公元180年前后的罗马帝国版图。

公元前6世纪，在意大利半岛的台伯河畔，有一座罗马城逐渐建立起来。公元前509年，罗马建立了共和国。古罗马经过多个世纪的战争，时分时合多次。公元前27年，罗马建立了元首政治，共和国宣告灭亡，从此进入罗马帝国时代。在公元前1世纪完全征服了希腊各国而夺得了地中海地区的霸权，建立了强大的罗马帝国。1世纪时，罗马帝国继续扩张，到2世纪，帝国版图确定下来，它地跨欧、亚、非三洲，地中海成了它的内湖。传统的史学家把公元前27年到公元284年称为早期罗马帝国。

进入晚期罗马帝国时期，帝国在战乱中于395年由最后一个君主提奥多正式把帝国分为两部分，西部以罗马为首都分给了长子阿卡狄（称为西罗马帝国），东部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布尔）为首都分给了次子贺诺里（称为东罗马帝国）。476年，西罗马帝国皇帝被日耳曼人废掉，西罗马帝国灭亡，西欧奴隶制社会的历史结束了，从此进入了封建社会时期。

古罗马斗兽场（建于公元70－82年）。西班牙古罗马高架引水桥（建于公元1世纪末2世纪初）高架引水桥从遥远的雪山引水到阿尔卡萨城堡，全长15公里，有166个拱门，它由2万多块大石头堆砌而成，石块间没有任何水泥等灰浆类物质黏合，至今仍能坚固完好，实在令人叹为观止。据说，这座已经1900岁引水桥的引水功能，直到1950年还在使用呢！如今它是塞哥维亚的标志性建筑。

罗马帝国的建立，唯理的希腊文明从而被务实的罗马文明所取代。同气势恢弘的罗马建筑相比，罗马人在数学领域远谈不上有什么显赫的功绩。由于希腊文化的惯性影响以及罗马统治者对自由研究的宽松态度，在相当长一段时间内亚历山大城仍然维持学术中心的地位，产生了一批杰出的数学家和数学著作。从公元前30年－公元600年常称为希腊数学的“亚历山大后期”。

3.1 托勒密（埃及，90－165年），在亚历山大城工作，最重要的著作是《天文学大成》（《至大论》）13卷

第一、二卷：地心体系的基本轮廓； 第三卷：太阳运动； 第四卷：月亮运动；

第五卷：计算月地距离和日地距离； 第六卷：日食和月食的计算； 第七、八卷：恒星和岁差现象；

第九－十三卷：分别讨论五大行星的运动，本轮和均轮的组合在这里得到运用。

提出地心说而成为整个中世纪西方天文学的经典。《大成》中总结了在他之前的古代三角学知识，其中最有意义的贡献是包含有一张正弦三角函数表，这是历史上第一个有明确的构造原理并流传于世的系统的三角函数表。三角学的贡献是亚历山大后期几何学最富创造性的成就。

托勒密的本轮－均轮模型。

3.2 丢番图（公元200－284年）《算术》

亚历山大后期希腊数学的一个重要特征是突破了前期以几何学为中心的传统，使算术和代数成为独立的学科。希腊算术与代数成就的最高标志是丢番图的《算术》，这是一部具有东方色彩、对古典希腊几何传统最离经叛道的算术与代数著作，其中最有名的一个不定方程：将一个已知的平方数分为两个平方数。17世纪法国数学家费马在阅读《算术》时对该问题给出一个边注，引出了后来举世瞩目的“费马大定理”。另一重要贡献是创用了一套缩写符号，一种“简写代数”，是真正的符号代数出现之前的一个重要阶段。

关于丢番图的生平，知之甚少，推测大约公元250年前后活动于亚历山大城，知道他活了84岁。丢番图的墓志铭：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。

这相当于方程：1/6•x+1/12•x+1/7•x+5+1/2•x+4=x，x=84。古希腊数学的落幕。

基督教在罗马被奉为国教后，将希腊学术视为异端邪说，对异教学者横加迫害。公元415年，亚历山大女数学家希帕蒂娅（公元370－415年）被一群听命于主教的基督暴徒残酷杀害。希帕蒂娅曾注释过阿基米德、阿波罗尼奥斯和丢番图的著作，是历史上第一位杰出的女数学家。希帕蒂娅的被害预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运。

柏拉图学园被封闭。公元529年东罗马皇帝查士丁尼（527－565年）下令封闭了雅典的所有学校，包括柏拉图公元前387年创立的雅典学院。

亚历山大图书馆（当时世界上藏书最多的图书馆）三劫，希腊古代数学至此落下帷幕。

第1次劫难：前47年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及亚历山大图书馆，70万卷图书付之一炬。

第2次劫难：公元392年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，30多万件希腊文手稿被毁。

第3次劫难：公元640年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历山大城全部希腊书籍予以焚毁。

附：埃及阳历、儒略历、格里历、公历

目前通行世界的公历，是我们大家最熟悉的一种阳历。这部历法浸透了人类几千年间所创造的文明，是古罗马人向埃及人学得，并随着罗马帝国的扩张和基督教的兴起而传播于世界各地。

由于计算尼罗河泛滥周期的需要，产生了古埃及的天文学和太阳历。埃及阳历：每年365天，12个月，每月30天，外加5天年终节日。天文学家索西吉斯（前90－？）建议罗马儒略·凯撒（前100－前44年）大帝使用阳历，注意4年置闰一次；公元前46年制定儒略历。

儒略历：平年365天，12个月，大月31天，小月30天，单月为大月（凯撒生日在7月），8月也定为大月（屋大维（奥古斯都，前63－公元14年，凯撒姐姐的儿子，是凯撒遗嘱的第一继承人，生日在8月），从8月开始，单月为小，双月为大，所欠缺的天数均从2月（不吉利的月份）里扣除，使之成为28天。闰年366天，使2月成为29天。

儒略历从公元前45年1月1日开始实行。

公元325年，罗马教皇将儒略历规定为教历。公历的纪元，就是从“耶稣降生”的那年算起的，这与基督教的兴盛密切相关。

问题： 一年365.25天比实际回归年长度365.2422多0.0078天，至公元1582年，已与实际天数多了10天。

为了不违背宗教的规定，满足教会对历法的要求，罗马教皇格里高利13世设立了改革历法的专门委员会，比较了各种方案后，决定采用意大利医生利里奥的方案，在400年中去掉儒略历多出的三个闰年。

格里历：罗马教皇格里高利13世，将1582年10月5日直接变成15日；在4年一闰的基础上每逢百之年只有能被400整除的才算闰年；历年的平均长度为365.2425，更接近回归年长度（与回归年长度相差25.92秒），要过3333历年两者才会相差1日。

由于格里历的内容比较简洁，便于记忆，而且精度较高，与天时符合较好，因此它逐步为各国政府所采用。

公历：格里历先在天主教国家使用，20世纪初为全世界普遍采用，所以又叫公历。

我国于1912年开始采用公历，但仍用中华民国纪年，1949年中华人民共和国成立后，采用公历纪年。

思考题

1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。

2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？

3、简述欧几里得《原本》的现代意义？

4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。

5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。

6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？

第三讲：中世纪的东西方数学I

中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。

1、中算发展的第一次高峰：数学体系的形成

秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。我们通过一些古典数学文献说明数学体系的形成。1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170年前后）的竹简，共千余支。经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。经研究，它和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。

《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它虽是一部天文学著作（“盖天说”－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天说”－大地是悬浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似形方法）。

勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。

中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。《九章算术》是由“九数”发展而来。在秦焚书（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。经过西汉张苍（约公元前256－152年，约公元前200年，西汉阳武（今河南原阳）人）、耿寿昌（公元前73－49年，约公元前50年）等人删补，大约成书于东汉时期，至迟在公元100年。

全书246个问题，分成九章：（1）方田（土地测量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积计算，另有约分、通分、四则运算，求最大公约数等运算法则；（2）粟米（粮食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介绍依等级分配物资或按等级摊派税收的比例分配算法；（4）少广（开平方和开立方法）；（5）商功（立体形求体积法）；（6）均输（征税），处理行程和合理解决征税问题，包括复比例和连比例等比较复杂的比例分配问题；（7）盈不足（盈亏类问题解法及其应用）；（8）方程（一次方程组解法和正负数）；（9）勾股（直角三角形），介绍利用构股定理测量计算高、深、广、远的问题。所包含的数学成就是丰富和多方面的，主要内容包括分数四则和比例算法、面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等，既有算术方面的，也有代数与几何方面的内容。如方程第一题，其算筹式为

它完整地叙述了当时已有的数学成就，对中国传统数学发展的影响，如同《原本》对西方数学发展的影响一样深远，在长达一千多年间，一直作为中国的数学教科书，并被公认为世界数学古典名著之一。《九章算术》标志以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成。

2、中算发展的第二次高峰：数学稳步发展 三国演义（中国，1998）。

从公元220年东汉分裂，到公元581年隋朝建立，史称魏晋南北朝。这是中国历史上的动荡时期，也是思想相对活跃的时期。在长期独尊儒学之后，学术界思辨之风再起，在数学上也兴起了论证的趋势。许多研究以注释《周髀算经》、《九章算术》的形式出现，实质是寻求这两部著作中一些重要结论的数学证明。这是中国数学史上一个独特而丰产的时期，是中国传统数学稳步发展的时期。

《九章算术》注释中最杰出的代表是刘徽和祖冲之父子。

2.1 刘徽（魏晋，公元3世纪）（中国，2002），淄乡（今山东邹平县）人，布衣数学家，于263年撰《九章算术注》，不仅对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造，奠定了这位数学家在中国数学史上的不朽地位，成为中国传统数学最具代表性的人物。

刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积）。在刘徽之前，通常认为“周三径一”，即圆周率取为3。刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，通过计算圆内接正3072边形的面积，求出圆周率为3927/1250（=3.1416）（阿基米德计算了圆内接和外切正96边形的周长）。为方便计算，刘徽主张利用圆内接正192边形的面积求出157/50（=3.14）作为圆周率，后人常把这个值称为“徽率”。这使刘徽成为中算史上第一位用可靠的理论来推算圆周率的数学家，并享有国际声誉。

让我们来体会刘徽的“割圆术”。

刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）。

刘徽利用极限思想求圆的面积，就极限思想而言，从现存中国古算著作看，在清代李善兰及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至达到刘徽的水平。2000年国家最高科学技术奖得主吴文俊院士指出：“从对数学贡献的角度来衡量，刘徽应该与欧几里得、阿基米德相提并论”。

刘徽的数学思想和方法，到南北朝时期被祖冲之推进和发展。

2.2 祖冲之（429－500年），范阳遒县（今河北涞源）人，活跃于南朝的宋、齐两代，曾做过一些小官，但他却成为历代为数很少能名列正史的数学家之一。祖冲之：“迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推。”

祖冲之的著作《缀术》，取得了圆周率的计算和球体体积的推导两大数学成就。祖冲之关于圆周率的贡献记载在《隋书》（唐，魏征主编）的《律历志》中：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江苏镇江）从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。” 即，祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，并以355/113（=3.1415929…）为密率，22/7（=3.1428…）为约率。

1913年日本数学史家三上义夫（1875－1950年）在《中国和日本的数学之发展》里主张称355/113为祖率。

祖冲之如何算出如此精密结果，《隋书·律历志》写道：“所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理”。《缀术》失传了，没有任何史料流传下来。史学家认为，祖冲之除开继续使用刘徽的“割圆术”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按刘徽的方法，继续算至圆内接正12288边形和正24576边形可得出圆周率在3.14159261与3.14159271之间。

《缀术》的另一贡献是祖氏原理 ：幂势既同则积不容异，在西方文献中称为卡瓦列里原理，或不可分量原理，因为1635年意大利数学家卡瓦列里（1598－1647年）独立提出，对微积分的建立有重要影响。

在数学成就方面，整个唐代却没有产生出能够与其前的魏晋南北朝和其后的宋元时期相媲美的数学大家，主要的数学成就在于建立中国数学教育制度。为了教学需要唐初由李淳风（604－672年）等人注释并校订了《算经十书》（约656年），即《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》（刘徽）、《孙子算经》（约成书于公元400年，内有“物不知数”问题）、《夏候阳算经》（成书于公元6、7世纪，内有“百鸡问题”：今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡翁、母、雏各几何）、《张邱建算经》（张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人，约成书于公元466－485年间）、《缀术》（祖冲之）、《五曹算经》（北周甄鸾（字叔遵，河北无极人）著）、《五经算经》（北周甄鸾著）和《缉古算经》（约成书于626年前后，唐王孝通，内有三次方程及其根，但没有解题方法）。十部算经对继承古代数学经典有积极的意义，显示了汉唐千余年间中国数学发展的水平，是当时科举考试的必读书（公元587年隋文帝开创中国的科举考试制度，1905年清朝废止科举制度）。

3、中算发展的第三次高峰：数学全盛时期

社会背景：公元960年，北宋王朝的建立结束了五代十国（907－960年）割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到了广泛应用。雕版印书的发达，特别是北宋中期，在宋仁宗庆历年间（约1041—1048年），毕升活字印刷术的发明（平民发明家毕升总结了历代雕版印刷的丰富的实践经验，经过反复试验，制成了胶泥活字，实行排版印刷，完成了印刷史上一项重大的革命，关于毕升的生平事迹，人们却一无所知，幸亏毕升创造活字印刷术的事迹，比较完整地记录在北宋著名科学家沈括的名著《梦溪笔谈》里），给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（960—1368年），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化，以筹算为主要内容的中国传统数学达到了鼎盛时期。中国传统数学以宋元数学为最高境界。这一时期涌现许多杰出的数学家和先进的数学计算技术，其印刷出版、记载着中国传统数学最高成就的宋元算书，是世界文化的重要遗产。

下面介绍宋元时期的一些计算技术。3.1 贾宪三角

贾宪（约公元11世纪）是北宋人，在朝中任左班殿值，约1050年完成一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，原书丢失，但其主要内容被杨辉的《详解九章算法》摘录，因能传世。贾宪发明了“增乘开方法”，是中算史上第一个完整、可推广到任意次方的开方程序，一种非常有效和高度机械化的算法。在此基础上，贾宪创造了“开方作法本源图”（即“古法七乘方图”或贾宪三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算术三角形”，因为法国数学家帕斯卡（1623－1662年）于1654年发表论文《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》。

算术三角形（利比里亚，1999）。3.2 隙积术 沈括（1030－1094年），北宋钱塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科学家，1080年任延州（今陕西延安市）知州，因1082年的“永乐城（今宁夏银川附近）之战”败于西夏（1032－1227年）而结束政治生涯，经过6年的软禁之苦后，开始赋闲幽居生活。沈括一生论著极多，其中以《梦溪笔谈》（1093年）影响最大，内容包括数学、天文、历法、地理、物理、化学等领域，被英国著名科学史家李约瑟誉为“中国科学史的里程碑”。他对数学的主要成就有两项，会圆术（解决由弦求孤的问题）和隙积术（开创研究高阶等差级数之先河）。

3.3天元术

李冶（金、元，1192－1279年），金代真定栾城（今河北栾城）人，出生的时候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居于封龙山治学，潜心学问。1248年撰成代数名著《测圆海镜》，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，称未知数为天元，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某”，可以说是符号代数的尝试，在数学史上具有里程碑意义。刘徽注释《九章算术》“正负术”中云：“正算赤，负算黑”，李冶感到用笔记录时换色的不便，便在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数。

“积财千万，不如薄技在身”。

李冶的天元术列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4 大衍术

秦九韶（约1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和县）守，1244年，因母丧离任，回湖州（今浙江吴兴）守孝三年。此间，秦九韶专心致志于研究数学，于1247年完成数学名著《数书九章》，内容分为九类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类，其中有两项贡献使得宋代算书在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

《数书九章》是我国古算中最早用圆圈Ο表示0号的著作。

一是发展了一次同余组解法，创立了“大衍求一术”（一种解一次同余式的一般性算法程序，现称中国剩余定理，所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”）的一般解法。中算家对于一次同余式问题解法最早见于《孙子算经》（约公元400年）中的“物不知数问题”（亦称“孙子问题”）：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？。《孙子算经》给出的答案是23，但其算法很简略，未说明其理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般性解法。在西方，最早接触一次同余式的是意大利数学家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盘书》中给出了两个一次同余问题，但没有一般算法，1743年瑞士数学家欧拉（1707－1783年）和1801年德国数学家高斯（1777－1855年）才对一次同余组进行了深入研究，重新获得与中国剩余定理相同的结果。

二是总结了高次方程数值解法，将贾宪的“增乘开方法”推广到了高次方程的一般情形，提出了相当完备的“正负开方术”（现称秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利数学家鲁菲尼（1765－1822年）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理根的近似值问题，而1819年英国数学家霍纳（1786－1837年）才提出与“增乘开方法”演算步骤相同的算法，西方称霍纳法。

3.5 垛积术

杨辉（公元13世纪），南宋钱塘（今浙江杭州）人，曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州、苏州等地，是东南一带有名的数学家和数学教育家。杨辉的主要数学著作之一《详解九章算法》（1261年）是为了普及《九章算术》中的数学知识而作，它从《九章算术》的246道题中选择了80道有代表性的题目，进行详解，其中主要的数学贡献是“垛积术”，这是在沈括“隙积术”的基础上发展起来的，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式。另一贡献是所谓的“杨辉三角”，其实是记载了贾宪的工作。

3.6 四元术

朱世杰（约1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），当时的北方，正处于天元术逐渐发展成为二元术、三元术的重要时期，朱世杰在经过长期游学、讲学之后，终于在1299年和1303年在扬州刊刻了他的两部代表作《算学启蒙》和《四元玉鉴》。

中国数学自晚唐以来不断发展的简化筹算的趋势有了进一步的加强，日用数学和商用数学更加普及，南宋时期杨辉可以作为这一倾向的代表，而朱世杰则是这一倾向的继承。《算学启蒙》是一部通俗数学名著，出版后不久即流传至日本和朝鲜。就学术成就而论，《四元玉鉴》远超《算学启蒙》，它是中国宋元数学高峰的又一个标志，主要贡献有四元术和招差术（高次内插公式）。

四元术是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知数最多可达四个，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”，其中四元布列意为即元气（常数项）居中，天元（未知数x）于下，地元（未知数y）于左，人元（未知数z）于右，物元（未知数u）于上，所以上述方程指“x22xxy2xz4y4z0”。

朱世杰的好友莫若在《四元玉鉴》的序文中说道：《四元玉鉴》，其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。

清代数学家罗士琳（1774—1853年）在《畴人传·续编·朱世杰条》中说：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上。

美国著名科学史家萨顿（1884－1956年）说：朱世杰是汉民族，他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。

3.7 内插法

郭守敬（1231－1316年），顺德邢台（今河北邢台）人，元代大天文学家、数学家、水利专家和仪器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水监事和昭文馆大学士等官职。与太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐县（今唐县人），至元十八年（1281年），王恂丧父，去官守孝。守孝期间，因悲伤过度，不思饮食，饥馁染病而亡，享年46岁），一同吸收了前代历法的精华，运用宋金两朝的数学成就（包括沈括的会圆术），使用了三次内插公式，在1280年完成了中国古代最精密的历法《授时历》。设定一年为365.2425天，比地球绕太阳一周的实际运行时间只差26秒，早于欧洲1582年开始使用的“格里历”300年，使用时间长达363年（1281－1643年），中国古代的历法也发展到了高峰。

此外，1276年，郭守敬根据镜成象原理发明了“景符”测影器，制造了世界闻名的简仪、高表、窥（kuí）几、仰仪、日晷（guǐ）、浑天象等12种天文仪器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封观星台留存至今。古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征、具有公理化模式，与中国传统数学以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化模式相辉映，交替影响世界数学的发展。这一时期创造的宋元算法，如隙积术、大衍术、开方术、垛积术、招差术、天元术等在世界数学史上占有光辉的地位。

4、中算的衰落

朱世杰可以被看作是中国宋元时期数学发展的总结性人物，是中国以筹算为主要计算工具的古代数学发展的顶峰，而《四元玉鉴》可以说是宋元（960－1368年）数学的绝唱。14世纪中、后叶，明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）规定八股文为科举考试的主要文体，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，明初起300余年内中国传统数学研究呈现全面衰退，致使明代大数学家看不懂宋元重要数学成就。明清两朝（1368－1911年）共543年，不仅未能产生出与《数书九章》、《四元玉鉴》相媲美的数学杰作，而且在18世纪中叶“乾嘉学派”重新发掘研究以前，像“四元术”这样一些宋元数学的精粹长期失传、无人通晓。

中国与西方科学发展示意图。

思考题

1、简述刘徽的数学贡献。

2、用数列极限证明：圆内椄正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。

3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？

4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。

5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。

6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。

第四讲：中世纪的东西方数学II 主要内容：印度数学、阿拉伯数学、中世纪的欧洲数学，简述了10位科学家的数学工作。

1、印度数学（公元5－12世纪）背景：古印度简况 印度古文明的历史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大约在公元前2000年纪中叶出现在印度西北部，逐渐向南扩张。雅利安（梵（fàn）文，原意是“高贵的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民达罗毗荼人，影响逐渐扩散到整个印度，在到达以后的第一个千年里，创造了书写和口语的梵文，在印度创立了更为持久的文明，印度土著文化从此衰微不振。吠陀教也是雅利安人创造的，这是印度最古老而又有文字记载的宗教。可以说，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵语之上。

史前时期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民开始使用文字； 哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地区发掘发现）：前2300－前1750年，印度河流域出现早期国家；

早期吠陀时代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀时代开始，印度文明的中心渐次由西向东推进到恒河流域，后雅利安人侵入印度；

后期吠陀时代：前900－前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成； 列国时代：前6－前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生；

帝国时代：前4－公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国；

印度历史上曾出现过强盛的王朝，如孔雀王朝（前324－前187年）、笈多王朝（公元320－540年），但总体而言，整个古代和中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下，如波斯帝国、马其顿帝国、贵霜帝国的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占，所以古代印度文化不可避免地呈现出多元复杂的背景，最显著的特色是其宗教性。

印度的宗教主要是婆罗门教、印度教，梵天是婆罗门教、印度教的创造神。婆罗门教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世纪。公元前6世纪－公元4世纪是婆罗门教的鼎盛时期，公元4世纪以后，由于佛教和耆（qí）那（梵文，本意“胜利者”或“征服者”）教的发展，婆罗门教开始衰弱。公元8、9世纪，婆罗门教吸收了佛教和耆那教的一些教义，结合印度民间的信仰，经商羯罗改革，逐渐发展成为印度教。印度教与婆罗门教没有本质上的区别，其教义基本相同，都信奉梵天、毗湿奴、湿婆三大神，主张善恶有报、人生轮回，轮回的形态取决于现世的行为，只有达到“梵我同一”方可获得解脱，修成正果。

印度数学分为河谷文化时期（约公元前3000－前1400年）、吠陀时期（约公元前10－前3世纪）、悉檀多时期（公元5－12世纪）。

1.1 吠陀时期（公元前10－前3世纪）

《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意为知识、光明）是印度雅利安人的作品，成书于公元前15－前5世纪，历时1000年左右，婆罗门教的经典，其中的《绳法经》（前8－前2世纪）是《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分（释迦牟尼（公元前565－公元前486年）传扬佛教时期，佛教是古印度的迦毗罗卫国（今尼泊尔境内）王子乔达摩·悉达多所创，因父为释迦族，得道后被尊称为释迦牟尼也就是“释迦族的圣人”的意思，门徒称他为佛），包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理、圆周率的近似值等。

阿育王（在位年代约为公元前268－前232年）是印度第一个信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊尔，1996）记录了现在阿拉伯数字的最早形态。

公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考的资料主要是1881年发现的书写在桦树皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利当时和古代大部分时间属于印度，今天位于巴基斯坦西北部距离白沙瓦约80公里处的一座村庄），其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，出现了完整的十进制数码，其中有“•”（点）表示0，后来逐渐演变为现在通用的“0”，这一过程至迟于公元9世纪已完成，有公元876年的“瓜廖尔石碑”为证，这是印度数学的一大发明。

印度头等重要的天文学著作，无名氏著的《苏利耶历数全书》（梵文，意思是太阳的知识，相传为太阳神苏利耶所著）大约是公元5世纪所写（1860年被译为英文）。印度数学从这个时期开始对天文学比对宗教更有用。

1.2 “悉檀多”时期（公元5世纪－12世纪）

悉檀多是梵文，佛教术语，为“宗”或“体系”之意，意译为“历数书”。这是印度数学的繁荣鼎盛时期，是以计算为中心的实用数学的时代，数学贡献主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家。

1.2.1阿耶波多（公元476－约550年）

在印度的科学史上有重要的影响的人物，“阿耶波多号”人造卫星（印度，1975）。最早的印度数学家，499年天文学著作《阿耶波多历数书》（圣使天文书）传世（相当于祖冲之《缀术》的年代），最突出之处在于对希腊三角学的改进,制作正弦表（sine一词由阿耶波多称为半弦的jiva演化而来），和一次不定方程的解法。阿耶波多获得了π的近似值3.1416（与刘徽所得的近似值相当），建立了丢番图方程求解的“库塔卡”（原意为“粉碎”）法。

1.2.2 婆罗摩笈多（598－约665年）

印度古天文台：乌贾因天文台。在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。

1.2.3婆什迦罗Ⅱ（1114－1188年）

印度的第二颗人造卫星“婆什迦罗号”（1979）。

印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗，出生于印度南方的比德尔，成年后来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。

古印度数学最高成就《天文系统之冠》（1150年，中国的南宋时期），其中有两部婆什迦罗的重要数学著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。

《算法本源》主要探讨代数问题。《莉拉沃蒂》（原意“美丽”）从一个印度教信徒的祈祷开始展开，讲的是算术问题，流传着一个浪漫的故事。

《莉拉沃蒂》中的一个算术问题：带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，按照你的理解的正确反演法，什么数乘以3，加上这个乘积的3/4，然后除以7，减去此商的1/3，自乘，减去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根据反演法，从2这个数开始回推，于是（2•10－8）^2＝144，144＋52＝196，196＝14，14•（3/2）•7•（4/7）/3=28，答案是28。

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文学和数学受外来文化影响较深，但印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。现代初等算术运算方法的发展，起始于印度，可能在大约10、11世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到欧洲，在那里，它们被改造成现在的形式。这些工作受到15世纪欧洲算术家们的充分注意。

与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱。此外，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的，很少给出推导和证明。

2、阿拉伯数学（公元8－15世纪）背景：阿拉伯简况

阿拉伯帝国的兴盛被认为是人类历史上最精彩的插曲之一，这当然与先知穆罕默德（公元570－632年）的传奇经历有关。穆罕默德570年出生在阿拉伯半岛西南部的麦加。麦加当时是一个远离商业、艺术和文化中心的落后地区，穆罕默德在极其艰苦的条件下长大成人。25岁那年，由于他娶了一位富商的遗孀，经济状况才得到改善。直到40岁前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的变化。穆罕默德领悟到有且只有一个全能的神主宰世界，并确信真主安拉选择了他作为使者，在人间传教。穆罕默德610年在麦加创立了伊斯兰教，至632年一个以伊斯兰教为共同信仰、政教合一，统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛。这就是伊斯兰教的来历，它在阿拉伯语里的意思是“顺从”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服从先知的人）。

四大哈里发时期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四个继任者，哈里发为阿拉伯文的音译，意为真主使者的“继承人”。

以“圣战”为名进行大规模的武力扩张，为阿拉伯帝国的建立奠定了基础。大约在650年，依据穆罕默德和他的信徒所讲的启示辑录而成的《古兰经》（伊斯兰教的最根本经典，伊斯兰教义的最高准则和纲领，伊斯兰教法的立法依据，由先知穆罕默德从610－632年历时22年的传教过程中陆续颁布的）问世，被穆斯林认为是上天的启示。

《圣训》（穆罕默德阐释《古兰经》和实践伊斯兰教理的言行录）中说：学问虽远在中国，亦当求之。

倭（wō）马亚王朝时期（661－750年）：主要支持者是叙利亚和埃及的大贵族，因此他们把首都迁至大马士革，遵奉伊斯兰教的逊尼派（正统派），崇尚白色，中国史籍称“白衣大食”。倭马亚王朝发动大规模的对外战争，版图东起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亚，南达北非，成为地跨亚、非、欧三大洲的庞大帝国。迄今为止，这可能是人类历史上最大的帝国。

倭马亚王朝的不断扩张和森严的等级统治逐渐激起了尖锐的阶级矛盾。各教派和各族人民的反抗斗争不断发生。在今天的伊朗一带崛起了一个新的教派——阿拔斯派。他们利用东方各地人民起义的力量推翻了倭马亚王朝的统治，750年，盛极一时的“白衣大食”灭亡了。

阿拔斯王朝时期（750－1258年）：阿拉伯帝国第二个封建王朝，因其旗帜尚黑，中国史籍称“黑衣大食”。750年，由阿拉伯贵族艾布·阿拔斯（750－754年在位）创建，故名。

755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国，东部王国阿拔斯王朝762年迁都巴格达，750－842年是帝国的极盛时代，哈里发哈龙•兰希（公元786－808年统治巴格达）因《天方夜谭》（又名《一千零一夜》）而为人们所熟知，巴格达成为阿拉伯人创建的“一座举世无双的城市”，国际贸易与文化中心之一，创造出光辉灿烂的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期（750－850年）的100年是阿拉伯文化的飞速发展时期，同时也是译述活动的繁荣时期，希腊语占首位，其次是古叙利亚语、波斯语、梵语、希伯来语和奈伯特语，许多重要的学术著作在政府的规划下有组织、有领导地被译成阿拉伯文，史称“百年翻译运动”。9世纪中叶后，王朝进入分裂和衰落时代，1258年蒙古军队攻陷巴格达。

麦加城大清真寺：伊斯兰教第一圣寺。阿拉伯人之所以重视天文学，是因为他们需要知道祈祷的准确时间（每天5次），使广大帝国内的臣民在祈祷时能够明辨方向（面朝麦加）。可以说，阿拉伯人对数学的需要主要是通过天文学和占星术（根据天象来预卜人间事务的一种方术）等。

伊斯坦布尔的天文学家（1971）。

9－15世纪阿拉伯科学繁荣了600年，创立了文化中心巴格达（波斯语，“神赐的礼物”）。公元830年，哈里发麦蒙（公元809－833年统治巴格达）下令在巴格达建造了智慧宫，这里面有巨大的图书馆、观象台、研究院，是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，掀起了著名的翻译运动，包括《原本》、《圆锥曲线》和《天文学大成》等在内的希腊天文、数学经典先后被译成了阿拉伯文。无论从哪方面来看，它都是公元前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。很快，它就成为世界的学术中心，形成后人所谓的“巴格达学派”，研究的内容包括哲学、医学、动物学、植物学、天文学、数学、机械、建筑、伊斯兰教教义或阿拉伯语语法学，等等。

阿拉伯科学（突尼斯，1980）。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯数学的贡献，消化希腊数学，吸收印度数学，对文艺复兴后欧洲数学的进步有深刻的影响。最突出的事实：值得赞美的是他们充当了世界上的大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去之后，这些精神财富得以传给欧洲人。

2.1 早期阿拉伯数学（8世纪中叶－9世纪）

阿尔·花拉子米（783－850年）（苏联，1983），生于波斯北部花拉子模地区（今乌兹别克境内），813年来到巴格达，后成为智慧宫的领头学者。820年出版《还原与对消概要》，以其逻辑严密、系统性强、通俗易懂和联系实际等特点被奉为“代数教科书的鼻祖”，1140年被罗伯特（英）译成拉丁文传入欧洲，成为欧洲延用几个世纪标准的代数学教科书，这也使得花拉子米成为中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，这对东方数学家来说十分罕见。阿拉伯语的“al-jabr”意为还原，即移项，传入欧洲后，到14世纪演变为拉丁语“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代数），因此花拉子米的上述著作通常称为《代数学》。可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。

《代数学》所讨论的数学问题本身并不比丢番图或婆罗摩笈多的问题简单，但它探讨了一般性解法，因而远比希腊人和印度人的著作更接近于近代初等代数。《代数学》中关于三项二次方程的求解。

花拉子米的另一本书《印度计算法》，系统介绍了印度数码和十进制记数法，12世纪，这本书便传入欧洲并广为传播（其拉丁文手稿现存于剑桥大学图书馆），所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码。

976年的西班牙数码。

印度－阿拉伯数码用较少的符号，最方便地表示一切数和运算，给数学的发展带来很大的方便，是一一项卓越的伟大贡献。它传入欧洲以后，加快了欧洲数学的发展，许多数学家、天文学家对这套集体智慧的发现赞美不绝。法国数学家拉普拉斯（1749－1827年）写道：“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以至我们忽视了它的真正伟绩，简直无法估计它的奇妙程度。而当我们想到它竟逃过古代希腊最伟大的阿基米德和阿波罗尼奥斯两位天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”

印度－阿拉伯数码13世纪传入我国，是元朝伊斯兰教徒从当时西方带进来的一套阿拉伯数码，中国人没有采用它。公元16世纪，西洋历算书大量输入我国，原著上的印度－阿拉伯数字，我国一律用中国数码一、二、三等改译出来。光绪十一年（公元1885年）上海出版了一本用上海口音译出的西算启蒙书，书中正式出现了印度－阿拉伯数字通用原型。1892年，美国传教士狄考文（W.M.Calvin, 1836－1908年）和清代邹立文合译《笔算数学》一书，首次正式采用了印度－阿拉伯数字，数字是按书籍直写的。直到1902－1905年，中国数学教科书或数学用表才普遍使用印度－阿拉伯数字，并且一律与西洋算书一样横排。

阿拉伯的三角学。

阿尔·巴塔尼（858－929年），出生于哈兰（今土耳其东南部），对希腊三角学系统化的工作，最重要的著作《历数书》（或《天文论著》、《星的科学》）中发现地球轨道是一个经常变动的椭圆，创立了系统的三角学术语，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果，对中世纪欧洲影响最大的天文学家。

2.2 中期阿拉伯数学（10－12世纪）

奥马·海雅姆（1048－1131年）（阿尔巴尼亚，1997），出生于波斯东北部霍拉桑地区（今伊朗东北部），受命在伊斯法罕（今伊朗西部）天文台负责历法改革工作，编制了中世纪最精密的历法“哲拉里历”（在平年365天的基础上，每33年增加8个闰日。这样一来，与实际的回归年仅相差19.37秒，即每4460年才误差一天，比现在全世界实行的公历，每400年置97个闰日，还要准确），在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》（1070），最杰出的贡献是研究三次方程根的几何作图法，提出的用圆锥曲线图求根的理论。这一创造，使代数与几何的联系更加密切，可惜在1851年以前欧洲人并不了解他的这种解析几何方法。此外，他在证明欧几里得平行公设方面也做了有益的尝试。

奥马·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建），“海亚姆”指制造或经营帐篷的职业。

阿尔·比鲁尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973），出生于波斯花拉子模城的比伦郊区，三角学理论的贡献是利用二次插值法制定了正弦、正切函数表，证明了一些三角公式，如正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，提出地球绕太阳运转，太阳是宇宙中心的思想等。

2.3 后期阿拉伯数学（13－15世纪）

纳西尔丁·图西（1201－1274年）（伊朗，1956），出生于波斯的图斯城（也属霍拉桑地区，今伊朗境内），最重要的数学著作《论完全四边形》是数学史上流传至今最早的三角学专著。在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支，对15世纪欧洲三角学的发展起重要的作用。正是在这部书里，首次陈述了著名的正弦定理。

阿尔·卡西（1380－1429年）（伊朗，1979），出生于卡尚（今属伊朗），在撒马尔罕（帖木儿王国都城，今属乌兹别克）创建天文台，并出任第一任台长，百科全书《算术之鈅》（1427），在数学上取得了两项世界领先的成就，一是圆周率的计算，1424年一直算到了正3·2^28边形的周长以给出π的17位精确值，二是给出sin1°的精确值。人们常以他的卒年（1429）作为阿拉伯数学的终结。

恰好这个时候，欧洲的文艺复兴之火开始在亚平宁半岛（意大利南部）点燃。

3、中世纪的欧洲数学（5－14世纪）主要内容：黑暗时期、科学复苏。

从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。

公元5－11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。

3.1 教会统治

犹太教最神圣的露天会堂：哭墙（耶路撒冷圣殿山，犹太人把这座墙视为他们信仰和团结的象征。据传说，当罗马人占领耶路撒冷时，犹太人经常聚集在这里举行宗教仪式。他们每每追忆往事，回想起所罗门圣殿被毁的情景，不免嚎啕大哭一场。后来常有犹太人来到这里哭号，“哭墙”因而得名。如今，每到犹太教安息日，仍然有人到“哭墙”表示哀悼）。

基督教是当今世界上传播最广，信徒人数最多的宗教。公元一世纪中叶，基督教产生于巴勒斯坦，“基督”一词是古希腊语的译音，意为“救世主”。基督教的创始人是耶稣。耶稣是上帝耶和华之子，他出生在巴勒斯坦北部的加利利的拿撒勒，母亲名叫玛利亚，父亲叫约瑟。玛利亚未被迎娶前，圣灵降临在她身上，使她怀孕。约瑟一度想休了玛利亚，但受了天使的指示，仍把她娶了过来。耶稣30岁时受了约翰的洗礼，坚定了他对上帝的信念。此后，耶稣就率领彼得、约翰等门徒四处宣传福音，引起了犹太贵族和祭司的恐慌，他们收买了耶稣的门徒犹大，把耶稣钉死在了十字架上。但三天以后，耶稣复活，向门徒和群众显现神迹，要求他们在更广泛的范围内宣讲福音。从此，信奉基督教的人越来越多，他们把基督教传播到世界各地。

基督教的经典是《圣经》（《旧约》、《新约》），记述的都是上帝的启示，是基督教徒信仰的总纲和处世的规范，是永恒的真理。据《圣经》记载，耶稣和他们的门徒会并一起进行了“最后的晚餐”，在晚餐上就坐的正好是13个人，耶稣是被他的第13个门徒犹大出卖的。13就成了不吉利的数字了。

135年从犹太教中分裂出来成为独立的宗教。

土耳其君士坦丁堡索非亚大教堂（建于532－537年，2008年4月3日北京奥运圣火途经之地）。

基督教产生不久，就逐渐形成拉丁语系的西派和希腊语的东派。东派以君士坦丁堡为中心，西派以罗马为中心，天主教就是从西派的基础上演化而来的。

在古代基督教中，西派不占优势。5世纪时外族侵扰帝国西部，西罗马当局已无力支撑局面，罗马主教利奥一世利用其影响，一度使罗马免遭匈奴入侵，这使罗马主教的威信大大提高，得以居于意大利、北非、西班牙、高卢一带拉丁语系教会的首位。476年，西罗马帝国灭亡。5世纪末起至10世纪，罗马主教和罗马教会逐步确立了在整个西派教会中的实际领导地位。5世纪起，东西两派矛盾日益尖锐，863年和867年，出现了罗马主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提乌相互革除对方教籍的严重局面。1054年，东西两派正式分裂，东派自称正教，西派自称公教。天主教会及其教皇制，作为独特的单一教会和体制至此正式确立。

罗马公教也称天主教，因为16世纪传入中国后，因其信徒将所崇奉的神称为“天主”，因而在中国被称为天主教。

16世纪中叶，罗马公教派生出新教派，统称“新教”，在中国称为“耶稣教”。所以，基督教是公教、东正教和新教三大教派的总称。

圣彼得教堂（梵蒂冈，建于1506－1626年）。

公元392年，基督教成为罗马帝国的国教。5世纪末起至10世纪，罗马主教和罗马教会逐步确立了在整个西派教会中的实际领导地位，基督教逐渐成为中世纪欧洲封建社会的主要精神支柱。

5－11世纪，成为欧洲历史上的黑暗时期。

梵蒂冈在拉丁语中意为“先知之地”。1929年，意大利政府同教皇签订了“拉特兰条约”，承认梵蒂冈为主权国家，其主权属教皇。

中世纪基督教日益封建化，整个社会以宗教和神学为核心，科学思想是异端邪说。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，对罗马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。造成数学落后的原因是多方面的，主要是战火连绵，神学一统天下。《圣经》是最根本的知识，教徒整日研读圣经，视科学是神学的婢女，神学被誉为“科学的皇后”，甚至反对数学的学习与研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的条款规定：“绝对禁止应受到取缔的数学艺术”。数学的发展受到沉重的打击。

因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材。罗马人博埃齐（约480－524年）主要以哲学家留名青史，他的哲学是古希腊罗马哲学到中世纪经院哲学的过渡，在数学方面，根据希腊材料用拉丁文选编了《几何学》（《原本》第1、3、4卷部分内容）、《算术入门》等教科书，成为中世纪早期欧洲人了解希腊科学的唯一来源，他的众多著作为传播希腊罗马文化，为普及百科知识，在长达千年的历史上起了重要作用。公元522年博埃齐被诬控叛国罪而遭监禁，524年被处决。

法国人热尔拜尔（938－1003年）（法国，1964）999年当选为罗马教皇，提倡学习数学，翻译了一些阿拉伯科学著作，把印度－阿拉伯数码带入欧洲。3.2 科学复苏

贸易与旅游的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不勒斯大学）。

“十字军东征”（1096－1291年）。

十字军东征是西欧封建主、大商人和天主教会以维护基督教为名，对地中海东岸地区发动的侵略性远征。因东侵军队的衣服上均有红十字的标记，故称为十字军。1095年，罗马教皇在法国召开宗教大会，宣布组成十字军远征，从异教徒（穆斯林）手中夺回圣城耶路撒冷。

东侵活动从1096年起，到1291年止，历时近200年，大规模的侵略共8次。第一次东征（1096—1099年）攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒冷王国。第四次东征（1202年—1204年）攻陷了拜占庭帝国，在巴尔干建立拉丁帝国。历次东侵所占据点后来不断丧失，1291年最后据点阿克城失守，标志着十字军东征彻底失败。

十字军东征对地中海沿岸国家人民带来了深重灾难，西欧各国人民也损失惨重。几十万十字军死亡，同时教廷和封建主却取得了大量的财富。十字军东征也促进了东西方文化的交流，使西欧人大开眼界，进入了阿拉伯世界。从此，欧洲人了解到了希腊及东方古典学术，对这些学术著作的搜求、翻译和研究，科学开始复苏，加速了西欧手工业、商业的发展。

12世纪是欧洲数学的大翻译时期，希腊人的著作被阿拉伯文译成拉丁文后，“在惊讶的西方面前展示了一个新的世界”。

阿德拉特（英，1090－1150年）——《原本》和花拉子米的天文表。杰拉德（意，1114－1187年）——《天文学大成》、《原本》、《圆锥曲线》、《圆的度量》。

基督教兴起后，希腊的一切都被视为异端而被灭绝，只有柏拉图的哲学，经过教会的改造而成为基督教神学的基础。1207年亚里士多德的著作全部被译成拉丁文。13世纪由托马斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了经院哲学（著有《神学大全》，被认为是基督教的百科全书，后世称之为托马斯主义），对亚里士多德哲学稍加篡改用来适应基督教教义，经院哲学的主要任务是从哲学上以理性的名义来论证上帝的存在（托马斯提出了著名的证明上帝存在的5种论证，对后世有重大影响）。以亚里士多德的宇宙观为基础的托勒密体系，成为被教会认可的神圣不可侵犯的天文学体系。

欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础。欧洲黑暗时期过后第一位有影响的数学家是斐波那契（意，约1170－1250年），他随父亲到印度、埃及、阿拉伯和希腊等地旅行，通过广泛地学习和认真研究，掌握了许多计算技术，回到意大利后，编著了代表作《算盘书》（1202，1228），主要是一些源自古代中国、印度和希腊的科学问题的汇集，书中系统介绍了印度－阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大的影响，是欧洲数学在经历了漫长黑夜之后走向复苏的号角。

1228年《算盘书》修订后还载有如下“兔子问题”：

某人在一处有围墙的地方养了一对小兔，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？

对这个问题的回答，导致了著名的“斐波那契数列”。

13世纪，整个拉丁世界数学无大进展，而14世纪相对是数学上的不毛之地，因为一是发生了英法“百年战争”（1337－1453年）使政治**，环境不安定（战争的导火线主要是王位继承问题；1337－1360英胜，1369－1396年法几乎收复全部失地，双方缔结20年停战协定，1415－1428年英胜，1429－1453年法领土全部收复，至此百年战争以法的胜利而结束）；二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，扫荡了欧洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知识（1348－1352年，“黑死病”把欧洲变成了死亡陷阱，这条毁灭之路断送了欧洲三分之一的人口，总计约2500万人）；三是烦琐哲学的思想仍在束缚科学，压得科学家抬不起头，只好把精力消磨在神学和形而上学的奇妙莫测的无聊问题论证上，如“一根针尖上可以站立多少个天使？”“苍蝇有多少根胡须？”

科学在欧洲的复苏，加速了欧洲手工业、商业的发展，最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨。

思考题

1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？

2、有关零号“0”的历史。

3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。

4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。

5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。

6、求斐波那契数列的通项公式。

第五讲：文艺复兴时期的数学

主要介绍15－17世纪初的东西方数学，内容有文明背景、文艺复兴时期的欧洲数学、15－17世纪的中国数学。

1、文明背景 1.1 文艺复兴

14世纪可以看做是文艺复兴的开始。文艺复兴是指14世纪意大利各城市兴起（一般认为第一个代表人物是但丁（意，1265－1321年），代表作为《神曲》（写于1307－1321年），他的作品首先以含蓄的手法批评和揭露中世纪宗教统治的腐败和愚蠢），15世纪后期起扩展到西欧各国，16世纪在欧洲盛行的一场思想文化运动。

这场斗争是在“复兴古典学术和艺术”的旗号掩蔽下进行的，那些从罗马废墟中发掘出来的古代文物，意大利各寺院里清理出来的古旧藏书，以及后来拜占庭灭亡时抢救出来的手抄本，都展现在学者面前。

意大利文艺复兴盛期三杰：达•芬奇（1452－1519年），代表作有“最后的晚餐”、“蒙娜丽莎”（说不尽的蒙娜丽莎，这是一个永远探讨不完的问题。自问世至今，将近五百年，后人不知做过多少品评和揣测，留下越来越多的迷局。当今，世上有研究《蒙娜丽莎》的专著数百部，而有近百名学者将此画作为终身课题。时间的推移不会使疑团得到解决，只会随着研究的深入，将更多的疑惑留给后人。2007年海德堡大学专家宣称，通过分析图书馆内一本约500年历史的藏书页空白处潦草的笔记，他们可以确认，这位有着神秘微笑的女子闺名丽莎·盖拉尔迪尼，是意大利佛罗伦萨布商弗朗切斯科·德焦孔多的妻子。文件标注日期为1503年10月，与专家判断作品完成的大致时间1503至1506年间刚好吻合），重视数学，“不懂数学的人不要读我的书”，“凡是和数学没有联系的地方，都不是可靠的”；米开朗琪罗（1475－1564年），代表作“大卫”、“摩西”、圣彼得大教堂；拉斐尔（1483－1520年），代表作“雅典学院”。

“人文主义”思想是文艺复兴的灵魂和中心，主张以世俗的“人”为中心，歌颂人性、反对神性，提倡人权、反对神权，提倡个性自由、反对宗教禁锢，赞颂世俗生活、反对来世观念和禁欲主义。

在这历时约200年的历史中，带来一段科学与艺术革命时期，揭开了现代欧洲历史的序幕，使得知识界的面貌大大改观，也使数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起，被认为是中古时代和近代的分界。

1.2 技术进步

欧洲文艺复兴时期的主要成就之一，是在15世纪后半叶开始产生近代自然科学。

四大发明相继传入欧洲。

火药：大约在公元8、9世纪时，中国火药的主要原料—硝石已传到了阿拉伯、波斯等地。13世纪，蒙古军队西征时，火器传到阿拉伯，欧洲人首先是西班牙人，在13世纪后期通过阿拉伯人的著作才知道火药。14世纪初，阿拉伯国家攻打西班牙时，使用火药和火器，欧洲人于是开始接触到火药和火器，并学习制造，从14世纪欧洲开始使用火药和一些火器。

造纸：造纸术首先传入与我国毗邻的朝鲜和越南随后传到了日本，大概是在公元105年。公元751年（唐玄宗十年），唐安西节度使高仙芝率部与阿拉伯帝国沙利将军的军队在怛罗斯城（今哈萨克斯坦的江布尔）交战，唐军大败，被俘士兵中有从军的造纸工人，中国的造纸术传到了巴格达。欧洲人是通过阿拉伯人了解造纸技术的，最早接触纸和造纸技术的欧洲国家是一度为阿拉伯人统治的西班牙，公元1150年，阿拉伯人在西班牙的萨狄瓦，建立了欧洲第一个造纸场。13世纪，造纸术传入了葡萄牙，继而传入欧洲。

印刷术：中国的印刷术已经在11世纪传到东南亚诸国。活字印刷术传到欧洲是在14世纪，从我国新疆沿中亚、西亚逐步传到欧洲的。1450－1455年约翰·古腾堡（德，1400－1468年）用金属活字印出欧洲第一套《拉丁文文法》。尽管如此，认为毕昇是位特别有影响的人物是不对的。首先，欧洲并不是从中国学会制造活字，而是独立发明的。其次，中国从西方学到现代印刷术是相当近期的事，在此之前活字印刷术从来没有得到普遍使用。

指南针：指南针发明以后，首先把它应用在航海事业上，南宋时候，阿拉伯、波斯商人，经常搭乘我国的海船往来贸易，也学会使用指南针。大约在12世纪末到13世纪初，指南针由海路由阿拉伯人传入欧洲。

1450年，德意志人古腾堡（右一）改良了中国的活字印刷术，发明了金属活字印刷术。欧几里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一个印刷版。

马克思《机器、自然力和科学的应用》：火药、指南针、印刷术 —— 这是预告资产阶级社会到来的三大发明。„„总的说来变成了科学复兴的手段，变成对精神发展创造必要前提的最强大的杠杆。

1.3 航海探险

最知名的有哥伦布（西，1451－1506年）（智利，1992）。

葡萄牙在15世纪初期就侵入非洲西北部，建立侵略据点，1487年，迪亚士（葡，1450－1500年）率领舰队沿非洲西海岸南下，第二年春天进入印度洋，归途中发现好望角，在开辟新航路的活动中取得了重大进展。

1497年，贵族达•伽马（葡，1469－1524年）在迪亚士航行的基础上绕过非洲，在1498年到达印度海岸，从而找到了通向东方的新航路。

哥伦布通过阅读马可·波罗的《东方见闻录》，对富庶的东方产生了浓厚的兴趣，他相信当时已日益流行的地圆学说，认为地球是圆的，只要从欧洲海岸一直向西航行，就可以到达印度，得到大量的黄金、香料。1492年8月3日哥伦布（西，1451－1506年）从西班牙出发了，一直向西航行，1492年10月12日，哥伦布到达了一个现在称为巴哈马群岛中的华特林岛，到达美洲。

1519年9月20日，麦哲伦（葡，1480－1521年）在西班牙国王的资助下，率探险船队出航，先是沿着已经知道的道路向西航行，然后转向南，沿着美洲大陆摸索南下，在春天到来之际发现了美洲南部的海峡（后人称为麦哲伦海峡）。而后横渡太平洋，1521年3月，终于到达了菲律宾群岛，麦哲伦在干涉岛上内部战争时，被当地的土著人杀死，后来船队沿着已经熟悉的航路进入印度洋，再沿着葡萄牙人发现的航路于1522年9月返回西班牙，完成了了首次环球航行，证实了地球是球形的。哥伦布在瓜纳阿尼岛登陆（1492）。1.4 天文学的革命

托勒密（埃及，90－165年），宗教神学的宇宙观：上帝创造了地球，地球是宇宙的中心。

哥白尼（波，1473－1543年）根据长期观察推算提出“日心说”。虽然未能认识到宇宙的无限性，但反对上帝创造世界的“地心说”，沉重打击了宗教神学，成为自然科学进一步发展的先声。1543年出版《天体运行论》，被教会列为禁书。

布鲁诺（意，1548－1600年）信奉哥白尼学说，以超人的预见大大丰富和发展了哥白尼学说。他1584年在《论无限、宇宙及世界》这本书当中，提出了宇宙无限的思想，他认为宇宙是统一的、物质的、无限的和永恒的。一般人认为布鲁诺的思想简直是“骇人听闻”，甚至连那个时代被尊为“天空立法者”的天文学家开普勒也无法接受，开普勒在阅读布鲁诺的著作时感到一阵阵头目眩晕！布鲁诺在天主教会的眼里，是极端有害的“异端”和十恶不赦的敌人。他们施展狡诈的阴谋鬼计，以收买布鲁诺的朋友，将布鲁诺诱骗回国，并于1592年5月23日逮捕了他，把他囚禁在宗教判所的监狱里，接连不断地审讯和折磨竟达8年之久。但这丝毫没有动摇布鲁诺相信真理的信念。天主教会的人们绝望了，他们凶相毕露，建议当局将布鲁诺活活烧死。布鲁诺似乎早已料到，当他听完宣判后，面不改色地对这伙凶残的刽子手轻蔑地说：“你们宣读判决时的恐惧心理，比我走向火堆还要大得多。”1600年2月17日，布鲁诺在罗马的百花广场上英勇就义了。

邮票：哥白尼（波，1473－1543年）（委内瑞拉，1973）。

2、文艺复兴时期的欧洲数学

近代始于对古典时代的复兴，但人们很快看到，它远不是一场复兴，而是一个崭新的时代。在数学的许多领域发生了变化，在此介绍代数学、三角学、射影几何、对数等的进步。

2.1 代数学

欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕，其中包括三、四次方程的求解与符号代数的引入。关于方程的根式解。16世纪意大利数学最重要的成就。

1515年博洛尼亚大学数学教授费罗（意，1465－1526年）发现了形如x^3+mx=n的三次方程的代数解法，密传给学生费奥。

塔塔利亚（意，1499－1557年）（原姓丰坦那，塔塔利亚是绰号，意为口吃者）发表了《论数字与度量》（1556－1560），被称为数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一，其中有关于二项展开式系数排成的“塔塔利亚三角形”，比帕斯卡发表它的时间（1665年）要早100多年。

塔塔利亚最重要的数学成就是发现了三次方程的代数解法，进行了两次历史性的辨论。塔塔利亚宣称可解形如x^3+mx^2=n的三次方程，1535年2月22日费奥与塔塔利亚在威尼斯公开竞赛，各出30个问题，塔塔利亚在2小时内全部解出而获胜，扬名整个意大利。1539年塔塔利亚把他关于三次方程的解法写成一首25行诗告诉卡尔丹。1548年8月10日塔塔利亚与卡尔丹的学生费拉里在米兰大教堂附近举行了公开辩论，争论从上午10点持续到晚饭时间，听众一哄而散，结果不了了之。双方各自宣布获胜。直至8年后，塔塔利亚才在他的名著《论数字与度量》中的一篇插文里叙述了整个论战过程。

米兰大教堂：欧洲中世纪最大的教堂，可供4万人举行宗教活动，建于1386－1485年。有135个尖塔，象浓密的塔林刺向天空，且在每个塔尖上有神的雕像。教堂外部总共有2000多个雕像，甚为奇特。如果连内部雕像总共有 6000多尊，是世界上雕像最多的哥特式教堂。这个教堂有一个高达107米的尖塔，出于公元15世纪意大利建筑巨匠伯鲁诺列斯基之手。塔顶上有金色圣母玛利亚雕像，在阳光下显得光辉夺目，神奇而又壮丽，高耸的尖塔把人们的目光引向虚渺的天空，使人忘却今生，幻想来世。

卡尔丹（意，1501－1576年），医学博士，16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物，其中的一些科学观点与达•芬奇的论述颇为相似，著作《事物之精妙》（1550年）、《世间万物》（1557年）仅在16世纪就有十几个版本流传，后来又被译为多种文字，影响深远。他是一个天才和愚人的奇怪混合，也是一个富有传奇色彩的怪杰，兼学者与无赖于一身，被誉为百科全书式的学者，渡过了光怪陆离的一生，在数学、天文学、哲学、物理学和医学中都有一定的成就，同时也一直醉心于占星术（为基督命运占星和对自己死期的预卜）和赌博的研究，一生共写了各种类型的文章、书籍200多种。最重要的数学著作是1545年在纽伦堡出版的《大术》（全名为《大术，或论代数法则》），该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法，内有三次、四次方程的解法（由卡尔丹的学生费拉里（意，1522－1565年）发现）。在《大术》中方程的负根被采用，专门讨论了解方程中遇到的虚根问题，首次把它当作一般的数进行运算，认识到如果一个方程有一个虚根，则应该有与之共轭的另一个虚根。

邦贝利（意，1526－1573），意大利文艺复兴时期最后一位代数学家，他的前辈们曾经将这门学科推向一个发展高潮。邦贝利认为除了卡尔丹之外还没有人能够很深入代数学这一学科，但他对卡尔丹的表述并不满意，因此准备写一本书，以其清楚明了的表述使任何人都可以不必借助别的书而掌握代数学这门学问，这是1572年邦贝利出版《代数》的背景。在书中邦贝利引进了虚数，正式给出了负数的明确定义。

符号代数。

认识到了数学符号的意义，符号系统的建立使代数成为一门科学，从常量数学到变量数学的标志，反映了数学高度抽象与简炼。

修道士帕西奥里（意，1445－1517年）（意，1994），1494年用铅字印刷出版的《算术集成》（全称《算术、几何、比与比例集成》）是继斐波那契之后第一部内容全面的数学书，其中采用了优越的记号及大量的数学符号（多为词语的缩写形式或词首字母），这是本书的最突出之处，推进了代数学的发展。虽然帕西奥里对数学本身缺乏创建，但其著作具有简明、通俗和综合的特点，因而广泛流传，16世纪意大利的代数学有长足的发展，其间帕西奥里著作的教育和启示作用是不能忽视的。

《算术集成》中有“青蛙入井问题”的变形“猫捉老鼠问题”：一只老鼠在60英尺高的白杨树顶上，一只猫在树脚下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；猫每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；这棵树在猫和老鼠之间每天长1/4英尺，晚上又缩1/8英尺。试问猫要多久能捉住老鼠？

施蒂费尔（德，1487－1567年），16世纪德国最大的数学家，研究过代数和数论，首先使用加号＋、减号－和根号的人之一，1544年《综合数学》（又译《算术大全》）中指出：符号使用是代数学的一大进步。最早在印刷图书中用“＋”作加、用“－”作减的是维德曼（德，1460－约1499年），1489年出版的《各种贸易的最优速算法》（又译《简算与速算》）创用“＋”、“－”号用于表示剩余和不足，并未引起人们的注意。1544年施蒂费尔及其他一些数学家相继采用了这两个抽象数学语言符号才真正地、正式地登上了加减运算的舞台，渐渐地名扬四海，才得到了大家公认和使用。

等号叫一对双生子。关于等号，《算术集成》中用ae（来自aequalis）表示相等。牛津大学数学教授雷科德（英，1510－1558）于1557年在代数论文《智慧的磨刀石》中首次用符号＝表示相等，文章中写道：“为了避免枯燥的重复is aequalleto这个词，也就是等于，如像我经常在自己的工作实际用到那样，我就放二条平行线――同样长＝的一对双生子，因为任何两件东西，不可能比它们更相等。”

发明现代小数点的人是克拉维斯（德，1537－1612年），他在繁荣数学这门学科上超过了16世纪的任何其他德国学者，1593年在罗马出版的《星盘》中首次使用了现代意义上的小数点，即把小数点作为整数部分与小数部分分界的记号，1608年出版的《代数学》中更明确地使用这种小数点。这是用点表示小数记法之开始。

1629年吉拉德（荷，1593－1632年）出版的《代数的新发现》中用有限线段解释方程的负根，并且第一个提出用减号“－”表示负数。从此，负数符号逐渐得到人们的认识，沿用至今。

韦达（法，1540－1603年），律师与政治家，业余研究数学，16世纪法国最大、最有影响的数学家（1593年解出比利时大使提出的45次方程问题，但他不承认负数，叫它为“不合理的数”），也被认为是16世纪最大的数学家，从先辈的著作特别是丢番图的著作中获得了使用字母的想法，用字母等符号表示未知量的值进行运算，规定了代数与算术的分界，被西方称为“代数学之父”，1591年《分析引论》（或《分析方法入门》）是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著。在《分析引论》的结尾写下一句座右铭“没有不能解决的问题”（Nullum non problema solvere）。1615年《论方程的整理与修正》用代数方式推出了一般的二次方程的求根公式，记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。他的著作内容深奥，言辞艰涩，其理论在当时并没有产生很大影响，直到1646年韦达的文集出版才使他的理论渐渐流传开来，得到后人的承认和赞赏。

2.2 三角学

欧洲文艺复兴始于意大利，之后是德国。德国在数学研究上独占魁首，遥遥领先除意大利以外的欧洲各国。

1450年以前，三角学主要是球面三角。

15、16世纪德国人从意大利人获得了阿拉伯天文学著作中的三角学知识，如阿尔·巴塔尼（858－929年）的《历数书》、纳西尔丁·图西（1201－1274年）的《论完全四边形》。在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。

雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），又名缪勒，在维也纳大学学习和讲授天文学，逐渐掌握了托勒密的天文学说，并努力钻研与之相关的几何学、算术与三角学，后到罗马，不断学习拉丁文和希腊文的经典学术著作，对数学的主要贡献是在三角学方面，代表作是完成于1464年《论各种三角形》（或称《三角学全书》，1533年出版），是欧洲人对平面和球面三角学所作的第一个完整、独立的阐述，欧洲传播三角学，他的著作手稿在学者中广为传阅，成为15世纪最有能力、最有影响的数学家，对16世纪的数学产生了相当大的影响，哥白尼的工作受到他的影响，可惜40岁时英年早逝，死英是瘟疫，但有传闻说他是被仇人毒死的。雷格蒙塔努斯出版的《星历表》给出了1475－1506年间每天的天体位置，有趣的是，哥伦布在第四次航海探险时随身携带了一份《星历表》，并利用它预示的1504年2月29日的月食吓唬牙买加的土著印第安人，终于使他们屈服。

韦达（法，1540－1603年），1579年《应用于三角形的数学定律》系统讲述了用所有6种三角函数解平面的球面三角形，这在西欧也许是第一部书，1615年《截角术》系统化了球面三角和平面三角学。

2.3 射影几何

欧洲几何学创造性的复兴晚于代数学。文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自艺术，因为画家们在将三维世界绘制到二维画布上时，面临着一些投影的问题。正是由于绘画、制图中提出的问题的刺激导致了富有文艺复兴特色的学科，透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质的几何学，一度也叫做投影几何学。

起源于绘画和建筑学中的透视法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希腊数学家阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。文艺复兴时期，绘画艺术的盛行促进了理论的发展，透视法成为一门几何与绘画结合的热门学科。阿尔贝蒂（意，1404－1472年）于1435年发表《论绘画》一书，阐述了最早的数学透视法思想，他引入投影线和和截景概念，提出在同一投影线下和景物的情况下，任意两个截景间有何种数学关系或何种共同的数学性质等问题，这些问题是射影几何发展的起点。

德沙格（法，1591－1661年），约1630年住在巴黎的德沙格又同那时法国的几个领头的数学家成为朋友，随后，经常出席梅森的“巴黎学会”的活动，与著名的数学家费马也有交往。上述这批人的活动和所取得的成就，使法国成为17世纪上半叶世界数学史上最辉煌的国度，也为18、19世纪形成世界的数学中心打下良好的基础。身处这一旋涡的德沙格以其新颖的思想和独特的数学方法，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱。1636年发表了第一篇关于透视法的论文《关于透视绘图的一般方法》，主要著作是1639年《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，充满了创造性的新思想、新方法，是射影几何早期发展的代表作。书中提出并证明了“德沙格定理”：如果两个三角形对应顶点的连线共点，那么它们的对应边的交点共线。其逆定理也成立。图形连续变化，变换的不变性，关心结构不涉及度量。

随着解析几何和后来的微积分的迅猛发展，该书逐渐被遗忘了。直到1845年，法国几何学家、数学史家沙勒才在巴黎的一个旧书店里发现这本书的手抄本，此时射影几何正处于复兴时期，人们才认识到德沙格这本著作的价值。1950年前后，在巴黎国立图书馆又找到它的原版本，历经300余年的沧桑岁月，它终于在诸多数学名著中有了一个适当的位置。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圆锥曲线论》（1779年发现），帕斯卡定理：圆锥曲线的内接六边形对边交点共线。不同于物理学上的帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方向传递。

射影几何的综合方法，用代数方法处理问题更有效，射影几何产生后很快让位于代数、解析几何和微积分，他们的工作也渐被遗忘，迟至19世纪才又被人们重新发现。

2.4 对数 16世纪前半叶，欧洲人把实用的算术计算放在数学的首位。由于天文和航海计算的需要，计算技术最大的改进是对数的发明与应用。

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）曾是荷兰军队的军需总监，领导过许多公共建筑工程的建设，在数学方面最重要的著作《十进算术》，系统地探讨了十进制记数及其运算理论，并提倡用十进制小数来书写分数，阐述的思想虽然很简单，却在西方产生了深远的影响。在西方史蒂文是第一个系统论述十进分数及其算术的人，其动机是简化计算，把它献给天文学家、测量人员和商人。在文明史上，史蒂文是工程师和技术专家的典范，他用科学的方式去处理实际问题，极为注重理论与实践的结合，总是像一个数学家那样思维，这是他科学生涯中一个最显著的特点。

纳皮尔（苏格兰，1550－1617年），把大部分精力花在那个时代的政治和宗教论争中，但仍为数学的发展做了许多有价值的工作。受三角公式积化和差，几何级数指数等的启示，纳皮尔在对数的理论上至少花了20年的时间，于1590年左右开始写关于对数的著作，1614年发表《奇妙对数规则的说明》。纳皮尔的惊人发明被整个欧洲热心地采用，尤其是天文学界，简直为这个发现沸腾起来了。拉普拉斯就认为，对数的发现“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。

邮票：纳皮尔的对数（尼加拉瓜，1971）。

在谁最先发现对数这个问题上，纳皮尔只遇到一个对手，即瑞士仪器制造者比尔吉。比尔吉独立设想并造出了对数表，于1620年出版了《算术和几何级数表》。虽然两个人都在发表之前很早就有了对数的概念，但纳皮尔的途径是几何的，比尔吉的途径是代数的。

1620年冈特（英，1581－1626年）制成第一把对数尺。

数学史上是先有对数，后有指数概念。而今天的教科书是先讲指数，并用指数来定义对数，这正与它的历史相反。

对数17世纪中叶传入我国，对数一词被译为“假数”。如1653年由波兰数学家穆尼阁（1611－1656）和薛凤祚合编的《比例对数表》一书，是传入我国最早的对数著作。当时lg2=0.3010中2叫“真数”（沿用至今），0.3010叫“假数”，真数与假数列成表叫对数表，后来改“假数”为“对数”。

到16世纪末、17世纪初，整个初等数学的主要内容基本定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴起及以后的惊人发展铺平了道路。3、15－17世纪的中国数学

两个特点：珠算发展，西学东渐。3.1 珠算

珠算盘是算筹的发展。珠算盘的记载最早见于元末陶宗仪的《南村辍（chuò）耕录》（1366年）。明代算盘完全取代了算筹，珠算开始普及于中国，现存最早的珠算书是1573年（明万历元年）闽建（今福建建瓯）徐心鲁订正的《盘珠算法》。

程大位（明，1533－1606年），安徽休宁（今屯溪）人，自幼酷爱数学，从20多岁起便在长江下游一带经商，收罗了很多古代与当时的数学书籍。经过几十年的努力，在1592年60岁时，编著了一部集珠算理论之大成的著作《直指算法统宗》，详述算盘的用法，载有大量运算口诀，流传朝鲜、日本和东南亚以外。从它流传的长久和广泛方面来讲，那是中国古代数学史上任何著作也不能与之相比。

中国算盘（利比里亚，1999）、日本算盘（日本，1987）。

但实际上，珠算对筹算的取代，实际上却在一定程度上造成了建立于筹算基础上的中国古代数学的失传。

3.2 西方数学的传入

乐山大佛（唐，713－803年）。

中国古代历史上，曾出现过两次大规模的外来文化传入：一次是公元一世纪到九世纪汉唐时期印度佛教文化的传入；另一次是明清之际西方基督教文化，特别是西方自然科学的传入。由于演算天文历法的需要，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。

巴黎圣母院（建于1163－1345年），位于巴黎市中心塞纳河中的西岱岛，是世界驰名的天主教堂，也是巴黎最负盛名的古代胜迹之一。整个建筑全部由石头砌成，是一座典型的哥特式教堂，占地5500平方千米。两座钟楼后面有座高达90米的尖塔，巍峨入云，塔顶是一个细长的十字架，远望似与天穹相接。整个建筑象征着基督教的神秘，给人以庄严华丽、神秘莫测之感。几个世纪以来，巴黎圣母院一直是法国宗教、政治和民众生活中重大事件和举行典礼仪式的重要场所。

西方数学在中国早期传播的第一次高潮是从17世纪初到18世纪初（明末清初），标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译。《原本》是世界上最早的数学公理化著作，影响最广泛的数学名著。罗素（英，1872－1970年）：“欧几里得的《原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一”。

最早来中国从事传教活动的是明万历年间（1582年）来华的意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552－1610年），被中国人尊称为“西学东渐第一师”，中华世纪坛的世纪厅中有利玛窦（意，1552－1610年）的雕象。利玛窦曾在德国学习数学，后又给世界大科学家伽利略（意，1564－1642年）讲过几何学，但利玛窦来华并非以数学家的身份，而是“传教”的天主教耶稣会教士，为了适应当时中国社会的需要，制订了一套适合中国实际情况的“合儒”、“补儒”及“超儒”的和平传教政策，即“政治上拥护贵族统治，学术上要有高水平，生活上要灵活适应中国的风土人情”。1596年9月22日，利玛窦在南昌预测了一次日食，使他名声大振。1600年利玛窦与徐光启（明，1562－1633年）在南京相识，开始了他们之间的科学合作。

利玛窦第一次告诉中国的知识分子地球是圆的。九星会聚（中国，1982）。徐光启（明，1562—1633年），上海徐家汇（今属上海市）人，明末著名科学家，在数学、天文、历法、军事、测量、农业和水利等方面都有重要贡献，官至文渊阁大学士，第一个认识到中国的近代科学已经远远的落后于西方，中国放眼看世界的第一人，第一个把欧洲先进的科学知识，特别是天文学知识介绍到中国，同时注意总结中国的固有科学遗产，成为我国近代科学的启蒙大师。

1629年，徐光启被礼部任命督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍丹麦天文学家第谷•布拉赫（1546－1601年）的“地心说”（第谷认为地球在宇宙中心静止不动，行星绕太阳转，而太阳则率领行星绕地球转。这个体系虽在欧洲没有流行，但传入中国后曾被一度接受）。作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲的三角学，以及纳皮尔对数、伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。《崇祯历书》（1634年修成），其中天文学和数学基本理论占全书30%，奠定了我国近300年历法的基础。《崇祯历书》为什么不采用哥白尼体系，因为在当时哥白尼体系在理论上、实测上都还不很成功。因此当时的天文学家对哥白尼学说持怀疑的态度是很正常的。我们今天熟知的地球绕太阳转的证据，是到了18世纪才最终被发现的。我们今天相信哥白尼是对的，但是那个时候证据还没有被发现。所以《崇祯历书》采用了地谷的体系。《崇祯历书》对一些欧洲重要天文史上比较重要的学说，包括哥白尼的学说，都做了介绍，并且把哥白尼作为欧洲历史上最伟大的四个天文学家之一。

1634年，《崇祯历书》编撰完成，经过8次较量之后，崇祯皇帝最终相信西方天文学确实比中国的传统天文学更好，1644年他下令颁行天下。但是他诏书刚刚下去没几天，李自成的军队就打进了京城，颁行《崇祯历书》的命令还没有实施，明朝就崩溃了。汤若望（德，1592－1666年，1622年进入广东）把《崇祯历书》做了删改汤若望将《崇祯历书》删改为103卷，连同所编的新历本一起进呈清政府，献给满清政权。顺治皇帝给题写了书名，命名为《西洋新法历书》，将这个历法颁行天下。

《崇祯历书》对中国天文学整体上起到了一个怎样的作用呢？它没有改变中国传统天文学作为政治巫术的性质。我们知道《崇祯历书》在1634年的时候，跟欧洲的天文学差距很小。但是编完之后，200多年几乎不变。后来清朝修订过几次，补充过零星的欧洲天文学知识，但是实际上我们完全脱离了欧洲天文学的进程。接着200年，我们几乎原地不动，而欧洲这200年天文学发展如火如荼。《崇祯历书》曾经有一个机会能够让我们跟国际接轨，但是因为我们对待科学的态度，最终中国仍然失去了这个机会。我们一度跟国际接轨但很快又脱轨，最终等到鸦片战争结束，西方天文学第二次大举进入的时候，我们中国人几乎不认识它了，因为我们落后了它200年。

在农业和水利上，编成巨著《农政全书》（1639年刻板付印）。

在数学上，1606年，徐光启与利玛窦合作完成了欧几里得《原本》前6卷的中文翻译，并于1607年在上海刊刻出版，定名《几何原本》，中文数学名词“几何”由此而来。徐光启说，“此书为益，能令学理者祛其浮气，炼其精心，学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”，对未能完成全部的翻译而感遗憾，曾说：“续成大业，未知何日，未知何人，书以俟（sì）焉”。《几何原本》是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门，相继出