数学分类思想刍议

数学分类思想刍议（精选十篇）

数学分类思想刍议 篇1

一、德育目标与情感目标、行为目标

中学思想政治课是对学生进行比较系统的马克思主义基本常识教育以及政治思想、道德品德教育的课程。因此, 思想政治课程教学目标应当包括认知的目标、情感目标和行为目标, 其中包含了对学生知识、能力、觉悟等方面的要求。如果按学校教育中的德育、智育、体育来归类的话, 那么, 认知目标属于智育范畴, 情感目标、行为目标则属于德育范畴。“德育即对学生进行政治、思想、道德和心理品质教育。” (《中学教育大纲》) 《中学教育大纲》规定, 中学德育的基本任务是把全体学生培养成热爱社会主义祖国的, 具有社会公德、文明习惯的遵纪守法的公民。在这个基础上, 引导他们逐步树立科学的人生观、世界观, 并不断提高社会主义思想觉悟, 使他们中的优秀分子将来成为共产主义者。这一任务贯穿教学的全过程, 因此, 认知目标和情感目标、行为目标是互相包容的关系, 在内容上是一致的。

思想政治课程教学不仅要完成认知目标, 更要完成情感目标和行为目标, 即德育目标, 努力做到知、情、行的统一, 智育和德育的统一。当前在思想政治课教学中, 由于素质教育的观念淡薄, 存在着重智轻德的倾向。在政治科学教育科研中, 存在注重认知目标的研究而忽视情感领域目标的研究, 注重行为领域目标而忽视情感领域目标的研究的情况, 这显然是不妥当的, 应必须努力改变这种状况。

二、中学思想政治德育目标分类与描述

1. 中学思想政治课的情感目标分类与描述

思想政治课的情感目标, 是衡量学生对教学中提出的马克思主义的基本观点、立场和方法的接受与觉悟的程度, 是反映学生在情感上接受与拒绝某种价值观念而引起的态度上的变化。它是由注意、兴趣、态度、价值观念、评价能力、自我教育能力、适应能力等组成。当一个人面临的事物与自己已形成思想意识之间发生关系时, 这种关系的切身体验或反映就是情感, 引起这种切身体验的心理过程就是情感过程。

学生教育内容的内化过程、情感变化的过程, 有一个从低级到高级的发展过程。但是, 如何划分中学思想政治情感目标的层次, 目前尚无定论。笔者认为, 情感目标的分类宜粗不宜细, 以分为接受、信念、信仰三个层次为宜。

(1) 接受, 是指学生对知识的赞同和认可, 不受个人行为和信奉所驱使, 而是受“遵守”“顺从”“愿意”的愿望所驱使的。这种“遵从”“顺从”的原因, 或是“书上写的”, 或是“老师说的”, 或是“某权威的言论”, 或是出于升学与考试的需要等, 不受个人价值观的驱使。在这一层次上, 教育者要抓住学生的这种“愿望”“求知欲”, 把它引向更高的层次。举例如下: (1) 通过比较, 认识到马克思主义关于政治的基本观点的科学性、正确性。 (2) 形成对物质第一性、意识第二性的认识。 (3) 乐意与老师交流学习思想政治课的体会。 (4) 愿意遵守中学生的日常行为规范。 (5) 通过讨论, 了解当前国际形势和总趋势。

(2) 信念, 这一目标是指学生认知后把某种观念内化为自己的价值准则。它反映是这样一种行为:学生愿意接受某种价值观, 确信这种价值观的科学、正确性;对某种价值观信奉的程序已达到“追求它, 寻找它, 要求得到它”的地步。学生对某种价值观内化、信奉达到稳定性、一致性的程度时, 我们可把它视为具有某种信念或态度的特征。举例如下: (1) 确信社会主义民主比资本主义民主优越, 是坚定社会主义信念。 (2) 树立社会主义制度代替资本主义制度的信念。 (3) 坚信共产主义理想一定能实现。 (4) 确认社会主义精神文明对社会主义物质文明建设的重大指导作用。 (5) 能在辩论中, 审慎地考察各种有争论的观点, 并形成自己对某一向问题的基本看法。 (6) 能勇于并善于接受新生事物。

(3) 信仰, 是情感目标的最高层次, 是个性化了的价值观念体系。这一层次上的观念具有高度的确定性、持久性、和一致性的特征。这些观念、观点组合成人的世界观、人生观。信仰目标的实现, 不是某节课能完成的, 它是逐步实现的, 需要进行长期的学习与实践。举例如下: (1) 能为实现共产主义而献身。 (2) 能识别真理与谬误, 始终坚持真理, 修正错误。 (3) 形成全面地、辩证地分析问题的思想方法。 (4) 受振兴中华、实现四化动机的驱使, 在极端困苦的学习环境里, 对学习持乐观态度。

2. 中学思想政治行为目标分类与描述

行为表现是教育内容的外化过程, 它与内化过程一样也有一个由低级至高级的变化与发展过程。笔者认为, 中学思想政治教学过程中的行为目标的层次应分为:应付性行为、主动性行为、习惯性行为、创造性行为。

行为目标是指学生根据教育内容所要求的行为规范而作出的各种行为表现, 是内化的政治、思想、道德观念的外在表现, 是认识教育与情感教育的外在显示。目标是描述学生达到的行为。在认知领域里, 我们关注的是, 当要求学生完成某一任务时, 他能够完成这一任务;在情感领域里, 我们关注的是, 学生已经能够完成某一任务后, 在适当的时候, 他确定完成了这一任务;在行为领域里, 我们关注的是, 学生行为的自觉性、目的性、一致性、稳定性和统一性的程度。构成行为领域的目标, 主要是学生依据行为规范、价值观表现出来的外在行为, 其中包括意志力的磨炼、自信心的培养、文明行为的训练以及文明习惯的养成、不良习惯纠正等。学生良好习惯的养成都要经历一个由被动的、不太符合规范的行为到主动的、基本符合行为规范的行为过程。这是个渐进的过程, 教师要依据行为目标, 主动地、自觉地培养学生的文明行为与习惯。举例如下: (1) 学习雷锋先进事迹后, 模仿雷锋行为, 为有困难的人提供帮助。 (2) 自觉执行《中学生守则》和《中学生日常行为规范》。 (3) 不做法律不允许做的事情。 (4) 按照国家对未来建设者的素质要求和学校的有关规定制定学习计划。 (5) 具有运用辩证唯物主义观点观察、分析问题的能力。

个体的行为动作表现是认知、情感、行为的综合体, 是很难将它们绝对分开来的。因此, 在具体制定德育目标时, 要认知、情感、行为三者兼顾, 否则, 容易使教学产生片面性。

分类讨论思想与初中数学教学 篇2

专业论文

分类讨论思想与初中数学教学

分类讨论思想与初中数学教学

摘 要：数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

关键词：数学 ；分类讨论

新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。

一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：

1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。

2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。

3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。

4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。

一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。

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专业论文 有意识地分阶段渗透分类讨论思想

启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质

这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。

例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想

在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：

分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：

化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；

2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）

3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。

在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：

等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。

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刍议初中数学中的分类讨论法 篇3

关键词：初中数学；分类讨论法；应用探讨

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）03-314-01

分类讨论既是初中数学的一个难点也是重点，在历届中考中通常以较难的题型出现，大多数同学容易丢分。为了能使同学们更深刻、更全面地掌握好这一数学思想方法，下面我从分类方法、分类原则、分类方法的运用三大方面谈一谈。

一、分类方法

1、分类及其要素

分类是根据对象的相同点和差异点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法，分类也叫划分。

数学中的分类是，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。

分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类；从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。

分类具有三要素：

（1）母项，即被划分的对象；

（2）子项，即划分后所得的类概念；

（3）根据，即划分的标准。

2、分类标准

分类的关键在于正确选择分类标准。一个科学的分类标准必须能够将需要分类的数学对象，进行不重复、无遗漏的划分。

例如，将平行四边形分成矩形、菱形、正方形是不恰当的。因为在矩形和菱形中都包含正方形，而且还存在大量的既不是矩形也不是菱形的平行四边形。又如，将自然数分为质数和合数也是不正确的，因为遗漏掉“l”这个既非质数又非合数的自然数。

3、现象分类与本质分类

数学分类有现象分类和本质分类的区别。所谓现象分类，是指仅仅根据数学对象的外部特征或外部联系进行分类。这种分类往往把本质上相同的对象分为不同的类别，而把本质上不相同的对象归为同一类别。所谓本质分类，即根据事物的本质特征或内部联系进行分类

二、分类的原则

任何分类，都必须遵循下列四个原则。

1、不重复

不重复，即要求分类应是纯粹的。

2、无遗漏

无遗漏，即要求分类应是完备的，从量的方面要求一个不能少。

3、标准同一

是在一次分类中只能按同一标准进行，两者不可混淆。

4、按层次逐步划分

分类应取被分类概念最邻近的概念按步骤进行，不能越级，应按层次逐步进行。否则就会出现越级划分的错误。

三、分类方法的应用

1、分类可使知识条理化、系统化

通过分类可以使大量繁杂的知识条理化、系统化，有助于人们更好地掌握知识和形成良好的知识结构，并为进行分门别类的深人研究创造条件。

2、分类讨论

所谓分类讨论，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的、合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。数学教学中引起“分类讨论”的原因大致有如下几个方面。

（1）由概念的定义引起的讨论

数学中许多概念的定义是分类给出的，如绝对值、平方根、一元二次方程的实根个数与系数的关系等。当题目中涉及到这些概念时就需要进行分类讨论。

例1：求y=√ax-2a+1的定义域。

分析：由ax-2a+1≥0得ax≥2a-1，于是

当a=0时，x是任何实数

例2：在平面内，已知一直线n外的两点A、B到直线n的距离分别为a、b（a

分析：必须考虑到在直线n外的两点A，B与直线n的位置关系是不确定的，有两点在直线n的同侧与异侧两种情况 .

（1）由问题中含有字母参数引起的讨论

许多数学问题中含有字母参数，随着参数取值的不同，会使问题出现不同的结果。遇到这类问题，需要对字母参数的取值情况进行讨论。

（2）由于问题提供的情景比较复杂需要分类讨论

例3：从5双不同尺码的鞋子中任取4只，其中至少有2只配成一双，有多少不同的取法？

解法一：由于“任取4只鞋子，其中至少有2只配成1双”，实际上包括两种情况：

一类是，4只中只有2只配成一双；另一类是，4只中恰好配成两双。

解法二：如果没有限制条件，从5双中任取4只，共有120种取法。所有这些取法可以分为两类：

一类是，4只中没有2只能配成一双的取法；

另一类是，4只中至少有2只配成一双的取法，这正是所要求的取法。

数学分类讨论思想的认识 篇4

关键词：分类讨论思想,原因,原则

在数学中, 数学思想贯穿于整个数学教学中, 是数学教学的核心.一般它可以分为:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想、极限思想等诸多思想.而分类讨论思想就是其中最重要的板块之一, 在高中数学的教学中, 这种解题思想对大部分学生而言, 碰到题目时总是束手无策.因此, 下面对分类讨论思想提出如下几方面的意见, 希望在大家碰到这类题时能有所帮助.

(一) 分类讨论的原因

1. 由数学定义引出的分类讨论题, 如绝对值定义、直线斜率定义、指数函数与对数函数定义、等比数列的前n项和公式等.

2. 由数学运算要求引出的分类讨论题, 如对数中的底数和真数的要求、偶次方根非负、不等式两边同乘一个实数对不等号方向的影响等等.

3. 由条件或结论不唯一时引出的分类讨论题, 如一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数等.

4. 根据定理或公式的限制所进行的分类讨论, 如:等比数列的前n项和公式等.

5. 由图形位置的变化所引出的分类讨论, 如直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系等.

6. 受参数的影响所引出的分类讨论, 如:判断函数f (x) =alnx+x (a∈R) 的单调性等.

(二) 分类讨论一般步骤

1. 确定分类对象和对象的范围.

2. 确定分类标准, 正确分类.

3. 逐类讨论并解决问题.

4. 归纳总结.

(三) 分类讨论的原则

1.进行分类的对象是确定的, 标准是同一个.例如:一般三角形有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类, 而若是分为锐角三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形就是错误, 因为分类标准不同.

2.所进行的分类做到不重不漏.例如:高二 (16) 班在一次春季运动会中, 共有5人参加了田径比赛和跳高比赛, 其中有4人参加了田径, 有2人参加了跳高, 如把5人分成了参加田径和跳高两类, 就犯了子项相容的逻辑错误, 因为须有1人既参加了田径, 又参加了跳高比赛.

3.分层次, 逐层讨论, 不越级讨论.例如:求方程ax2+2x+3=0的根的个数一题中, 先分a≠0和a=0两类, 然后在a≠0一类中再分Δ>0, Δ=0, Δ<0三类去分别求解.

(四) 注意事项

1. 按主次分类的结果应求并集.

2. 按参数分类的结果要分类给出结果.

3. 若讨论复杂, 能避免则避免.

(五) 典例透析

例设函数f (x) =ax3-3x+1, (x∈R) , 若对于任意x∈[-1, 1], 都有f (x) ≥0, 求实数a的值.

分析对x∈[-1, 1], 都有ax3-3x+1≥0成立, 此不等式中含有参数a, 若用分离参数法解, 则得到ax3≥3x-1, 此时x∈[-1, 1], 需对x的取值进行讨论.

解 (1) 当x=0时, 不论a为何值时, f (x) ≥0显然成立.

(2) 当0

(3) 当-1≤x<0时, f (x) =ax3-3x+1≥0可化为.设, 则, 所以g (x) 在[-1, 0]单调递增, 因此, g (x) =g (-1) =4, 从而a≤4.

综上, ∀x∈[-1, 1], 都有f (x) ≥0, 则a≤4.

数学分类思想刍议 篇5

分类讨论思想在初中数学中的几点应用 作者：杨欣

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期

分类讨论是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.数学中有许多问题由于已知条件笼统，所以需要对可能的情形进行分类讨论，因此，我们在思考问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，分类要做到不重不漏，从而获得完整的答案.以下是分类讨论思想在初中数学中的几点应用，一、在实数中的应用

数学“基本思想”的分类与应用 篇6

1 演绎推理，是从一般到特殊的推理，只要前提为真，符合逻辑规则，那么结论就可靠。它通常包括直接演绎（由一个前提直接推出结论）和间接演绎（由两个或两个以上前提推出结论）。

演绎推理具有“三段论”的形式，它是由大前提（一般的判断）、小前提（特殊的判断）、结论（最后的判断）这三个判断组成的。例如，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提）；258各位上的数字和15是3的倍数（小前提）；所以，258是3的倍数（结论）。

2 合情推理，是从特殊到一般的思想，通过研究一些具体、特殊的情况，达到认识一般规律的目的，它是人们认识未知的一种重要思想。归纳推理就是一种从特殊到一般的推理，它是一种合情推理，是在观察分析问题的几个简单、特殊情况，从中总结规律，发现一般问题的解答的思想方法。

例如，六年级下册第94页第3题，（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？（2）一个九边形的内角和是多少度？通过学生思考三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，由三角形内角和是180°×（3—2），四边形内角和是180°×（4—2），五边形内角和是180°×（5—2），从中发现多边形内角和与它边数的关系，推出规律：内角和的度数=180°×（边数—2）。这是一种不完全归纳推理，不完全归纳推理是在研究某个事物或现象的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，对这一事物或现象作出一般结论的。不完全归纳推理所得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。例如，由4是偶数，4也是合数；6是偶数，6也是合数；8是偶数，8也是合数；推得一切偶数都是合数，这个结论就不正确。虽然不完全归纳推理得到的结论可能正确也可能错误，但是它能帮助人们迅速地去发现事物的规律，提供研究的线索和方向。

有时在解决问题中，从特殊到一般和从一般到特殊这两种思想方法需要结合使用。

例如，3⁵⁸⁶除以5的余数是多少？如果你一心一意想把586个3连乘，企图得到它们的积，再把积除以5求余数，尽管你的整数乘法基本功很好，也是难以求得答案的，因为这是一个天文数字。正确的思考方法是：1.先把问题一般化：问3ⁿ（n表示自然数）除以5的余数是什么？如果能够解答这个一般问题，那么当n=586时，便是本题的答案。2.使用归纳法，从n=1，2，3，……入手，探求一般问题的结论。当，n=1时，3¹=3，除以5的余数是3；当n=2时，3²=9，除以5的余数是4；当n=3时，3³=27，除以5的余数是2；当n=4时，3⁴=81，除以5的余数是1；当n=5时，3⁵=243，除以5的余数是3；当n=6时，3⁶=729，除以5的余数是4……从上面可以看出，当，n从1开始按顺序取值时，3ⁿ除以5的余数依次以3、4、2、1周期反复出现。这就是上述一般问题的解答。3.使用演绎法，从一般规律求当n=586时本题的解答，因为586被4除余2，所以3⁵⁸⁶除以5的余数是4。

3 类比思想，从特殊到特殊的思想。人们研究鱼为什么在水中能自由浮沉，设计发明了潜水艇；从鸡蛋壳的结构，发明了薄壳建筑等，这些都是人类模仿生物特性创造发明的成果，使用的思想方法就是类比思想。

类比思想是小学数学常用到的思维方法。例如，由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，解决问题中数量关系相近的问题的类比等。小学数学中的类比推理除了能有效地促进知识的迁移，还能进一步加强新旧知识间的联系，引导学生从知识点形成知识链，并进一步形成知识面，完成知识的系统化。例如，整数四则运算与小数四则运算的类比，还能帮助学生有效地掌握运算法则。

类比推理并不是论证，由类比推理所引出的结论并不一定是正确的，例如由“a×3=b×3，则a=b”；类比推出“a×0=b×0，则a=b”，后者就不一定正确，但是类比思想在科学假设中常常能起到很大的作用。

二、从数学间的区别和转化的角度看

1 分类的思想。分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据对象本质属性的共同点和差异点，将属性对象按一定的秩序区分为不同种类的思想，它以比较为基础，能够揭示数学对象之间的联系与区别，有助于更准确完整地认识事物。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类（整数、小数、分数：奇数、偶数；质数、合数、1等）、图形的分类（角的分类、三角形的分类等）。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在教学中渗透分类思想时，应让学生了解分类标准是多样的，不同的分类标准会有不同的分类结果。例如，《三角形的分类》一课。制定教学目标时，一方面要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如，当学生不能正确分类时，可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行：当学生出现将三角形按角分成直角三角形和没有直角的三角形（斜三角形）两类或直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类时，则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形都是在斜三角形基础上的细化分类，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样不仅直观体现了分类的思想，还能够有效地支撑学生进一步明确概念之间的逻辑关系。

学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决数学问题。例如，等腰三角形中有一个角是80°，它的另外两个角分别是多少度？就要将问题分两类未思考：①当顶角为80°时，另外两个角分别为50°，50°。（②当底角为80°时，另外两个角分别为80°，20°。

数学分类思想刍议 篇7

关键词：初中数学教学,分类方法,分类思想

一、初中数学教学中几种重要的分类方法

所谓数学分类讨论方法, 就是将数学对象分成几类, 分别进行讨论来解决问题。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性, 能训练人的思维条理性和概括性的分类讨论思想, 贯穿于整个初中数学的全部内容中。学习分类方法可以增强思维的缜密性。在教学中渗透分类思想时, 应让学生了解到所谓的分类就是选取适当的标准, 需要根据对象属性x, 不重复、不遗漏地划分为若干类, 而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法是解决问题的关键所在。下面我就简单谈几种分类方法。

(一) 根据数学的相关法则性质或特殊规定进行分类。

例如, 学习一元二次方程, 根的判别式时, 对于变形后的方程用两边开平方求解, 需要分类讨论大于0、等于0、小于0这三种情况对应方程的解。

例题:解关于x的不等式:ax2+3>2x2+a。

分析:此题的符号决定能否开平方, 是分类的依据, 通过移项不等式可以化为 (a-2) x2>a-3的形式, 然后根据不等式的性质可分为a-2>0、a-2=0和a-2<0三种情况分别解不等式。

(二) 根据数学的概念分类。

有些数学概念是经过分类得出的, 解答此类题目, 一般就可以按概念的分类形式进行分类。

例题:化简:|a-4|—|a+6|

分析:这要按绝对值的意义进行分类求解。需要分三种情况:绝对值>0时, 绝对值<0时和等于0时, 分类讨论, 得出结果。

再如:当m为何值时, 函数y= (m+3) x2m+l+4x-5 (x≠0) 是一次函数?

分析:这要根据一次函数的概念进行分类求解。

(三) 根据图形的特征或相互间关系进行分类。

1. 三角形按角分类可以分为锐角三角形, 直角三角形, 钝角三角形。

2. 二次函数二次项系数正负关系到抛物线开口方向。

3. 直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为:直线与圆相离, 直线与圆相切, 直线与圆相交, 等等。

例题:等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°, 底边长为a, 则腰上的高是多少?

分析:本题根据图形的特征, 把等腰三角形分为锐角三角形和钝角三角形两类作高, 可得出两种不同的答案:或。。

(四) 根据几何图形中的点和线出现不同的位置进行分类。

例如在证明圆周角定理时, 由于圆心的位置分为在角的边上、角的内部、角的外部三种不同的情况。因此分析时三种不同情况就要分别进行讨论证明。可以先证明圆心在圆周角的一条边上, 这是最容易解决的, 然后通过作过圆周角顶点的直径利用先证明的 (圆心在圆周角的一条边上) 的情况来分别解决圆心在圆周角的内部和外部这两种的情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。初中数学教材中, 在证明弦切角定理即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角时, 也要分圆心在弦切角的一条边上、弦切角的内部和弦切角的外部三种不同情况来解决。

再如:⊙O1与⊙O2, 相交于A、B两点。两圆半径分别是25和17, AB=30, 则圆心距是多少?

分析:根据两圆的位置进行分类就可以求得圆心距为28或12。

二、在法则、定理、公式导出过程中的分类思想

有些数学性质、公式或定理在不同条件下是会有不同结论的, 或者可以说结论只有在一定限制条件下才能成立。这就需要教师在教学的过程中逐步体现分类讨论思想, 分类讨论在什么条件下成立, 结论如何, 等等。

比如:正比例函数的图像, 它的递减或递增性就要取决于k小于0还是大于0, 这就需要分类来进行验证。

再如:不等式的运算性质要按不等式的两边同时乘以或同除以同一个正数或负数的不同来决定不等号方向是否改变。

又如:初中课本证明圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证明?这就需要学生在自主画图测量、分析讨论才能回答的, 否则就失去了从一般到特殊、从特殊到一般的思维过程, 当然也就无法体会到分类证明的目的和优点。

学生在教师的引导下兴趣盎然地进行探索活动, 会逐步体会到恰当的分类可增加题设的条件, 即可以把分类的依据做为附加条件, 先证明特殊情况, 再由特殊情况推广到一般情况。这样就拓宽了解决问题的思路, 以化繁为简。

其实分类讨论的本质就是由特殊到一般、由复杂到简单, 分而治之。只要学生掌握住这种思想, 解起比较难解的题时也会思路清晰, 得心应手。如, 学会了证明圆周角定理之后, 在学习弦切角定理的证明时, 学生们就可以自主运用再次认识“分类讨论的思想”的探究过程。在数学教学中, 教师应该重视法则、定理、公式的论证过程, 注意归纳、揭示公式之间的联系, 帮助学生增强分类意识, 体验分类思想方法的作用。

三、结语

总之, 分类的思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的, 它的灵活掌握需要有个潜移默化的过程, 不能急于求成, 是要在多次理解和反复应用的基础上逐步形成的。因此, 教师要在在日常教学中要在根植于课本的基础上, 着眼于提高;要善于挖掘出各种教学资源中所蕴含的分类的思想方法, 不失时机地引导学生建立分类的思想, 揭示分类思想的本质, 进行渗透、概括、提炼与强化, 使学生能够自觉合理地运用分类的思想解决相应的数学问题。掌握分类的数学思想方法, 可以提高学生的综合运用的能力和良好的思维品质, 也有利于学生数学思维的建立与发展。

参考文献

[1]田芬.初中数学课堂最优化教学初探.科学大众 (科学教育) , 2010, (04) .

[2]梁海军.多媒体教学手段在数学教学中的应用.科教文汇 (下旬刊) , 2010, (01) .

[3]陈志红.打破常规束缚开放数学教学.中国教育技术装备, 2010, (01) .

[4]朱德全.数学问题解决教学设计类型与程式.中国教育学刊, 2010, (01) .

[5]秦晓艳.怎样在课堂教学中展现数学的美.新课程研究 (中旬刊) , 2010, (02) .

数学中的分类思想方法 篇8

那么哪些问题适合用分类的思想方法求解呢?一般来说, 涉及到由分类定义的概念, 如绝对值、二次方程、三角形、四边形等等;用于分类研究的定理、性质、公式、法则, 如分式运算法则, 判别式等等;计算推理过程中遇到的图形的位置、形状不确定时, 均应考虑用分类的思想方法.此外还应注意, 分类不一定能一次完成, 有时需逐层次地分类, 如实数的分类等.

下面介绍用分类思想解题的几种方法.

一、根据定义分类

【例1】 已知关于x的方程 (a+1) x2-2ax+a-2=0有实根, 试求a的取值范围.

分析:本题并没有指出方程一定是二次方程, 因此必须按照方程次数的概念进行分类讨论:

当a+1=0, 即a=-1时, 方程为一元一次方程, 即$2x-3=0,x=\frac{3}{2}$ (实根) ;

当a+1≠0时, 方程为一元二次方程, 因此要求判别式 (根与系数的关系) Δ= (-2a) 2-4 (a+1) (a-2) ≥0,

∴a≥-2.

因此, 满足要求的a取值范围是a≥-2.

二、按零点分类

【例2】 在实数范围内解方程:

$\frac{x}{x-1}\sqrt{x{}^3-2x{}^2+x}=x+2\sqrt{x}.$

$\begin{array}{l}\text{分}\text{析}:\text{原}\text{方}\text{程}\text{可}\text{化}\text{为}\frac{x\sqrt{x}}{x-1}|x-1|=x+2\sqrt{x}.\\ x=1\end{array}$

为绝对值|x-1|的零点, 故可分类讨论:

当x>1时, 方程变为

$x\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}$, 即$\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)=0.$

解得x1=0 (舍去) , x2=4.

当x<1时, 方程变为$-x\sqrt{x}=x+2\sqrt{x}.$

解得x=0.

所以方程的实数根为x1=0, x2=4.

【例3】 已知$\frac{a}{b+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{b}{b+c}$, 求$\frac{a}{b+c}$的值.

分析:为了能准确使用等比定理, 因此必须对a+b+c是否为零作分类讨论:

解:若a+b+c≠0, 则

$\frac{a}{b+c}=\frac{a+b+c}{(b+c)+(c+a)+(a+b)}=\frac{1}{2}$;

若a+b+c=0, 则

$a=-(b+c)‚\frac{a}{b+c}=\frac{-(b+c)}{b+c}=-1.$

三、按问题的可能性分类

【例4】 已知直角三角形的三边分别为$\sqrt{3}‚2‚x$, 求x的值.

分析:当两直角边分别为$\sqrt{3}‚2$时, 根据勾股定理有

$x=\sqrt{(\sqrt{3}){}^2+2{}^2}=\sqrt{7}$;

当两直角边为$\sqrt{3}‚x$时, 根据勾股定理有

$(\sqrt{3}){}^2+x{}^2=2{}^2$,

解得x=1或x=-1 (舍去) .

四、按图形的位置分类

【例5】 已知两圆半径分别为4、2, 且它们有两条互相垂直的公切线, 求此两圆连心线的长.

分析:有两条互相垂直的公切线的两圆的位置关系可以有三种情况, 如图1, 图2, 图3所示:

图1中, ${\rm O}{\rm O}{}_1=\sqrt{(4+2){}^2+(4-2){}^2}=2\sqrt{10}$;

图2中, ${\rm O}{\rm O}{}_1=\sqrt{(4+2){}^2+(4+2){}^2}=6\sqrt{2}$;

图3中, ${\rm O}{\rm O}{}_1=\sqrt{(4-2){}^2+(4-2){}^2}=2\sqrt{2}.$

高中数学分类讨论思想的应用与教学 篇9

类型:已知参数范围,探索命题结论,根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论.

解决该类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及的概念,运用的定理、公式、性质及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的.它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法.

一、根据运算的需要确定分类标准

例1: 解关于x的不等式 组其中a >0且a≠1.

解,由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,因此1为标准进行分类,

二、根据参数的范围确定分类标准

例2:【2014年宁德质检题】20.已知数列{an}满足a1=t>1,an+1=(n+1)/nan.函数f(x)=ln(1+x)+mx2-x(m∈[0,12]),试讨论函数f(x)的单调性.

分析:本例涉及函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.对于含参的单调性问题,参数的不同取值对函数的单调性有着不同的影响,关键是如何分类,主要结合参数取值范围中寻找分类的临界点,如本题的临界点就是m=0,m=1/2,以及对分子为0的取值进行分类讨论.

三、根据参数存在性确定标准

例3:【2014年宁德质检题】19. 在平面直角坐标系x Oy中,已知曲线C1上的任意一点到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为

(Ⅰ)求曲线C1的方程;

(Ⅱ)设椭圆C2若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M,垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N.

(i)求证 :|MN|的最小值为21/2

(ii)问 :是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆 ? 若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

分析:本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与讨论、化归与转化思想、数形结合思想等.

四、分类讨论的方法和步骤

(1) 确定是否需要分类讨论及需要讨论时的对象和它的取值范围;

(2)确定分类标准科学合理分类 ;

(3)逐类进行讨论得出各类结果 ;

(4)归纳各类结论.

高中数学中分类讨论思想运用的探究 篇10

近几年来, 高考试题中对分类讨论思想方法的考查主要涉及以下几个知识点:

(1) 含参数的函数、方程、不等式

如logaf (x) >logag (x) , af (x) >ag (x) , 需对a分a>1和0

(m+1) x2-4x+1≤0, 需对二次项系数m+1是否为0进行讨论, 同时比较一元二次不等式的零点的大小又必须对m进行讨论.

(2) 数列中, 对等比数列求和时, 如果公比q是字母, 则必须讨论公比q是否为1.

(3) 解析几何中含参数的直线和圆锥曲线的方程问题.如:对轨迹方程中的字母参数a的讨论, 确定曲线的类型;对化简后的方程中的Δ的讨论, 确定直线与圆锥曲线的位置关系;

用点斜式直线方程求解时, 对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论.

(4) 在立体几何中, 根据直线和平面所成角的概念, 根据线与线、线与面、面与面的位置关系分类讨论.

如:在同一平面的两条直线的位置关系分平行或相交两种情况进行讨论.

(5) 解排列组合应用题和概率问题时, 根据加法原理进行分类计算.

那么, 为了明天的高考, 我们该如何训练自己运用分类讨论思想把相关的数学问题化难为易、化繁为简的能力呢?我想在运用分类讨论思想解题时, 要注意以下几个方面:

一、分类的原则

在进行分类的时候, 我们要根据问题的条件性质, 应尽可能减少分类, 并注意做到不重不漏, 层次分明, 不越级讨论.例如, 要证明一个命题对于集合A成立, 可以把一个集合A分成若干个非空真子集Ai (i=1, 2, 3, …, n) (n≥2, n∈N) , 使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集.即 (1) A1∪A2∪A3∪…∪An=A; (2) Ai∩Aj=φ (i, j∈N, 且i≠j) .再如, 已知椭圆的离心率求m的值.显然m>0且m≠5, 而m与5的大小关系又会对椭圆的焦点造成影响, 所以我们可以根据m的范围分为05两种情况来进行分类讨论.

二、分类的标准

在确定讨论的对象后, 最困难的是确定分类的标准, 一般来说, 分类标准的确定通常有三种:

(1) 依据数学概念来确定分类标准.

例如, 绝对值的定义是:

所以在解含有绝对值的不等式时, 就必须根据确定正负的x值1和2将定义域 (0, 3) 分成三个区间进行讨论, 即分0

例1已知动点M到原点O的距离与它到直线L:x=2的距离的和等于4.

(1) 求点M的轨迹方程.

(2) 过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P, Q两点, 求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α.

解 (1) 设点M的坐标为 (x, y) , 依题意可得:

根据绝对值的概念, 轨迹方程取决于x>2还是x≤2, 所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为:

(2) 如右图, 由于P, Q的位置变化, 弦长|PQ|的表达式不同, 故必须分点P, Q都在曲线y2=4 (x+1) 上以及一点在曲线y2=4 (x+1) 上而另一点在曲线y2=-12 (x-3) 上两种情况讨论, 可求得:

从而知当

(2) 依据数学中的定理, 公式和性质确定分类标准.

数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论, 在运用它们时, 就要分类讨论, 分类的依据是公式中的条件.

例如, 对数函数y=logax的单调性是分01两种情况给出的, 所以在解底数中含有字母的不等式, 如就应以底数x>1和01时,

又如, 等比数列前n项和公式是分别给出的:

所以在解这类问题时, 如果q是可以变化的量, 就要以q为标准进行分类讨论.

例2设首项为1, 公比为q (q>0) 的等比数列的前n项和为Sn, 又设

当然, 除了以上这些例子以外, 还有像指数函数由于底数a的取值范围所带来的不确定性以及二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 由于a的正负而导致开口方向的不确定, 由a, b的不确定导致对称轴的不同, 等等.

(3) 依据由于取值不同而导致不同结果的参数确定分类标准.

参数广泛地存在于中学数学的各类问题中, 也是近几年来高考重点考查的热点问题之一.以命题的条件和结论的结构为标准, 含参数的问题可分为两种类型:一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值 (或取值范围) , 去探求命题可以出现的结果, 然后归纳出命题的结论;另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件.解决第一类型的参数问题, 通常要用“分类讨论”的方法.

比如:解不等式组

显然, 应以3, 4为标准将a分为14三种情况进行讨论.

例3解关于x的不等式组其中a>0且a≠1.

分析由于不等式中均含有参数a, 其解的状况均取决于a>1还是a<1, 所以以1为标准进行分类.

解 (1) 当0

(2) 当a>1时, 可解得:

注此时不等式组是否有解关键取决于与2的大小关系, 所以以即a=3为标准进行第二次分类.

(1) 当1

(2) 当a>3时解集为

综上所述:

当0

当1

当a>3时, 解集为

三、分类讨论的方法和步骤

(1) 确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围;

(2) 确定分类标准科学合理分类;

(3) 逐类进行讨论得出各类结果;

(4) 归纳各类结论.

例4已知函数试求f (x) 的最大值b.

解原函数化为

令t=cosx, 则-1≤t≤1.

注因为二次函数g (t) 的最大值的取得与二次函数y=g (t) 的图像的顶点的横坐标相对于定义域[-1, 1]的位置密切相关, 所以以a/4相对于区间[-1, 1]的位置分三种情况讨论.

(1) 当即-4≤a≤4时, 此时

(2) 当即a<-4时, b=-a, 此时t=-1;

(3) 当即a>4时, b=0, 此时, t=1.

分类讨论的思想是高中数学中一种重要的解题思想, 对于培养学生逻辑思维的严密性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有很大的帮助.如果能很好地掌握这种分类讨论思想, 再联系数形结合的思想、函数与方程思想等解题思想方法, 则必可在解决一些综合性比较强的高中数学难题的时候, 达到迅速、准确的解题效果.

摘要：分类讨论思想作为数学解题的一种很重要的策略, 很多学生对这种思想的体会或理解无所适从, 其中的原因无外乎对这种分类讨论思想的定义不清楚, 对分类讨论思想涉及的常见题型不熟悉, 以及对分类讨论思想运用上的如何分类难以把握.基于以上原因, 本文特从分类讨论思想的定义、常见题型、如何分类这三个方面去进行阐述.