分类讨论高中数学

分类讨论高中数学（通用9篇）

篇1：分类讨论高中数学

浅谈高中数学分类讨论教学

摘要：作为高中教育一项重要的组成部分，数学在高考中占很大的分值重要，同时，在学生思维能力培养方面具有决定作用。高中数学内容有明线、暗线两条线：明线是指数学知识教学，暗线则是指数学思想方法的教学。作为数学精髓，数学思想方法不仅是促进学生将知识转化为能力、形成良好认知结构的桥梁与纽带，同时也是培养学生创新思维的重要载体本文就分类讨论的组成进行分析，对其重要性进行研究，并探讨高中数学教学分类讨论的应用，以便提高高中数学教学效率

关键词：高中数学；分类思想

高中数学学习是中学学习中一个关键环节。重视并认真完成这个阶段的教学任务，有利于学生为中学的数学学习打下好的基础，培养良好的数学兴趣。对数学教学有着至关重要的作用，在高中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、a2时分a>0、a=0和aAC，则LC>LB，最后讨论C为锐角还是钝角的分类式的讨论。

4.创设情景提高学生的自觉应用能力

准确的运用分类讨论思想需要学生有过硬的学习能力，这就需要教师在课堂上不断加强学生的学习意识，还要学生在课外有意的做些相关的题目，不断的在解题中应用这一数学思想方法，不断的强化，并要克服学生在解题时的盲目性和随意性，要做到分类讨论思想的适应应用，从而提高学生的综合运用能力。

5.不断强化.形成习惯

有了前面的学习，学生已经对分类讨论的数学思想有了深刻的认识。学生在学习中教师应当乘胜追击，以使学生能在不断的强化过程中形成良好的习惯。

例如：教师给出例1：解不等式a×20且a≠1），有了前面的铺垫，多数学生已经能从容地分a>1，a0且a≠1）的单调区间，“一回生两回熟，三次见面就是老朋友。”在对数函数的学习中，教师不妨给出同样的两道例题，例1：解不等式loga（2x-1）0且a≠1）与例2：求函数loga（2x-1）（a>0且a≠1）的单调区间，目的就是使学生在不断的强化中，自然而然地将分类讨论的数学思想在脑海中根深蒂固。

6.结语

?而言之，教师在日常的教学过程中一定要基于课本，注意将分类讨论思想渗透到教师中去，旨在强化学生的理解能力和解题能力，这就有助于学生准确的分析数学问题和有效的解决数学问题，有助于学生提高自身的数学学习能力，有助学生培养出良好的思维能力和思考能力，有助于学生加强逻辑思维能力，从而帮助学生成绩的有效提高。

篇2：分类讨论高中数学

分类讨论思想是数学中的一种重要的思想方法和解题策略，它是逻辑划分思想在解数学题中的具体运用，讨论时要注意“起点”的寻找和“层次”的划分，做到“起点”合理、自然，“层次”明确、清晰.分类的原则是“既不重复，也不遗漏.” 分类讨论在历年高考中，特别是在综合性的题目中常常出现，是重点考查的数学思想方法之一.这种数学思想方法几乎涉及中学数学内容的各个部分，点多面广、综合性强，不少学生在高考复习时，忽视分类讨论或讨论中发生逻辑错误的现象屡见不鲜.关于分类讨论的动因和方法，汪江松先生在其著作《高中数学解题方法与技巧》中已有精辟地阐述，本文就高中数学可能涉及分类讨论的主要知识点加以小结，期望对同学们的高考复习有所帮助.1 集合与简易逻辑

1.1 集合中的元素应满足互异性 例1 解析: 需分或

或,若,求实数a的值.三种情况讨论，且须检验所求a值是否能保证集合中的元素满足互异性.答案a=0.1.2 求集合或元素的个数 例2 已知非空集合_____.解析: M可能含

个元素，讨论后得不同的M

共7个.1.3 因的特殊性而引起的讨论 例3 值范围.解析：

需分

讨论.当

时，若,求实数m的取

为，且若

则,那么集合M的个数为,即.2 函数

2.1 含参数方程 例4 设______.解析： 此题应分

当时，即综上知，m的范围是使方程有唯一实数解,则A用列举法可表示为和两种情况讨论.答案.2.2 二次函数的对称轴与自变量区间相对位置的不确定性引起讨论 例5 设解析:（1）的最小值为的对称轴为直线x=1.分三种情况讨论：

即

在时，,求的表达式.（2）当t>1时，上单调递增，在上单调递减，（3）当t+1<1即t<0时，综上所述，.2.3 对于求含参函数的定义域，或已知其定义域，求参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行分类讨论 例6 已知函数解析:

①对的定义域为R，求a的范围.恒成立.当当时，应有时，若,则①为非绝对不等式;若

或.，则不等式①为

是绝对不等式，所以a的范围是2.4 涉及指数、对数函数，常对底数进行讨论 例7 求函数解析: 令则的单调区间，并指出其增减性.的递减区间是,递增区间是

.又当a>1时，在R上是增函数;当0

.时常需对

在R上是减函数，所以，当a>1时，函数的单

;当0

进行讨论

例8 已知解析: 时，,则不等式不等式变为x+x的解集为_________.,即不等式解集

x<0时，不等式变为即不等式解集2.6 求单调函数中参数的取值范围 例9 已知函数a的取值范围是___________.是在区间上的减函数，则解析： 当时，要使函数在区间上单调递减，则必有即当a=0时，函数3 数列 3.1 已知求,需分

和

显然符合题意.故a的范围是

讨论

例10 为数列的前n项和，且求数列的通公式.解析: n=1时，当时，则立，故

讨论

时，又n=1时也成3.2 等比数列求和时，常分q=1和例11 求和解析: x=1时，①，;时，②,①

②

得-3

=时仍成立).4 三角函数

4.1 三角函数中，涉及到形如的角，常分n 为奇数或偶数讨论

(x=0例12 化简：解析：当k为偶数时，值为-1;当k为奇数时，值也为-1.4.2 已知三角函数值求角，常需对角的位置讨论 例13 已知

求

.解析: 在第二或第四象限.讨论后得=或平面向量 5.1 考虑的特殊性 例14 若解析: 当是否一定有时，不一定有

;否则一定有

.5.2 已知两边和其中一边对角解三角形时，常需讨论解的个数 例15 解析: 中，解三角形.,三角形有两解.由正弦定理得,或.当时，当时，.5.3 使用定比分点公式时，常需分内、外分点两种情况讨论 例16 设,点P在直线

上，且,求P分

所成的比.解析: 当P是内分点时，P分所成的比为;当P是外分点时，P分所成的比为 不等式

6.1 使用均值不等式时，常因因子符号的不确定性而讨论

例17 求函数的值域.解析: x>3时，（x=4时取“=”）;x<3时，（x=2时取“=”）.综上函数值域为6.2 解含参数的不等式常需讨论 例18 解关于x的不等式

.解析: 原不等式等价于或

当时，解集为当时，解集为当时，解集为

.7 直线与圆的方程

7.1 求直线的斜率和倾斜角

例19 已知两点A(m,2)、B(3,1),求直线AB的斜率、倾斜角.解析: 设直线的斜率为k,倾斜角为.当m=3时，k不存在，当时，.7.2 求直线方程时，常需考虑截距是否为零，斜率是否存在

例20 求经过点A（-5，2）且在x轴、y轴上截距相等的直线方程.解析: 当截距为零时，直线方程为当截距不为零时，直线方程为

7.3 判断两条直线位置关系时，常需考虑斜率是否存在 例21 两条直线时，与(1)相交;（2）平行;(3)重合.当m为何值 5 解析:(1)(2)m=-1或m=0;(3)m=3.（过程略）.8 圆锥曲线方程

8.1 含参数的二元二次方程所表示曲线类型的讨论

例22 讨论方程所表示的曲线类型.解析:(1)当时，即时，方程所表示的曲线是圆;(2)当时，方程所表示的曲线是椭圆;(3)当,即

时，方程所表示的曲线是双曲线.8.2 求圆锥曲线方程时，常因焦点位置不确定而引起讨论 例23 已知双曲线C的两个焦点是、实半轴与虚半轴长的积为

直线过

且与线段夹角为,且与线段,求双曲线方程.垂直平分线交点为P,线段与双曲线的交点为Q,且解析: 当焦点在x轴上时，曲线方程为当焦点在y轴上时，曲线方程为（过程略）.8.3 在研究直线与圆锥曲线交点个数问题时，不仅要由数对交点个数的影响 例24 已知双曲线,直线

讨论直线与双曲线公共点个数.来判断，同时还要注意二次项系解析: 联立方程组(1)当即

消去y得时，方程

化为2x=5,方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.(2)当 即时，由得时，方程有两解，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)当，由得时，方程组有一解，故直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.(4)当与双曲线无交点.，由得方程组无解，故直线综上所述，当或时，直线与双曲线有一个公共点;当且时，直线与双曲线有两个公共点;当直线与双曲线没有公共点.9 直线、平面、简单几何体

9.1 由点与线、点与面、线与面、面与面的位置关系的不确定性而引起的讨论 例25 已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面.解析： 证明时需分有三线共点和无任何三线共点两种情形.例26 不共线的三点A、B、C到平面______________.的距离相等，则平面

与平面ABC的位置关系是解析: 需分A、B、C三点在的同侧和异侧两种情形，答案：平行或相交.9.2 关于棱柱、棱锥与球的切接问题，常因圆心与所接切体的位置关系不确定而引起讨论

例27 在半径为15的球内有一个底面边长为锥，求此正三棱锥的体积.的内接正三棱解析: 正三棱锥的底面半径为12，当球心在三棱锥内时，高h=24，当球心在三棱锥外部时，10 极限 10.1 求时常引起讨论

例28 已知常数均大于1，且都不等于2，求

解析： 当p>q时，所以

篇3：基于分类讨论的高中数学解题研究

一、分类讨论的必要性

作为高中重要的数学思想方法, 学生应该深入了解分类讨论解题方法的学习必要性, 它主要体现在三个方面: 一是对分类讨论的原因要明确. 学生解题中必须针对问题明确是不是应该使用分类讨论, 如何进行分类讨论, 这才是正确的解题想法. 大多数情况中, 分类讨论的运用是因为题中的一些概念、定理应用范围较窄. 比如, 如果函数是不连续定义域, 那么要想求得其值域, 就应该分类讨论各定义域.二是充分掌握分类讨论法. 要想高效解题, 学生的解题能力则是必须具备的, 要能够对分类讨论法熟练运用. 并且, 分类讨论的使用要正确, 则应该有统一的标准, 力图不遗漏任何一点. 如果出现了至少两种以上的分类讨论对象时, 则应该分层次讨论, 以保证最终的讨论结果不存在错误. 三是整合分类讨论结果. 当分类讨论完成时, 就应整合结论, 将重复的部分去掉, 整合交叉部分. 但是, 不能为使用分类讨论而使用分类讨论, 如果能使用整体法解题, 则不用进行分类讨论.

二、分类讨论思想的应用

分类讨论是当题目中出现多个隐含条件, 单一解法难以对题目进行全面把握的情况下, 要分别进行解答, 根据一定步骤实施讨论, 从而在问题分解的基础上进行综合, 得到完整答案. 对于学生来说, 它能够充分锻炼他们的逻辑推理、分析能力, 需要学生勤学苦练. 笔者将主要通过高中函数、概率、数列三大重要知识点内容来探究数学解题中分类讨论的相关应用.

( 一) 函数解题中的分类讨论

在一些有参数的函数问题中, 参数值的量变总会对结果产生质变. 分析哲学问题的过程中, 分类讨论参数, 能够简化问题, 让学生便捷、灵活解题. 比如, 在值域的基本题型中, 其中二次函数的值域是最重要的问题. 一般的二次函数, 利用顶点和最值等就可以求出值域. 比较困难的就是一些函数有参数问题. 有参数的二次函数值域问题可以被称之为限定性的二次函数求值域问题. 换言之, 自变量x取值并非是所有实数R, 而是限定在一定的范围内, 譬如x∈ ( a, b) , 求函数值域问题. 对于这样的问题, 只能用分类讨论进行解决. 在分类讨论中, 要注意对称轴在a的左端, b的右端依然是在区间 ( a, b) 中, 所以必须分三类进行讨论. 而这个问题需要学生长期反复练习才能达到效果.

( 二) 概率解题中的分类讨论

在数学概率知识中, 相关问题的计算往往要按照问题的要求进行分类, 并求出基本事件个数. 高中数学中, 有的定理自身就是以分类讨论方法来解答. 比如, 统计概率中的分类计数原理最为典型. 做一件事情, 可以有N中完成方法, 在第一种方案中有M1种不同方法, 在第二种方案中有M2种不同方法……在第N种方案中有MN种不同方法, 因而完成这件事则共有N = M1+ M2+ ……MN种不同方法. 值得注意的是, 在数学问题解决过程中, 利用对每个难点的分别解决, 以多种步骤完成最终解答. 在解决这些难点较多、需要分多个步骤的数学问题中, 有时我们难以在解决前知道用何种方法最好. 因此, 分类讨论方法或许就在解题之中因为解题需要而被使用到. 此处的解题需要就是说前面的解题步骤让情况变得不确定, 或者不唯一.

( 三) 数列解题中的分类讨论

数列问题中, 分类讨论的运用同样广泛. 比如探索数列周期性问题、等比数列求和等等, 其中都有着很多分类讨论方法的应用思想. 分类讨论是一种化整为零、积零为整的归类整理方法, 是重要的数学学习方法[2]. 而高中数学中, 数列是学习重点, 也是高考必考点. 在通项公式、求前n项和等问题中都会牵扯到分类讨论. 但是, 高中生在学习利用分类讨论解决数列问题时, 必须要注意一些问题. 具体来说, 一是确定分类对象, 统一标准; 二是做到不重复、不遗漏; 三是分层次、不越级讨论. 同时, 注意数列问题中要进行分类讨论的是当等差、等比数列定义中由限制条件引发的问题, 由公式的限制引发的问题, 或者是因数列求和时正负项、奇偶项、等比数列公比q引发的问题等等.

三、结语

高中数学解题中, 分类讨论本身是着眼于问题本身的性质, 也是一种有效解决问题的方法. 使用分类讨论, 可以把问题化繁为简, 将那些不明确的问题变成具体问题, 并合理分类、逐步探讨、分级归纳. 对于高中生来说, 掌握分类讨论方法, 不但可以对数学基础知识有较为全面的理解, 而且对学生逻辑严谨性的训练也大有裨益.

摘要：在高中数学教学中, 分类讨论方法是一种重要的解题思路.这种方法需要学生能够从题目整体出发, 全面把握, 分步骤、有秩序地解题, 逐一考虑题目中的隐藏条件.作为高中数学的重要解题思想之一, 了解分类讨论的意义, 掌握其讨论方法, 对高中生的解题速度及解题效率的提升将有很大帮助.

关键词：分类讨论,高中数学,解题研究

参考文献

[1]王德昌.回避分类讨论的九种常用策略[J].数学教学研究, 2012, 31 (06) :46.

篇4：高中数学分类讨论策略的应用研究

关键词：高中数学；分类讨论；应用

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-02

在解答一些数学问题时，有时会出现多种情况，对各类情况进行逐类求解，然后再综合归纳，这就是我们常说的分类讨论法。运用这种方法解题，可以将对问题的宏观研究变为对问题的局部分析，尤其是在求解的头绪繁多、有易重易漏问题时，分类讨论方法有独特的功效。需要进行分类讨论的情况有很多，其中最常见的有以下四类：一是根据绝对值的定义进行分类讨论；二是根据函数定义域等定理限制进行分类讨论；三是根据图形位置进行分类讨论；四是根据运算的要求进行分类讨论。其解题的一般思路有三个步骤：首先，弄清分类原因，找准分类对象；其次，选择分类标准，正确做出分类；最后，明确分类层次，优化分类顺序。下面我就来简单说明一下。

一、根据绝对值定义进行分类讨论

数学中的有些概念是分类定义的，像是绝对值、分段函数等，这就要求我们在解题时不能一概而论。而要根据题目的具体情况对其进行分类讨论。

例1.解不等式|2x+1|+|x-1|>6.

分析：该题中含有绝对值，我们在解题时首先想到的是要去掉绝对值，但是由于两个绝对值符号去掉的条件不同，我们要对此进行分类讨论。

解：令2x+1=0，得x=-；令x-1=0，x=1

可见在实数集内应以-，1为分类标准，分成三个区间讨论求解：①当x≤- 时，原不等式可化为-2x-1+1-x>6，解得x<-2；②当-6，解得x>4；③当x>1时，原不等式可化为2x+1+x-1>6，解得x>2.

综上，x<-2或x>2，故原不等式的解集为{x| x<-2或x>2}.

评注：在涉及到绝对值的问题时，我们经常都需要分类讨论，最常用的方法是零点讨论分类，先去掉绝对值的符号然后再进行求解。下面我们来看一道在函数中对绝对值符号进行分类讨论的例题。

例2.已知a∈R，函数f（x）=x2|x-2|.求使f（x）=x成立的x集合。

分析：由于该题中含有未知数，也含有绝对值，我们首先就要想到将绝对值符号去掉，那么要对x的取值情况进行讨论；另外，由于该题中并没有给出x的取值范围，那么我们在做题时就要充分考虑到各种情况，以免造成疏漏。

解：由题意可得x2|x-2|=x.当x≠0时，该式可化为x|x-2|=1，此时：①当x>2时，该式可进一步化为x2-2x-1=0，得x=1±√2（1-√2不合前提舍去）；②当x≤2且x≠0时，该式可进一步化为2x- x2-1=0，即（x-1）2=0，得x=1.③当x=0时，显然满足f（x）=x.

综上，满足f（x）=x的x的集合为{x| x=0或x=1或x=1+√2}.

评注：该题的解题思路虽然有些复杂，却是常规思路。在进行分类讨论时，我们一定要注意将每种条件下得出的结果与原始条件进行对比，若是不符合条件则要舍去该答案，如本题中的x=1-√2，显然不满足小前提x>2，故舍去。面对复杂的分类讨论问题时，尤其是面对多级的分类讨论，我们一定要逐级思考，并逐级分析，最后再将结果进行汇总综合，切忌越级思考，学习不是一蹴而就的，解题时更要循序渐进，否则难以理清问题的头绪，使问题变得更加复杂。在分级时由小到大（或由大到小）依次进行讨论可以避免遗漏。

二、根据函数定义域等定理限制进行分类讨论

在有关函数的问题中，由于受到函数定义域的限制，我们在解题中常常会对题目进行分类讨论，由于每种函数都有其不同的分类原则，对数函数的底数和真数等；三角函数中不同角的分类讨论等。对于复合函数则需要我们综合进行考虑，如考虑两类函数的图像问题。由于此类问题非常庞杂，我们暂不做介绍。下面我就以二次函数中对两根大小的讨论为例来进行说明。

例3.解关于x的不等式x2+（a2+a）x+a3>0.

分析：该不等式中的a为常数，要解该不等式，可以先将原不等式进行变形，然后再讨论根的大小。在讨论根的大小时，我们要综合考虑到所有情况，尤其是特殊的情况，像是为零等。我们在做题时，为了避免造成解题的疏漏，分类讨论中的特殊情况可以率先进行分析。

解：原不等式等价于（x+a）（x+ a2）>0，所对应的方程的两根为-a，-a2.①当a>1或a<0时，有-a>-a2，所以不等式的解集为：{x|x<- a2或x>-a}.②当a=1或a=0时，有-a=-a2，所以不等式的解集为：{x|x∈R 且x≠-a}.③当0-a2}.

评注：该题为对不等式的两根的大小情况进行分类讨论，在做题时要注意常数为零的情况。根据题目的不同情况，在做题时学生要综合考虑根的情况，不缺项漏项，只要在平时的做题中注意总结与反思，将解题的策略与方法进行整理，并充分考虑到特殊情况，那么用分类讨论的思想来解题就极其容易了。

三、根据图形位置进行分类讨论

在高中数学的平面几何问题中，常有因为图形的性质不同而引发的分类讨论。若是不注意对图形的观察，采用固定的思维模式，很可能考虑不全，从而失分。

例4.已知在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且点C的坐标为（1，0）.直线l过点A（-1，0），与⊙C切于点D.（1）求直线l的解析式。（2）在直线l上寻找点P，使△APC为等腰三角形，求点P的坐标。

分析：该题要使△APC为等腰三角形，由于没有说明顶点与腰分别是哪个，因此，就要对该图形的形状进行分类讨论。

解：（1）略解：连结CD，应用点斜式方程可得直线l的解析式为y= x+.

（2）以等腰△APC的顶点为标准分类讨论： ①当P为△APC的顶点时，则AC的中垂线为y轴，它与l的交点P（0，）为所求；②当C为△APC的顶点时，则点P与点A关于CD对称（因为CD⊥AP），易得P（2，√3）为所求；③当A为△APC的顶点时，则在l上点A的两侧分别存在两个点满足条件，运用三角函数知识可得P（-√3-1，-1）或P（√3-1，1）为所求。

评注：在进行分类讨论时，要找准分类的标准。解析几何中图形的位置不同，形状不同，其点的坐标就会发生变化。

四、根据运算的要求进行分类讨论

有些数学运算由于有严格的限制，我们在解题时必须按照一定的要求进行。这就要求学生要综合掌握数学知识，并能将其熟练运用，融会贯通。像是分数的分子不为零等。对数中的真数部分必须要大于零等，将这些小知识点渗透到综合题中，也是近几年常见的考点之一。

例5.已知===k，求一次函数y=kx+k一定经过的象限。

分析：要求一次函数一定经过的象限，那么就要知道函数的关系式，即斜率k的值，那么就要根据已知条件进行求解。

解：由已知，得b+c= ak ，c+a =bk ， a+b =ck，将三式进行相加，得2（a+b+c）=（a+b+c）k.

当a+b+c≠0时，得k=2；

当a+b+c=0时，得b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，可得：k=-1.

综上，一次函数的解析式为y=2x+2或y=-x-1。函数y=2x+2的图像经过第一、二、三象限，函数y=-x-1的图像经过第二、三、四象限，因此其一定经过的是第二、三象限。

评注：根据数学运算的要求分类讨论，主要是要对数学问题的定理、运算定律等掌握，形成条件反射，在进行运算时就能自然而然地考虑到特殊的情况，进而得出问题的完整而正确的解。

分类讨论不仅仅是一类题型，更是一种重要的解题思想，有变量就有分类讨论的可能，因此我们不可能将分类讨论的类型全部进行总结。但是在处理此类问题时也有一定的原则，即分类准确，不重复不遗漏。要想做到这一点，要遵从两个步骤：一是要找关键点，并以关键点为分界依次进行分析；二是在多级分类时，要逐级讨论，切忌跳级讨论。

总之，我们在进行高中数学的教学时，传授给学生知识只是一个小方面，我们更要注重对学生学习能力的培养。另外，数学问题的分类讨论思想是培养学生概括性与条理性的有效手段。学生掌握了数学分析的思想，不仅有助于学生在解题时快速而准确地找到解题的思路，提高解题的效率，还有助于学生运用这种思维方式解决生活中的实际问题，养成学以致用的好习惯，从而在不知不觉中促进自己能力的全面提升。

[参考文献]

[1] 石成效.高中数学专题复习与研究中用分类讨论的思想解题

[J].语数外学习（高中版上旬）.2015（06）

篇5：分类讨论高中数学

[摘 要] 数学思想是中小学数学教学的重要模块，贯穿整个数学知识体系始终.数学思想能够反映人分析和解决数学问题时的意识和思维逻辑，其是从大量复杂的数学信息中总结出的系统化的知识结构和解决问题的策略、关键.中小学数学教育重点要求学生掌握的数学思想包括数形结合思想、化归思想、函数思想以及分类讨论思想等.本文针对分类讨论思想进行论述.[关键词] 分类讨论；价值；误区；应用

分类讨论思想始于《九章算术》中对“盈亏问题”的探讨，该思想常常被运用于解决开放型数学问题，即解决思路不唯一的问题时，学生需根据问题所给的具体条件对问题中可能出现的所有情况逐一分析，再根据所学知识和逻辑思维判断，将问题条件划分为多个更加单一的细化条件，将大问题转化为多个小问题后逐一解决，最后进行综合分析，得出一个或多个答案.但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区.下面，笔者将以数学思想中的分类讨论思想为例，从其教学价值、教学误区以及教学应用三方面来谈一谈初中数学思想的高效教学策略.分类讨论思想的教学价值

1.形成分类思考意识，掌握信息分类方法

随着信息时代的快速发展，人们每天主动或被动接受的信息量与日俱增，想要不被杂乱的信息所困扰，就需自身具备对信息进行分类处理的能力.分类讨论虽为数学思想，但在运用该思想解决数学问题时，也能有效锻炼学生分类处理信息的能力，养成对各种信息进行分类的良好习惯，这样便能轻松应对日常学习和生活中对繁杂信息的处理问题，提高学习和工作效率.教师在引导学生运用分类讨论思想解决问题时，应当首先为学生介绍高效的分类技巧，即根据实际情况或已知条件自主制定分类标准，并针对各类信息做对应的分析和总结.2.培养思维发散意识，锻炼一题多解能力

思维定式是传统的数学教学模式对学生数学思维的不利影响.传统的以教师讲解为主的数学课堂，严重制约了学生对数学问题的自主思考方向，导致学生对同类题型产生定向思维，以单一的角度看问题，从而在面对新题型或变式问题时不知变通，无从下手.教师应当摒弃传统数学课堂教师主讲而学生被动学习的课堂模式，设计更多开放型问题供学生自主思考、合作学习，促使学生解决问题的角度更加具体、全面，这样有助于培养学生的发散思维意识和一题多解意识，从而更加全面、严谨地考虑问题.3.科学建构知识体系，形成良好认知结构

初中是学生数学知识学习从打牢基础到能力提升过渡的关键阶段.系统化的数学知识教学目标要求学生具备对不同知识进行分类、概括、总结的能力，从而实现对知识的自主消化，提升自主学习能力和思考能力.分类讨论思想的渗透有助于学生养成对不同信息进行分类的良好习惯，在个人数学知识体系的建构中，能够?⒏丛印⒎倍嗟闹?识点归类理解，从而大大提高学习新知和理解记忆的效率.教师应当注重引导学生理解各模块知识之间的联系，从而促使学生从知识之间的区别与联系这一方面来进行知识的分类汇总，形成一张更加趋于完整和实用的知识网络，便于学生搜索知识点及综合运用.分类讨论思想的教学误区

1.理念陈旧，缺少创新

新课程标准指出，教学应当符合学生的个性发展要求.随着中小学教育的不断发展，学生的个性发展要求也在不断地提升，传统模式的“教与学”课堂已经不符合对学生创新能力的培养.但在实际教学中，部分教师仍然秉持陈旧的教学理念，忽略学生的学习主体性，往往为了解题而解题，无法看到数学问题背后对学生数学思维和数学方法的引导，这样的陈旧观念无法促使学生对数学问题进行更加深入的思考.教师应当创新教学模式，如可以将分类讨论思想作为教学关键点，设计更多开放式的数学问题，引导学生自主思考，体现学生的学习主体性，有效培养学生的分类讨论思维.2.被动学习，效率低下

传统数学课堂教学模式除了教学理念陈旧，影响学生的个性发展而外，被动学习也使得学生探索数学知识的兴趣和热情消磨殆尽.学生处于被动学习的状态时，无法主动探索和发现数学问题，数学思维得不到有效运用，这样即使学生了解分类讨论等数学思想，也同样无法将其准确运用于数学问题的解决中，无法自主建立起知识之间的相互联系，从而无法实现数学思维和解决问题能力的有效提升.3.应试教育，能力不足

应试教育是当下中小学数学教育普遍存在的一个教学误区，面对升学压力和紧凑的课堂时间，教师往往会选择“题海战术”，要求学生通过练习大量的数学题型来形成思维习惯.表面上看，其同样是以锻炼学生的数学思维为目的，但实际上却是一味地通过练题来强迫学生在数学思维上达到熟能生巧的一种十分刻板的教学模式，并且频繁使用分数来衡量学生的数学思维和数学能力，这一做法不利于学生真正掌握和学会运用这些数学思想，甚至还会对学生的学习积极性造成反作用，降低学生的学习效率.分类讨论思想的教学应用

分类讨论思想可运用于解决不同知识模块的数学问题，笔者选择了以下四个方面的分类讨论思想教学应用实例加以阐述.1.绝对值运算

解决含有绝对值的问题时，有时需要应用分类讨论思想.做题的过程中，我们要善于分析问题，要考虑到绝对值具有非负性.例如，笔者在讲解含绝对值符号的加减运算时，给出了这样一道简单的例题：要使x+1-x=1，变量x应当满足什么条件？

这道例题出现了两个绝对值符号，因此笔者引导学生将两个含绝对值符号的式子分开讨论，于是有x+10四种情况，这四种情况经过一定的整合，最终将数轴分为了三段，即x0这三种情况，最后得出只有当x>0或x=0时，等式才成立，于是得出“当x≥0时，等式成立”的结论.2.与方程有关的问题

在解一元二次方程时，往往会出现题中某项系数未知的情况，而根据一元二次方程的定义和实根的判别方法，应当运用根的判别式来判断未知参数在什么范围下才能满足方程是否有实数根的条件.例如，教学“一元二次方程”时，笔者给出了这样一道例题：已知方程a2x2+2（a-1）x+1=0有实数根，求a的取值范围.在这道例题中，a是二次项和一次项系数中的未知参数，根据一元二次方程根的判别式，要想使方程有实数根，则Δ≥0，即[2（a-1）]2-4a2≥0，解得a≤.本题还应当重点注意的是，题中未指明该方程是一元二次方程，因此当a=0时，该方程就变成一个一元一次方程，经检验，这样的情况显然是合理的，因此应当放入分类讨论中（即分a=0和a≠0两种情况进行讨论），实现该题的完整解答.3.函数问题

分类讨论问题在函数中的应用甚为频繁，函数的种类也十分繁多，尤其是当具体问题中并未指出函数类别时，更应当对函数的不同类别进行分类讨论.例如，讲解函数图像的有关知识时，笔者给出了这样一道例题：求函数y=（k-1）x2-kx+1与x轴的交点坐标.与上一道例题相似，题中并未给出函数的具体类型，因此教师应当引导学生运用发散思维，对可能的函数类型进行分类?论.例如，k=1和k≠1是一次函数和二次函数的区别；当k≠1时，k2-4（k-1）≥0或k2-4（k-1）<0是函数与x轴是否有交点的区别.针对讨论情况较多的问题，教师应当引导学生理清思路，防止思维混乱，促使问题解决得更加有条理.4.几何问题

篇6：分类讨论高中数学

分类讨论思想在初中数学中的几点应用 作者：杨欣

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第06期

分类讨论是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.数学中有许多问题由于已知条件笼统，所以需要对可能的情形进行分类讨论，因此，我们在思考问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，分类要做到不重不漏，从而获得完整的答案.以下是分类讨论思想在初中数学中的几点应用，一、在实数中的应用

篇7：分类讨论高中数学

在新时代的要求下，初中数学的教学不仅要传授学生数学知识，更重要的是培养学生正确的数学思想，而分类讨论正是初中数学中最基本和运用最为广泛的数学思想之一。那么，在实际的数学课堂中，如何顺利的培养学生的分类讨论意识呢?

一、加强课堂渗透，基本树立分类讨论思想

分类讨论的思想并不是数学这门课程所独有的思想，在学生的其他课程甚至是生活实际中其实都有所提及。而教师在数学课堂中所要做的就是帮助学生们理解什么是分类讨论思想，分类讨论思想在数学中有什么作用，所以，在实际的课堂教学中必须加强课堂的渗透。首先是数学概念中分类思想的渗透，其次就是在数学定理和数学公式等中的渗透，还有就是在解决数学习题中出现多种结果后的渗透，最后就是当某些数学问题中出现变量参数后需要对参数进行讨论中的渗透。教师通过在数学课堂中的渗透，可以帮助学生对分类讨论形成基本的认识，为以后深入学习分类讨论思想打下坚实的基础。

首先以苏教版七年级下册中的“有理数”这一章节为例，在这一章内教师首先要讲的肯定是有理数的.概念，而有理数的概念中其实就可以对分类讨论思想进行渗透了。有理数就是整数和分数的统称，在课堂中教师可以通过提问的方式让学生不看书自己概括有理数，在这个时候大部分学生肯定以为正整数和负整数的综合就是有理数，教师在此时就可以提出问题：分数算不算有理数呢?当分数的融入，决定有理数的概念需要分类为整数和分数进行讨论，于是教师就可以在此时提及分类讨论思想，通过学生们在概念归纳上的错误帮助他们对分类讨论思想形成深刻的印象。

二、提升课堂运用，全面深化分类讨论思想

当学生对分类讨论的思想基本形成认识和理解后，教师就可以在实际的课堂当中进行反复的运用，通过不同方面和不同内容的多次运用，全面的对分类讨论思想进行深化。这其中就包括了分类讨论的基本定义，在数学学习中何时需要进行分类，如何进行分类讨论，如何保证分类的全面性等问题的深化教学。在课堂中可以摆出一个复杂概念或问题，然后引导学生进行解答，在其中对分类讨论思想进行全面的剖析。首先是将复杂或概括性强的问题进行分解，分解出一个个简单的小问题，然后对小问题进行解答，最后将解答结果进行综合得出最终结果。在这一过程中，分类讨论的方法得到了充分的运用，教师在从旁进行指导，提高分类的周密性和全面性，分类讨论的思想就可以在学生中得到全面的深化。

例如在苏教版七年级上册中的“用字母表示数”章节学习中，教师可以在课堂中提出一个简单的绝对值问题。例如：|A|―1>2这一问题，首先可以整理为|A|>3，然后教师就可以引导学生对这一问题进行分解成两种情况：A为正数和A为负数，然后对两种情况进行分别解答。当A为正数时A>3，当A为负数时A<―3，最后综合得出结果a>3或A<―3。在这个问题的解答只要教师能够对其中分类讨论思想的运用和注意事项进行详细的解释，学生就能够很好的对分类讨论的思想进行深化理解。

三、加强习题设计，实现学生分类讨论运用

习题的合理设计是实现学生分类讨论思想完全掌握的最重要的一点。目前我国推行的素质化教育中提到的重要的一点就是加强学生的自主学习能力，通过学生的自主学习，自主发现数学中的各种公式和思想。所以，对于学生分类讨论思想的养成这一点上，教师就可以加强课后习题的设计，通过有效的习题，让学生在解答的过程中自主发现分类讨论的方法和过程，并不断的通过习题强化分类讨论思想，最终实现这种思想的熟悉运用和培养出学生缜密的学习思维和严谨的学习态度。在代数习题中，教师可以多添加变量参数以实现分类讨论的应用，在几何习题中，教师可以多添加不确定图形让学生发散思维和加强分类讨论的运用。

以苏教版七年级下册中“解一元一次方程组”这个章节为例，在这个章节的课后习题中通过变量参数的设置就可以加强学生分类讨论思想的运用。如一元一次方程组的应用题：某超市推出如下的一种优惠活动，购物满100元打8折，晓明在购物中实付120元，问晓明的应付款为多少。这一习题通过一元一次方程很容易就可以得到答案150元，而分类讨论的思想也没有得到运用。因此，可以将该习题的实付款进行修改，如修改为90元，那么就需要学生进行分类讨论，讨论应付款在小于100元和大于100元两种情况。也可以对这一习题进行修改为开放性问题，如修改为应付款可能出现两种情况的区域，这样一来学生就需要对80元以上和80元以下的两种情况进行分类讨论。总之，在习题中要加强分类讨论方法的运用，从而让学生能够顺利的培养分类讨论的思想并熟悉运用过程。

篇8：分类讨论高中数学

类型:已知参数范围,探索命题结论,根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论.

解决该类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及的概念,运用的定理、公式、性质及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的.它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法.

一、根据运算的需要确定分类标准

例1: 解关于x的不等式 组其中a >0且a≠1.

解,由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,因此1为标准进行分类,

二、根据参数的范围确定分类标准

例2:【2014年宁德质检题】20.已知数列{an}满足a1=t>1,an+1=(n+1)/nan.函数f(x)=ln(1+x)+mx2-x(m∈[0,12]),试讨论函数f(x)的单调性.

分析:本例涉及函数与导数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.对于含参的单调性问题,参数的不同取值对函数的单调性有着不同的影响,关键是如何分类,主要结合参数取值范围中寻找分类的临界点,如本题的临界点就是m=0,m=1/2,以及对分子为0的取值进行分类讨论.

三、根据参数存在性确定标准

例3:【2014年宁德质检题】19. 在平面直角坐标系x Oy中,已知曲线C1上的任意一点到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为

(Ⅰ)求曲线C1的方程;

(Ⅱ)设椭圆C2若斜率为k的直线OM交椭圆C2于点M,垂直于OM的直线ON交曲线C1于点N.

(i)求证 :|MN|的最小值为21/2

(ii)问 :是否存在以原点为圆心且与直线MN相切的圆 ? 若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

分析:本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与讨论、化归与转化思想、数形结合思想等.

四、分类讨论的方法和步骤

(1) 确定是否需要分类讨论及需要讨论时的对象和它的取值范围;

(2)确定分类标准科学合理分类 ;

(3)逐类进行讨论得出各类结果 ;

(4)归纳各类结论.

篇9：高中数学简化分类讨论的九种策略

策略1　釜底抽薪，消去参数

例1 设0＜x＜1，a＞0，且a≠1，试比较loga（1-x） 与loga（1+x） 的大小.

解：∵0＜x＜1，∴0＜1+x＜，于是

=log （1+x）（1-x）=-log （1+x）（1-x）

=log（1+x）＞log （1+x）（1+x）=1 ，故loga（1-x） >loga（1+x） ．

点评：若按常规方法考虑去掉绝对值符号，则应分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论，运用对数的换底公式巧妙地消去了参数，避免了分类讨论．

策略2　着眼全局，整体换元

例2 求 y=sinx+cosx+sin2x （-π≤x≤0）的最值．

解：令sinx+cosx=t，则sin2x=（sinx+cosx）2-1=t2-1，

于是 y=t2+t-1=（t+）2-，又t=sinx+cosx=sin（x+），-π≤x≤0，故-π≤x+≤， ∴-1≤sin（x+）≤，∴-≤t≤1.

故y的最小值为-，y的最大值为1．

点评：本题若以sinx为变量，则用平方关系表示cosx时，开方后需分两种情况讨论，计算量大，充分考虑到sinx+cosx与sinx?cosx的内在关系，从整体上着眼解题，采用换元法显得简单．

策略3　别具匠心，反客为主

例3 已知k∈R，试求出关于的方程x4-2kx2+k2+2k-3=0所有可能的整数根．

解：将原方程整理为二次方程：k2+2（1-x2）k+（x4-3）=0，因k为实数，故Δ=4（1-x2）-4（x2-3）≥0，即-x2+2≥0，故-≤x≤，故x=-1、0、1．

点评：本题若按常法先通过解关于x2的一元二次方程求出x2再开方用k来表示x，不但计算量大而且需讨论的情形多，反客为主的方法耐人寻味，简直妙不可言！

策略4　正难则反，对立思考

例4 投掷两个骰子，至少出现一个1点或2点的概率为________．

解：设“两个骰子至少出现一个1点或2点”为事件A，A的对立事件是“两个骰子既不出现1点也不出现2点”，易知P=（）=×=，故P（A）=1-P（）=1-=．

点评：若从正面求解，则需分五种情况讨论，即“恰好出现一个2点而没有1点”、“ 恰好出现一个1点而没有2点”、 “恰好出现一个1点和一个2点”、“恰好出现两个1点”、“恰好出现两个2点”，解答起来较为烦琐，从反面思考仅有一种情况，无需讨论．

策略5　瞒天过海，整体变形

例5 已知sin2α=m，cos2α=n（n≠0），求tan（+α）的值．

解：tan（+α）=tan===．

点评：若按一般方法先求出tan 2α，再利用正切的二倍角公式得到关于tan α的一元二次方程，求出tan α的值有两个，接下来需分类讨论，中间的计算结果也比较复杂．

策略6　一招制胜 参变分离

例6 （2012年黄冈检测） 已知方程x3-3ax+2=0只有一个实数根，a的取值范围是_____．

解：x=0显然不是方程的根，当x≠0时，由x3-3ax+2=0得3a=x2+，令g（x）=x2+，则g′（x）=2x-=，显然x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；又g（1）=1，x→-∞时，易知g（x）的图象如图所示；若直线y=a与y=g（x）只有一个交点，显然a＜0．

点评：此题的常规解法是直接画y=x3-3ax+2的图象，研究其与x轴的交点，解答过程要分a≤0和a＞0两种情况进行讨论，学生往往因思考不全面而出错，而采用参变分离，将问题转化为“动直线”与“定曲线”的交点问题，解答起来很方便．

策略7　直观形象，数形结合

例7 （2010年湖北高考理科第9题）若直线y=x+b与曲线y=3-3-有公共点，则b的取值范围是（ ）．

A．[-1，1+2] B．[1-2，1+2]

C．[1-2，3] D．[1-，3]

解：由y=3-，得（x-2）2+（y-3）2=4（y≤3），则函数对应的图象为以（2，3）为圆心，2为半径的下半圆，则半圆与轴的切点为A（0，3），当直线y=x+b过点A（0，3）时，b=3，当直线与半圆相切时=2 ，解得b=1-2或b=1+2（舍去），结合图形分析可知1-2≤b≤3，故选D．

点评：函数图象交点个数通常转化为方程解的个数来判断，本题若这样做，则转化为关于的一元二次方程在特定区间有解的问题，但因x的取值范围依赖于b的值，要分不同情况讨论，解答起来非常麻烦，借助数形结合的方法，不但避免了讨论，而且解答显得直观，简捷．

策略8　特值着手，知微见著

例8 （2008年江苏高考第14题）设f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若对任意x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立，则实数a_______．

解：考虑特殊值0、1、-1，有f（0）=a-2≥0，f（-1）=-a+4≥0，所以2≤a≤4，由f ′（x）=3ax2-3=3a（x+（x-），当x∈（-1，-）时，f ′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（-，），f ′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增；故f（）≥0且f（-1）≥0，解之得a=4．

点评：按常法，则需分a≤0，0＜a≤1，a＞1三种情况讨论，通过取一些特殊值，逐步缩小了参数的范围，缩短了思维的流程．

策略9　另辟蹊径，换位思考

例9 （2005年福建高考理科第9题）从6人中选出4人分别去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）．

A． 300种 B． 240种 C． 144种 D． 90种

解：把游览地点作为分析对象，依次考虑巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市可供选择的人数分别为4、5、4、3，由分步计数原理知选择方案共有N=4×5×4×3=240种. 故选B．

点评：本题若按常规思维以人作为考虑对象，则需分“甲、乙两人都去”、“甲、乙都不去”、和“甲、乙只去一人”三种情况讨论，共有N=??++???=240种选择方案，解答起来明显复杂一些．