几何概型简析（精选十篇）
几何概型简析 篇1
常见的几何概型一般都与面积、长度、体积有关, 下面简单谈一下几何概型的解题策略。
一、与长度有关的几何概型
例:有一段长度为10米的木棍, 现要截成两段, 求每段不小于3米的概率。
分析:从某一个位置剪断都是一个基本事件, 基本事件有无限多个。但在每一处剪断的可能性相等, 故是几何概型。
解:记“剪得两段都不小于3米”为事件A, 从木棍两端各量出3米, 这样中间就有10-3-3=4米在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件。
拓展:从该题可以看出, 我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机的区域取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样, 而一个随即事件的发生则理解为恰好取到, 上述区域内的某个指定区域中的点, 这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
二、与面积有关的几何概型
例:街道旁有一游戏:在铺满长为9cm的正方形塑料板的地面上, 掷一枚半径为1cm的小圆板, 规则如下:每掷一次交5角钱, 若小圆板压在正方形的边, 可重掷一次;若掷在正方形内, 需再交5角钱可玩一次;若掷在或压在塑料板的顶点上可获1元钱。试问:
(1) 小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?
(2) 小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?
解: (1) 考虑圆心位置在中心相同且长度为7cm和9cm的正方形围成的区域内, 所以概率为
(3) 考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内, 因正方形有4个顶点, 所以概率为
拓展:几何概型的概率公式中的测度, 既包含本例中的面积也可以包含线段的长度、体积等, 而且这个“测度”只与“大小”有关, 而与形状和位置无关。
三、与体积有关的几何概型
例:在1升高产小麦种子种混入一粒带麦锈病的种子, 从中随机取出10毫升含有麦锈病种子的概率是多少?从中随即取出30毫升, 含有麦锈病种子的概率是多少?
分析:由于带麦锈病的种子所在位置是随即的, 所以取这粒种子的概率只与所取的种子的体积有关, 这符合几何概型的条件。
解:记事件A:“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”, 则
记事件B:“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”, 则
拓展:从本例可以看出求试验为几何概型的概率, 关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量, 然后代入公式即可, 另外要适当选择观察角度。
四、与角度有关的几何概型
例:在Rt△ABC中, ∠A=30°, 过直角顶点C作射线CM交线段AB于M, 求使｜AM｜>｜AC｜的概率。
分析:如图所示, 因为过一点作射线是均匀的, 因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处, 使｜AM｜>｜AC｜的概率只与∠ACC'的大小有关, 这符合几何概型的条件。
解:设事件D“作射线CM, 使｜AM｜>｜AC｜”, 在AB取点C', 使｜AC｜'=｜AC｜, 因为△ACC'是等腰三角形, 且∠A=30°, 所以, 所以
拓展:几何概型的关键是选择“测度”, 如本例以角度为“测度”, 因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的, 若以长度为“测度”, 就是错误的, 因为M在AB上的落点不是等可能的。
五、可化为几何概型的概率问题
例:甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去, 求两人能会面的概率。
分析:平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间, y轴表示乙到达约会地点的时间, 用0分到60分表示6时到7时的时间段, 则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标 (x, y) 就表示甲、乙两人分别在6时7时时间段内到达的时间, 而能会面的时间由x-y≤15所对应的图中阴影部分表示。
解:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间, 则两人能够会面的充要条件是x-y≤15在如图所示平面直角坐标系下, (x, y) 的所有可能结果是边长为60的正方形区域, 而事件A“两人能够会面”可能结果由图中的阴影部分表示。
由几何概型的概率公式得:
拓展:本题难点是把两个时间分别用x, y两个坐标表示, 构成平面内的点 (x, y) , 从而把事件是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题, 转化成面积型几何概型的问题。
几何概型说课稿 篇2
各位评委：
上午好!很高兴在这里与大家交流。我说课的题目是：几何概型，选自人教A版必修3第三章第三节第一课。我将从教材的分析与处理、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明以及教学评价分析五个方面谈谈我对本节课的理解和设计。
“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。此节内容是为更广泛地满足随机模拟的需要而在新课程中增加的，这是与以往教材安排上的最大的不同之处。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系，来源生活，而又高于生活。同时也暗示了它在概率论中的重要作用，在高考中的题型的转变。利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不一定是不可能事件的例子，概率为1的事件不一定是必然事件的例子.
几何概型是新课程新增加的内容，我认为增加几何概型的原因有两个：一是使概率的公理化定义更完备，即概率的统计学定义、古典定义、几何定义;二是因为在今后的应用中能体现建模的思想域.
从学生情况来看，前面学生在已经掌握了一般性的随机事件和概率的统计性定义的基础上，又学习了古典概型。学生的认知水平有了一定的基础，但学生的抽象思维能力还有待于进一步提高，因此在从古典概型向几何概型的过渡时，如何将问题的实际背景转化为“几何度量”，学生会有一些困难和疑惑，这就需要恰当的引导、合理的解释和明确的目标。
综合以上分析，我认为本节课的教学重点是了解几何概型概率的计算方法，并能进行简单计算。为了较好的处理本节课的重点，我引用了两个生活中不同的“抽奖”实例，从两个实例出发比较从而引出问题，并让学生分组做实验自主探究去解决问题，这样能较好的提高学生的兴趣，学生能积极参与讨论，而且通过分组实验使学生了解到数学与生活实践有着密切的联系。把求未知量的问题转化为几何概型求概率问题是本节课的难点，为了突破难点，在学生实验总结之后，给出几何概型中三种形式的概率(长度、面积、体积)，引导学生应用方法去解决问题，并对学生进行及时的.补充与完善。
在本节课的学习中，要让学生了解几何概型的意义，会求简单的几何概型事件的概率。从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，通过转盘游戏问题引入几何概型定义和几何概型中概率计算公式。感受数学的拓广过程。通过学习和实验，培养学生观察、思考、积极主动探索的精神。
结合本节课的特点和能有效的开展教学，我将把教的过程变成学生主动发现问题，思考问题、讨论问题、解决问题的过程，本课通过创设情景，结合学生的“知识最近发展区”，从古典概型过渡到几何概型，让学生以实践者的身份去观察、猜想、实验、创新，体验建构知识的过程，弄清来龙去脉，调动起学生的主动性和学习的热情，体现学生学习的个性化、自主化。并通过分小组学习，引导学生在小组交流和讨论中，相互启发，相互交流解决问题的策略，提高思维水平。真正体验一个完整的数学探究过程。
下面谈谈我对本节课的教学过程设计。
本节课的基本流程分为三步：先是提出问题，复习概念，再由学生探究，得出结论，最后是知识应用及巩固。在课堂开始我给出情景设置1：抽奖活动：顾客随意掷两颗骰子，如果点数之和大于10，则可获得一套福娃玩具，问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?
学生讨论清楚以下几个问题：(1)本题中的基本事件是指什么?(2)基本事件所包含的结果的个数?(3)满足题中条件的基本事件所包含的结果的个数?在此学生可以复习巩固古典概型的特点、定义及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫。
然后提出情景设置2：改变了抽奖活动方式，设立了一个可以自由转动的转盘(如图1)转盘被等分成8个扇形区域.顾客随意转动转盘，如果转盘停止转动时，指针正好指向阴影区域，顾客则可获得一套福娃玩具.问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少?引导学生讨论一下几个问题(1)本题中的基本事件是指什么?(2)这个问题是古典概型吗?(3)怎样解决这个问题?经讨论学生会发现用古典概型是解决不了情景设置2的问题，由此矛盾冲突引发学生的学习兴趣和求知欲望;也以此为铺垫，通过具体问题情境引入几何概型的定义与特点。
接下来就是第二个阶段：学生做实验探究：有一个底面由红绿蓝三色构成的长方体纸盒，向纸盒内随机抛掷小纽扣。
实验用具：开口长方体纸盒、纽扣50粒、数据统计表一份(纸盒由学生课前动手制作，底面由红绿蓝三色构成，红绿蓝面积之比为2:1:1)
由此实验探究以下问题：
提问1：纽扣落在三种颜色区域内的可能性是一样大的吗?
提问2：纽扣落在哪种颜色的可能性最大?可能性大小与什么有关?
提问3：这个问题是不是古典概型的问题?
提问4：你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少?
实验1：学生进行抛掷小纽扣的实验
猜想：P(A)=红色区域的面积/长方形的面积=1/2
实验步骤：
(1)小组一位同学站在纸盒的周围随机将50粒实验纽扣抛入其中;
(2)如实统计出落在红色区域内的纽扣数量并做好记录(表1)，然后取出全部实验纽扣，至此为完成一组实验，每小组进行三组实验;
第一组
第二组
第三组
落在红色区域内的频数
试验次数
50
50
50
(3)对实验原始数据进行进一步统计及相关计算(表2);
第一组数据
前两组数据
前三组数据
全班数据
累加落在红色区域内的频数
试验次数
50
100
150
计算落在红色区域内的频率
(4)分析实验数据，归纳总结实验结果.
实验结果：当试验次数不断增大时，纽扣落在红色区域的频率将逐渐趋于一个稳定值0.5,并在它附近摆动，由此可估计出小纽扣落在红色区域的概率为0.5.
记“小纽扣落在红色区域”为事件A，有上述实验可得
P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)
结合上述实验可引导学生归纳总结本节课的结论：
1、几何概型的特征
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个(无限性);
(2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性).
2、几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodels of probability),简称为几何概型.
3、几何概型的概率计算公式
P(A)=事件A所对应的几何区域(长度、面积或体积)/总事件所对应的几何区域(长度、面积或体积)
这一个环节的设计充分体现了学生的课堂主动性，给出学生问题让学生自主动手实验探究，能提高学生的学习兴趣和动手能力，并能更好的突破本节课的重点和难点。
到此第二个阶段即完成了，往下主要是结论的应用：会区分几何概型和古典概型并能求几何概型的概率。在此给出三个课堂习题：
问题1：取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1米的概率是多少?
问题2：在一个5000 的海域里有面积达40 的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为 。
问题3：在 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率 。
上述三个课堂练习，分别对应了高中几何概型的三种几何度量：长度、面积和体积。能够更好的指导学生将未知量问题转化为几何概型求概率问题，有助于这一节课难点的突破，在此可引导学生解决本节课开课时的问题情境2，在解决的过程中让学生思考是否可以采用不同的几何度量例如：圆心角之比、弧长之比和扇形面积之比来求概率，并注意采用不同的几何度量时的区别。
进入课堂小结，回顾本节课的问题解决过程，让学生认识到数学与生活的紧密练习，并对本节课的知识进行强调，分清古典概型与几何概型的区别，并会利用公式求解几何概型。
最后是作业布置和课后思考：在生活中我们见到的抽奖活动中是否有概率的影子，体验数学与生活的联系。
到此就完成了本节课的教学。
板书设计：书写两点：一是本节课的结论，二是实验统计表格。
“使学生经历知识的生成过程，学会学习方法，获得积极的情感体验。”是新课标对教师提出的基本要求，从这一点出发，我在设计本节课时注意了以下两点：一是在本节课的开始结合学生前边的认知基础，在用古典概型解决情景问题2时产生了矛盾，从而为学生提出了问题，促使学生去思考解决问题的办法，提高学生的学习兴趣。二是在对本节课的重点和难点的处理的过程中，通过问题和实验，让学生主动思考总结和动手实验探究，以学生为主我在傍边协助让学生突破，并让学生体验知识产生的乐趣。
这节课在学生实验的过程中，对学生的学习态度、参与程度给出及时的评价;并对学生课堂中知识的探索、知识的总结过程进行评价，在课下及时了解学生的学习和作业情况，指导我今后的教学。
辨析古典概型与几何概型 篇3
较为复杂的古典概型
例1 口袋里装有两个白球和两个黑球，这四个球除颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出一球，试求“第二个人摸到白球”的概率.
解析 把四人依次编号为甲、乙、丙、丁，把两白球编上序号1，2，把两黑球也编上序号1，2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出一个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来.
从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果数为24，第二人摸到白球的结果有12种，记“第二个人摸到白球”为事件[A]，则[P（A）=1224=12.]
点拨 四个人摸球的可能结果数即基本事件数是有限的，每个结果发生是等可能的，因此是古典概型. 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数. （1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举. （2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
例2 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）
A. [15] B. [25] C. [35] D. [45]
解析 语文、数学只有一科的两本书相邻，有[2A22A22A33=48]种摆放方法.
语文、数学两科的两本书都相邻，有[A22A22A33=24] 种摆放方法.
而五本不同的书排成一排总共有[A55]=120种摆放方法.
故所求概率为[1-48+24120=25].
答案 B
点拨 5本书的不同摆放方法是有限的，且每种摆放方法发生可能性相同，因此是古典概型. 求较复杂事件的概率问题时，可将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解. 正难则反法就是将较为复杂的古典概型转化为求其对立事件的概率进行求解的方法. 此类概率题目含有非常典型的“至少”“至多”等用语，正面求解分类较多或分类有困难时就可以考虑采用该方法求解.
与长度、角度有关的几何概型
例3 （1）在等腰[Rt△ABC]中，过直角顶点[C]在[∠ACB]的内部任意作一条射线[CM]交[AB]边于点[M]，则[AM小于AC]的概率为 .
（2）如图，在等腰直角[△ABC]中，在线段[AB]上取一点[M]，则使得[AM]小于[AC]的概率为 .
解析 （1）在[∠ACB]内的射线[CM]是均匀分布的，所以射线[CM]在[∠ACB]内的任何位置都是等可能的. 因为[AM]的大小与点[M]在[AB]上的位置有关，为了确保[AM 如图所示，在[AB]上截取[AC=AC，]连接[CC，]则[∠ACC=∠ACC.] 在[△CAC]中，[∵∠A=45°，][∴∠ACC][=67.5°.] 故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.] （2）等腰直角[△ABC]中，[AM]小于[AC]的概率 [P=ACAB=AC2AC][=22]. 点拨 射线在角内转动的位置有无限多个，点在线段上运动也有无数个位置，且每个结果都是等可能的，故两小题都是几何概型. 解答几何概型问题的关键在于弄清楚题中的考查对象与对象的活动范围. 当考查的对象为点时，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查的对象为线时，涉及射线的转动，一般用角的大小作为区域度量来计算. 要准确把握几何概型的“测度”，正确构造度量区域. 生活中的几何概型问题 例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率. 解析 以[x]轴和[y]轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是[x-y≤14.] 在如图所示平面直角坐标系下，[（x，y）]的所有可能结果是边长为1的正方形区域，而事件[A]“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示. 由几何概型的概率公式得， [P（A）=SAS=12-2×（1-14）×（1-14）×1212=716.] 所以，两人能会面的概率是[716]. 点拨 甲、乙两人达到约定地点的时间均是在一个连续区间上取值的变量，以这两个变量的有序实数对来表示基本事件，基本事件数是无限的，且每个结果都是等可能的，故本题是几何概型. 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件[A]对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率. 根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域. 1. 甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是（ ） A. [12] B. [13] C. [14] D. [15] 2. 设不等式组[0≤x≤2，0≤y≤2，]表示的平面区域为[D]，在区域[D]内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A. [π4] B. [π-22] C. [π6] D. [4-π4] 3. 连掷两次骰子得到的点数分别为[m]和[n]，记向量[a=（m，n）]与向量[b=（1，-1）]的夹角为[θ]，则[θ∈（0，π2]]的概率是 . 4. 花园小区内有一块三边长分别是5m、5m、6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是 . 在听课过程中经常发现:上课老师提问一名学生, 那名学生不会回答得不理想, 上课老师往往会马上让被提问的学生坐下, 马上再提问其他学生, 或者按自己的预设来讲, 这样的优点是:使课程能够顺利地按课前预设进行, 而避免纰漏;而缺点是:由于省去了师生互动过程, 也失去了产生精彩的机会.回顾听过的课, 能够回忆起来的大都不是因为老师讲得精彩, 而往往是因为师生双边活动得精彩. 怎样把公开课上得既精彩华丽又实实在在呢?下面本人给出一个自己上课的例子: 高二年级, 讲了超几何概型以后, 再讲伯努利概型, 总有学生分不清问题是超几何概型还是伯努利概型.一次作业练习中有这样一道题:已知10张不同的彩票中有2张有不同的奖, 甲、乙两人各买一张, 求至少有一人中奖的概率?学生中有这样的两种答案: 我在进行作业评讲时, 没有直接讲哪个答案对哪个答案错, 更没有讲为什么, 而是又给出第三种答案, 让学生选择. 有学生选 (1) , 有学生选 (2) , 有学生选 (3) , 有学生选 (1) (3) , 一时间班级里炸开了锅, 有些学生开始讨论起来. 我并没有制止大家的争吵, 我知道制止是没用的, 我还是没有公布正确答案, 而是火上浇油, 又给出两个问题:100件产品中有10件次品, (1) 每次从中任取一件记下是次品还是正品后放回去, 这样连续三次, 求三次中恰有一件是次品的概率; (2) 一次从中任取三件, 求三件中恰有一件是次品的概率.这是本人故意设计的一个对比, 有对比才有鉴别, 有学生看出了这一点.争吵声马上停了下来, 转入紧张的思考运算中, 事情的发展进入高潮. 每名学生都想最先知道真正的答案到底是什么.不一会, 我请了一位并没有举手抢答的学生, 因为学生暴露的问题越多, 教师才越有文章可做, 才能越发显示教师的教学水平, 否则教师要讲的话都让学生讲了, 还要教师干什么? 这名学生回答:对于第一个问题, 每次都是从含10件次品的100件产品中取1件, 所以每次取出次品的概率都是0.1, 取出正品的概率都是0.9, 满足伯努利概型的条件, 故是伯努利概型P=P3 (1) =C 对于第二个问题, 取3件可以认为每次取1件, 取后不放回, 连取3次, 所以“恰有一件是次品”的概率=“只有第一件是次品”的概率+“只有第二件是次品”的概率+“只有第三件是次品”的概率 这节课的精彩之处从表面看是教师用一道选择题把学生推到了质疑的边缘, 又通过一个对比问题使学生恍然大悟.而更深层的原因是教师敢于作出大胆的预设, 不怕出纰漏, 不怕冷场, 放手让学生去主动思考的指导思想.不要怕, 有了精彩的预设一定会有精彩的生成. 本人回过头来对上面的作业题的解答情况进行了统计, 结果如下: (全班46人) 正确率为 在不久后的期中考试中, 有这样一题:10件产品中有2件次品, 从中任取3件, ξ表示其中的次品数, 求ξ的概率分布, 并求Eξ, Dξ. 本人对学生对“ξ的概率分布”的解答情况进行了统计, 结果如下: (全班46人) 正确率为 单从正确率上来看, 评讲后比评讲前的正确率提高了13.91个百分点, 正确率是否有显著提高呢?根据教育统计学的理论, 同一群体在两次测验中的正确率是否有显著性差异, 适宜用两个相关样本比率差异的显著性检验. 检验统计量Z的观测值 几何概型问题的分类主要由[P（A）=d的测度D的测度]中的[D]确定，当[D]分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因此，解题时只要能准确理解“测度”的意义，就能将问题归结为相应的类型进行求解. 一、测度为长度的几何概型 在整个的长度上，基本事件的个数是无限的，其中的某一个事件的基本事件的个数也是无限的，此时求事件的概率一般转化为长度之比来求解. 例1 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客的候车时间不超过7分钟的概率. 分析 每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客到达车站的时刻[t]可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间[（0，10]]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[[3，10]]上. 解 设上辆车于时刻[T1]到达，而下辆车于时刻[T2]到达，线段[T1T2]的长度为10，设[T]是线段[T1T2]上的点，且[TT2]的长度等于7，如图所示. 记等车时间不超过7分钟为事件[A]，事件[A]发生即当点[t]落在线段[TT2]上，即[D=T1T2=10]，[d=TT2=7]. 所以[P（A）=dD=710]. 答：等车时间不超过7分钟的概率是[710]. 点拨 我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面（或直线、空间）中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域[D]，这时与试验有关的问题就可利用几何概型来解决. 测度为长度问题时，画线段图，可使问题直观易解. 二、测度为面积的几何概型 将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用测度为面积的几何概型来求解. 例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过[a（13a1）]的概率. 点拨 对于复杂的实际问题，解题的关键是要建立模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域，把问题转化为几何概率问题，利用几何概率公式求解.本题容易忽视对三角形的构成条件的全面讨论，从而造成概率计算上的错误. 三、测度为面积的“约会型”几何概型 由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积得出问题的结论，称此类问题为“约会型”概率问题. “约会型”概率问题的求解，关键在于合理引入变量，再将具体问题“数学化”，通过数学模型，得出结论. 例3 水池的容积是[20m3]，向水池注水的水龙头[A]和水龙头[B]水的流速都是[1m3]/h，它们在一昼夜内随机开[0～24]小时，求水池不溢出水的概率. 点拨 由两个龙头引出两个变量[x]，[y]，再抓住“流速相等且都在一昼夜内随机开[0～24]小时”，于是符合“约会型”，可仿照“约会型”进行求解. 四、测度为体积的几何概型 利用几何图形的体积比来求解的几何概型，关键要明白事件所占区域和整个区域[Ω]的几何度量，以及点[P（x，y，z）]的集合所表示的图形.此外，要注意选择适当的观察角度. 知识目标: 1.理解几何概型及基本特点; 2.运用几何概型的概率计算公式求简单的几何概型的概率问题 情感目标:通过学习, 让学生体会生活和学习中与几何概型有关的实例, 增强学生解决实际问题的能力 教学重点难点: 重点:几何概型概念的理解和公式的运用; 难点:几何概型的应用. 教学流程: 一、情境设置 知识回顾: 1.在几何概型中, 事件A的概率计算公式。生答:略 2.以小组形式探讨古典概型与几何概型的基本特点, 找出他们的异同点 小组选代表答:古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的, 但古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个。 师问:“有补充的吗?” 某生答:“几何概型可以看作是古典概型的推广。” 二、建构数学 问题1:取一根长度为3m的绳子, 拉直后在任意位置剪断。求剪得两段的长都不小于1m的概率。学生思考。 某生答:“1/3”师问:“请讲一下你的解题思路?” 生:“绳子剪断位置位于靠近绳子的左右三等分点处, 而且是无限等可能的。老师, 我画图表示吧。” (生上黑板画图) 师:“非常好!图形的直观性更能准确地帮助我们理解。你们要渐渐学会这一点吆!” 问题2:在区间[0, 1]内任取两个数, 求这两个数的平方和也在[0, 1]的概率。学生思考。 师问:“解出来没有?”部分生摇头。 师问:“找不到解决办法?” 师启发:“在区间[0, 1]内任取几个数, 它们之间有影响吗?能用图形表达出来实验的区域吗?”生思考。 某生答:“可以。”上黑板作图。 师问:“事件的区域同学们能找到吗?” 某生抢答:“单位圆。” 师:“好好考虑考虑, 准确吗?事件的区域能超过实验的区域吗?” 某生上黑板补充图形作答。 问题3:在500ml的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概率是多少? 师问:“通过问题1, 问题2, 问题3, 你能总结出一维区域 (长度) , 二维区域 (面积) , 三维区域 (体积) 的使用规律吗? 三、知识应用: (小试牛刀) 平面上一长12cm, 宽10cm的矩形ABCD内有一半径为1cm的圆o. (圆心o在矩形对角线交点处) .把一枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内 (硬币完全落在矩形内) , 则硬币不与圆o相碰的概率. 生思考, 师巡视。解答效果不理想。 师启发:“半径1cm的硬币任意掷在矩形内, 应考虑硬币中心随机落在矩形内构成的区域。硬币不与圆o相碰, 应考虑硬币与圆o相碰, 硬币中心随机构成的区域。” 生继续思考, 某生上黑板画图解答。 三、教学反思: 1.课堂语言不够丰富幽默, 环节之间的过渡还不够自然, 还未能达到优化课堂教学的最佳效果。 2.还没有真正做到把课堂还给学生, 教师只作引导者, 组织者。 3.教材研究很到位, 选题设置都很好, 学生评价及时, 课堂小结提问很好, 如果能在课堂上小结, 是否会更好? 设计不同形式的概率问题, 逐步提高思维的层次, 在习题的选用中构建了一维、二维、三维的几何概率问题。 紧扣数学的实际背景, 多采用学生日常生活中熟悉的例子, 紧扣几何概型的图形意义, 渗透数形结合的思想。对于学生的学习, 作如下指导, 运用类比方法完成从一维到三维的过渡, 充分调动学生的积极性, 注意了数形结合思想的应用, 把抽象的问题转化为几何概型, 设计循序渐进, 体现了学生的认知规律, 不足之处很多, 相互交流比较少, 老师引导还是太多了, 留给学生的思维空间较少。在今后的教学中体现建模思想。 问题设置层层递进, 由浅入深, 有层次有目标地解决各个难点。本节课所体现的类比思想、转化思想等将会对学生的思维发展有所帮助。 问题设置过于紧密, 使得学生发挥的空间不够。如何设计问题才能使学生的思维更活跃, 不仅能认识问题, 解决问题, 还能创设问题?这也是我一直思考的。 约会问题中几何模型的建立不仅需要学生具有解析几何知识的储备, 更重要的是需要把现实问题中两个立即时刻变量之间的关系用数学模型表示出来。 忽略了学生对几何概型认知的难易程度。 一、课标要求 1.了解随机数的意义, 能运用模拟方法 (包括计算器产生随机数来进行模拟) 估计概率, 初步体会几何概型的意义; 2.通过阅读材料, 了解人类认识随机现象的过程. 二、命题走向 近几年的高考对概率要求降低, 但本讲内容是新加内容, 考试涉及的可能性较大. 预测2011年高考: (1) 题目类型多以选择题、填空题形式出现. (2) 考试的重点内容为几何概型的求值问题, 我们要善于将实际问题转化为概率模型处理. 三、要点精讲 1.随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数, 并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的. 2.随机数的产生方法 (1) 利用函数计算器可以得到0～1之间的随机数; (2) 在Scilab语言中, 应用不同的函数可产生0～1或a～b之间的随机数. 3.几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型. 4.几何概型的概率公式: 或, 一般地, 在几何区域D中随机地取一点, 记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A, 则事件A发生的概率为: 5.几种常见的几何概型 (1) 设线段l是线段L的一部分, 向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比, 而与线段l在线段L上的相对位置无关, 则点落在线段l上的概率为:P=l的长度/L的长度. (2) 设平面区域g是平面区域G的一部分, 向区域G上任投一点, 若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比, 而与区域g在区域G上的相对位置无关, 则点落在区域g上概率为:P=g的面积/G的面积. (3) 设空间区域上v是空间区域V的一部分, 向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比, 而与区域v在区域V上的相对位置无关, 则点落在区域v上的概率为:P=v的体积/V的体积. 四、典例解析 1.线长问题 例1 (2009年山东卷) 在区间[-1, 1]上随机取一个数x, cos的值介于0到之间的概率为 () 例2 (2009辽宁卷文) ABCD为长方形, AB=2, BC=1, O为AB的中点, 在长方形ABCD内随机取一点, 取到的点到O的距离大于1的概率为 () 解析:长方形面积为2, 以O为圆心, 1为半径作圆, 在矩形内部的部分 (半圆) 面积为, 因此取到的点到O的距离小于1的概率为.取到的点到O的距离大于1的概率为, 选 (B) . 例3假设车站每隔10分钟发一班车, 随机到达车站, 问等车时间不超过3分钟的概率? 解:以两班车出发间隔 (0, 10) 区间作为样本空间S, 乘客随机地到达, 即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生, 因此是几何概率问题. 要使得等车的时间不超过3分钟, 即到达的时刻应该是图中A包含的样本点, 例4如图2, 在等腰三角形ABC中, ∠B=∠C=30°, 求下列事件的概率 (1) 在底边BC上任取一点P, 使BP (2) 在∠BAC的内部任作射线AP交线段BC于P, 使BP 解: (1) 因为点P随机地落在线段BC上, 故线段BC为区域D, 以B为圆心, BA为半径交弧BC于M, 让“在底边BC上任取一点P, 使BP (2) 作射线AP在∠BAC内是等可能分布的, 在BC上取一点M, 使∠AMP=75°, 则BM=BA.让“在∠BAC的内部作射线AP交线段BC于P使BP 说明:本题第一问中的事件的“测度”是长度, 第二问中事件的“测度”是角度, 因此就造成了背景相同而概率不同这样的结局. 2.面积问题 例5 (2008江苏卷) 如图3, 在平面直角坐标系xOy中, 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1的点构成的区域, 向D中随机投一点, 则所投点在E中的概率是________. 解析:本小题考查古典概型, 其概率应为几何图形的面积比.如图:区域D表示边长为4的正方形的内部 (含边界) , 区域E表示单位圆及其内部, 因此 评注:在解决几何概型问题时, 要弄清整个事件的区域长度 (面积或体积) , 以及所研究事件的区域长度 (面积或体积) , 特别是平面几何图形的构成常常是考查的焦点, 有可能与定积分相联系. 例6 (2007宁夏卷) 设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (Ⅰ) 若a是从0, 1, 2, 3四个数中任取的一个数, b是从0, 1, 2三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率. (Ⅱ) 若a是从区间[0, 3]任取的一个数, b是从区间[0, 2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率. 分析:一元二次方程有实根的条件为Δ≥04a2-4b2≥0, 即a≥b.题 (Ⅰ) 可用列举法列出所有的基本事件, 找出符合条件a≥b的基本事件.题 (Ⅱ) 就是几何概型.可作出试验的总区域, 和符合条件的区域, 应该是把a, b看作有序数对 (a, b) 对于平面上的点, 可画出平面区域解答. 解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a>0, b>0时, 方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b. (Ⅰ) 基本事件共12个: (0, 0) , (0, 1) , (0, 2) , (1, 0) (1, 1) , (1, 2) , (2, 0) (2, 1) , (2, 2) , (3, 0) (3, 1) , (3, 2) .其中第一个数表示a的取值, 第二个数表示b的取值. 事件A中包含9个基本事件, 事件A发生的概率为 (Ⅱ) 如图4, 试验的全部结果所构成的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2}.构成事件A的区域为{ (a, b) |0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b}. 所以所求的概率为 评注:本题容纳了古典概型和几何概型的解法, 要善于区分提炼, 并进行转化, 把数组 (a, b) 看成平面内的点即可转化为平面区域问题用面积解答. 3.体积问题 例7 (2010福建卷, 理18) 如图5, 圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1, 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形, 且AB是圆O的直径. (Ⅰ) 证明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1; (Ⅱ) 设AB=AA1.在圆柱OO1内随机选取一点, 记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p. (i) 当点C在圆周上运动时, 求p的最大值; (ii) 记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ (0°<θ<90°) .当p取最大值时, 求cosθ的值. 解法1: (Ⅰ) 因为A1A⊥平面ABC, BC平面ABC, 所以A1A⊥BC, 因为AB是圆O的直径, 所以BC⊥AC, 又AC∩A1A=A, 所以BC⊥平面A1ACC1 而BC⊂平面B1BCC1, 所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1. 11 (Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA1=2r 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=AC·BC·2r=AC·BC·r. 又因为AC2+BC2=AB2=4r2, 所以AC·BC≤=2r2, 当且仅当AC=BC=时等号成立. 从而, V1≤2r3, 而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 故p=, 当且仅当AC=BC=, 即OC⊥AB时等号成立.所以, p的最大值等于 (ii) 略. 解法2: (Ⅰ) 同解法1. (Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA=2r, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=AC·BC·2r=AC·BC·r. 设∠BAC=α (0°<α<90°) , 则AC=ABcosα=2rcosα, BC=ABsinα=2rsinα, 由于AC·BC=4r2sinαcosα=2r2sin2α≤2r2, 当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立, 故V1≤2r3. 而圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 故当且仅当sin2α=1, 即α=45°时等号成立.所以, p的最大值等于 解法3: (Ⅰ) 同解法1. (Ⅱ) (i) 设圆柱的底面半径为r, 则AB=AA1=2r, 故圆柱的体积V=πr2·2r=2πr3, 因为p=, 所以当V1取得最大值时, p取得最大值. 又因为点C在圆周上运动, 所以当OC⊥AB时, △ABC的面积最大.进而, 三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大, 且其最大值为·2r·r·2r=2r3. 故p的最大值等于 小结:1.几何概型是必修内容, 也是考试大纲上要求的基本内容, 也是近年来新增考察内容之一. 2.有关几何概型的题目难度不大, 但需要准确理解题意, 利用图形分析问题. 3.学好几何概型对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助. 几何概型, 是新课改新增的考查内容之一.它以其形象直观的特点, 备受人们青睐, 它又可以与定积分等知识紧密联系, 以此为载体设计的试题情景新颖, 还可以极大地提高学生接受信息、处理信息、创新探究的学习能力. 一、几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积) 成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型. 二、几何概型的基本特点 (1) 试验中所有可能出现的结果 (基本事件) 有无限多个. (2) 每个基本事件出现的可能性相等. 三、几何概型概率计算公式 事件A发生概率 四、几何概型的应用 (一) 与长度有关的几何概型 1.如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示, 则其概率的计算公式为: 2.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样, 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点, 这样的概率模型就可以用几何概型来求解. 例1 公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站, 求汽车在1～3分钟之间到达的概率. 分析 将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段, 则1～3分钟是这一线段中的2个单位长度. 解 设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A, 则 所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率为 (二) 与面积 (或体积) 有关的几何概型 1.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示, 则其概率的计算公式为: 2.“面积比”是求几何概率的一种重要类型, 也是在高考中常考的题型. 3.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示, 则其概率的计算公式为: 例2 在线段[0, 1]上任意投三个点, 问由0至三点的三线段, 能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大. 解析 设0到三点的三线段长分别为x, y, z, 即相应的右端点坐标为x, y, z, 显然0≤x, y, z≤1.这三条线段构成三角形的充要条件是:x+y>z, x+z>y, y+z>x. 在线段[0, 1]上任意投三点x, y, z, 与立方体0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1中的点 (x, y, z) 一一对应, 可见所求“构成三角形”的概率等价于边长为1的立方体T中均匀地掷点, 而点落在x+y>z, x+z>y, y+z>x区域中的概率.这也就是落在图中由△ADC, △ADB, △BDC, △AOC, △AOB, △BOC所围成的区域G中的概率. 由于 由此得出能与不能构成三角形两事件的概率一样大. (三) 综合问题 随着对几何概型的进一步学习, 几何概型与二次方程、线性规划、定积分、立体几何、不等式等知识的综合应用将成为今后一个主要复习方向. 例3 随机地取两个正数x和y, 这两个数中的每一个都不超过1, 试求x与y之和不超过1, 积不小于0.09的概率. 解析 0≤x≤1, 0≤y≤1, 不等式确定平面域S.A=‘x+y≤1, xy≥0.09’.则A发生的充要条件为0≤x+y≤1, 1≥xy≥0.09, 不等式确定了S的子域A. 总之, 几何概型是高中的新生事物, 在平时模拟试题中多有出现, 试题难度以中低档为主, 在平时学习中应注意不断总结各种题型, 同时注意与其他知识的综合应用以及在实际问题中的应用, 可以较好地提高学生解决实际问题的能力. 我认为, 有以上两种理解都是很正常的, 原因是试题中没有明确“每10分钟一班”的界定含义.这个问题的关键是对“每10分钟一班, 在车站停1分钟”的理解, 实际也就是对“每10分钟一班”的理解上: (1) “每10分钟一班”理解为上一列的到站时间与下一列的到站时间的时间差.这样, 乘客到达站台立即乘上车的概率是1/100 (2) “每10分钟一班”理解为上一列的出站时间与下一列的到站时间的时间差.这样, 乘客到达站台立即乘上车的概率是1/111 结合人们的生活常识, 应该按照 (1) 理解.但从其他角度考虑, 按照 (2) 理解也未尝不可. 有位老师给出了 的答案, 其中的推导过程很有意思, 我们一起来看一下. 解地铁列车每10分钟一班, 为画图和计算的方便不妨将问题看为“乘客在某时间段的0~10分钟之间到达车站, 时间总间隔为10分钟”, 并不影响计算结果.设乘客是x时刻到达, 列车是x时刻到达 (单位:分钟) . 则乘客与列车到达的所有可能作为全集:I={ (x, y) |0≤x≤10, 0≤y≤10}, 其面积为:S (I) =100. 乘客到达站台及时乘上车的所有可能作为乘客与列车同时到达, 或乘客是列车到站1分钟前到站, 其集: ∴乘客到达站台没有及时乘上车的概率是: 这两个答案我们完全可以理解, 这个答案的解答过程中是按 (1) “每10分钟一班”理解为上一列车的到站时间与下一列车的到站时间的时间差的思考角度去考虑的.粗略一看, 还是很有道理的.但答案与1/10不符, 怎么回事呢? 我们好好想想, 发现这是某个10分钟的时间段, 整个题中是由许许多多的10分钟组成的, 线性规划图可以这么画. (见下面扫描图片) 从中可以看出: 用线性规划的知识点来解决几何概型题是行之有效的好办法, 近几年, 各地高考卷中多次出现这种题型.希望大家要重视. 例如在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段, 求这三段可以构成三角形的概率. 解设构成三角形的事件为A, 长度为10的线段被分成三段的长度分别为x, y, 10- (x+y) , 由一个三角形两边之和大于第三边, 有 x+y>10- (x+y) , 即5 又由三角形两边之差小于第三边, 有x<5, 即0 ∴满足条件的点P (x, y) 组成的图形是如图所示中的阴影区域 (不包括区域的边界) . ∴这三段可以构成三角形的概率为1/4. 最后大家用线性规划的知识点尝试解决下面的问题. 练习1:在区间 (0, 1) 中随机地取出两个数, 则两数之和小于5/6的概率是____. 答案: . 练习2:假设你家订了一份报纸, 送报人可能在早上6∶30~7∶30之间把报纸送到你家, 你父亲离开家去上班的时间为早上7∶00~8∶00之间, 你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______. 简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，（geometric models of probability），简称为几何概型.比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸.这个概念在从初中数学新课程实施就开始介绍了.古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子. 几何概型的特点有下面两个： (1) 试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 在几何概型中，事件A的概率计算公式为： P（A）=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）. 用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量.对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.现将常见的几种模型介绍一下： 长度问题 例1杰克和约翰进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话.然而谈话却被监听录音机记录了下来，磁带长30分钟.警局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息，然而后来发现，这段谈话的一部分被一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被擦掉了，试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大？ 解：将30分钟的磁带表示为长度为30的线段R，则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为r，10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该区间左边的任何点.因此事件r是始于R.线段的左端点且长度为1/2+1/6=2/3的事件.因此有P(r)=(r的长度)/(R的长度)=(2/3)/30=0.02 答：略. 面积问题 例2两个步话机持有者，小李和小张都为货运公司工作，他们的步话机的接收范围为25公里，在下午3：00时小李正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而小张在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过步话机交谈的概率有多大？ 解：设x和y分别代表小李和小张距某地的距离，于是0≤x≤30，0≤y≤40. 则他俩所有可能的距离的数据构成有序点对(x，y)，这里x，y都在它们各自的限制范围内，则所有这样的有序数对构成的集合即为基本事件组对应的几何区域，每一个几何区域中的点都代表小李和小张的一个特定的位置，他们可以通过步话机交谈的事件仅当他们之间的距离不超过25公里时发生（如右上图），因此构成该事件的点由满足不等式(x^2+y^2)≤25的数对组成，此不等式等价于x2+y2≤625.右图中的方形区域代表基本事件组，阴影部分代表所求事件，方形区域的面积为1 200平方公里，而事件的面积为14π252=625π/4.于是有P=(625π/4)/1200=625π/4800=0.41. 答：在下午3：00时他们能够通过步话机交谈的概率为0.41. 应用1.如图，以正方形ABCD的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣.现在向该矩形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率. 解：飞镖落在正方形区域内的机会是均等的，符合几何概型条件.记飞镖落在花瓣内为事件A，设正方形边长为2r，则 P（A）=S花瓣SABCD=12πr2×4-（2r）2（2r）2=π-22. 所以，飞镖落在花瓣内的概率为π-22. 此题的关键是正确计算花瓣的面积.这类题型中，试验全部结果的区域与构成事件A的区域，都直接由题中条件给出，从而易解. 体积模型 例3在500升的水中有一个草履虫，现在从中随机取出2升水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为() A. 0.5B. 0.4 C. 0.004D. 不能确定 解析：2升水占500升水的比率就是发现草履虫的概率,选C 然而，有些几何概型的问题，既不容易分辩出属于几何概率模型，也难发现随机事件的构成区域，但仔细研究此类问题后，我们可以发现一些解题的规律. 约会问题 例4两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去.求两人能够会面的概率. 解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为： x-y=20 记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为： A={（x,y）‖y-x|≤20，0≤x≤60，0≤y≤60}. 如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD.而事件A所构成区域是正方形内两条直线y-x=20，x-y=20所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式，得到： P（A）=S阴影S正方形=602-(60-20)22×2602=59. 所以，两人能够会面的概率为59. 可见题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难.需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量.然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出.把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域.我们可以发现，要表示二元一次不等式ax+by+c＞0的平面区域，按两步解决：（1） 作出直线ax+by+c＞0；（2） 取一特殊点验证，直线的哪侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域.准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，易求得概率. 根据以上的解法和分析，我们把此类问题的解决总结为以下四步： （1） 审题设变量.从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y. （2） 用集合表示.用（x，y）表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集. （3） 构建图型；把以上集合所表示的平面区域（或线段、几何体）作出. （4） 计算求解概率 根据几何概型的公式，易从几何图形中两个面积（长度、体积）的比求得. （5） 作答 总之，在高考题中对于几何概型要求不高，总结一下常见的主要有长度模型、面积模型、约会模型、体积模型.解题步骤为：① 构设变量.② 集合表示.③ 构图.④计算求解.⑤ 作答.只要掌握了解题规律，这部分内容考察易得分.伯努利概型超几何概型 篇4
几何概型的常见题型 篇5
几何概型教学案例 篇6
例谈几何概型及其应用 篇7
浅谈几何概型及其应用 篇8
一道简单的几何概型题的探究 篇9
浅析几何概型的应用 篇10