中学物理中的微积分

中学物理中的微积分（精选四篇）

中学物理中的微积分 篇1

大学物理是理工科大学面向一、二年级开出的, 融合了力、热、光、电和原子物理等基本领域的一门重要的必修基础课, 比起中学物理来说, 大学物理更加接近于“现实状态”, 所研究的运动为加速度时刻发生变化的变速运动, 功为变力所做的功, 各种类型带电体在空间各个不同点形成的电场在变, 磁场也一直在变化等等, 此时中学物理所形成的处理“恒定”问题的技能已不再适用, 必须建立一套适用于处理“动态”物理问题的新的方法, 即微积分的方法.

微积分是指把复杂的问题进行时空上的有限次分割, 在有限小的范围内进行近似处理, 然后让分割无限地进行下去, 局部范围无限变小, 则近似处理也就会越来越精确, 这样在理论上得到的结果。微分是指在理论分析时, 把分割过程无限进行下去, 局部范围便会无限小, 积分是指把无限小个微分元求和[1], 微积分是高等数学中比较重要的一个分支.从大学物理和高等数学的发展史中可以看出两者相互联系, 相互促进, 物理学提供相应的“现实模型”, 高等数学提供“抽象的解决方法”, 所以高等数学是大学物理课程的必备基础与工具.

1 微积分在大学物理中的重要应用

下面主要从大学物理中力学和电磁学两部分的几道例题分析一下微积分的重要应用:

例题1跳水运动员沿铅直方向入水, 接触水面时速率为v0, 入水后地球对他的吸引和水的浮托作用相抵消, 仅受水的阻碍而减速, 自水面向下取Oy轴, 其加速度为ay=-kvy2, vy为速度, k为常量, 求入水后运动员速度随时间的变化[2].

解:将运动员视为质点, 当运动员沿着铅直方向运动时, 运动速度vy随着时间t变化, 即vy=vy (t) , 在时间间隔Δt内, 质点速度增量为Δv y=vy2-vy1, 当Δt→0时, 此时加速度就趋于一个极限值, 即瞬时加速度 (也称加速度) ay,

设入水时为计时起点, 当t=0时vy=v0, 运动过程中t时刻的速度为v, 将上式两侧分别以vy和t为积分变量, 以-vy-2和k为被积函数, 则有

上面例题是质点运动学的一个典型例题, 解题思路是先运用数学导数的概念, 即通过求平均变化率的极限来得到瞬时加速度, 列出重要的数学表达式, 把数学导数的知识巧妙地应用到物理学当中去, 接下来通过给定的初始条件进行定积分, 即对微元进行求和, 最终算出结果, 把看似复杂的变速问题变得更加简单化.

例题2如图1所示, 圆盘的质量为m、半径为R, 求以O为中心, 将半径为R/2的部分挖去, 剩余部分对OO轴的转动惯量[3].

解:因为圆盘上的质点是连续分布的, 所以求解此题可以用两种方法:一是由转动惯量的定义式来计算, 即把圆盘分成许多细圆环带, 其中半径为r, 宽度为dr的环带质量为dm=m22πrdr/πR22;二是补偿法, 可将剩余部分的转动惯量看成是原大圆盘和挖去的小圆盘对同一轴的转动惯量的差值.

比较方法一和方法二, 明显可见方法一的便利之处, 求解过程相对简捷, 从方法一可看出微积分知识和简单物理模型的密切结合, 不仅能使学生更加深入地理解基本物理理论知识, 而且能够使学生开阔思路, 触类旁通, 这也是物理教学比较重要的一方面.

例题3设半径为R的带正电薄圆盘的电荷面密度为σ, 并以角速度ω绕通过盘心垂直盘面的轴逆时针转动, 求圆盘中心处的磁感强度[3].

解:方法一:利用毕奥萨-伐尔定律得到的圆电流在圆心处的磁感强度值为B=μ0I/2R求解, 其中I为圆电流, R为圆电流半径.首先采用微分知识将圆盘分成许多细圆环带, 其中半径为r, 宽度为dr的环带的电荷为dq=σ2πrdr, 因圆盘以角速度ω绕轴O旋转, 则此转动圆环带相当的圆电流为:

根据以上关系得圆盘上细圆环带在盘心处磁感强度值为:

代入初始条件进行定积分, 可得整个圆盘转动时盘心处磁感强度值为:

已知圆盘带正电, 故磁感强度的方向垂直纸面指向外侧.

方法二:根据毕奥-萨法尔定律求得的运动电荷产生的磁感强度求解.首先采用的微分方法同方法一, 得dq=σ2πrdr, 因为角量和线量存在关系v=rω, 所以有:

此式方法一已得到, 故利用积分知识同样得到方法一的结果.

以上例题主要体现了微积分在电磁学方面的重要应用, 虽然从不同微量之间的关系去探讨问题, 最终都得到了精确的解, 由此可见微积分的奇妙之处, 只要选择合适的微元, 找好相应的方法, 就可以完美地实现物理模型的由复杂到简单、由变量到恒量、由未知到已知的转变.

2 结语

微积分作为高等数学中一个比较重要的分支, 在大学物理教学中起着举足轻重的作用, 它不仅是教学工具的应用, 也是一种思维方法的应用, 教师在教学过程中要巧妙地将微积分融入到大学物理教学中去, 恰当地取好微元, 分析好元过程和元贡献, 确定好积分上下限, 最终可以解决许多复杂的物理问题, 使得学生增强学习物理的信心, 达到事半功倍的教学效果.

参考文献

[1]黎定国.大学物理中微积分的思想方法浅谈[J].大学物理, 2005, 24 (12) :52-54.

[2]漆安慎, 杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社, 1997.

浅谈微积分在中学数学教学中的应用 篇2

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

中学物理中的微积分 篇3

其一, 学好微积分有助于学生理解物理的“瞬时量”。

在新课标教材与旧课标教材中都提到:瞬时速度就是在时间段非常小 (△t接近零) 时的平均速度, 实际上是“微分”的思想。这也是高中物理教材中第一次提及微积分, 瞬时速度在我们生活中有广泛的应用, 因此学生在接受上是不存在问题的, 我认为这可能就是教材编写者为什么把瞬时速度作为学习微分思想的“先锋”的原因吧。对于这个“先锋”我们不但要讲, 而且还要讲清楚, 讲透彻。让学生明白它的大小v=△s/△t, 更要让学生知道, 在一个极短的趋近零时间内甚至是一个瞬时, 都有物理量存在, 零除零不一定就没有意义, 同时在△t接近于零的同时, 速度的方向也不断接近轨迹切线的方向, 这也正是微积分的不可忽略性。

对于瞬时加速度, 书上没有正式提及这个概念, 但应用比比皆是, 比如说, “分析物体在运动过程中加速度随时间的变化情况”, “物体在做匀速圆周运动时, 加速度的大小不变, 而方向不断发生改变”……这些“加速度”都是指瞬时加速度。如果我们因为书中不提及瞬时加速度这个概念, 就也采用含糊的处理方法, 将平均加速度和瞬时加速度都统一称为加速度, 那么学生在很多问题上都不会得到清晰、深刻的理解。如“机车以恒定功率启动问题”, 机车速度变大, 而加速度在变小, 这个学生就很难理解。如果我们也能从微积分方面提出瞬时加速度这个概念, 就从微小时间入手, 当△t→0时a=△v/△t就是瞬时加速度, 学生在已理解瞬时速度的基础上还是顺理成章理解瞬时加速度。实际上书中在讲解向心加速度大小及方向时, 就是利用这种方法, 不过这部分是以小字出现的, 我认为如果我们使用这种方法来讲解向心加速度, 它的说服力是简单的定性实验加直接给出向心加速度大小及方向所不能比拟的。

在高中教材中出现的其他瞬时量还有瞬时功率, 瞬时电动势……对瞬时量的理解, 一直是高中物理的一个难点, 如果我们能让学生掌握微分法, 其他相关问题便可迎刃而解。达到培养学生的多元化的逻辑思维能力。

其二, 微积分思想可以帮助理解物理图像, 使图像的物理意义更加直观、更加丰富多彩。

解析法和图像法都是学生理解和应用物理规律的两个重要的方法, 我们要帮助学生学习应用解析法, 更应该教会学生应用图像法。降低了对图像的要求, 关于图像的题型海南省高考物理从2007年开始每年必考并且似乎都在选择题第8题, 难道是巧合?图像不仅仅能表示两个物理量间的对应关系, 同时图像中也包含了丰富的其他的信息。例如, 图像的切线斜率, 就能表示物理量在这一点时的变化率, 位移-时间图像上的切线斜率表示物体在切点处的瞬时速度, 速度-时间图像上的切线斜率表示物体在切点处的瞬时加速度, 磁通量-时间图像上的切线斜率表示切点处的感应电动势的大小……而图像的切线斜率为什么就是物理量的变化率呢?以位移—时间图像为例, 我们可以在图像上取两个点连成一条直线, 而直线的斜率正好表示这两点间的平均速度, 而当时间△t→0, 两个点无限靠近, 这时直线变成了切线, 平均速度也变成了瞬时速度, 所以位移—时间图像上的切线斜率正好表示切点处的位移变化率———速度。这也正是微分法在图像中重要的应用。

图像与数轴所围的面积也有特定的物理意义, 例如, 在速度—时间图像中, 图像与时间轴所围的面的面积在数值上就等于物体在这段时间内运动的位移的大小。为什么呢?要讲清楚这一点不但要使用微分法, 将这段时间无限分割, 同时还要使用积分法, 将每一段时间内的位移依次相加。学生理解了这一点, 以后学习匀变速直线运动的位移时间公式时就方便多了, 容易多了。我们只要计算出匀变速直线运动的位移—时间图像与时间轴所围的面积就可以很方便的导出公式。而如果我们直接给出平均速度v= (v1+v2) /2公式, 让学生记住这个公式, 及这个公式只适合于匀变速直线运动, 再利用这个公式来推导位移时间公式, 学生在理解上就会存在不足, 有一种死记公式, 生搬硬套的感觉。而利用图像的这一特点, 我们还可以求解一些特殊问题, 如我们可以利用力-位移图像求解变力做功……使学生掌握化曲为直, 使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量, 以大化小, 以恒代变的思维方法, 这是物理学解决连续变化问题的科学思维方法。

其三, 在一些特定的计算中, 我们要用到微积分的方法。

如木块在水平地面上做相对滑动, 因为滑动摩擦力总是与物体相对运动方向相反, 即使物体做曲线运动, 对于整个过程力是一个变力, 但对于一极短时间, 力可视为恒定不变, 力的功可以计算为力与位移的乘积, 再通过求和, 滑动摩擦力做功就等于力和路程的乘积。再比如说单摆小球的拉力不做功, 也是因为在每一微小时间内力都与位移垂直的原因。

积分在中学数学中的融合与应用 篇4

不等式与恒等式的证明方法多种多样, 没有较为统一的方法, 往往需要较高的技巧.利用微积分的知识和方法, 例如微分中值定理、函数的增减性、极值判定法等来证明, 可简化证明过程, 降低技巧性.

例1证明不等式

证明设

∴函数f (x) 在区间内是递减的.

因而, 当

例2试证:当x≤-1时, 有

证明当x=1时, 等式显然成立.

当x<-1时, 对等式左边求导数, 得到

∴2常数.

2. 求函数的极值、切线与单调区间问题

由导数的几何意义, 可以很容易地求得曲线的切线, 也可以很方便地求出单调区间和极值.这类问题也是近年来高考考查的重点.

例3已知函数f (x) =ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.

(1) 讨论f (1) 和f (-1) 是函数f (x) 的极大值还是极小值;

(2) 过点A (0, 16) 作曲线y=f (x) 的切线, 求此切线的方程.

解 (1) f′ (x) =3ax2+2bx-3, 依题意, f′ (1) =f′ (-1) =0,

即3a+2b-3=0, 且3a-2b-3=0, 解得a=1, b=0.

∴f (x) =x3-3x, f′ (x) =3x2-3=3 (x+1) (x-1) .

令f′ (x) =0, 得x=-1, x=1.

若x∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) , 则f′ (x) >0, 故f (x) 在 (-∞, 1) 上是增函数, f (x) 在 (1, +∞) 上是增函数.

若x∈ (-1, 1) , 则f′ (x) <0, 故f (x) 在 (-1, 1) 上是减函数.

∴f (-1) =2是极大值, f (1) =-2是极小值.

(2) 曲线方程为f (x) =x3-3x.点A (0, 16) 不在曲线上.

设切点为M (x0, y0) , 则点M的坐标满足y0=x03-3x0.

由于f′ (x0) =3 (x20-1) ,

故切线的方程为y-y0=3 (x20-1) (0-x0) .

注意到点A (0, 16) 在切线上,

化简, 得x03=8, 解得x0=2.

因此, 切点为M (-2, -2) , 切线方程为9x-y+16=0.

例4已知函数f (x) =x2eax, 其中a≤0, e为自然对数的底数.

(1) 讨论函数f (x) 的单调性;

(2) 求函数f (x) 在区间[0, 1]上的最大值.

解 (1) f′ (x) =x (ax+2) eax.

(1) a=0时, 令f′ (x) =0, 得x=0.

若x>0, 则f′ (x) >0, 从而f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增;

若x<0, 则f′ (x) <0, 从而f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减.

(2) 当a<0时, 令f′ (x) =0, 得x (ax+2) =0, 故x=0或

若x<0, 则f′ (x) <0, 从而f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减;

若, 则f′ (x) >0, 从而f (x) 在上单调递增;

若则f′ (x) <0, 从而f (x) 在上单调递减.

(2) (1) 当a=0时, f (x) 在区间[0, 1]上的最大值f (1) =1.

(2) 当-2

(3) 当a≤-2时, f (x) 在区间[0, 1]上的最大值

3. 方程根的讨论

用初等数学的方法讨论方程x3+px+q=0的根的存在性涉及许多等式变形, 相当麻烦.如用求导数的方法讨论方程x3+px+q=0根的存在性将会比较简单.

例5设方程x3+px+q=0 (p, q为实数) .

证明: (1) 当>0时, 它有一实根及二共轭虚根;

(2) 当<0时, 它有相异三实根;

(3) 当时, 它有三实根, 其中至少有两根相等.

证明定义f (x) =x3+px+q, 则f′ (x) =3x2+p, 所以f (x) 是一条连续曲线.

由极值判别法可知:f (x) 在取极大值,

(1) 若时, f极大与f极小分别位于x轴上方和下方, 所以曲线与x轴有3个不同的交点, 即方程x3+px+q=0有三个相异的实根.

(2) 若f极大·f极小>0, 即时, f极大与f极小同时位于x轴上方和下方, 所以曲线与x轴只有一个交点, 即方程x3+px+q=0有一个实根和一对共轭虚根.

(3) 若f极大·f极小=0, 即时, 则f极大与f极小中一个为0, 这时, 曲线与x轴有两个交点, 即方程x3+px+q=0有三个实根, 且有两根相等.

(2) 若p>0, 则, 且f′ (x) =3x2+p>0, 所以f (x) 严格单调增加, 这时曲线与x轴有且只有一个交点, 即方程x3+px+q=0有一个实根及一对共轭虚根.

(3) 若p=0, 则f (x) =x3+q.

(1) 若q=0, , 这时方程变成x3=0, 即方程x3+px+q=0有三个等根.

(2) 若q≠0, 则, 则f′ (x) =3x2≥0, 所以f (x) 单调增加, 这时曲线与x轴有且只有一个交点, 即方程x3+px+q=0有一个实根及一对共轭虚根.

由 (1) , (2) , (3) 知结论成立.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (下册) [M].北京:人民教育出版社, 1982:59-112.

[2]魏本成, 吴中林.微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊, 2001 (5) :54-55.

[3]钱佩玲, 邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社, 1999.

[4]余元希, 田万海, 毛宏德.初等代数研究[M].北京:高等教育出版社, 1998.

[5]陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海:华东师范大学出版社, 1994.

[6][美]塞蒙斯G F.微分方程.张理京译.北京:人民教育出版社, 1981.