数学变换与矩阵

数学变换与矩阵（精选四篇）

数学变换与矩阵 篇1

对于高中生它们对于矩阵没有接触过, 是一个新的概念, 非常的陌生。

其引入过程如下:设直线l在平面α内, 那么对与平面α内任意一点p, 都存在平面α内唯一一点p', 使p'与p关于直线l对称, 我们称这样的对称关系为平面α关于直线l的反射变换。进一步, 如果在平面α内建立直角坐标系xoy, 那么平面内的点与有序实数对 (x, y) 之间就建立了一一对应。这样, 我们又可以从代数的角度来研究反射变换, 例如, 关于x轴的反射变换, 把平面α内的任意点p (x, y) 变成它关于x轴的对称点, p' (x', y') , 对于坐标p (x, y) 与p' (x', y') 可以得到:

显然, 表达式 (1) 完全刻画了关于x轴的反射变换, 因此, 也称 (1) 为关于x轴的反射变换。

我们将反射变换 (1) 变形为:

由于 (2) 式由右端式子中x, y系数唯一确定, 我们把它们按原来的顺序写出来, 并在两端分别加上一个括号, 就得到正方形数表这个正方形数表也完全刻画了关于x轴的反射变换, 我们把这种正方形数表称为二阶矩阵, 这样关于x轴的反射变换就可以有二阶矩阵完全确定。事实上, 在平面直角坐标系xoy内, 很多儿何变换都具有下列形式:

2《高等代数》中矩阵的引入

《高等代数》由多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、λ-矩阵、欧几里得空间、双线性函数与辛空间十个章节组成, 是中学代数的继续和提高, 是大学数学专业的基础课之一。在其中线性方程和矩阵一直贯穿始终。对于大学生的学习是在第一章多项式的铺垫下, 在第二章行列式中直接定义矩阵的符号。

对于二元线性方程组

当a11a22-a12a21≠0时, 次方程组有唯一解, 即

我们称a11a22-a12a21为二级行列式, 用符号表示为:

于是上述解可以用二级行列式叙述为:

当二级行列式

时, 该方程组有唯一解, 即

同理由三元线性方程组, 定义了三级行列式。在其后, 应用排列对矩阵的意义进一步对矩阵进行解释。

n级行列式

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2…anjn

的代数和, 这里j1, j2…jn是1, 2, …, n的一个排列

接着就是学习对行列式的变形与展开, 线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上, 并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程, 除线性方程组之外, 还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念, 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究, 甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题, 归结成矩阵问题以后却是相同的, 这就使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念。

参考文献

[1]刘绍学.矩阵与变换[M].人民教育出版社.

“矩阵与变换”题型全搜索 篇2

一、 考查矩阵的运算

同学们应掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法、二阶矩阵与二维列向量的乘法；会求逆矩阵，并能从几何变换的角度进行解释.

例1 (1) 求矩阵A=2312的逆矩阵；

(2) 利用逆矩阵知识解方程组2x+3y-1=0,x+2y-3=0.

解（1） 设A的逆矩阵A-1=abcd，

则2312

abcd=

1001,得2a+3c=1,2b+3d=0,a+2c=0,b+2d=1,解得a=2,b=-3,c=-1,d=2，所以A-1=2-3-12.

（2） X=xy=A-1B=2-3-1213=-75，即x=-7,y=5.

点评求逆矩阵时，最基本、最常用的方法便是待定系数法.

二、 考查矩阵对应的变换

例2已知在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A(2,0)，B(1,2)，且矩阵M=100-1，N=122022，求△OAB在矩阵MN作用下变换得到的图形的面积.

解显然MN=1220-22.

又1220-22

00=00，1220-22

20=20，1220-2212=2-1，

可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换得到的点分别为O′(0,0)，A′(2,0),B′(2,-1).

易知△OAB在矩阵MN作用下变换得到的图形为△O′A′B′,且可得△O′A′B′的面积为1.

例3在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2+4y2=1在矩阵A=2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.

解设P(x0,y0)是椭圆上任意一点，点P在矩阵A对应的变换作用下变为点P′(x0′,y0′)，则x0′y0′=2001x0y0，即x0′=2x0,y0′=y0,

所以x0=x0′2,y0=y0′.

又因为点P在椭圆上，故x20+4y20=1，从而x0′22+4(y0′)2=1，所以曲线F的方程为x24+4y2=1.

点评求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线往往可用“代入法”.

例4已知曲线x24+y22=1在变换T作用下得到曲线x22+y24=1，求变换T对应的矩阵M.（要求写出两个不同的矩阵）

解画出椭圆x24+y22=1和x22+y24=1的图形后，可以发现变换T对应的矩阵M有多种可能，例如：

① 将椭圆x24+y22=1关于直线y=x作对称变换，即可得到椭圆x22+y24=1，这时T是反射变换，对应的矩阵M=0110；

② 将椭圆x24+y22=1先关于直线y=x作对称变换，再关于y轴作对称变换，也可得到椭圆x22+y24=1，这时变换T是一个复合变换，对应的矩阵M=-1001·

0110

=0-110；

③ 将椭圆x24+y22=1逆时针（或顺时针）旋转90°，也可得到椭圆x22+y24=1，这时变换T对应的矩阵M=0-110或01-10.

还可以有M=0-1-10或M=±220

0±2.

点评例2、例3都是已知变换（矩阵）求变换的结果，而本例是其“逆向”问题，即已知变换的结果求变换（矩阵）.当然，本题也可不从几何变换的角度考虑，而从矩阵（对应变换）与列向量（对应点）乘法的角度考虑,利用待定系数法求矩阵M.

三、 考查矩阵的特征值与特征向量

例5已知矩阵A=1-1a1，其中a∈R，且点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下得到点P1（0，-3）.

(1) 求实数a的值；

(2) 求矩阵A的特征值及特征向量.

解（1） 由0-3=1-1a111，得a+1=-3，即a=-4.

(2) 矩阵A的特征多项式f(λ)=λ-114λ-1=λ2-2λ-3.由f(λ)=0，得A的特征值为-1和3.将λ=-1代入(λ-1)x+y=0,4x+(λ-1)y=0,得对应的一个特征向量为12；将λ=3代入(λ-1)x+y=0,4x+(λ-1)y=0,得对应的一个特征向量为1-2.

例6已知矩阵M有特征值λ1=4及对应的一个特征向量e1=23，并有特征值λ2=-1及对应的一个特征向量e2=1-1.

(1) 求矩阵M；

(2) 求M2 00832.

解(1) 设M=abcd，则abcd23=423=812，故2a+3b=8,2c+3d=12.

又abcd1-1=(-1)1-1=-11，故

a-b=-1,c-d=1.

联立以上两个方程组，解得a=1,b=2,c=3,d=2，故M=1232.

（2） M2 00832=M2 008(e1+e2)=λ2 0081e1+λ2 0082e2=42 00823+(-1)2 0081-1=24 017+13·24 016-1.

四、 考查矩阵的简单应用

关于矩阵的简单应用，请同学们做巩固练习4.下面举两个不常见的例子，请同学们思考、体会（原来矩阵还可以这样用）.

例7对于映射f：（x,y）(x+y,x-y)(x,y∈R)，是否存在直线l,使得l上任一点在映射f作用下得到的象仍在l上？若有，请求出直线l的方程；若没有，请说明理由.

常规解法假设存在满足题意的直线l，显然其斜率存在，故可

设其方程为y=kx+b.①

由题意知,当点(x,y)在直线l上时，点(x+y,x-y)也在直线l上，故有x-y=k(x+y)+b，即(k-1)x+(k+1)y+b=0.②

由于①和②表示同一条直线，故有(k-1)b=kb,(k-1)(-1)=k(k+1)(即k2+2k-1=0）,得k=-1±2,b=0，因此存在满足题意的直线l，且l的方程为y=(-1±2)x.

矩阵解法注意到映射f实际上是直角坐标平面内点到点的变换，且该变换对应的矩阵M=111-1.从矩阵和其特征向量的几何意义来看，有没有满足题意的直线l，关键看矩阵M有没有特征向量.

矩阵M的特征多项式f(λ)=λ-1-1-1λ+1=λ2-2.由f(λ)=0，得M的特征值为2和-2，于是可得对应的特征向量xy分别满足x+y=2x和x+y=-2y.因此，满足题意的直线l有两条，其方程分别是y=(-1±2)x.

例8（2007年高考江苏卷）已知平面直角坐标系xOy中，平面区域A={(x,y)|x+y≤1，且x≥0,y≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（）

A. 2

B. 1

C. 12

D. 14

图1

常规解法首先想到的是利用线性规划的知识来处理.

令x+y=s,x-y=t,则2x=s+t,2y=s-t,

由点（x,y）在区域A中，可得s≤1,s+t≥0,s-t≥0,故点(s,t)的取值区域为图1中的阴影部分（包括边界）.不难求得其面积为1.

因此平面区域B的面积为1.选B.

矩阵解法实际上，平面区域A和B都是点集，且从A到B的变换是线性变换，该变换对应的矩阵M=111-1.而对于线性变换，“我们在研究平面上的多边形或直线在矩阵对应的变换作用后形成的图形时，只需要考察顶（端）点的变化结果即可.”（苏教版教材选修42P21）

图2

平面区域A是图2中△OMN及其内部.由111-100=00，111-101=1-1，111-1

10=11，知三点O，M，N在矩阵M作用下变换得到的点分别为O′(0,0)，M′(1,-1),N′(1,1)，易得△O′M′N′的面积为1.

巩 固 练 习

1. 试从几何变换角度求解矩阵AB的逆矩阵：A=100-1,B=0-110.

2. 已知矩阵A=21-12,B=1-201

(1) 计算AB；

(2)若矩阵B对应的变换把直线l：x+y+2=0变为直线l′，求直线l′的方程.

3. 已知二阶矩阵M有特征值λ1=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(-2,4).

（1） 求矩阵M；

（2） 求矩阵M的另一个特征值λ2及它对应的特征向量e2的坐标之间的关系.

4. 在容器A中装有浓度为30%的溶液1升.在容器B中装有浓度为18%的同种溶液1升.现将A中溶液的15倒入B中，均匀混合后，再将B中部分溶液倒入A中，使A中溶液保持为1升，这叫做一次操作.要使A与B中溶液的浓度之差小于3%，问至少要操作多少次？（提示：构造两个数列，寻找它们之间的递推关系，再利用二阶矩阵的特征值与特征向量来求解.）

矩阵变换器的AV算法与仿真分析 篇3

目前，随着电力电子技术的迅速发展，矩阵变换器作为一种新型拓扑结构的环保型“绿色”变换器受到国内外学者的重视，已形成一个研究热点。矩阵变换器是一种基于双向开关并采用脉宽调制得到期望输出电压的电力变换装置。由于普通的三相-三相矩阵变压器自身结构的特点，它具有很多优于传统交流电力变换装置的特性：

1)输入、输出电流波形均为正弦波;

2)电能的直接双向流通，可以实现真正的四象限运行;

3)对于任何负载的功率因数都是1;

4)电路结构紧凑，体积小。

1980年M.Venturini和A.Alesina首次系统地给出了矩阵变换器低频特性的数学分析，并提出了一种矩阵变换器的调制算法，被称为Alesina-Venturini (AV) 方法[1,2]。本文在三相输入电压正弦且对称的条件下，从数学分析的角度对AV方法进行简单的原理描述和推导，并通过MATLAB仿真验证了算法的正确性。

二、矩阵变换器简介

矩阵变换器被定义为一种含有m×n个双向开关的单级电力变换器，它可以将输入侧m相电压源直接连接至n相负载。实用的三相-三相矩阵变换器包含9个双向开关Sij (i=A, B, C;j=a, b, c) ，每个双向开关都具有双向导通和双向关断的能力，其拓扑结构如图1所示。

三、矩阵变换器的AV算法

AV算法又称为“直接传递函数”方法，在这种方法中，将矩阵变换器视为一个3×3开关函数矩阵，变换器的输出电压由输入电压和开关函数矩阵相乘得到，输入电流由输出电流和开关函数矩阵的转置相乘而得到。通过计算矩阵中每个元素Sij的开关状态时间mij (i=1, 2, 3;j=1, 2, 3) ，实现对输出电压幅值、频率和输入电流的调制。输出电压Uo (t)与输入电压Ui (t)之间的传递函数可表示为

输入电流Ii (t)与输出电流Io (t)之间的传递函数关系可表示为

式中，上角标T表示转置;M (t) 为矩阵变换器输入侧至输出侧变量的开关传递函数矩阵。

由于矩阵变换器在工作过程中必须遵循两个基本原则，故用开关函数表示为

式中, 1表示三维矢量;各双向开关的占空比满足

不失一般性，给定初相为零的三相对称输入相电压方程以及产生的三相对称输出电流方程分别为:

式中, Uim表示输入相电压的幅值;为输入电压频率;Iom表示输出相电流的幅值;为输出电压频率;为输出电流相对输出电压的相位差。

希望得到的三相输出相电压和输入相电流为:

式中, Uom和Iim分别表示输出相电压和输入相电流的幅值;为输入电流相对输入电压的相位差。

由此可以求解得到一组解，即低频的开关函数矩阵M (t) 为

式中：

各变量满足。

四、仿真分析

在MATLAB7.0中建立基于AV算法的矩阵变换器的仿真电路, 如图2所示。包括两部分:功率部分和控制部分。功率部分选用标准三相正弦电压源, 相电压有效值为220V。在滤波电路中, 为尽量减小谐波, L、C应取一个较大值, 综合考虑电感取值为5mH, 电容为1uF。为了达到快速仿真的目的, 选用9个理想功率开关为双向开关。控制部分复合器Mux1的输入为给定常数, 其中phi为输入电流位移, q为电压增益, 为输入电压角频率, Step1为阶跃信号, 阶跃时刻为0.1s。复合器Mux2的输入为开关函数计算, 设置开关频率为8KHz。

控制算法采用Fcn模块来计算占空比，开关函数如式(9)所示。

仿真波形如图3、图4所示，输入相电压和相电流基本同相位，输出电压波形满足逆变效果，经负载后得到输出电流波形为正弦波，频率为20Hz，验证了本算法的正确性。

五、结束语

矩阵变换器是交-交变频装置中一种新型的电变换器，既具有优良的控制性能和优良的电流输品质，又具有成本低、结构紧凑、运行可靠等优点，很有研究的必要。本文以矩阵变换器为研究对象，详细阐述了AV算法的推导过程，并在此基础上进行了MATLAB仿真，验证了该算法的的正确性和有效性。

参考文献

[1]M Venturini, A Alesina.The Generalized Transformer:A New Bidirectional Sinusoidal Waveform Frequency Converter with Continuously Adjustable Input Power Factor[C].Proc.IEEE PESC, 1980:242～252.

[2]A Alesina, M Venturini.Solid-state power conversion:A Fourieranalysis approch to generalized transformer synthesis[J].IEEE Trans.Circuits Syst., 1981CAS-28 (4) :319-330.

[3]洪乃刚等编著.电力电子和电力拖动控制系统的MATLAB仿真[M].北京:机械工业出版社, 2006.

[4]陈伯时, 陆海慧.矩阵式交-交变换器及其控制[J].电力电子技术, 19991:8～11.

数学变换与矩阵 篇4

矩阵变换器输出频率不受输入频率限制, 没有直流环节, 输入和输出电流品质优良, 输入功率因数可调, 可实现能量双向流动, 符合现代电气传动的理想标准, 受到工业界极大关注。对矩阵变换器本身的研究已取得了长足的进展, 但对基于矩阵变换器的直接转矩控制的交流传动系统的研究很少见诸报导。文献[1] 提出了一种适用于矩阵变换器供电的异步电动机调速系统的组合控制策略, 同时实现了矩阵变换器的空间矢量调制和异步电动机的直接转矩控制。基于无速度传感器的矩阵变换器直接转矩控制系统方面的研究在国内外却还没见到相关的报导。

本文以定子磁链、转子磁链为状态变量, 构建直接将闭环观测得到的定子磁链应用于矩阵变换器直接转矩控制系统。根据上述思路, 在Matlab/Simulink环境下构建了仿真模型, 对矩阵变换器交流电机无速度传感器直接转矩系统进行仿真。

2 矩阵变换器控制策略

矩阵变换器是由连接在两个独立的三相系统之间的双向开关矩阵组成[2]。矩阵变换器的主回路包括9个双向开关Si, j (i=A, B, C;j=a, b, c) , 每个双向开关都具有双向导通和双向关断的能力, 可由两个IGBT器件和两个快速恢复二极管构成。三相—三相交流矩阵变换器的拓扑结构和双向开关的组成方式如图1所示。

三相—三相矩阵变换器在理论上可以等效为一个电压源整流器 (VSR) 和一个电压源逆变器 (VSI) 的虚拟连接, 如图2所示。根据这个等效电路模型, 传统的空间矢量PWM调制技术可以分别应用到VSR和VSI上。在整流部分使用空间矢量调制得到正弦输入电流和可调的输入功率因数;在逆变部分使用空间矢量调制得到幅值和频率可调的正弦输出电压, 然后将两者合二为一从而实现对矩阵变换器的调制[3,4]。电流波形为正弦;通过改变输入相位角φi可以方便地调节输入功率因数。

3 基于逆变器的直接转矩原理[5]

根据电机模型方程, 定子磁链矢量可以表示为

Ψs=∫ (Vs-isRs) dt (1)

式中:Ψs为定子磁链矢量;Vs为定子电压矢量;is为定子电流矢量;Rs为定子电阻。

如果时间间隔非常短, 并且忽略定子电阻压降的情况下, 式 (1) 可以改写为

ΔΨs=VsΔt (2)

由式 (2) 可以看出, 在一个极短的时间段里, 作用某一电压矢量后所产生的定子磁链矢量的改变量与该电压矢量具有相同的方向。

在静止的d-q坐标系中, 异步电机的电磁转矩方程

${\rm T}{}_{\text{e}}=\frac{3}{2}n{}_{\text{p}}(\Psi {}_{d\text{s}}i{}_{q\text{s}}-\Psi {}_{q\text{s}}i{}_{d\text{s}})[JX*5](3)[JX-*5]$

式中:np为电机的极对数;Ψds, Ψqs为Ψs在d轴和q轴的分量;ids, iqs为is在d轴和q轴的分量。

另一个有用的电磁转矩公式为

${\rm T}{}_{\text{e}}=\frac{3}{2}n{}_{\text{p}}\frac{L{}_{\text{m}}}{sL{}_{\text{s}}L{}_{\text{r}}}|\mathit{\Psi }{}_{\text{s}}||\mathit{\Psi }{}_{\text{r}}|\sin \theta (4)$

式中:Ls, Lr为定子和转子电感;Lm为互感;s为漏感系数;Ψr为转子磁链矢量;θ为转矩角 (定子磁链矢量和转子磁链矢量的夹角) 。

标准的三相电压源逆变器 (VSI) 的输出只有8个电压矢量, 其中6个为工作电压矢量 (V1～V6) 和2个为零电压矢量 (V0, V7) 。根据工作电压矢量的位置, 坐标平面分为6个扇区, 如图3所示。直接转矩控制过程中, 通过合理地选择这8个电压矢量, 可以使定子磁链和转子磁链的幅值基本保持恒定。同时, 根据式 (2) , 一个采样周期内应用电压矢量会引起定子磁链矢量的快速变化, 而转子磁链矢量变换缓慢, 可以视为保持不变。这样就导致转矩角的快速变化, 进而电磁转矩也产生相应的快速变化。

直接转矩控制中的转矩和磁链的控制采用滞环控制方式, 就是选择图3中的电压矢量来控制转矩和磁链在一定的容差范围内。本文采用圆形磁链模型, 转矩一般用三阶滞环控制, 磁链则采用二阶滞环;在每一个采样周期, 根据转矩和磁链的滞环比较器的输出信号和磁链所在的扇区去选择逆变器的开关组合。例如, 在图3中, 如果定子磁链Ψs位于第一扇区, 转速为逆时针时, 空间电压矢量V2和V6可以增大定子磁链幅值, 而V3和V5可以减小定子磁链幅值。V2和V3可以增大转矩, 而V5和V6可以迅速减小转矩。当V0和V7作用时, 定子磁链幅值保持不变, 同时转矩减小。磁链控制器和转矩控制器分别如图4a、图4b所示。可以得到表1的直接转矩控制开关组合表。

4 矩阵变换器与无速度传感器直接转矩控制融合研究

矩阵变换器不具有作为直流储能环节的大电感或大电容, 这一特点使得输入侧与输出侧之间可以相互直接影响。当输出侧负载发生变化引起输出电流波形变化时, 矩阵变换器的输入侧电能质量也很容易受到严重的影响。在矩阵变换器驱动交流电动机调速系统中, 变换器的输出侧电压电流关系到交流电动机的传动性能, 而输入侧电流关系到电网电能质量, 因此, 必须将矩阵变换器的调制和交流电动机的控制结合起来一并实现。

本文提出的组合控制策略可由一个结构如图5所示的组合控制器实现, 它能够同时进行矩阵变换器的空间矢量调制和基于交流电动机的定子磁场定向直接转矩控制。

采用双闭环控制方式, 内环由转矩和磁链滞环比较器构成。当电机的某一参数发生变化, 经过转矩和磁链比较器控制作用, 给出矩阵变换器的开关信号, 将电机转矩和磁链控制在容差范围内。外环是转速控制环, 由PI调节器构成, 使控制电机的转速跟随转速指令。

在一个PWM周期为TP时间内, 直接转矩控制所需要的某一电压矢量, 只能够由矩阵变换器的两种开关组合来进行矢量合成而得到, 这样可以减小转矩脉动和使输入电压跟随电网电源。例如, 空间电压矢量V1是由直接转矩控制所需要的电压矢量, 假设输入电压空间矢量位于①区, 那么所选择矩阵变换器的开关组合只能是+1和-3, 它们所导通的时间分别为

$\delta {}^{\mathrm{Ⅰ}}=\left|\frac{u{}_b}{u{}_a}\right|\times {\rm T}{}_{\text{p}}(5)$

$\delta {}^{\mathrm{Ⅱ}}=\left|\frac{u{}_c}{u{}_a}\right|\times {\rm T}{}_{\text{p}}(6)$

5 转速的自适应辨识[6]

模型参考自适应法 (MRAS) 辨识参数的主要思想是将不含有未知参数的方程作为参考模型, 而将含有待估计参数的方程作为可调模型, 两个模型具有相同物理意义的输出量。利用两个模型输出量的误差构成合适的自适应律来实时调节可调模型的参数 (转速) , 以实现估算转速的目的。

基于上述思想, 由交流电机模型可知转子磁场下的观测模型。转子磁链的电流模型[7]为

$\dot{\Psi }{}_{\text{r}\alpha }=-\frac{1}{\tau {}_{\text{r}}}\Psi {}_{\text{r}\alpha }-\omega {}_{\text{r}}\Psi {}_{\text{r}\beta }+\frac{L{}_{\text{m}}}{\tau {}_{\text{r}}}i{}_{\text{s}\alpha }(7)$

$\dot{\Psi }{}_{\text{r}\beta }=-\frac{1}{\tau {}_{\text{r}}}\Psi {}_{\text{r}\beta }+\omega {}_{\text{r}}\Psi {}_{\text{r}\alpha }+\frac{L{}_{\text{m}}}{\tau {}_{\text{r}}}i{}_{\text{s}\beta }(8)$

式中:τr为转子时间常数, τr=Lr/Rr。

据此构造参数可调的转子磁链估计模型为

$\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\alpha }=\frac{\frac{L{}_{\text{m}}}{\tau {}_{\text{r}}s+1}i{}_{\text{s}\alpha }-\frac{\tau {}_{\text{r}}L{}_{\text{m}}}{(\tau {}_{\text{r}}s+1){}^2}i{}_{\text{s}\beta }\widehat{\omega }{}_{\text{r}}}{1+\left(\frac{\widehat{\omega }{}_{\text{r}}\tau {}_{\text{r}}}{\tau {}_{\text{r}}s+1}\right){}^2}(9)$

$\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\beta }=\frac{\frac{L{}_{\text{m}}}{\tau {}_{\text{r}}s+1}i{}_{\text{s}\beta }+\frac{\tau {}_{\text{r}}L{}_{\text{m}}}{(\tau {}_{\text{r}}s+1){}^2}i{}_{\text{s}\alpha }\widehat{\omega }{}_{\text{r}}}{1+\left(\frac{\widehat{\omega }{}_{\text{r}}\tau {}_{\text{r}}}{\tau {}_{\text{r}}s+1}\right){}^2}(10)$

转子磁链的电压模型为

$\Psi {}_{\text{r}\alpha }=\frac{L{}_{\text{r}}}{L{}_{\text{m}}}\left[{\displaystyle \int (}u{}_{\text{s}\alpha }-R{}_{\text{s}}i{}_{\text{s}\alpha })\text{d}t-\sigma L{}_{\text{s}}i{}_{\text{s}\alpha }\right](11)$

$\Psi {}_{\text{r}\beta }=\frac{L{}_{\text{r}}}{L{}_{\text{m}}}\left[{\displaystyle \int (}u{}_{\text{s}\beta }-R{}_{\text{s}}i{}_{\text{s}\beta })\text{d}t-\sigma L{}_{\text{s}}i{}_{\text{s}\beta }\right](12)$

其中 s=1-L2m/ (LsLr)

在一个采样周期内, 转速ωr的变化可以忽略不计, 即认为转速不变。以式 (7) 、式 (8) 为辨识系统的参数模型, 用速度辨识值$\widehat{\omega }{}_{\text{r}}$代替式 (7) 、式 (8) 中的ωr, 设计速度辨识系统的可调模型为:用式 (11) 减去式 (9) , 式 (12) 减去式 (10) 可得到辨识系统的误差方程为 (误差变量)

$e{}_{\alpha }=\Psi {}_{\text{s}\alpha }-\widehat{\Psi }{}_{\text{s}\alpha }(13)$

$e{}_{\beta }=\Psi {}_{\text{s}\beta }-\widehat{\Psi }{}_{\text{s}\beta }(14)$

根据该偏差利用波波夫超稳定性理论得到自适应律, 从而准确地对转速进行辨识。该方案的自适应速度观测器如图6所示。

通常, 电机模型是线性时变系统, 转速ωr是变量。然而当转速ωr的变化速度远远低于电量的变化速度时, 可以认为是常数。此外, 电机的定子电阻Rs和转子电阻Rr随温度缓慢变化, 也可以看作常数。据此, 依据波波夫超稳定理论推导出转速ωr的自适应收敛律, 并使系统保持稳定状态。将误差方程记为

$e=\mathit{\Psi }{}_{\text{r}}-\widehat{\mathit{\Psi }}{}_{\text{r}}(15)$

其变化率为

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}e=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\mathit{\Psi }{}_{\text{r}}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\widehat{\mathit{\Psi }}{}_{\text{r}}(16)$

系统误差结构可以表示为图6的形式。转速的辨识为

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}\widehat{\omega }{}_{\text{r}}}{\text{d}t}=\lambda (\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\alpha }\Psi {}_{\text{r}\beta }-\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\beta }\Psi {}_{\text{r}\alpha })\\ =\lambda (\widehat{\mathit{\Psi }}{}_{\text{r}}\otimes \mathit{\Psi }{}_{\text{r}})(17)\end{array}$

式中:“⨂”表示矢量积。为了满足动态性能的要求, 积分形式的转速自适应式 (17) 可以改用式 (18) 所示的比例微分形式的自适应率。

$\widehat{\omega }{}_{\text{r}}={\rm K}{}_{\text{p}}(\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\alpha }\Psi {}_{\text{r}\beta }-\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\beta }\Psi {}_{\text{r}\alpha })+$

KI∫$(\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\alpha }\Psi {}_{\text{r}\beta }-\widehat{\Psi }{}_{\text{r}\beta }\Psi {}_{\text{r}\alpha })\text{d}t(18)$

为了削弱电压模型中纯积分器的影响, 引入输出滤波环节, 来改善估计性能, 但同时带来了磁链估计的相移偏差, 为了平衡这一偏差, 同样在参考模型中引入相同的滤波环节, 算法如图7所示。

6 仿真试验及其结果分析

为验证基于矩阵变换器的无速度传感器交流电机直接转矩控制系统的性能, 本文使用Matlab/Simulink进行数字仿真。系统参数为:鼠笼式异步电动机P=30 kW, Rs=0.435 Ω, Rr=0.816 Ω, Ls=0.02 H, Lr=0.02 H, Lm=0.69 H, 电机极对数p=2, 负载转矩Tg=20 N·m, 磁链Ψ=0.56 Wb, PI调节器输出为50 N·m。电机启动时以PI调节器输出极限转矩启动。

图8为速度辨识和速度测量比较, 其中图8a为指令转速, 图8b、图8c分别为电机的辨识转速和计算转速 (在模型中用测量模块测量得到的转速;电机转速指令:600 r/min→800 r/min→300 r/min) 。可以看出采用速度辨识方法, 动态响应快, 稳定精度较高;指令转速突变时辨识转速反应迅速, 超调量小;在较低转速 (300 r/min) 时仍能保持较高的性能。

图9为负载转矩和给定转矩变化时的转矩动态响应, 其中图9a为负载指令转矩, 图9b为负载转矩变化时电磁转矩仿真波形, 图9c为转速指令按图8a变化时电磁转矩仿真波形。可以看出电磁转矩动态响应良好。

图10为输入电压、输入电流和定子电压以及磁链的仿真波形。其中图10a为输入电压与输入电流 (滤波放大20倍后) 的波形, 此时负载转矩为正, 电网向电动机提供能量, 矩阵变换器的输入功率因数为1, 电压与电流同相位, 且启动迅速;当负载转矩在图10所示第0.06 s时变为负, 电机工作在发电状态, 矩阵变换器的输入功率因数为-1。在负载变化过程中, 定子电流能够快速稳定, 且畸变小。电机在两种工作状态下, 矩阵变换器输入电流可双向流动。图10b为定子电压仿真波形, 当负载转矩在图10所示第0.06 s时变负, 电机工作在发电状态。图10c为系统负载转矩变化时电磁磁链动态仿真波形图。

7 结论

提出了基于矩阵变换器无速度传感器交流电机直接转矩控制系统。在阐述矩阵变换器和无速度传感器直接转矩控制方法的基础上, 重点讨论了三者的融合技术和转速的辨识方法。

仿真实验证明这种转速辨识的动态响应好, 以及输入功率因数可调节的特性, 这些优点有利于提高直接转矩系统的控制精度和改善电网质量。

摘要：提出一种基于矩阵变换器供电的交流电动机无速度传感器直接转矩控制系统和控制方法, 以降低谐波污染, 提高控制精度。在阐述矩阵变换器和无速度传感器直接转矩控制方法的基础上, 重点讨论了二者的融合技术和转速的模型参考自适应参数辨识法。仿真结果表明参数辨识的精度高于测量模块的测量精度, 动态响应好。同时能发挥矩阵变换器和直接转矩控制的优势, 成为一种高性能的交流调速系统。

关键词：交流电动机,矩阵式变换器,无速度传感器,直接转矩控制

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