平面平行

平面平行（精选八篇）

平面平行 篇1

教学重点难点

教学重点在于判定定理的引入与理解, 难点在于判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

教学过程设计

一、知识准备, 新课引入

提问1:根据公共点的情况, 空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表:

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外, 用符号表示为a

二、判定定理的探求过程

1.直观感知。提问:根据日常生活的观察, 同学们能感知到直线与平面平行的具体事例吗?

生1:例举日光灯与天花板, 树立的电线杆与墙面。

生2:门转动到离开门框的任何位置时, 门的边缘线始终与门框所在的平面平行 (由学生到教室门前作演示) , 然后教师用多媒体动画演示。

2.动手实践。取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动, 观察另一边与桌面位置给人的平行感觉, 把直角腰放在桌面并转动时, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行。

3.探究思考。 (1) 上述演示的直线与平面位置关系为何如此不同?其关键因素是什么?通过观察, 感知发现直线与平面平行的三个要素: (1) 平面外一条线 (2) 平面内一条直线 (3) 该两直线平行。 (2) 如果平面外的直线a与平面内的直线b平行, 那么直线a与平面平行吗?

4.归纳确认。直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线和这个平面平行。

简单概括: (内外) 线线平行线面平行

符号表示:略

三、定理运用, 问题探究

1.想一想: (1) 判断下列命题的真假?说明理由: (1) 如果一条直线不在平面内, 则该直线就与平面平行 () 。 (2) 过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行 () 。 (3) 一直线上有二个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行 () 。 (2) 若直线a与平面b内无数条直线平行, 则a与b的位置关系是 ()

A.a||b B.a⊥b C.a||b或a⊥b D.无法确定

2.做一做:

设a、b是二异面直线, 则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面, 不存在则说明理由?

先由学生讨论交流, 教师提问, 然后教师总结, 并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程, 最后借多媒体展示作图的动画过程。

3.证一证:

例:如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是棱BC与C1D1中点, 求证:EF||平面BDD1B1

图:略。

分析:根据判定定理, 必须在平面BDD1B1内找 (作) 一条线与EF平行, 联想到中点问题找中点解决的方法, 可以取BD或B1D1中点而证之。

思路一:取BD中点G连D1G、EG, 可证D1GEF为平行四边形。

思路二:取D1B1中点H连HB、HF, 可证HFEB为平行四边形。

4.练一练:

练习1:见课本6页练习1、2

变式:若将练习2中M、N改为AC、BF分点且AM=FN, 试问结论仍成立吗?试证之。

四、总结

先由学生口头总结, 然后教师归纳总结 (由多媒体幻灯片展示) :

1.线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行, 则该直线与这个平面平行。

2.定理的符号表示:简述: (内外) 线线平行则线面平行

3.定理运用的关键是找 (作) 面内的线与面外的线平行, 途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

教学思考

本课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程, 注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动, 从多角度认识直线和平面平行的判定方法, 让学生通过自主探索、合作交流, 进一步认识和掌握空间图形的性质, 积累数学活动的经验, 发展合情推理、发展空间观念与推理能力。同时注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言的互译。比如课前的复习, 让学生用三种语言的表达, 动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达, 对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

平面平行 篇2

一、直线与平面平行的判定

判定定理：__________________________________

判定直线与平面平行的条件有三个分别是

(1)___________________________

(2)___________________________

(3)___________________________

符号语言:________________

思想:

（一）．课前预习

1、直线与平面有哪几种位置关系？

2、判断两条直线平行有几种方法？

3.门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与门框所在平面具有什么样的位置关系？课本的对边是平行的，将课本的一边紧贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

（二）新课探究a 例1.1:如图．直线a与直线b共面吗？

2．直线a与平面 相交吗？

练习1：判断对错

(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；

(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；

(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。

（4）直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．

（5）直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α．

（6）直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b．

2.已知直线a,b和平面α，下列命题正确的是（）

A.若a//α,bÌα则a//bB.若a//α,b//α则a//b

C.若a//b,bÌα则a//αD.若a//b,bÌα则a//α或bÌα

3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中：

(1)与直线AB平行的平面是：(2)与直线A A1平行的平面是：

(3)与直线AD平行的平面是：__________

A

1例2如图, 已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点, 求证: EF//平面BCD.D

A

练习1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点，求证:MN∥平面

AAC11CN B

1C1

2.已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别

是AC、BF上的点且AM=FN 求证：MN//平面BCE

F

C D

E

B

3..一个长方体木块如图所示, 要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开, 应怎样画线 ?

1A

二、平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定定理：_________________________________________ 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备两个条件:（1）______________________，（2）______________________。符号表示：________________________________ 思想：_________________________________

（一）课前预习

（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？

（二）新课探究

例1(1)、如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

(2)、如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(3)、如果一个平面内任意一条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()

练习1.(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；(2)若平面α内的有无数条直线与平面β平行，则α与β平行；（3）平行于同一条直线的两个平面平行；(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。

其中正确的有_______________

2.直线a∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a平行的（）

（A）至少有一条（B）至多有一条（C）有且只有一条（D）不可能有

3.已知三条互相平行的直线a,b,c中，a,b,c，则两个平面,的位置关系是.4.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是

例

2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证：平面AB1D1//平面C1BD。

练习1:如图，设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D

1的中点，求证：平面ED1//平面BF1

2.如图为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG//平面ACD；（2）求SMNG:SADC

D H C

A

A

3.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并给出证明。

《直线与平面平行的判定》教学案例 篇3

【关键词】高中数学 引导探究 抽象概括 培养能力

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0231-02

一、教学内容分析

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中學习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（一）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。

（2）如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行线面平行

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题。

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（ ）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（ ）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（ ）

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF || 平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。

变式二：在变式一的图中如作PQ EF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。

[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2、定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

巧用“射影”证明直线和平面平行 篇4

一、点射影

例1如图1所示,直线a是平面α外的一条直线,点O是不在直线a上且不在平面α内的任意一点,在直线a上取不同两点A、B,若OA、OB与平面α分别相交于点A1、B1,则直线A1B1叫做直线a关于点O在平面α内的射影,简称为点射影 。

二、方向射影

例2如图2所示,直线a是平面α外的一条直线,直线m是与平面α相交的任意直线,在直线a上取不同两点A、B,过点A、B分别作AA2、BB2平行于直线m交平面α于点A2、B2,则直线A2B2叫做直线a关于直线m在平面α内的射影,简称为方向射影。

三、应用举例

例3 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是棱B1C1、A1A上的点,且A1F∶A1A=B1E∶B1C1。求证:A1E//平面B1FC

分析一:如图3所示,取点B,连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ,则PQ是A1E关于点B在平面B1FC上的射影(点射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平面内平行线分线段成比例定理的逆定理证:A1E//PQ。

证法一:连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ。

∵B1C1//BC,B1C1=BC

∴B1E∶B1C1= B1E∶BC=EQ∶QB

∵AA1//BB1,AA1=BB1

∴A1F∶A1A= A1F∶BB1=A1P∶PB

∵A1F∶A1A=B1E∶B1C1

∴EQ∶QB= A1P∶PB

∴A1E//PQ

又∵A1E 平面B1FC ,PQ 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

分析二:如图4所示,取CC1为方向,过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM,则FM是A1E关于直线CC1在平面B1FC上的射影(方向射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平行四边形的判定和性质证:A1E//FM。

证法二:过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM。

∵CC1//AA1 ∴A1F//EM

∴B1E:B1C1=EM:C1C

∵A1F:A1A=B1E:B1C1

∴A1F:A1A = EM:C1C

∵A1A=C1C

∴A1F=EM

∴四边形A1FME是平行四边形

∴A1E//FM

又∵A1E 平面B1FC ,FM 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

证明两个平面平行 篇5

(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

(3)根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2.两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面

与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3.两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

1.两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：

(1)平行—没有公共点;

(2)相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。

2.两个平面平行的判定定理表述为：

4.两个平面平行具有如下性质：

(1)两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

(3)如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等

用反证法

A平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为p

B平面垂直与一条直线，设平面和直线的交点为Q

假设A和B不平行，那么一定有交点。

设有交点R，那么

做三角形pQR

pR垂直pQQR垂直pQ

没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180

“直线与平面平行的判定”教学设计 篇6

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段,借助实物模型,通过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行的判定定理,将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中,揭示直线与平面平行的判定,养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式,课堂上一定要注意各项环节,确保课堂的气氛进度,保证学生上课的激情,有一个良好的学习效果.

【教学过程】

一、知识准备,新课引入

提问1:根据公共点的情况,空间中直线a和平面α有哪几种位置关系?

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为aα.

提问2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗? 谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径.

二、判定定理的探究过程

1. 直 观感知. 提 问 :根据同学们日常生活的观察 ,你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

生1:列举日光灯与天花板、竖立的电线杆与墙面.

生2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前做演示),然后教师用多媒体动画演示.

2. 动手实践. 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰放在桌面上并转动, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行. 又如老师直立讲台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙 面平行,如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行,如老师向左、右倾斜,则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上做上述情形的演示).

3. 探究思考:

(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同 ?关键是什么因素起了作用呢? 通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:1平面外一条直线;2平面内一条直线;3这两条直线平行.

(2) 如果平面外的直线a与平面α内 的一条直线b平行,那么直线a与平面α平行吗?

4. 归纳确认:(多媒体幻灯片演示)

直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线和这个平面平行.

简单概括……

三、定理运用,问题探究

1. 想一想:

(1)判断下列命题的真假? 说明理由:

1 如果一条直线不在平面内, 则这条直线就与平面平行.( )

2 过 直 线 外 一 点 可 以 作 无 数 个 平 面 与 这 条 直 线 平行.()

3 一直线上有两个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行.()

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行 , 则a与α的位置关系是 ().

A. a∥αB. aαC. a∥α或aαD. aα

2. 作一作:设a、b是二异面直线,则过a,b外一点P且与a、b都平行的平面存在吗? 若存在,请画出平面;不存在,说明理由.

先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程.

3. 证一证:

例题:已知空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF∥平面BCD.

变式一:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点 ,连接EF,FG,GH,HE,AC,BD,请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况. (共6组线面平行)

变式二:在变式一的图中如作PQ∥EF,使P点在线段AE上,Q点在线段FC上,连接PH,QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系. (在变式一的基础上增加了4组线面平行)并判断四边形EFGH,PQGH分别是怎样的四边形,说明理由.

4. 练一练:

练习1:见课本6页练习1,2.

练习2:将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起,设M,N分别为AC,BF中点,求证:MN∥平面BCE.

变式:若将练习2中M,N改为AC,BF分点且AM = FN,试问结论仍成立吗? 试证之.

四、总结

先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示):

1. 线面平行的判 定定理 :平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与这个平面平行.

2. 定理的符号表示:

简述:(内外)线线平行则线面平行.

3. 定理运用的关键是找 (作 )面内的线与面外的线平行 ,途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等.

【教学反思】

1. 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言进行互译. 比如上课开始时的复习引入,让学生用三种语言进行表达,动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达.

2. 本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证 、练一练等环节,能从易到难、由浅入深地强化对定理的认识,特别是对“证一证”中采用一题多解、一题多变的变式教学,有利于培养学生思维的广阔性与深刻性.

直线与平面平行的几种证明方法 篇7

构造一个平行四边形,该平行四边形的一组对边中,有一条在平面内,另一条是平面外的直线.

【例1】如图1,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有点E、F,且B1E=C1F,求证:EF∥平面AB-CD.

分析:解决问题的关键是在所证平面内画出与已知直线平行的直线.可通过构造平行四边形,利用平行四边形的对边平行来作平行线.

证明:如图2,过E、F分别作EM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M、N,连结MN.因为B1E=C1F,所以AE=BF.所以四边形EM-NF为平行四边形,所以有EF∥MN,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.

二、相似三角形法

构造具有一个公共顶点,且过该顶点的两边分别共线的两个相似三角形,这两个相似三角形的一对平行线中,有一条是平面内的直线,另一条是平面外的直线.

【例2】如图3,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的点,且AP=DQ,求证:PQ∥平面CBE.

分析:由图形可知,直线PQ在平面CBE外,因此要证明PQ∥平面CBE,只须在平面CBE内找一条直线,使得PQ平行于这条直线.选择点A作为两个相似三角形的公共顶点,且过该顶点的两边分别共线,构造两个相似的三角形,利用两相似三角形另一组对边平行来作平行线.

证明:如图4,连结AQ交BC于G,连结EG,因为AD∥BG,所以,则.又AP=DQ,AE=BD,则BQ=PE,所以,所以,所以PQ∥EG.又PQ平面CBE,EG平面CBE,所以PQ∥平面CBE.

三、面面平行法

过所证的直线作一个平面,使这个平面与所证平面平行.

【例3】如图5,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,AC⊥BC,AC=BC=BB1.求证:BC1∥平面A1CD.

分析:可考虑过BC1作一个平面,使这个平面与平面A1CD平行,再利用面面平行的性质定理来证明本题.

证明:取A1B1的中点G,连结DG、BG、C1G,如图6,由DB∥A1G,且DB=A1G,得四边形DA1GB是平行四边形,则DA1∥BG.又BG平面A1CD,DA1平面A1CD,所以BG∥平面A1CD.由DG∥CC1,DG=CC1,则四边形DGC1C为平行四边形,则DC∥GC1,又C1G平面A1CD,DC平面A1CD,所以C1G∥平面A1CD.又BG与C1G交于点G,所以平面BGC1∥平面A1CD.又BC1平面BC1G,所以BC1∥平面A1CD.

四、空间向量法

此法主要介绍给使用B版教材的同学,下面以例3为例说明.

分析:建立适当的坐标系(如图7),设法求出向量BC1和平面A1CD的法向量的坐标,若向量BC1与法向量垂直,则直线BC1与平面A1CD垂直.

平面平行 篇8

笔者通过人教A版必修2《直线与平面平行的性质》的课堂教学中的实践与反思谈谈探究性课堂教学.

1.“探究性学习是一种探索活动”[2], 是一种发现规律的活动

通过“空间点、直线、平面之间的位置关系”“直线与平面平行的判定”的学习, 学生已经初步形成了一定的空间思维与想象能力, 已经初步具备了一定的逻辑思维和推理论证能力.学生通过学具长方体模型“直观感知—操作确认—归纳结论”这一流程来认识空间直线与平面的位置关系.

问题1 空间的两条直线有哪几种位置关系?若直线a//平面α, 直线b⊂α, 请你利用学具长方体模型探索直线a与直线b的位置关系.

课堂教学片段1 ……学生A: (利用学具说明) 直线a与直线b可能平行, 也可能是异面直线.

问题是数学的“心脏”, 是数学知识、能力发展的生长点及思维的动力, 应把问题作为教学的出发点和归宿.创设有探究性的问题情境, 构造问题悬念, 激发学生学数学、用数学的兴趣, 自然导入课题, 为学习新知识创造一个最佳的心理和认知环境.在学生直观认识的基础上, 及时提出具有挑战性的新问题, 能激发学生积极参与问题的探究.

问题2 若直线b与直线a平行, 这样的直线b有几条?你能找出符合条件的直线b吗?【教学积件演示】

通过学生学具模型演示和积件的演示, 这种直观形象, 能够降低学生认识空间位置关系的难度, 进一步培养学生的空间想象与思维能力.积极引导学生学会观察, 分析问题、探究问题, 自主归纳总结得出规律与结论.

2.“探究性学习是一种建构活动, 是一种形成性活动”[2]

新课程标准中对学生空间位置关系的认知要求:“直观感知—操作确认—归纳结论—思辩论证—总结应用.”

问题3 请你归纳我们的探究成果, 并证明我们发现的结论?【投影展示学生成果】

通过教师 (主导) 创造一个个教学情境, 激发学生 (主体) 进行层层探究, 层层引导学生发现问题、提出问题、解决问题;归纳自己发现的结论, 证明自己发现的结论.这一切的学习活动都是由学生自己的探究与思考获得, 不仅仅是让学生获取了新知识, 更重要的是让学生有了一个探究知识的来源和发生的过程.这比掌握这些知识的本身更加有意义.

引导学生概括形成知识网络:

$\begin{array}{l}a//\alpha \\ a\subset \beta \\ \alpha {\displaystyle \cap \beta }=b\end{array}\}\Rightarrow a//b\begin{array}{l}a\not\subset \alpha \\ b\subset \alpha \\ \alpha //b\end{array}\}\Rightarrow a//\alpha$

“线面平行, 则线线平行”, “线线平行, 则线面平行”.

经过学生自己的探索、猜测、发现、推理、证明 (包括非逻辑形式) , 获得的新概念、新公式和新定理等新认知, 就会与学生原有的认知产生冲突, 会受到旧知识的负迁移, 甚至产生混淆.这就必须进行新、旧知识的重新整和, 重新建构.这一过程也必须由学生自己去完成, “教师的作用就是抽出学生中那些易于学生学习新概念的观念, 使这些观念成为学生学习新概念的组织者”.[4]以上是对定理的重新概括与构建.“数学的世界是符号化的世界.”[5]用简洁的数学符号语言让学生方便记忆, 把刚学习的性质定理和判定定理进行对比, 使学生脑子中知识体系进行了重新的组合, 在应用时提取更快捷.更重要的让学生清楚“定义—判定—性质—应用”这样一种知识呈现体系, 从而学会对“定理型课”的学习.[1]

3.探究性学习是一种知识的再创造 (应用) 活动, 是交流探究思维过程的活动

例题1 在图中所示的一块木料中, 棱BC//于面A′C′.

要经过面A′C′内的一点P和棱BC, 将木料锯开, 请你探索应怎样画线?

【FLASH积件演示】

好的探究动机 (机会) 往往连接着面的体验、内在的动机以及有效的学习.及时让学生应用刚刚获得的新知, 这是学生继续探究学习的最佳动机.[2]通过FLASH积件的动态演示锯木头的过程, 声形并茂, 使课堂教学再一次进入高潮, 很好的突破了难点, 让学生更好的理解了知识.

例题2 已知直线l//平面α, 直线m//l, 则m与α的位置关系如何?请你说明理由. (学生独立探究与思考, 推理证明)

课堂教学的片段2 ……平时挺爱发言的学生H兴冲冲的回答:“平行!”

证明过程如下:【投影展示学生H的证明过程】

在平面α内作一条直线n//l,

∵m//l,

∴m//n,

∴m//平面α.

学生I:“直线m还可能在平面内!”

教师:“好!H和I的结论正确吗?”

【全班学生陷入沉思, 并进行再探究, 小组讨论.】

课堂气氛在这里达到了新的高潮.有的同学认为H和I的结论并起来就正确了, 但I没有给出证明;有的认为H的证明太简单, 似乎跟没证明一样, 但又说不上该怎样证明.有的学习小组经过激烈的讨论后形成一致的意见:“H同学只是两种情况没有考虑到, 证明是完全正确的.” (全班45名学生中有29名同学认为正确) 他们认为:

因为直线l//平面α,

根据线面平行的性质:线面平行, 则线线平行.

在平面α内一定能作一条直线n//l,

而m//l, 故有m//n.

根据线面平行的判定定理:线线平行, 则线面平行.

所以, m//平面α.

教师:“很好!同学们对线面平行的判定与性质定理认识非常清晰.”

4.“探究性学习是一种反思活动”, [2]是一种思维的批判活动

课堂教学的片段3 ……这时学生J发言:“他们的证法与H的没多大区别, 可能都是不合理的.”

教师:“那怎么证呢?”

学生K:“应改为过直线添一个辅助平面.即过直线l作平面β与平面α交于直线n.”

因为直线l//平面α,

根据线面平行的性质定理:n//l,

又因为m//l, 所以有m//n且m⊄α,

由线面平行的判定定理:m//平面α.

教师:“真不错!”

有部分同学议论:“三种证明不是差不多吗?”

学生K:“他们添的辅助线太特殊了, 既要在平面内, 又要与直线平行, 满足了多个条件, 事实上已经承认结论了.”

教师:“你真棒!”

师生一同整理解题思路:“线面平行, 过直线作截面, 得交线, 线线平行.”……

例题的探究教学, 再次让学生进入了问题探究的高潮, 进一步激发了学生的学习热情.学生对解决空间数学问题过程中添辅助线的随意和想当然, 这是由于学生的空间想象能力与逻辑思维能力未和谐一致.设计了这样一个会让学生容易产生错误的探究性问题, 是为了让学生通过自己探究, 从而培养空间想象能力与逻辑思维能力.虽然大部分学生的探究的结果是错误的, 但他们通过自己的亲身体验, 把错误深深的烙在脑海里, 而且及时的巩固了线面平行的判定与性质定理, 初步学会了线面平行的判定与性质定理的简单应用.

研究人员认为:“学生如果能积极参与教学活动, 其学习效果就好.”教学实践表明, 通过教师的精心设计和巧妙引导, 学生自己的积极的思考、探索, 可以使学生弄清问题的本质, 解决学生自己认识上的矛盾, 消除认知冲突, 从而使学生尽可能避免了对解决空间数学问题过程中添辅助线的想当然和随意性, 提高了学生的空间想象能力与逻辑思维能力, 并使之协调一致.课后的相关问题检测结果表明:学生整体对该类问题求解的能力和准确率比以往几届的学生高的多.

以问题探究为出发点和归宿, 营造平等、相互接纳的和谐气氛, 并在探索过程中大胆放手让学生自己探究, 学生可“直观感知—操作确认—归纳结论—思辩论证—总结应用”.教学实践证明, 这是一堂以学生的自主探究和相互交流为主的课堂教学模式的有益尝试.学生学习的主动性和积极性得到充分的发挥, 营造民主、宽松的氛围, 保证学生充分的思考时间, 提供适宜的空间, 让学生自主学习、主动发展.“增强学生探究的好奇心, 加深对数学知识的理解, 培养学生乐于钻研、勤于思考的习惯, 激发出学生潜在的创造力, 让学生在不断探索与创造的氛围中发展分析与解决问题的能力, 体会数学的价值.”[9]这些是成功之处, 但在指导学生如何提出问题, 怎样指导学生进行探究, 学生探究之后教师怎么办, 问题探究的容量应怎样把握, 如何确立探究过程中教师与学生的地位等方面仍值得商榷.

摘要：《高中数学课程标准》着重强调了“探究性学习”, 在课堂教学中进行教学实践和探索, 以问题探究性教学为出发点和归宿.探究性学习是一种探索活动;探究性学习是一种建构活动, 是一种形成性活动;探究性学习是一种知识的再创造活动;探究性学习是一种反思活动.增强学生探究的好奇心, 激发出学生潜在的创造力, 让学生在不断探索与创造的氛围中增强分析与解决问题的能力, 体会数学的价值.

关键词：探究性学习,教学实践,教学反思

参考文献

[1][6]朱水根.中学数学教学导论.北京:教育科学出版社, 2001.

[2][3][7][8]徐斌艳.数学课程与教学论.杭州:浙江教育出版社, 2003:17.

[4][美]贝尔.中学数学的教与学.许振声, 等译.北京:教育科学出版社, 1990:153.

[5]刘云章.试论数学符号的思维功能.数学教育学报, 1992 (1) :77.