用向量证明平行垂直

用向量证明平行垂直（精选11篇）

篇1：用向量证明平行垂直

2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

例2．（线线垂直）

如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝，M是例5．（面面平行）

如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.例3．（线面平行）

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.例4．（线面垂直）

在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.第三页

面AMN∥平面EFDB.例6。（面面垂直）

如图，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，且SAAB平面ABCD.第四页E是SC中点.求证：

平面BDEy，2012-2013学第一学期数学理科一轮复习导学案编号：9-5班级：姓名：学习小组：组内评价：教师评价：

8．平面α的一个法向量为v1＝(1,2,1)，平面β的一个法向量v2＝－(2,4,2)，则平面α与平面β()A．平行

B．垂直C．相交

D．不能确定

9．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A．面AED∥面A1FD1B．面AED⊥面A1FD1 C．面AED与面A1FD相交但不垂直D．以上都不对

10．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为

11，2，2，则m＝________.11．如右上图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．

9.如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.第三页

10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、DD1、DC的中点，求证：(1)平面ADE∥平面B1C1F；(2)平面ADE⊥平面A1D1G；

(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.11.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,cos〈DP,AE〉=33

.(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标；(2)在平面PAD内求一点F,使EF

⊥平面

PCB

.第四页

篇2：用向量证明平行垂直

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

篇3：平行垂直问题的空间向量证明方法

一、平行类问题

1. 直线平行于直线

可证两条直线的方向向量平行.

例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是BC、CC1的中点, M、N分别是AB、C1D1的中点, 求证MN∥EF.

证明:如图1, 分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz, 设正方体棱长为则0) , F (0, 2, 1) .由此有

2. 直线平行于平面

对于平面外的一条直线,

(1) 可证直线的方向向量平行于平面内的一个向量.

(2) 可证直线的方向向量可用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(3) 可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.

例2如图2, 三个正方形ABCD、ADEF、CDEG, P在DF上, Q在AC上, 且DP=DF, CQ=CA, 求证PQ∥面CDEG.

证明:以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系D—xyz, 设各正方形边长为1, 则P

方法1:显然= (1, 0, 0) 是平面CDEG的一个法向量.而在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEF.

方法2:在平面CDEF内取两个不共线的向量DC= (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) .

因此, PQ∥面CDEF.

方法3:取DE中点M (0, 0, ) , 知

则在平面CDEG内, 在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEG.

点评:本例用到了证明直线与平面平行的三种方法.其中方法2用的是待定系数法;方法3中取DE中点M是关键, 这需要一定的观察探索能力.

3. 平面平行于平面

(1) 可证一个平面内有两个不共面的向量都平行于另一个平面.

(2) 可证两个平面的法向量共线.

例3正方体ABCD—A1B1C1D1中, M、N、P、Q是相应各棱的中点, 求证面ACNM∥面BPQ.

证明:建立如图3的空间直角坐标系.

设正方体棱长为2, 则A (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , M (1, 0, 2) , B (2, 2, 0) , P (2, 1, 2) , Q (1, 2, 2) .则有

方法2:设平面ACNM的法向量是n= (x, y, z) , 则由n⊥

取z=1, 则n= (2, 2, 1) .

同样可求得平面BPQ的一个法向量是m= (1, 1, ) .

由n=2m, 知n∥m,

所以面ACNM∥面BPQ.

二、垂直类问题

1. 线与线垂直

可证两条直线的方向向量互相垂直.

例4已知正三棱锥P—ABC, 求证AB⊥PC.

由正三棱锥知PA=PC=PB,

所以AB⊥PC.

评注:本例是利用基向量法进行运算.本例也可以用坐标向量法进行运算, 但建系、设坐标都较麻烦.因此, 应会根据题目的情况, 选择恰当的向量方法进行求解.

2. 线与面垂直

(1) 可证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.

(2) 可证直线的方向向量与平面的法向量平行.

例5在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底边长是, 高是1, M是AB中点, 求证AB1⊥面MCA1.

证明:如图4, 取AB中点M, 建立空间直角坐标系M—xyz, 知

所以B1A⊥面MCA1.

3. 面与面垂直

(1) 可证某平面内的一个向量是另一个平面的法向量.

(2) 可证两个平面的法向量互相垂直.

例6正方体ABCD—A1B1C1D1中, M是CC1的中点, 求证面A1BD⊥面MBD.

证明:如图5, 建立坐标系D—xyz.

设平面A1BD的法向量为n= (x, y, z) , 则

取x=1, 得n= (1, -1, -1) .

又设平面MBD的法向量为m= (p, q, r) , 则

取q=1, 得m= (-1, 1, -2) .

知n⊥m, 所以面A1BD⊥面MBD.

评注:本例也可以取BD中点O, 证明是平面MBD的法向量.

篇4：《用向量讨论垂直与平行》说课稿

【关键词】 教材分析 学情分析 教法学法 教学过程 教学反思

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2016）08-087-01

一、教材分析

1.在教材中的地位与作用。本章内容《空间向量与立体几何》是在学习了立体几何的基本理论（必修2）和空间向量知识（必修4）的基础上提出的，本章的前三节为本节的学习和研究奠定了基础。本节主要是利用向量工具研究空间中的线线、线面、面面的位置关系，是本章的核心内容。

2.教学目标分析。根据《新课程标准》的理念，基于对教材的理解和分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下三维教学目标：（1）知识与技能目标。能用向量语言表述空间中线线、线面、面面的垂直与平行的位置关系；掌握平面的法向量的求法。（2）过程与方法目标。结合已有的立体几何知识，运用向量方法，解决立体几何中垂直与平行的问题。（3）情感态度与价值观目标。体验科学探索的曲折过程，感受在探索问题的过程中的挫折感和成就感，培养合作意识和创新精神，激发学习兴趣。

3. 教学重难点分析根据以上教学目标确定如下：教学重点：能用向量方法判断垂直与平行的位置关系；会求平面的法向量。教学难点：结合已有的立体几何知识，运用向量方法，用向量语言证明垂直与平行的问题。

二、学情分析

学生已经学习了立体几何中线线、线面、面面的位置关系，具备有关知识储备，对坐标法解决几何问题也有了初步的认识。但是利用向量工具解决空间中垂直与平行的问题还没有系统的学习过，需要老师循序渐进的引导。

三、教法学法分析

1.教学：启发引导、数形结合、案例分析、构建模型。

2. 学法：观察分析、自主探究、合作交流、讨论归纳。

四、教学过程展示

本节课主要分五个环节来完成：复习引入、自主探究、知识运用、课堂小结及布置作业。

（一）复习引入。给出三个问题，让学生思考：①什么是直线的方向向量？②什么是平面的法向量？③如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？

设计意图： 1.个问题是引导学生复习旧知识，为本节课的学习打铺垫；2.个问题是引导学生思考与本节课有关的问题。

（二）自主探究。观察图形，并用向量语言表述以下位置关系：设空间直线l1，l2的方向向量分别是1， ，平面α、β的法向量分别是 ，2，则：①线线平行：②线线垂直：③线面平行：

④面面平行：⑤线面垂直；⑥面面垂直

设计意图： 1.学生合作交流，完成自主探究部分。2.学生根据图形，结合已有的立体几何知识，运用向量语言，数形结合，找到垂直与平行关系的等价条件，为突破重难点打下基础。

（三）知识运用

例1.（线面垂直判定定理）若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

设计意图：让学生从理论上学会用向量方法证明几何问题，从另一个侧面体现了利用向量方法研究垂直与平行的重要性，至此突破难点。

【方法归纳】：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）

设计意图：由例3归纳解题步骤，帮助学生梳理解题思路，构建知识体系。

学生练习：完成课本41页练习：1.2.3.

（以上三道题目考察的知识点依次是：线线位置关系，线面位置关系，面面位置关系）

设计意图：学生自己检验是否掌握了所学知识，并对所学方法加深理解。

（四）课堂小结（讨论归纳）。（1）用向量表示线线、线面、面面垂直与平行的关系；（2）求法向量的步骤；（3）用向量方法解决立体几何问题的步骤。

设计意图：引导学生对本节知识进行回顾，同时检验学生对本节知识的掌握程度，有利于教师更好地根据学生的情况进行针对性的辅导。

（五）布置作业（反馈提升）。1.课本42页第2、3题；2.学有余力的同学完成课本41页的思考交流。（第2、3题考察的知识点依次是：线线位置关系，面面位置关系；思考交流是对“面面垂直的判定定理”的证明）

设计意图：分层布置作业，尽可能适应不同层次学生的需要。通过完成作业，学生可以巩固所学知识，反馈学习效果，同时也起到了复习的作用。在做作业的同时，可以加深对知识的理解，提升思维能力。

五、教学反思

篇5：§2.4用向量讨论垂直与平行

1、理解用向量方法解决立体几何问题的思想；

2、掌握用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题

二、学习重、难点

1、重点: 用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题；

2、难点：怎样用向量方法解决立体几何中的垂直与平行问题。

三、提炼精要，理清脉络

（一）温故

1、复习必修2回答问题：

①线线平行判定方法：

②线面平行判定方法：

③面面平行判定方法：

④线线垂直判定方法：

⑤线面垂直判定方法 ：

⑥面面垂直判定方法：

2、怎样证明两个空间向量平行和垂直？

（二）知新

阅读课本P40—41，回答问题：



3、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样用向量的方法证明两条直线垂直

和平行？



4、若两个平面

1、2的法向量向量分别为n1、n2，怎样用向量的方法证明两个平面

垂直和平行？



5、若直线l1的方向向量分别为a1，平面1的法向量向量分别为n1，怎样用向量的方法

证明直线和平面垂直和平行？

四、典例探究，深化理解

例

1、（P40）用向量证明线面垂直判定定理

若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

例

2、（P40）用向量证明面面平行判定定理

pc

a

若一个平面内两条相交直线都平行另一个平面，则这两个平面平行。

例

3、(P41)用向量证明三垂线定理

若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直。

思考与交流：

1、用向量证明三垂线定理的逆定理（P42 A组1）

2、借助向量知识证明面面垂直判定定理

练习：P4112

3总结归纳：

1、用向量方法解决立体几何的垂直与平行问题的本质是什么？

2、注意将常规方法与向量法相结合3、建立恰当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量坐标

作业：P42 A组23B组

五、题型分析

（一）线线垂直或平行问题：

1、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC900，CB1，CA

2，AA1中点，求证：AMBA

1CB1，点M是CC1的M

C

（二）线面垂直或平行问题：

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥

CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；

A

（三）面面垂直或平行问题：

1、P57A组132、金太阳导学案P27例

3的探究拓展u,v

六、练习



1、若两条直线l1、l2的方向向量分别为a11,0,1、a22,0,2，则两条直线l1、l

2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定



2、若两平面

1、2的法向量分别为n11,0,2、n21,0,2，则两平面

1、2的位置关系（）

A平行B相交C垂直D不能确定

1

3、若直线l的方向向量为a2,1,m，平面的法向量为n1，2，且l，则

2

m_______

4、在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA=3，DC=4，DD12，AP2PA1，C1S2SC，R、Q分别是AB、D1C1中点，求证：PQRS

R

S C

A

5．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

FA

1E

B1

D1H

G

C1

DA

B

C

七、小结：

设两不同直线，则

的方向向量分别为a,b，两不同平面

，的法向量分别为u,v，

①线线平行：l//ma//bab,R



②线线垂直：lmabab0；



③线面平行：在平面外，l//auau0；



④线面垂直：la//uau,R；



⑤面面平行：//u//vuv,R；



篇6：用向量证明平行垂直

第82课时利用空间向量证明平行与垂直问题

考点解说

利用直线的方向向量和平面的法向量判定直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,掌握用向量方法处理空间中的平行与垂直问题.一、基础自测

1.已知向量a(2,4,5),b(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则xy2.已知m(8,3,a),n(2b,6,5),若m//n ,则ab.3.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量且ab(0),bc0,则a与c的位置关系是.4.在空间四边形ABCD中,E、F是分别是AB、AD上的点,且AE:EB=AF:FD=1:4,又H,G分别是BC、CD的中点,则EFGH是形.5.正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长AB=1,且AB1BC1,则侧棱AA1的长为.06.已知平行六面体ABCDA1BC11D1底面为菱形,C1CB60,BDCA1,则C1CD的大小为.7.正方体ABCDA1BC11D1中,M、N、P分别是棱CC1、BC、CD的中点,则直线A1P与平面MND所成角为.8.空间四边形ABCD中,ABCD,BCAD,则AC与BD的位置关系为.二、例题讲解

例1.如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是AC和BD的交点,M是CC1的中点,求证:A1O⊥平面

MBD.例2.正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证:平面AED⊥平面A1FD

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例3.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是所在棱的中点,求证:平面AMN∥平面

EFBD.例4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点,试确定点F的位置,使得D1E平面AB1

F.板书设计

教后感

三、课后作业

1.在直二面角MN中,AB,CD,ABMN,CDMN,B、C为垂足,AD2,BC1,求AD与BC所成的角.2.已知M为长方体AC1的棱BC的中点,则点P在长方体AC1的面CC1D1D内,且PM//面BB1D1D,则点P的位置应落在003.直三棱柱ABCA,AA1B1C1中,ACB90,BAC30,BC11M是CC

1的中点,则AB1与A1M所成的角为4.正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个面得中心,则平面EFGB与平面平行.AED与面.5.正方体ABCDA1BC11D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则面6.已知ABCD是平行四边形,若A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3, 7,-5),则顶点D的坐标为___________.7.已知a(8,1,4),b(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.8.过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共 有条.9.若三个平面,,两两垂直,它们的法向量分别为(1,2,z),(x,2,4),(1,y,3),则xyz

11.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中,PQ与AC、C1D都垂直,试确定P在AC,Q在C1D上的位置

.12.已知空间四边形OABC中,AB=OC,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,求证:PM

QN.13.如图长方体ABCD－A1B1C1D1中,AD=AA1,AB=2AD,点E是线段C1D1的中点,求证:DE面EBC.14.(选做题)如图甲,在直角梯形PBCD中,PB//CD,CDBC,BCPB2CD,A

是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PAAB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点.(1)求证PA平面ABCD;(2)求证平面PAE平面PDE;(3)在PA上找一点G,使得FG//平面PDE.附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

篇7：用向量证明平行垂直

用向量的方法来处理线线垂直

异面的线线垂直通常都要化成线线垂直，但是很多学生不清楚应该找哪一个线面垂直，用向量的方法就避免了找的过程。

1、在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：（1）建立向量：设ABa，ACb，AVc

1VA=VC：（2）翻译条件：○VCVAACcb，得

|c||cb|化简得：___________________________________

AB=BC：BCBAACba，得○

_____________，化简得_______________________________________

（3）翻译结论：VB⊥AC：VBVAABca，要证明：(ca)b0

计算过程：

2、（同上题）在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证VB⊥AC

证明：设BAa，BCb，BVc3、在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，DC=DB，E为BC中点，求证：AC⊥DE；

证明：（1）建立向量：设BDa，BCb，BAcAB⊥平面翻译条件：○BCD：ca,cb，得ca0,cb0DC=DB：○DCDBBCab，得：|ab||a|

化简得：_______________________________E○11为BC中点：BEECBCb 2

2翻译结论：AC⊥DE：ACABBCcb

1DEDBBEab 21要证明：(cb)(ab)0 2

计算过程：

4、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD．证明：PABD；

证明：设设DAa，DCb，DPc

1底面翻译条件：○ABCD为平行四边形：ABDCb

02DAB60：ADAB|AD||AB|cos60= ○

3○AB2AD：|b|2|a|

4PD底面ABCD：_________________________________________ ○

翻译结论：

5、如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º

证明：AB⊥PC6、如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

7、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且∠DAB=60，PAPDE是BCC的中点.证明：（1）AD⊥DE（2）AD⊥PB8、已知在三棱锥S--ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥SB

证明：（1）建立向量：设CAa，CBb，CScBC⊥平面SAC：_______________________________ 翻译条件：○



2AD⊥SC：ADACCDakc（不知道D点位于SC什么位置）○

得：___________________________________

翻译结论：AD⊥SB：SBSCCBcb

篇8：用向量证明平行垂直

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

篇9：巧用向量的加法证明点线问题

关键词：向量；加法；共线；内积

G633.6

纵观数学的发展史，矛盾推动数的发展。在公元前580年，古希腊数学中有名的学派：毕达哥拉斯学派 提出了：“万物皆数”的信条。并且毕达哥拉斯把这一信条作为该学派的理论基础。但是，在公元前500年，毕达哥拉斯的弟子希帕苏斯发现了一个惊人的事实，一个正方形的边与对角线的长度是不可公度量的。这一发现就与毕达哥拉斯学派“万物皆数”的哲理大相径庭。正方形的边与对角线是不可公度量的本质是什么？在当时的数学历史上，数学家们众说纷纭。人们对无理数的认识在数学历史上，具有重要的意义，它在希腊的数学史上引起一场大风暴，数学史称之为“第一次数学危机”。直到19世纪下半叶，实数理论的建立，无理数的本质才彻底的弄清楚，从而圆满解决了第一次数学危机。第一次数学危机的结束推动了无理数的出现。

在数学史中，复数的出现起源于解方程。16世纪的意大利数学家卡当在《重要的艺术》一书中公布了三次方程的一般解法即卡当公式，他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家。由于复数能用来表示和研究平面上的向量，而向量在物理学中非常重要，如力、位移、速度、加速度等。而人们很早就已经知道向量的合成服从平行四边形法则。数学家们很快发现两个复数相加的结果正好对应于用平行四边形法则相加的向量的和。

两个向量的加法法则有两种：平行四边形法则、三角形法则 。其中，平行四边形法则指的是将两个向量的起点通过平移的方式移至同一个起点，再以两个向量为邻边作出平行四边形，而平行四边形中与两向量同一起点的对角线向量就是两个向量的和向量。

两向量和的三角形法则指的是将两个向量依次地首尾顺次相接，两个向量的和向量为以第一个向量的起点为起点、以第二个向量的终点为终点的向量。

不论是平行四边形法则还是三角形法则，通过向量的加法解决平行四边形和三角形的点线问题是解析几何中比较便捷的方法。并且，向量作为解析几何中最基本的元素，是设法把几何的结构有系统的代数化、数量的化的基础。下面我们可以通过几个具体的例子來说明向量加法的几何应用。

一、向量加法解决三点共线的问题

三点共线问题是解析几何中的常见证明题，也是近几年来中学数学考试常见的题目，用向量加法来证明三点共线是几何里最常用的方法 。

二、向量加法证明平行四边形

在平面几何里，平行四边形是基本的四边形。中学的平面几何里证明四边形是平行四边形的方法很多。其中有一条判定定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。如何证明这条判定定理，在几何中有很多种方法。特别是在吕林根主编的《解析几何》一书中，指出可以用向量的方法来证明。在书中，利用向量加法的交换律，借助对角线平分的性质，最后证明了这一个判断平行四边形的判定定理。然而，在此我们可以重新给出另外一种证明的方法，例如以下的例2。

在这个例题中，巧妙的运用了向量加法的平行四边形法则。因为在向量加法成立的前提下，就已经保证了所构造的四边形就是平行四边形了，这就是向量加法的巧妙之处。

参考文献：

[1]吕林根，徐子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李文林.数学史概论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]孙浩盛，高浩.关于四边形的两个定理的向量法证明[J].中学数学，2011（1）：70-70.

篇10：用向量证明平行垂直

命题人：备课组长签字：试卷总分20分

班级学生姓名检测时间：月日 星期第节 课题：3.2.1用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 检测重点：直线与平面平行的证明

1、（5分）空间直角坐标系中，A(1，2，3),B(1，0，5),C(3，0，4),D(4，1，3),则直线AB与CD的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判定

2、（10分）已知矩形ABCD和矩形ADEF,AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M,N分别在对角线BD,AE上，且BM证明：直线MN//平面CDE.3、（5分）（选做）已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外任一点O，点M满足11BD,ANAE.33

111填“共面”或“不共面”）.,则点M与点A,B,C333

篇11：平行与垂直的证明

1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．

ADBC

1D

B

C

2．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

3．如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF

A

E

B

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

4．如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC10，D是BC边的中点.（Ⅰ）求证：

5．如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE

上确定一点N，使得MN∥平面DAE.7．如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中:（1）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小；（2）求三棱锥B

1A1C

1B的体积。（3）求证：B1D

平面A1C1B

ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

8． 如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M,N分别是

SA,BD上的点，且

AMBN

=，求证：MN//平面SBC SMND

P

9． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

E

A

B

D C

10．在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，平面CDE是等边三角形，棱EF//BC且EF=

BC．

2（I）证明：FO∥平面CDE；

（II）设BC=CD,证明EO⊥平面CDF．

11． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）证明PA//平面EDB；（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD．

12．如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．

（1）求证：CDAE；（2）求证：PD面ABE．

13.如图在三棱锥PABC中，PA平面ABC，C E

C

P

B

A

DB

_P

ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C

都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

14.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB2，SBSD ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

_A_C

_M

_B

D

C

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面 BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

1． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直 角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=

AD.2

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

D

C

【课后记】 1．设计思路（1）两课时；

（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；（4）强调书写的规范性 2．实际效果：

（1）用时两节半课；