证明平行的方法

证明平行的方法（精选10篇）

篇1：证明平行的方法

证明线面平行的方法

线面平行重点难点剖析

线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一，它包括直线与直线的平行，直线与平面的平行以及平面与平面的平行.本节复习包括首先要系统梳理有关判断、证明线面平行关系的各种依据，其中既包括有关定义、公理，还包括相应的判定定理或性质定理.梳理中不仅要明确有关判断、证明各有哪些依据，还要体会不同的依据在思维策略上给我们的指导.例如判断线面平行可有三种思维策略：

(1)从概念考虑，即依据线面平行的定义作思考，这就需要证明直线和平面没有公共点.证明方法通常选择反证法.(2)从降级角度考虑，即通过证明线线平行来证明线面平行.其依据为：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.证明方法通常是把平面外的这条直线经过平移，移到这个平面中去.(3)从升级角度考虑，即通过证明面面平行来证明线面平行.其依据为：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.证明方法是找出一个与这个平面平行的平面，并且使这条直线正好在所找的平面内.其中思维策略的选择不仅要注意建立这种意识，还要根据不同问题的不同条件，才能作出恰当的选择.在复习中应注意积累这种思考、选择的经验.2题目如图1,已知四边形ABCD,ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN∥平面EBC.一、找“线线平行”思考1如图2,过M作MH∥EF交BE于H,则MHEF=BBMF.过N作NG∥AB交BC于G,则NGAB=CANC.由于四边形ABCD,ABEF为两个全等正方形,则BF=AC,EF=AB,又因为FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四边形MHGN为平行四边形,所以MN∥平面EBC.思考2如图3,连结AM并延长交BE于K,则CK在平面EBC内.由题意,知△AFM∽△BKM,则AMMK=BFMM,因为FM=AN,BF=AC,则FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,则MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面内找一条直线与平面外直线平行,通常有两种方法可找:①构造平行四边形;②构造三角形,利用对应边成比例.二、找“面面平行”思考3如图4,过M作MH∥BE,交AB于H,连结NH,则BMBF=BBHA.由于四边形ABCD,ABEF为全等的的正方形,又因为FM=AN,则有BMBF=CCNA,所以在3

线面的我已经给你了

我来补充线线的1.垂直于同一平面的两条直线平行

2.平行于同一直线的两条直线平行

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行

篇2：证明平行的方法

2线面平行证明的常用方法

摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。

关键词：找平行线；找第三个点；作平行平面；建立空间坐标系

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；证明的内容包括以下内容：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

在线面平行这节里有三个重要的定理：

直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条

直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。

平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直

线和另一个平面平行。

从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍

方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们

与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。

（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，所以AD 故AE∥DG．

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平

面与已知平面的交线。

（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.证明：连接BD，与 AC 相交于 O，连接

∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作

平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，

ABC, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中

点，证明：直线MN‖平面OCD 分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。

证明：取OB中点E，连接ME，NE

ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD

又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

（07全国Ⅱ•理）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，设A(a，Eaa，0

，F0ab222，

EFba，0

2．

因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n

=（0，1，0）

则：EFnba，0

2

（0，1，0）



=0 因此EFn

篇3：平行垂直问题的空间向量证明方法

一、平行类问题

1. 直线平行于直线

可证两条直线的方向向量平行.

例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是BC、CC1的中点, M、N分别是AB、C1D1的中点, 求证MN∥EF.

证明:如图1, 分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz, 设正方体棱长为则0) , F (0, 2, 1) .由此有

2. 直线平行于平面

对于平面外的一条直线,

(1) 可证直线的方向向量平行于平面内的一个向量.

(2) 可证直线的方向向量可用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(3) 可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.

例2如图2, 三个正方形ABCD、ADEF、CDEG, P在DF上, Q在AC上, 且DP=DF, CQ=CA, 求证PQ∥面CDEG.

证明:以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系D—xyz, 设各正方形边长为1, 则P

方法1:显然= (1, 0, 0) 是平面CDEG的一个法向量.而在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEF.

方法2:在平面CDEF内取两个不共线的向量DC= (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) .

因此, PQ∥面CDEF.

方法3:取DE中点M (0, 0, ) , 知

则在平面CDEG内, 在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEG.

点评:本例用到了证明直线与平面平行的三种方法.其中方法2用的是待定系数法;方法3中取DE中点M是关键, 这需要一定的观察探索能力.

3. 平面平行于平面

(1) 可证一个平面内有两个不共面的向量都平行于另一个平面.

(2) 可证两个平面的法向量共线.

例3正方体ABCD—A1B1C1D1中, M、N、P、Q是相应各棱的中点, 求证面ACNM∥面BPQ.

证明:建立如图3的空间直角坐标系.

设正方体棱长为2, 则A (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , M (1, 0, 2) , B (2, 2, 0) , P (2, 1, 2) , Q (1, 2, 2) .则有

方法2:设平面ACNM的法向量是n= (x, y, z) , 则由n⊥

取z=1, 则n= (2, 2, 1) .

同样可求得平面BPQ的一个法向量是m= (1, 1, ) .

由n=2m, 知n∥m,

所以面ACNM∥面BPQ.

二、垂直类问题

1. 线与线垂直

可证两条直线的方向向量互相垂直.

例4已知正三棱锥P—ABC, 求证AB⊥PC.

由正三棱锥知PA=PC=PB,

所以AB⊥PC.

评注:本例是利用基向量法进行运算.本例也可以用坐标向量法进行运算, 但建系、设坐标都较麻烦.因此, 应会根据题目的情况, 选择恰当的向量方法进行求解.

2. 线与面垂直

(1) 可证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.

(2) 可证直线的方向向量与平面的法向量平行.

例5在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底边长是, 高是1, M是AB中点, 求证AB1⊥面MCA1.

证明:如图4, 取AB中点M, 建立空间直角坐标系M—xyz, 知

所以B1A⊥面MCA1.

3. 面与面垂直

(1) 可证某平面内的一个向量是另一个平面的法向量.

(2) 可证两个平面的法向量互相垂直.

例6正方体ABCD—A1B1C1D1中, M是CC1的中点, 求证面A1BD⊥面MBD.

证明:如图5, 建立坐标系D—xyz.

设平面A1BD的法向量为n= (x, y, z) , 则

取x=1, 得n= (1, -1, -1) .

又设平面MBD的法向量为m= (p, q, r) , 则

取q=1, 得m= (-1, 1, -2) .

知n⊥m, 所以面A1BD⊥面MBD.

评注:本例也可以取BD中点O, 证明是平面MBD的法向量.

篇4：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

篇5：证明平行的方法

（一）相交线与平行线

1.定义法：两条直线相交成直角则两直线垂直。

2.两条平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。即：若a‖b，a⊥c，则b⊥c。

3.邻补角的平分线互相垂直。

4.到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

（二）三角形

5.证直角三角形：直角三角形的两直角边互相垂直。①三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

②三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角。

③勾股定理的逆定理：三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。

6.三线合一法：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。7.三角形相似法：证一个三角形与直角三角形相似。8.三角形全等法：证一个三角形与直角三角形全等。

（三）四边形

9.矩形的两邻边互相垂直。

10.菱形的两条对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

（四）圆

12.半圆或直径所对的圆周角是直角。13.圆的切线垂直于过切点的半径。

（五）图形变换法

14.轴对称图形的对称轴垂直平分对应点之间的连线。15.同一法或反证法（不要求掌握）

证明直线平行的常用方法

（一）平行线与相交线：

1.在同一平面内，两条不相交的直线互相平行。

2.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行。3.平行于同一直线的两直线互相平行。4.平行线的判定方法：

（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行。

（二）三角形

5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

6.一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边。

（三）四边形 7.平行四边形的两组对边互相平行。8.梯形的两底边平行。

9.梯形的中位线平行于两底。

（四）同一法或反证法（不要求掌握）

证明两线段相等的常用方法

（一）三角形

1.等角对等边：两线段在同一三角形中，证明等腰或等边三角形。2.证明三角形全等：全等三角形的对应边相等。

3.三线合一：等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边。

4.线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等。5.角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。6.过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边。

（二）特殊四边形

7.平行四边形的对边相等、对角线互相平分。8.矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等。9.等腰梯形两腰相等，两条对角线相等。

（三）圆

10.同圆或等圆的半径相等。

11.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦。

12.圆的旋转不变性：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弧中有一组量相等，那么对应的其余各组量也相等。

13.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

（四）其他

14.等量代换：若a=b，b=c，则a=c。

15.等式性质：若a=b，则a-c=b-c；若，则a=b。

16..等量的一半相等。

17.计算长度：证明两线段相等。

18.面积相等法：面积相等的三角形（或平行四边形），若底（高）相等，则高（底）相等。

19.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。20.图形变换法

（1）轴对称图形（或成轴对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。22.同一法或反证法（不要求掌握）

acbc证明两角相等的常用方法

（一）平行线与相交线

1.同角（或等角）的余角相等、补角相等。2.两直线平行，同位角相等、内错角相等。

3.证角平分线：到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。

（二）三角形

5.全等三角形的对应角相等。

6.相似三角形的对应角相等。7.同一个三角形中，等边对等角。

8.三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线与顶角平分线互相重合。

（三）特殊四边形

9.平行四边形的对角相等。

10.菱形的对角线互相垂直平分，且平分每一组对角。

（四）圆

11.同圆等圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等。

12.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

13.圆的内接四边形的每一个外角等于它的内对角。14.补充：圆的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

（五）15.计算角度，证明两角相等。

16.等量代换：若a=b，b=c，则a=c。17.等式性质。

18.等量的一半相等。

19.等量加等量，其和相等；等量减等量，其差相等。20.若，则a=b.21.若a+c=b+c，则a=b.22.图形变换法

（1）轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段相等，对应角相等。（2）平移、轴反射、旋转不改变图形的形状与大小。（3）位似变换不改变图形的形状。23.同一法或反证法（不要求掌握）acbc证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。6.直角三角形中30度锐角所对的直角边等于斜边的一半。7.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。8.利用相似三角形对应边比例的性质。9.利用锐角的三角函数值。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。3.直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。4.利用比利式或等积式化得。

篇6：证明平行的方法

1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是(C)

A．若a∥n，则a∥αB．若a·n＝0，则a⊥α

C．若a∥n，则a⊥αD．若a·n＝0，则a∥α

解析：由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D，直线a⊂平面α也满足a·n＝0.2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论：

①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β；

③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β.其中正确的是(A)

A．①③B．①④

C．②③D．②④

→平行的一个向量的坐 3.(原创)已知A(3，－2,1)，B(4，－5,3)，则与向量AB

标是(C)

1A．(3，1,1)B．(－1，－3,2)

13C．(－2，2，－1)D．(2，－3，－ 2)

→＝(1，－3,2)＝－2(－131)，解析：AB22

13→所以与向量AB平行的一个向量的坐标是(－2，2，－1)，故选C.4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于 2.5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ 4.解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1,2，－ 2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)．若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，6.已知AB

4015且BP⊥平面ABC，则实数x＝ 7，y＝ －7，z＝ 4.→·→＝x－1＋5y＋6＝0解析：由已知BPAB

→·→＝3x－1＋y－3z＝0BPBC

4015解得x＝7，y＝－7z＝4.→·→＝3＋5－2z＝0ABBC，7.(原创)若a＝(2,1，－3)，b＝(－1,5，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 58.解析：因为a·b＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a⊥b，又|a|＝22，|b|29，所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为

|a|·|b|＝22×29＝258.8.如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE

.证明：如图，连接OP，因为PA＝PC，AB＝BC，所以PO⊥AC，BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，所以可以以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz

.则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4, 0,3)．由题意，得G(0,4,0)．

→＝(8,0,0)，OE→＝(0，－4,3)，因为OB

设平面BOE的一个法向量为n＝(x，y，z)，→n·OB＝0x＝0则，即，→＝0－4y＋3z＝0OEn·

取y＝3，则z＝4，所以n＝(0,3,4)．

→＝(－4,4，－3)，得n·→＝0.由FGFG

又直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE

.9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA

＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．

(1)求证：PB∥平面EFH；

(2)求证：PD⊥平面AHF

.证明：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1，0,0)．

→＝(2,0，－2)，EH→＝(1,0，－1)，(1)因为PB

→＝2EH→，所以PB

因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH.→＝(0,2，－2)，AH→＝(1,0,0)，AF→＝(0,1,1)，(2)因为PD

→·→＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，所以PDAF

→·→＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，PDAH

篇7：证明平行的方法

——证明平行与垂直

编者：刘智娟审核：陈彩余 班级_________

学号_________

姓名_________第一部分 预习案

一、学习目标

1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用

二、知识回顾

1．直线的方向向量与平面的法向量

(1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．

(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v

2(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝xv1＋yv2

(3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系

v2＝0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·

(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥

u2＝0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·

三、基础训练

1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________

→→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．

b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c，b∥c;②∥b，⊥c； ③∥，⊥;④以上都不对．

→→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________．

5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．

第二部分探究案

探究一 利用空间向量证明平行问题

问题

1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．

求证：PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题

问题

2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．

求证：AB1⊥平面A1BD.探究三 利用空间向量解决探索性问题

问题

3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

问题

4、如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．

我的收获

篇8：直线与平面平行的几种证明方法

构造一个平行四边形,该平行四边形的一组对边中,有一条在平面内,另一条是平面外的直线.

【例1】如图1,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有点E、F,且B1E=C1F,求证:EF∥平面AB-CD.

分析:解决问题的关键是在所证平面内画出与已知直线平行的直线.可通过构造平行四边形,利用平行四边形的对边平行来作平行线.

证明:如图2,过E、F分别作EM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M、N,连结MN.因为B1E=C1F,所以AE=BF.所以四边形EM-NF为平行四边形,所以有EF∥MN,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.

二、相似三角形法

构造具有一个公共顶点,且过该顶点的两边分别共线的两个相似三角形,这两个相似三角形的一对平行线中,有一条是平面内的直线,另一条是平面外的直线.

【例2】如图3,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的点,且AP=DQ,求证:PQ∥平面CBE.

分析:由图形可知,直线PQ在平面CBE外,因此要证明PQ∥平面CBE,只须在平面CBE内找一条直线,使得PQ平行于这条直线.选择点A作为两个相似三角形的公共顶点,且过该顶点的两边分别共线,构造两个相似的三角形,利用两相似三角形另一组对边平行来作平行线.

证明:如图4,连结AQ交BC于G,连结EG,因为AD∥BG,所以,则.又AP=DQ,AE=BD,则BQ=PE,所以,所以,所以PQ∥EG.又PQ平面CBE,EG平面CBE,所以PQ∥平面CBE.

三、面面平行法

过所证的直线作一个平面,使这个平面与所证平面平行.

【例3】如图5,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,AC⊥BC,AC=BC=BB1.求证:BC1∥平面A1CD.

分析:可考虑过BC1作一个平面,使这个平面与平面A1CD平行,再利用面面平行的性质定理来证明本题.

证明:取A1B1的中点G,连结DG、BG、C1G,如图6,由DB∥A1G,且DB=A1G,得四边形DA1GB是平行四边形,则DA1∥BG.又BG平面A1CD,DA1平面A1CD,所以BG∥平面A1CD.由DG∥CC1,DG=CC1,则四边形DGC1C为平行四边形,则DC∥GC1,又C1G平面A1CD,DC平面A1CD,所以C1G∥平面A1CD.又BG与C1G交于点G,所以平面BGC1∥平面A1CD.又BC1平面BC1G,所以BC1∥平面A1CD.

四、空间向量法

此法主要介绍给使用B版教材的同学,下面以例3为例说明.

分析:建立适当的坐标系(如图7),设法求出向量BC1和平面A1CD的法向量的坐标,若向量BC1与法向量垂直,则直线BC1与平面A1CD垂直.

篇9：证明平行的方法

一、选择题

1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则()．

A．l1∥l2B．l1⊥l

2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确

2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是()

A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)

B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)

C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)

D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)

35153．已知a＝1，－，b＝－3，λ，－满足a∥b，则λ等于()． 222

2992A.B.C．－D．－ 322

34．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是()．

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是()

A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)

B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)

C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)

D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)

6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()．

62636065A.B.C.D.7777

7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()

A．(1，－1,1)3B.1，3，2



C.1，－3，2

二、填空题



D.－1，3，－

2

8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则

l1与l2的位置关系是_______．

9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.→

＝0的_______．

→

12．已知→AB＝(1,5，－2)，→BC＝(3,1，z)，若→AB⊥→BC，→BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

三、解答题

13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：

→

11．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．

→

→

→

→

→

10．已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则AP·AB＝0，且AP·AC＝0是AP·BC

a，b，c.14.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：

MN∥平面A1BD.证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1

则M0，1，N，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，22→

1

1于是MN＝，0，2

2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)． x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得

x＋y＝0.→

→

取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． →

11

又MN·n＝，0，·(1，－1，－1)＝0，22→

∴MN⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝

1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)若点G在BC上，BG＝M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面

BCC1B1.→→

证明(1)建立如图所示的坐标系，则BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，BD1＝(3,3,3)．

→→

→→→→

所以BD1＝BE＋BF，故BD1、BE、BF共面． 又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面．(2)如图，设M(0,0，z)，→

→→

2

则GM＝0，－，z，而BF＝(0,3,2)，3

→→

由题设得GM·BF＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.→

因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以ME＝(3,0,0)． →

→

又BB1＝(0,0,3)，BC＝(0,3,0)，→→→→

所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为 22

，0、(0,0,1)．

22→22∴NE＝－，－1.22

2

2又点A、M的坐标分别是2，2，0)、，1

22



→

22∴AM＝－，－1.22

→→

∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.22

(2)由(1)知AM＝－，－1，22

→

∵D2，0,0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)→→

篇10：平行四边形的证明

（一）．检查作业

（二）.平行四边形

①定义

②性质

③判定定理

二，教学内容

1、课本给的判定定理之外的证明方法：（证明方法详情PPT）

一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

两组邻角互补的四边形是平行四边形

2、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。中位线：中点与中点的连线；

中 线：顶点与对边中点的连线．

例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=1BC．

2方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=11DF，所以DE∥BC且DE=BC． 22

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：如图（2），定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在三角形三边中位线中分割出来的四个小三角形全等吗？

例2 已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H

分别是 AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中，∵AH=HD，CG=GD，1AC（三角形中位线性质）．

21同理EF∥AC，EF=AC． 2∴HG∥AC，HG=

∴HG∥EF，且HG=EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

3、平行线间的距离处处相等。（相关证明PPT）

三，教学练习

1.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下六个说法中，正确的说法有（）

（1）如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（2）如果再加上条件“AB=CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（3）如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（4）如果再加上“BC=AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（5）如果再加上条件“AO=CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

（6）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个

图1图

23.如图1，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC为∠BAD的平分线，图中与∠AOE相等（不含∠AOE）的角有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是

_______.5．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是m，理由是．

6.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？

7.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

四，教学总结

1、判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

2、可以证明的方法：一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

两组邻角互补的四边形是平行四边形

4、得出的结论：①中位线定理

②平行线间的距离处处相等，夹在两条平行线间的平行线段相等 五，布置作业

1、能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）

A.一组对角相等

B.两条对角线互相垂直且相等

C.两组对边分别相等

D.一组对边平行

2、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CD

C.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC3、如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、FC、CD，则图中四边形ADCF是______.4、在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，其中AE=CF,求证：四边形BEDF是平行四边形