平面与平面平行判定

第一篇：平面与平面平行判定

平面与平面平行的判定 教案

文昌中学数学组曾叶

教学目标

1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用; 2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用. 教学重点和难点

重点:两个平面平行的判定定理; 难点:两个平面平行的判定定理的证明. 教学设计过程

一、复习提问

师:上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面平行的意义是什么?

生:两个平面没有公共点. 师:对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关 系呢? 生:平行. 师:为什么? 生:用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内 ，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两个面平行矛盾. 师:证得很好.反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面 平行.由以上结论，就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平 行的问题.但要注意:两个平面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但

这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不 可能是相交直线. 〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫〕

二、新课

师:接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面平行的判定——具有 什么条件的两个平面是平行的呢? 生:根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行， 就可得出两个平面平行. 师:很好，实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上，判定两个平面平行，并不需要 一个平面内的所有直线都平行于另一个平面. 下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几个命题. (1)平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? (2)平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔学生讨论回答，并举出反例，得(1)，(2)不对，教师接着问〕 (3)平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔教师对学生的回答，作出适当评述〕

师:以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就可得出正确结论? 〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕

生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面. 师:说说你的想法. 生:我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面平行，则所确定的平面也 一定与这个平面平行. [此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证] 师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来.

生:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. [教师板书，画图，并请一位学生写出已知，求证] 已知:在平面β内，有两条相交直线a,b和平面α平行. 求证:α∥β. 师:欲证α∥β，而我们只知两个平面平行的定义，显然，若直接用定义证明，不很方便， 大家看怎么办? 生:用反证法. 〔学生并未证明，只提出方法.教师先复习反证法的步骤:(1)否定结论，(2)推出矛盾， (3)得出结论.然后提出问题，让学生讨论，以引导学生用反证法得出结论〕 师:问，(1)如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样.

(2)如果平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b有什么关系? (3)相交直线a和b都与交线平行合理吗?错误结论是如何产生的? [教师根据学生回答，依次提出问题，同时板书该命题的证明过程] 证明:假设α∩β=c. 因为a∥α，aβ，

所以a∥c,同理b∥c,所以a∥b. 这与题设a与b是相交直线矛盾. 故α∥β. 师:以上我们用反证法证明了命题的正确性.我们就把这一命题作为两个平面平行的判定定 理之一.该定理是用来判定两个平面平行的，应用时关键是在一个平面内寻找两条相交直线

，并证明与另外一个平面平行.也就是说:欲证面面平行，要先转化为线面平行.而转化的 思想方法是数学思维的重要方法之一，也是立体几何中，解决问题常用的方法. [教师在该命题前写上:两个平面平行的判定定理，以强调本节课的重点]

师:在现实生活中，该定理应用比较广泛，比如:木工师傅为了检查一个平面是否水平时， 往往用水准器在这个平面上交叉放两次，水准器的气泡如果两次都是居中的，就可以判定这 个平面是水平的，否则就不是水平的.其理论根据就是这一判定定理. [通过实例，证明定理在现实生活中的具体应用，贴近学生生活，更激发了学生探求知识的积极性，活跃思]

师:大家还能发现哪些判定两个平面平行的定理呢?(教师巡视，找一名学生回答) 生:我想，如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面一定是平行的. 师:想法很好，能否谈一谈如何得出的? 生:在学习平面几何时，曾有一个定理:垂直于同一条直线的两条直线平行.我就想，若把 其中的两条直线改为两个平面，那么这两个平面会不会是平行的. 师:这位同学用到了一个重要的研究数学问题的方法——类比.就是从已经学过的定理出发，

对其中的某些条件作修改，得出一个新的命题.当然，这只是一种猜想，正确与否，还要大家

进一步证明. 这位同学的猜想简单的说就是:垂直于同一条直线的两个平面平行.下面我们就来证明这一 命题. 已知:AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′. 求α∥β. 师:本题要证的是两个平面平行，有哪些工具呢? 生:两个面平行的判定定理. 师:应用该定理的条件是什么?

生:是其中一面中心须有两条相交直线与另一面平行. 师:显然，题目中并不具备这一条件，我们是否改用其它方法?

[学生激烈讨论]

生甲:直接在平面β内作直线a∩b=O，如图2(教师画图，使O与A′不重合，突出矛盾) 生乙:这样做不好，没有充分利用题目的已知条件，不妨直接在平面α内作直线a∩b=A.而 直线a与AA′确定一平面γ，设γ∩β=a′.能证:a′∥a,则a∥β，得出线面平行.同理

也可证b∥β.所以α∥β. 师:不错.能够充分的利用题目中的条件，为解决问题带来大的方便.下面我们把作辅助线 的方法，稍作改进，写出证明. 证明:设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β交于直线a,a′和b，b′.

因为 AA′⊥α，AA′⊥β，

所以 AA′⊥a，AA′⊥a′, 故 a∥a′.则a′∥α. 5

同理 b′∥α， 又因为a′∩b′=A， 所以α∥β. 师:通过类比的方法，证明得到了两平面平行的又一个判定定理，它是在上一个判定定理的 基础上得到的.要注意的是，为了得到两条相交直线，并未直接在一个面内作，而是过AA′作两

个相交平面δ，γ，它们分别与α，β相交，得到相交直线.由线线平行，得线面平行，最 后证明面面平行.这一证明方法是转化的思想方法的又一体现. 生:在上题的证明过程中，我发现:“如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面 内的两条相交直线，那么这两个平面平行.”这样就可直接由线线平行证面面平行，不知对 不对? 师与生:对. [在授课过程中，学生往往能根据所研究问题，思考得到自己的想法，这是学生深入课堂， 积极思维的一种体现，也是课堂上的一种反馈，教师应抓住机会，热情鼓励，同时给出肯定 或否定的答复]

师:想法很好，大家能证明吗?(学生议论)对，用第一个判定定理很快就能证明.但此命题 不易作为判定定理直接应用.不过这一命题为我们今后判定两个平面平行提供了一条思路.

三、例题分析

[通过例题分析，复习巩固本节课的主要内容]

师:前面我们得到了两个平面平行的判定定理，为方便，把前者叫判定定理，后者叫判定定 理二.下面通过例题来分析如何使用判定定理. 例 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证:平面AB1D1∥平面C1BD. 师:欲证面面平行，由两个判定定理，必须有线面平行或是线面垂直.而题目所给的是正方 体及体内的截面，隐含较多的线面平行的位置关系.我们先来考虑应用判定定理一. 6

生:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以 D1C1∥=A1B1，AB∥=A1B1， 所以 D1C1∥=AB，

所以 D1C1BA为平行四边形，

所以 D1A∥C1B， 因为 C1B平面C1BD， 故 D1A∥平面C1BD. 同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1, 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. 师:大家再思考，能否用判定定理二来证明呢? [学生有的思考，有的议论]

师:若要用判定定理二，遇到的问题是什么? 生:条件中没有直接与面AB1D1和面BC1D垂直的直线. 师:能解决吗? 生:作辅助线.连结A1C，证明它与两个面都平行. 师:要证线面垂直，要先转化为线线垂直.证明线线垂直的一个重要方法是什么? 生:三垂线定理及其逆定理.连结AC.可证A1C⊥BD. 7

[至此，在教师的启发引导下，已基本解决问题，把证明过程规范化]

证明:连结A1C，AC，

因为 ABCD-A1B1C1D1为正方体， 所以 A1A⊥平面ABCD. 所以 AC为A1C在面ABCD上的射影. 又因为 BD⊥AC，且BD面ABCD， 所以 A1C⊥BD. 同理: A1C⊥BC1. 又因为 BD∩BC1=B， 所以 A1C⊥面C1BD. 同理:A1C⊥平面AB1D1， 所以 平面AB1D1∥平面C1BD. [通过一题多解，训练学生思维的灵活性] 小结

1.由学生用文字语言和符号语言两种形式表述面面平行的两个判定定理.教师指出，两个判 定定理是判定面面平行的两个基本的理论工具. 2.空间两条直线平行，直线与平面平行，以及两个平面平行，三类平行关系的联系十分密切

，它们相互依赖，相互转化.在实际运用中，我们可以通过线线平行，或线面平行来推论平 面与平面平行. 3.转化的思想方法，是数学思维的重要方法.解决数学问题的过程实质就是一个转化的过程 ，同学们要认真掌握. 布置作业

课本p.38习题五1，3. 课堂教学设计说明 1.指导思想

这节课本着“教师为主导，学生为主体，课本为主线”的原则进行设计.教师的主导作用， 在于激发学生的求知欲，通过教师在课堂上的精心设计，以启发式教学为主，引导学生步入 问题情境，同时发挥学生的主观能动性，师生共同推进课堂教学活动，使学生有一个积极的 态度接受新知识. 学生是课堂教学的主体.教师就是要引导学生讨论、学生发言，使得学生参加到数学教学活 动中，使得学生兴趣盎然，思维活跃，这样有利于培养学生独立思考问题的习惯，发展学生 的创造性思维能力，教师要注重学生的活动，同时给于肯定及鼓励. 2.教学实施

(1)复习提问，不仅是旧知识的复习，而是有所深入、提高，同时在思维方法明确转化的思 想方法. (2)在讲解两个平面平行的判定定理一时，教师不要急于得出结论，而是设计三个问题，逐 步深入，引导学生自己发现结论，提高了学生解决问题的兴趣.又考虑到:反证法是高一立 体几何中的一个重要而又难掌握的方法，虽然前几节课有所接触，然而对于同学而言仍属难 点，为了分解难点，在学生提出用反证法之后，仍根据反证法的步骤，依次提出三个问题， 引导学生证明，使证明方法容易接受. 对于定理二，突出类比方法在解决问题中的应用及证明过程中的转化思想. (3)在选择例题时，讲求不要多，而要精，精心选择例题，使它确实能够起到复习、巩固本 节课所学知识的作用.本节课所选的例题，比较简单.特别是两种证明方法中，第一种容易

想到.但在引导学生得出第一种证明方法后，不能满足，而应启发学生，运用其它知识想更 多的方法进行证明.当然，第二种方法比较难，特别是辅助线不易想到，教师在讲解时要慢 慢启发.一题多解，是训练学生思维的一个较好的方式.

第二篇：《平面与平面平行的判定》教学反思

本周教育局领导来我校听“生本大课堂”教学模式的课，我成为被听课的老师之一，能够得到局领导和校领导的评课、指点，我感到非常荣幸。对我自身的发展来说，也是一个千载难逢的好机会。

今天，我带领我的学生共同学习了“面面平行的判定”，为了保证高质量完成这次教学工作，我做了大量的前期准备工作。

首先，认真钻研教材，确定了本节课的的主要教学内容：平面与平面的判定。其次，反复阅读新课程标准，理解新课程的基本概念。新课程倡导主动探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，要求教师在教学的过程中关心学生的主动参与，师生互动。为此我制定了教学目标：

1、通过直观感知，对三角板和四边形操作确认，归纳出两个平面平行的判定，并能熟练的应用判定定理证明两个平面平行。

2、培养和发展学生的观察能力，归纳推理论证能力，及文字语言、符号语言、图形语言之间的转换能力。进一步渗透空间问题转换为平面问题的解题思想。

3、通过对实际问题的探索探究，激发学生学习的积极性。

新课程要求教师在教学中引导学生从直观感知中抽象出数学中的感念，我在本节课利用三角板和课本的放置位置引导学生归纳平面与平面平行的判定，极大地激发了学生学习本堂课的热情。在直观操作和感受上，学生很快明白了平面和平面判定的作用、内涵和外延。证明两个平面平行，实质上就是证明两条直线平行的过程。证明两条直线平行就转化到了我们平面几何中证明面面平行的知识。在此，同学们踊跃发言证明线线平行的办法：平行四边形、三角形的中位线、平行线的传递性…….

接下来是对例2的讲解，对这个题证明过程步骤的强调。进入学生展示环节，两个练习题学生用不同的方法进行了展示，课堂气氛非常活跃，学生的学习积极性空前高涨，大家都在热烈的交流自己的做题思路。

回顾整个课堂教学过程，我能准确把握教学重点、难点和教学节奏，各环节时间安排基本合理，对学生的错误能及时地给予纠正，对学生的点评规范化，学生活动积极，圆满完成了本堂课的教学任务。

课后交流时，我们的领导给予了这样的评价：

1、 教学理念新，符合新课程教学理念的要求。

2、 能很大的提高学生的学习热情，让更多的学生参与到本堂课的教学当中来。

3、 例题选用恰当，有层次感。

4、 学生对课堂反馈的情况比较好。

当然，对本堂课我也有感到遗憾的地方，比如课堂最后的小结，由于时间关系，归纳的有一些仓促。还有就是当一个女孩子在黑板上讲错题的时候没能及时的给予鼓励，可能会挫伤学生的自信心。而对一些讲解很不错的学生没有给予肯定，可能会影响学生学习的积极性。在今后的教学工作中，我将努力改进自己的不足之处。

通过这次公开课活动，我学到了很多宝贵的经验：一堂好课的标准：要有自己的特色，有新的观点、有高潮;课堂小结不仅仅是归纳，而是要将归纳上升到一定高度，要挖掘教材内涵等等。

今后，我将再接再厉，严格要求自己，刻苦钻研，努力将自己的业务水平上升到一个新的台阶。积极落实我校“生本大课堂”的教学理念，为学校的发展贡献自己的一份力量。

岳婷婷

第三篇：直线与平面平行的判定

一、教材分析

直线和平面平行额判定是高中数学必修课第二册第一章第三节的内容，本章的前两节的内容是分别介绍了平面的基本的性质和空间的平行直线与异面直线，因此我们在学习了这些基本的知识之后，从而来进一步的研究直线与平面之间的关系。直线与平面的问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，是学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理的能力。

二、学情分析

由于学生在初中已学习了平面上两直线平行的各种判定办法，但由于时间长了，也需要再作一些必要的复习。通过对两条直线的平行的判定的复习，让学生从中获得一些关于直线与平面平行的知识。线面平行来转换成线线平行这样的转换思想也是学生首次接触的，应该加以必要的强化与引导。让学生的对抽象概括的能力以及推理论证的能力得以提高。

三、教学目标

1. 知识能力的目标

(1) 直观感知、操作确认，归纳概括出判定定理，对判定定理的构成要

素及其关系有较清晰的认识，能用三种语言对判定定理进行表述。

初步掌握利用线面平行判定定理证明线面平行的一般步骤。

(2) 使学生进一步了解平行的判定方法，学会准确地使用数学语言表述

集合对象的位置关系，并运用判定定理解决一些简单的直线和平面

平行的推理论证。

2. 过程方法目标

(1) 通过观察、思考、探究等提出问题，以问题引导学生思维活动，经

历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间抽象出几何图

形和几何问题的过程，发展学生的空间观念、几何直觉(即把握图形

的能力)与一定的归纳概括能力;

(2) 学习和证明问题的过程在想想、猜猜、证证的过程中完成. 培养学

生先猜后证，运用合情推理去猜想，再运用逻辑推理去证明的推理

论证能力.进一步理解掌握化归与转化思想。懂得将立体问题平面化、

线面问题线线化)

3. 情感态度价值观目标

(1) 通过数学思辨和推理过程培养学生说理、批判、质疑的严谨风格和

理性精神;

(2) 领会数学科学的应用价值，激发学生的数学学习兴趣.四、教学重点、教学难点

教学重点：判定定理的引入与理解。

教学难点：判定定理的应用及立体几何空间感、空间观念与逻辑思维能力的培养。

五、教学准备

课前备好课，准备好课题上所需要的东西。三角板等作图的工具。

六、教学策略

对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生主动去获取知识，发现问题。为了把发现创造的机会留给学生，把成功的体验让给学生，采用引导的方法，可以激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的乐趣，使数学教学变成在发现、再创造的过程。

七、教学过程

1. 新课的引入

老师：在初中的学习中，我们已学习过判定两条直线平行的各种办法，请同

5.举例应用

判断命题是否正确：

(1) 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行

(2) 过直线外一点可以做无数个平面与已知直线平行

【解析】第一条命题是正确的，因为这些直线在与这个平面平行的平面内。

第二条命题也是正确的，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可。

6.课堂练习

课本19页练习题2.

57.课堂小结

本节课所讲的知识点是直线与平面平行的判定的定理，让学生在理解其判定定理的同时明白了该如何来运用定理。

八、教学评价

本节课教师在利用教室里现有的一些实物对学生进行了本节课内容的讲解。让学生能够更加深入的学习了本节课的知识。将抽象的东西与实际相结合起来，这样的学习会使学生在课堂上学起来更加的轻松。学生经过思维的活动，从中找出一类事物的本质的属性，最后通过概括得到新的数学的概念。学生通过这样的方式而学习到的知识，对于他们来说是永久性的记忆，是比较牢固的记忆，学生在之后的学习中不会轻而易举的就忘掉。

九、教学反思

在本节课的设计当中，没有较好的将学生之间的讨论合作运用进来，知只是一味的进行教师的讲解，这样对于学生来说有点没有特别多的兴趣。

第四篇：课题：直线与平面平行的判定

一、学习目标：

1.掌握直线与平面平行的判定定理。 2.会用定理进行线面平行的证明。

二、重点：直线与平面平行的判定定理

难点：应用直线与平面平行的判定定理进行证明

三、自学指导：

请同学们阅读课本p54~p55，并回答下列问题

1.直线与平面的位置关系有那些?2.直线与平面平行的定义是什么?3.直线与平面平行的判定定理符号语言表示：简称为“线线平行则线面平行”

四、导思探究。

1.证明线面平行的方法有哪些?2.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行时，关键在什么地方?

五、导练展示：

1.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥面BCD

2.如图所示：已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E、F分别是PA、BD上的点，且PE:EA=BF:FD,求证：EF∥面PBC.

六、达标检测：

1. 如图所示：已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。求证：①线段MP与NQ相交且相互平行。 ②AC∥面MNP，BD∥面MNP。

2. 如图所示：已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M为PB的中点，求证：PD∥面MAC。

七、反思小结：1.证明线面平行的方法： (1)定义法(反证法)，(2)直线与平面平行的判定定理2.利用判定定理证明线面平行时，关键在于：在平面内找或作出一条与已知直线平行的直线。

第五篇：必修2教案2.2.2 平面与平面平行的判定

§2.2.2 平面与平面平行的判定

一、教学目标：

1、知识与技能

理解并掌握两平面平行的判定定理。

2、过程与方法

让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。

3、情感、态度与价值观

进一步培养学生空间问题平面化的思想。

二、教学重点、难点

重点：两个平面平行的判定。

难点：判定定理、例题的证明。

三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

四、教学思想

(一)创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。

(二)研探新知

1、问题：

(1)平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗?

(2)平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗?

通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

教师指出：判断两平面平行的方法有三种：

(1)用定义;

(2)判定定理;

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2、例2 引导学生思考后，教师讲授。

例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。

(三)自主学习、加深认识

练习：教材第59页

1、

2、3题。

学生先独立完成后，教师指导讲评。

(四)归纳整理、整体认识

1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件?

2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。

(五)作业布置

第65页习题2.2 A组第7题。