必修五正余弦定理小结

叹岁月流逝太快，转眼间便到了年底，一年的辛苦工作中，我们留下了太多的难忘时刻，也在不断的工作积累中，成长为更好的自己。为了记录这一年的工作成长，我们需要写一份总结，以下是小编收集整理的《必修五正余弦定理小结》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

第一篇：必修五正余弦定理小结

高中数学必修五1.1.2余弦定理

1.1.2余弦定理蕲春三中刘芳

1.1.2余弦定理

蕲春三中刘芳

(一)教学目标

1.知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3.情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

(二)教学重、难点

重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

(三)学法与教学用具

学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：投影仪、计算器

(四)教学设想

[复习回顾]

1、 正弦定理;abc2RsinAsinBsinC

2、 可以解决两类有关三角形的问题：

(1)已知两角和任一边。

(2)已知两边和一边的对角。

[提出问题]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。A 如图1.1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则bc

ccabababb2abCa2a2ab2ab2

从而c2a2b22abcosC(图1.1-5)

同理可证a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

7的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

b2a2c22accosB

c2a2b22abcosC

思考：这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角?

(由学生推出)从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2cosA2bca2c2b2

cosBb2a2c2

cosC[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系?

(由学生总结)若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

题型一 已知两边及夹角解三角形

例1.在ABC

中，已知a

cB600，求b及A

⑴解：∵b2a2c22accosB

=222cos450

=1221)

=8

∴b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2c2a22221⑵解法一：∵

cosA,∴A600.asin450,

解法二：∵

sinAsinB2.41.4

3.8,

21.83.6,

∴a

∴A600.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

题型二 已知三边解三角形

例2.在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形

(见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解)

解：由余弦定理的推论得： b2c2a2

cosA

87.82161.72134.62 0.5543,

A56020; c2a2b2

cosB

134.62161.7287.82 2134.6161.70.8398,

B32053;

 C1800(AB)1800(5602032053)

90047.

题型三 正、余弦定理的应用比较

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和边a。

思考：求某角时，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，两种方法 有什么利弊呢?

[补充练习]

1、在ABC中，若a2b2c2bc，求角A(答案：A=1200)

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大内角。 (答案：A=1200)

[课堂小结]

(1)利用余弦定理解三角形

①.已知三边求三角;

②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

(2)余弦定理与三角形的形状

(五)作业设计

①课后阅读：课本第9页[探究与发现]

②课时作业：第10页[习题1.1]A组第3，4题。

③《名师一号》相关题目。

第二篇：高中数学 1.1.2 《余弦定理》导学案 新人教A版必修5

1.1.2《余弦定理》导学案

1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法;

本的解三角形问题.

【重点难点】 1.重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.2.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.

【知识链接】

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==.

复习2：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形.

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢?

【学习过程】 ※ 探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.  ∵AC， ∴ACAC

同理可得：a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC.

新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍.

思考：这个式子中有几个量?

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角?

从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2，，. cosA2bc

[理解定理]

(1)若C=90，则cosC，这时c2

a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

(2)余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;

②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

试试：

(1)△ABC

中，a，c2，B150，求b.

(2)△ABC中，a

2，b

，c1，求A.

※ 典型例题

例1. 在△ABC

中，已知a

bB45，求A,C和c.

变式：在△ABC中，若AB

，AC=5，且cosC=9

10，则BC=________.

例2. 在△ABC中，已知三边长a3，b

4，c，求三角形的最大内角.

变式：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A.

【学习反思】

※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;

2. 余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角;

② 已知两边及它们的夹角，求第三边.

※ 知识拓展

在△ABC中，

若a2b2c2，则角C是直角;

若a2b2c2，则角C是钝角;

222

).A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1. 已知a

c=2，B=150°，则边b的长为().

2. 已知三角形的三边长分别为

3、

5、7，则最大角为().A.60B.75C.120D.150

3. 已知锐角三角形的边长分别为

2、

3、x，则x的取值范围是().A

x

5C. 2

D

b2a2c2ab，则∠C等于.

1. 在△ABC中，已知a=7，b=8，cosC=13

14，求最大角的余弦值.

2. 在△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8，求ABBC的值.

第三篇：2014年高中数学 1.1.2余弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.

2余弦定理

教学过程

推进新课

1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式 形式一

a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+

b2-2abcosC形式二b2c2a2

cosA2bcc2a2b2cosB2caa2

b2c2cosC2ab

师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用

.[合作

探究

2.

向量法证明余弦定理

(1)

证明思路分析

师

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题?

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边C.由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题.由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢

生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角

师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,则构造CBCA这一数量积以使出现cosC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提

(2)

向量法证明余弦定理过程

如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、

b

由向量加法的三角形法则，可得

∴ACAC=(AB+BC)(AB+BC)=AB2+2ABBC+BC2 =AB+2ABBCcos(180?B)+BC

=

c2-2accosB+a2，即b

2=a2+c2-2ac

cosB

由向量减法的三角形法则，可得BC=AC-AB

22

1∴BC

BC=(AC-AB)(AC-AB)=AC2-2ACAB+AB

2=AC-2ACABcosA+AB=b2-2bccosA+c2，

即a=b+c-

2bccosA

由向量加法的三角形法则,可得AB=AC+CB=AC-BC

∴ABAB=(AC-BC)(AC-BC)=AC2-2ACBC+BC2

=AC2-

2ACBCcosC+BC=b2-2bacosC+a2，

即c=a+b-2abcosC

[方法引导

(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则

(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC与AB属于同起点向量,则夹角为A;AB与BC是首尾相接

,则夹角为角B的补角180

?

B;AC与

BC是

同终点,则夹角

仍是角C[合作探究

师 思考：这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角?

生(留点时间让学生自己动手推出)从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a2a2c2b2

b2a2c2

cosA,

cosB,cosC

2bc2ac2ba

师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系? 生(学生思考片刻后会总结出)若△ABC

中，C =90°，则cosC=0，这时c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.

师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果两边的平方和小于第三边的平方，

那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广.现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变

成可定量计算的公式了.

师 在证明了余弦定理之后,

我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B

通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有

关三角形的问题

(1)已知三边,

求三个角

这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P8例4属这类情况 (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角

这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形

所产生的判断取舍等问题

接下来,

我们通过例题来进一步体会一下 [例题剖析]

【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 cm)

解：

根据余弦定理，

a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-所以A≈41 c 由正弦定理得sinC=

csinA34sin413

40.656

≈a4141

因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得

C

B=180°-A-C=180°-41°-

【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形解：由余弦定理的推论,得

b2c2a287.82161.72134.62

cosA=≈0.554 3,

A

2bc287.8161.7c2a2b2134.62161.7287.82

cosB=≈0.839 8,

B

2ca2134.6161.7

C =180°-(A+B)=180°-

[

知识拓展 补充例题：

【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(

精确到

分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二

b

2c2a2102627

20.725 解：∵cosA

2bc2106

∴

A

a2b

2c27210262113∵cosC=

2ab2710140

∴

C

∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.[

教师精讲

(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出

(2)对于较复杂运算,

可以利用计算器运算

【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到

1′)

分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两

种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,

故用余弦定理较好解：由c2=a2+b2-2abcosC=2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×cos82°28′, 得c

b2c

2a23.69624.29722.7302

∵cosA=

2bc23.6964.297

∴

A

∴B=180°-(A+C)=180°-[教师

精讲

通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,

求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦 【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S△

ABC

分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正弦定理求出边C,而三角形面积由公式S△ABC=

acsinB

可以求出 2

若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立关于C的方程,亦能达到求C

的目的

下面给出两种解法 解法一:由正弦定理得∴A1=81.8°,A

2∴C1=38.2°,C

2由

87

sinAsin60

7c

,得c1=3,c2

sin60sinC

1

1∴S△ABC=ac1sinB6或S△ABC=ac2sinB

1022

解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacos

B

∴72=c+82-2×8×

cco 整理得c2-8c 解之,得c1=3,c2=5.∴S△ABC=

11

ac1sinB6或S△ABC= ac2sinB

10322

[教师精讲]

在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意

综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之 课堂练习 1.在△ABC

中

(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A (2)已知a=20,bB=29,c=21，求

B (3)已知a=33,c=2,b=150°,求

B (4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A

解： (1)由a2=b2+c2-2bccosA，得a2=82+32-2×8×3cos60°=49.∴A

c2a2b220221229

20.∴

(2)由cosB,得cosBB

2ca2202

1(3)由b2=c2+a2-2cacosB,得b2=(33)2+22-2×33×2cos150°=49.∴b

b2c2a2(2)2(31)2222

(4)由cosA,得cosA.∴

A

2bc222(1)

评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题

效率

2.根据下列条件解三角形(

角度精确到 (1)a=31,b=42,c (2)a=9,b=10,c

b2c2a2422272312解：(1)由cosA,得cosA≈0.675 5,∴

A

2bc24227c2a2b2312272422由cosB≈-0.044 2,∴

B

2ca23127

∴C=180°-(A+B)=180°-

b2c2a210215292

,得cosA

(2)由

2bc2101

5∴

A

c2a2b215292102

由cosB≈0.763 0,

2ca2915

∴

B

∴C=180°-(A+B)=180°-

评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力 课堂小结

通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,

并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题

(1

)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;

(2)余弦定理的应用范围：①已知三边求三角;②已知两边、一角解三角形. 布置作业

课本第8页练习第1(1)、2(1)题

教学反思

1.注重过程与方法，提升探究能力

数学教学是一个过程，在这个过程中要注意对学生逻辑思维、分析问题、解决问题等能力的培养，而不能把结论直接抛给学生，学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”与“合作”的过程.本节课从具体的实例出发，从特殊到一般，让学生经历提出问题，解决问题，初步应用等过程，采用问题串的形式引导学生进行探究活动.余弦定理的发现和证明，先从学生最近发展区入手，根据初中的平面几何知识，这是符合学生的认知结构，让学生自己发现余弦定理，鼓励学生独立思考，积极发表自己的见解。从平面几何法—解析法—向量法，层层递进，环环相扣，让学生从不同角度去认识余弦定理，对求边长的方法也有个深入的了解，有利于学生思维的扩展，充分认识到数学知识的发生、发展过程以及探究问题的方法.整节课气氛活泼，教学目标得到较好的落实.

2.关注师生间互动，提高课堂效益

大部分学生对于定理教学通常都是依赖老师的讲解,被动接受教材中的证明思路,觉得理所当然,缺乏主动性,积极性.教师如何引导学生发现问题，提出问题就非常重要.教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境，而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。

3.创造性使用教材，优化教学结构

本节课紧紧围绕余弦定理课题，对教学内容做了一些整合和补充.教材例题中的角都非特殊角，需要用到计算器，过于繁杂.而本节课的核心是发现定理、定理的证明方法探究和定理的应用，所以把例题作了一些改变，从而也减少学生对计算器的依赖，提高学生的计算能力.

第四篇：正弦定理余弦定理[推荐]

正弦定理 余弦定理

一、知识概述

主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c2-2bccosA，b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题.认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况.

二、重点知识讲解

1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有

(1)角与角之间的关系：A+B+C=180°;

(2)边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA

b2=c2+a2-2accosB

c2=a2+b2-2abcosC

射影定理：a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC c=acosB+

bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法

在△ABC中，易证明再在上式各边同时除

以在此方法推导过程中，要注意对

面积公式的应用.

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB.面积S=15，求△ABC的三个内角. 分析：

在正弦定理中，由

进而可以利用三角函数之间的关系进行解题. 解：

可以把面积进行转化，

由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A+B=90°或A-B=90°显然A+B=90°不可能成立

当C=30°时，由A+B=150°，A-B=90°得A=120°B=30°

当C=150°时，由A-B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A+60°，求A的值. 分析：

把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA. 解：

∵B=A+60°

∴sinB=sin(A+60°)=sinAcos60°+cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB=a2︰b2，试判断△ABC的形状. 分析：

三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a+b=c，a+b>c(锐角三角形)，a+b

解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0.

.

∴2A=2B或2A=π-2B，∴A=B或A+B=所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a-ac+bc-b=0，即(a-b)(a+b-c)=0，

于是a=b或a+b-c=0，∴a=b或a+b=c.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨.

例

4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状. 分析：

本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边. 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A+2B=180°∴A=B或A+B=90°

故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b+c-a)=b(a+c-b)∴(a-b)(a+b-c)=0∴a=b或a+b=c

故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想.

例

5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是

1，2，3，求正方形的边长.

分析：

本题运用方程的思想，列方程求未知数. 解：

设边长为x(1

，在△ABP中

设x=t，则1

-5)=16t

三、难点剖析

1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论.

下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况.

(1)当A为锐角时(如下图)，

(2)当A为直角或钝角时(如下图)，

也可利用正弦定理进行讨论.

如果sinB>1，则问题无解; 如果sinB=1，则问题有一解;

如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.

2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程.式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA.

3、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.

4、正弦定理解三角形可解决的类型： (1)已知两角和任一边解三角形;

(2)已知两边和一边的对角解三角形.

5、余弦定理解三角形可解决的类型： (1)已知三边解三角形;

(2)已知两边和夹角解三角形.

6、三角形面积公式：

例

6、不解三角形，判断三角形的个数. ①a=5，b=4，A=120° ②a=30，b=30，A=50° ③a=7，b=14，A=30° ④a=9，b=10，A=60° ⑤a=6，b=9，A=45° ⑥c=50，b=72，C=135° 解析：

①a>b，A=120°，∴△ABC有一解.②a=b，A=50°<90°，∴△ABC有一解.

③a

④a

∴△ABC有两解(A为锐角和钝角). 方法二：a2=b2+c2-2bccosA， ∴92=102+c2-2×10×ccos60°， 即c2-10c+19=0 ∵△=102-4×19=24>0 ∴△ABC有两解.

⑤b>c，C=45°，

∴△ABC无解(不存在).⑥b>c，C=135°>90°，又由b>c知∠B>∠C=135°，这样B+C>180°，∴△ABC无解.

第五篇：正弦定理和余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=()

A.300B.300或1500 C.600D.600或1200

2、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.183

3、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C()

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:2

4、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是()

A.2,B. ,0C.

二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

0

1、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.

2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.

(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式;(2)当a等于多少时，Smax?并求出Smax.

23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c. 0

4、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

(1)求角A;(2)若a3,bc3,2BC2cos2A72. 求b,c的值.