两环节+三反馈中学数学论文

摘要：通过对一道综合几何题的解题教学过程的剖析，找寻最自然的解法，最本真的思维方式，形成通过追求自然解法，培养学生数学思维方式；探究解法生成，培养学生数学关键能力；找寻丰富解法，提高学生思维品质和数学品格，从而培养学生的数学核心素养，全面促进学生发展。下面小编整理了一些《两环节+三反馈中学数学论文(精选3篇)》，仅供参考，大家一起来看看吧。

两环节+三反馈中学数学论文 篇1：

中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学模式构建与实践研究

摘 要：为推进中学数学校本教研，本文构建了“两环节+三反馈”问题探究教学模式，围绕“问题”进行自主探究和合作探究学习，发挥学生的主体作用和教师的主导作用，再通过反馈、评价来夯实问题。经过1年多的校本教学实践，该模式对学生的学习成绩提升、学习兴趣增加和学习习惯的养成是有明显成效，最后对存在的问题进行了反思。

关键词：中学数学；教师环节；教学反馈；问题探究式教学；模式构建

一、“两环节+三反馈”问题探究教学问题的提出

古人云：学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进。目前的中学数学教学在很大程度上还停留在知识的传承与技能的训练上，这种“储仓式”的教学模式，使得学生过分依赖教师与书本，造成主体意识淡薄，缺乏问题探究意识，这与时代对人才的要求极不相符。新一轮《基础教育课程改革纲要》明确指出：要培养学生分析和解决问题的能力。因此，在校本教研中，我们提出了“两环节+三反馈”问题探究教学——它是以问题的发现、探究和解决来激发学生的主体意识，符合新课程标准对教学目标的要求，也是时代发展对中国基础教育的必然要求。

二、构建“两环节+三反馈”问题探究教学模式

（一）中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学模式内涵

“两环节+三反馈”问题探究教学模式，是指通过出示目标——问题呈现——启发解惑——评价反馈——归纳整理等一系列师生互动与协作平台展现师生思维过程，明确问题、自主解决、积累经验的教学方法。该模式集中体现“以人为本”的教育理念，充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，以问题为中心，以自主解决为主线，以评价反馈为主导，以发展为目标，有效促进学生的科学素养。这样的教学模式重点在于问题的讨论和探究，学生围绕一个问题展开自主学习和合作交流，教师在这里充当一个“主持人”的角色，引导学生的探究有条不紊的进行，并适当的进行点拨和评价。“两环节+三反馈”教学是自主学习在数学学科教学中的具体应用。该模式适用于由传统的被动接受式学习向主动参与式学习转变，培养问题意识和解决问题的能力，通过探究引发学生求知欲，进而生疑、解疑、乃至创新！对于问题意识薄弱、自主学习不强、反馈矫正淡漠的学生尤其适用。

（二）理论依据

1.主体教育理论。在问题探究过程中，学生活动是第一位的。教师根据目标要求，按照学生认识事物的自然规律，教给学生探究学习方法，让其体验探究的每一个过程，帮助学生学会探索，教师不把知识硬塞给学生，学生也不简单的记忆。 学生在问题情景中，自主学习、自主探究，把获得的初步认识，与师生进行交流共享，彼此相互了解，相互借鉴，促进对理解错误的认识进行矫正、对不完整的认识进行补充[1]。

2.建构主义理论。学生是知识建构的主人，教师根据学生的认知水平、学习能力、生活经历和年龄特点，创设一种引导性的学习环境，重在学习方法指导，让其体验建构的循环过程，懂得认知水平的发展不是一蹴而就，帮助学生学会建构，教师不把固有的东西传递给学生，学生也不简单的记录整理。学生在会学的氛围中，主动学习，并在学习中看到自己认识的不足，在学习——建构——学习——重建，循环中得到不断丰富[2]。

3.认知发展理论。 “欲速则不达”。知识的形成是循环渐进的过程，教师就不要按成人的想法把知识灌输给学生，应对学生的想法给予理解与尊重，因此，创设一些能引起学生学习兴趣的材料，并根据学生认知水平和认知方式设计教学，让学生主动学习知识、去发现知识，让学生获得自我发展的体验[3]。

（三）构建原则

1.自主学习原则。自主是学生“习”的有效表现。学生根据目标导向，在教师的指导下，在学习过程中遇到问题时，要通过独立思考、动手实践和自我甄别形成自己的正确认识。重要的是在此过程中养成良好的阅读、质疑、矫正的行为习惯。

2.交往互动原则。交往互动是“导”与“习”同步性的有效保证，问题探究是以问题解决为主线来组织教学的，学生在学习过程中遇到疑难问题，要在交往互动情况下提出来，教师进行有针对性的点拨，使“导”与“习”协调地进行。

3.探究学习原则。探究学习是让学生经历知识的发现、形成和应用的过程，因此，教师的“导”应该是重视过程而非结果，学生的“习”重点是知识是怎样形成的、结果是怎样获取的、问题是怎么解决的。

4.反馈矫正原则。[4]学生的“习”是建立在问题探究的基础上，对学习成果和学习态度的肯定与否，教师应摒弃“成败性”的教学评价，学生更不要完全受制于教师的认定或否定。教师的“导”就必须抓好矫正与强化，当学生理解有错误或理解没有到位时，教师要进行点拨或启发学生自己来矫正。

三、中学数学“两环节+三反馈” 问题探究教学模式的操作流程与实施策略

（一）中学数学“两环节+三反馈” 问题探究教学模式的具体操作流程图如图所示：

在广泛听课和召开师生座谈会的基础上，吸收优秀教师的教学经验，通过认真分析研究后总结提出“两环节+三反馈” 问题探究教学模式。其目的是培养学生探究问题的能力，养成良好阅读、质疑、矫正的学习习惯。两环节包括教师活动环节和学生活动环节交错互动。教师活动环节是指：出示目标——问题呈现——启发解惑——评价反馈——归纳整理。学生活动环节是指：明确目标——阅读质疑——思考探究——讨论辨析——知识系化。三反馈是指问题反馈、思路反馈、评价反馈。问题反馈是指在师生互动环节中，教师根据目标，呈现思考题，学生在思考过程中出现的学习障碍或疑惑的反馈；思路反饋是指在师生互动环节中，学生利用已有知识和经验解决某个问题的思路的反馈；评价反馈是指在师生互动环节中，教师对学生在问题解决过程中的学习结果和学习态度的反馈。在教师与学生互动环节中，问题会不断呈现，学生解决问题的思路也会不断呈现，教师的评价也会不断呈现，由此可见，“两环节+三反馈”问题探究教学模式是在师生交错互动中把“问题、探究、评价”六个字贯穿始终。我们在具体实施时采用如下步骤：

1、出示目标。教师根据教材内容提出目标要求，说明教学目的。使学生明确目标要求，使得学习具有明确的方向，进而弄清教材的重点、难点、关键点、注意点、联系点；

2、问题呈现。教师根据具体问题创设情境，引问激思。学生感知素材发现矛盾，带着疑问逐字、逐句、逐段阅读教材，并对教材中的疑惑圈点勾画。在此过程中，教师要教给学生阅读的方法，帮助学生理解教材；

3、启发解惑。学生在阅读期间，教师要进行有目的的巡视，对学生标注的问题要进行整理。凡是学生经过思考或讨论后能解決的问题要留出时间让学生自己去解惑，凡是学生不能解决的问题，教师给予启发，再留出时间让学生去思考去讨论。

4、评价反馈。学生对学习的知识、习得方法等概括出的要点，以及解决某个问题的思路，教师要留出时间组织学生去讨论去甄别，不要直接予以认定或否定。特别地，教师要对敢于质疑、敢于尝试、不怕受挫的学生给予肯定。

5、知识系化。在学生思考讨论过程中，对得出的不完整的认识、几种相异的结论，教师要组织学生再次进行辨析，以便得出正确完整的结论。在此过程中，教师要注意学生接纳他人的辨析，对他人的想法给予理解与尊重。

（二）中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学的实施策略

1.创设问题情景策略。⑴创设“生活性”问题情景； ⑵创设“趣味性”问题情景；⑶创设“实验性”问题情景；⑷创设“探究性”问题情景；⑸创设“开放性”问题情景；⑹创设“矛盾性”问题情景；⑺创设“数学史”问题情景。创设问题情景，激发学生的兴趣，引导学生开展探究、辨析、交流等活动。

2.探究性学习策略。⑴情景型探究；⑵案例型探究；⑶实验型探究；⑷应用型探究。探究学习强调学生经历知识的发现、形成过程。因此，教师的“导”要学生亲自参与探究，体会怎样通过一次次的尝试才能解决问题

3.有效交流反馈策略。⑴营造民主、和谐的课堂氛围；⑵动手实践、自主探索、互动评价；⑶给予学生有效引导和点拨。有效交流反馈强调教师要从学生的角度出发，为学生创设交流反馈的时间和空间，教会学生交流反馈的方法，让学生真正参与到交流活动中去，在相互交流中完善认识，调整自我。

四、实施中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学模式所取得的成效

（一）学生的学习成绩明显提升

表1 实验班与对照班成绩对比（实验前）

表2 实验班与对照班成绩对比（实验后）

从表1表2可知，实验班和对比班的学生通过学习后，在知识与能力方面开始出现了非常显著的差异，实验班优于对比班，这非常显著的差别的出现与什么因素有关呢？从实验班和对比班的基本情况可以看出：实验前学生的智力因素和非智力因素不相上下，不同的是教学方法不一样。因此可以看出：不同的教学方法是引起实验班和对比班出现“非常显著的差别”的主要因素。

（二）学生学习数学的兴趣明显提高

表3 实验班学生兴趣水平实验前后比较

从表3可知，实验班的学生通过学习后，在兴趣方面开始出现了非常显著的变化，这非常显著的变化的出现与什么因素有关呢？因为教师通过各种渠道和手段，将教的信息及时传递给学生，而学生又通过各种活动和方法，将学的信息传给教师，就是这种双向互动交流，使学生及时理解、掌握新知，有效地强化了他们学习信心和教学效果。

（三）学生养成了良好的学习习惯

表4 实验班学生学习习惯实验前后比较

从表4可知，实验前学生在学习上普遍缺乏学习习惯。通过学习后，实验班学生在许多方面取得了明显的进展：1）阅读的习惯。学生能根据要求进行阅读，并能对教材中的疑惑进行圈点勾画；2）质疑的习惯。在学习过程中不盲从，对自己不明确的知识能提出质疑，并在交流中提出来；3）矫正的习惯。对学习中的问题首先自己解答，如有错误或出现理解不到位，在教师的点拨下，能进行矫正。

五、关于中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学的反思

（一）是否调动了学生主动解决问题的内在动机

在教学中，我们感觉到，学生主动解决问题的内在动机不够。解决问题需要学生一次次的尝试，而主动性是学生解决问题的前提，如果只是为了应付考试而解决问题，不仅对学生掌握知识和发展能力没有积极的作用，而且学生还会丧失学习兴趣，就失去了以问题解决为核心的意义。所以，要注意不能让“价值目标”背离了教育的根本目的，教师应尽最大努力激发学生主动解决问题的内在动机。

（二）是否提供了较充裕的时间和适当的空间

在教学中，教师往往从自己的角度考虑，认为教学内容多、时间紧，还要面临考试，探究就成为一种形式，掐头去尾，给予学生自主的时间就少、空间就窄。解决问题，特别是解决比较困难的问题往往需要深思熟虑，学生在时间仓促的情况下，很难进行透彻的思考，结果只能草率作答，学生在空间狭窄的情况下，很难与生活实际相联系，结果只能是闭门造车。所以，在解决问题时教师要给予学生比较充裕的时间和适当的空间，才能真正有助于提高学生解决实际问题的能力。

（三）是否创设了必要的具体问题情景

在教学中，许多教师为了激发学生的兴趣，也创设了情境，但目的多是感染学生情绪，表面热闹，与能力发展相去甚远。阻碍学生解决问题能力发展的，不是最后不能利用有关的理论，而是缺乏问题意识，不能将出现的问题置于适当的理论的情景之中。所以，教师应创设一定的具体问题情景，引起学生的探索愿望，教给学生科学的探究方法，并指导与帮助学生理解和分析问题，从而形成习惯与能力。

综上所述，中学数学“两环节+三反馈”问题探究教学模式，是在新课程实施过程中，深刻理解新课程精神实质，把新课程理念落得实处的有效尝试。为进一步推进中学数学校本教研，我们将针对实际问题作出有效研究。

参考文献：

[1]马斯洛.人的潜能和价值[M].北京：华夏出版社，1987：331.

[2]Boomer G， Onore C， Lester N， et al. Negotiating the curriculum： Educating for the 21st century[M]. Routledge， 1992：16-17.

[3]S 拉塞克，维迪努.从现在到2000年教育内容发展的全球展望[M].北京：教育科学出版社，1992：88.

[4]陈伯璋.潜在课程研究[M].中国台北：五南图书出版公司，1985：171-172.

作者：廖志鹏等

两环节+三反馈中学数学论文 篇2：

探究自然解法，培养核心素养

摘 要：通过对一道综合几何题的解题教学过程的剖析，找寻最自然的解法，最本真的思维方式，形成通过追求自然解法，培养学生数学思维方式；探究解法生成，培养学生数学关键能力；找寻丰富解法，提高学生思维品质和数学品格，从而培养学生的数学核心素养，全面促进学生发展。

关键词：解题教学；自然解法；核心素养

解题教学是数学教学的重要组成部分，是学生学以致用的一个重要环节，数学离不开解题，解题应追求解法自然。对于同一道题，由于个人的知识结构系统性不同、思维习惯有差异、数学活动经验丰富性差别等会形成不同的解法，但对于教师在解题教学过程中，应该注重分析、引导、找寻最自然的解法，最本真的思维方式，进行深层次思考与探究，培养学生以综合体现数学知识、技能、能力及情感、态度与价值观的数学素养，培养学生具备包含具有数学基本特征的关键能力、思维品质与数学品格的数学核心素养。现笔者以一道几何题为例，谈谈教学中探究分析该题解法的自然生成过程，及对培养学生的数学核心素养的几点思考。

一、题目呈现

如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE.（1）求证：△BCF≌△ACD；（2）猜想∠BEC的度数，并说明理由；（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由.

（2017年福建省三明市质量检测题）

二、解法与分析

本题以学生较为常见熟悉的以两个直角等腰三角形构造的几何图形模型为背景，巧妙设问，寻找图形的角度的不变性和三条线段的数量关系的不变性，分3小步设问，逐步加大难度。考查了学生的全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等数学知识技能能力，反映出学生数感、几何直观与空间想像能力，逻辑推理能力，创新意识与创新能力等数学核心素养。

1.第（1）小题，以考查全等三角形的判定，目标指向的两个三角形明确，并且已知一组边与一组角相等，只需再找一组角等即可，易证∠CBF=∠CAD或∠BFC=∠D，从而得证△BCF≌△ACD.

2.第（2）小题，由于点D是动点，∠BEC的位置不固定，要猜想∠BEC的度数，做好两步事情，第一步可以化动为静，第二步用量角器度量，另外再加猜想，它肯定是个锐角，而图中固定的锐角有∠BAC与∠ABC为45°，因此猜想∠BEC=45°。如何证明？存在几种思路：第一，只需证明∠BEC=∠DEC，可用构造全等三角形，角平分线判定定理等；第二，只需证明∠BEC=∠BAC，可用相似三角形对应角相等；第三，只需证明含锐角∠BEC的等腰直角三角形，或含锐角∠DEC的等腰直角三角形等方法。

2.1利用轴对称构造全等三角形

解法1：如图2，过C分别作CG⊥BF，CH⊥AD，垂足为G、H，由（1）△BCF≌△ACD，∴CG=CH（全等三角形对应高相等），∴∠BEC=∠DEC= 45°（角平分线判定定理）.

解法2：如图2，过C分别作CG⊥BF，CH⊥AD，垂足为G、H，易证△GCF≌△HCD，∴CG=CH，∴∠BEC=∠DEC= 45°.

分析：解法1，解法2是在运用全等三角形方法证明角相等，但起初只能找到角所在的△ECF与△ECD，但两组边相等且一组边的对角互补，就自然联想到作如图2的两垂线，构造全等三角形，培养学生几何直观、空间想象能力与创新能力。

2.2利用旋转构造等腰直角三角形

解法3：如图3， 在FB上截取FG=DE，连接CG， 由（1）知：∠CFG=∠D，CF=CD，∴△FCG≌△DCE.∴CG=CE，∠FCG=∠DCE.∴∠ECG=90°.∴∠BEC=45°.

解法4：如图4， 在BF上截取BG=AE，连接CG， 由（1）知：∠CBF=∠CAD，又AC=BC，∴△BCG≌△ACE.∴CG=CE，∠BCG=∠ACE.∵∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ACE+∠ACG=90°即∠ECG= .∴∠BEC=45°.

解法5：如图5，延长AD到G，使DG=EF（或者作∠DCG=∠FCE交AD延长线于点G.），连接CG，易证：△FCE≌△DCG（SAS）.∴CG=CE，∠FCE=∠DCG.，∴∠ECG=90°.∴∠CEG=45°，∴∠BEC=45°。

解法6：如图6，延长AD到G，使AG=EB，连接CG，易证：△BCE≌△ACG（SAS）.∴CG=CE，∠FCE=∠DCG.，∴∠ECG=90°.∴∠ECG=45°，∴∠BEC=45°。

分析：对于解法3，引导学生要∠CED=45°，将∠CED放在△DCE 中考虑问题，另外对于△DCE与△BCG，已有∠CFB=∠D，CF=CD可以通过截取构造全等三角形，另一方面，△BCF与△ACD全等并可以通过旋转得到，△DCE是△ACD的一部分，同样可以想象通过同样的旋转方式构造全等，因此作辅助线在FB上截取FG=DE得证。在此引导学生，能否以同样的方式得到不同的思考方法，不同图形的旋转得到不同的解法。类比解法，可以得出解法4、解法5、解法6。

2.3 利用相似三角形构造等角

解法7：如图1，由（1）知：∠AEB=∠ACB=90°，∠CBF=∠CAD，∴△AEF∽△BCF. ∴ 即 .∵∠AFB=∠EFC，∴△EFC∽△AFB. ∴∠BEC=∠BAC.∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°. 即∠BEC=45°.

2.4 利用共圓构造等弧对等角

解法8：如图7，以AB为直径作⊙O，连接OC，OE，∵∠AEB=∠ACB=90°，∴OC=OE= .即C，E都在以AB为直径的⊙O上，∵弧CB=弧CB，∴∠BEC=∠BAC.∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=45°. 即∠BEC=45°.

解法9：如图8，连接DF，，以DF为直径作⊙O，连接OC，OE，∵∠FCD=∠FED=90°，∴OC=OE= DF.即C，E都在以DF为直径的⊙O上，∵弧CF=弧CF，∴∠FEC=∠FDC.∵. 由（1）知：CF=CD，∠DCF=90°， ∴∠FDC=45°即∠BEC=45°.

3.第（3）小题，由于点D是动点，AC或BC的长度没有固定，因此线段AE，BE，CE的长度不固定，线段AE，BE，CE三者的数量关系如何确定？分几步思考，第一步，三条线段的数量关系有和差关系，乘积式或比例式关系及两者的综合关系。第二步，回忆模型含45°的直角三角形三边比为 ，第三步，度量三线段长度并猜测关系及初步几何直观推理。得出结论： 或 .如何证明？线段BE与AE的和差关系可用截长补短法， CE可以构造含线段CE的等腰直角三角形或构造相似比为 的两个相似三角形。

3.1 利用旋转构造等腰直角三角形

解法1：如图9，在BF上截取BG=AE，连接CG，易证△BCG≌△ACE. 易证CG=CE，∠ECG=90°.∴ . ∵BE-BG=GE，∴BE-AE= .

解法2：如图10，在FB上截取FG=DE，连接CG，易证BG=AE，△FCG≌△DCE. 易证CG=CE，∠ECG=90°，∴ ，∴BE-AE=GE = .

解法3： 如图11，延长AD到G，使DG=EF，易证△FCE≌△DCG（SAS），易证CG=CE，∠ECG=90°.∴ ，∴BE-AE= AG-AE =EG = .

解法4：如图12，延长AD到G，使得AG=BE，连接CG，易证△BCE≌△ACG. ，易证CE=CG，∠ECG=90°.∴ . BE-AE= AG-AE =EG = .

3.2 利用轴对称构造全等三角形

解法5：如图13，过C分别作CG⊥BF，CH⊥AD，垂足为G、H，易证△GCF≌△HCD、△GCE≌△HCE、△CEH是等腰直角三角形，∴ ，GE=HE，GF=HD∴. BE-AE=BF+EF-AE=AD+EF-AE=DE+EF=EH+DH+EF=2GE= .

.解法6：如图14，在EB上截取EH=ED，连接CH，过点C作CG⊥HF，垂足为G，易证△ECH≌△ECD，从而易证CD=CH=CF，△CEG是等腰直角三角形，.∴FG=HG， .∴BE-AE=（BF+EF）-（AD-DE）=EF+DE= EF+EH=2GE= .

解法7：如图15，在ED上截取EH=EF，连接CH，过点C作CG⊥AD，垂足为G，易证△ECH≌△ECF，从而易证EF=EH，CF=CH=CD，△CEG是等腰直角三角形，从而易证GH=GD， .∴BE-AE=（BF+EF）-（AD-DE）=EF+DE= EH+DE=2GE= .

解法8：如图16，在ED的延长线上截取EH=EB，连接CH，过点C作CG⊥EH，垂足为G，易证△ECB≌△ECH，从而易证CH=CB=CA，△CEG是等腰直角三角形，从而易证AG=HG， .∴BE-AE=EH-AE=（EG+HG）-（AG-EG）=2EG= .

3.3利用相似三角形构造比例线段

解法9：如图17，延长DA到P，使得EP=BE，连接BP，则△BEP是等腰直角三角形，∴∠P=∠PBE=45°， .∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ABC=45°.∴∠PBA=45°-∠ABE=∠EBC.由（2）有∠BEC=45°∴∠P=∠BEC.∴△PBA∽△EBC.∴ .∴ .∵PE-AE=PA，∴BE-AE = .

三、变式与反馈

聚焦课堂，聚焦解题，提高学生对数学基础知识的理解，可以通过做一题多解、多题一解，一题多变提升对知识点深入和透彻理解，达到一个能灵活和综合应用的高度，为促进学生思维认识与方法的掌握情况，提高学生核心素养，原题可变式为以下题目。

如图18，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC延长线于点F，连接CE.（1）求证：△BCF≌△ACD；（2）猜想∠BEC的度数，并说明理由；（3）探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由.

四、思考与启示

1.追求自然解法，培养学生数学思维方式。

解题教学，首先强调析题，对题目的一组线段相等、两个直角的显性条件的进行逻辑推理，对△BCF≌△ACD后的对应角、对应边、对应高相等、以及两个三角形可以通过绕点C旋转得到等隐性条件的挖掘，以及几何条件之间的关联，并通过两三角形已知两边相等及一组边对角互补，则另一边的对角相等的几何模型进行知识块的处理，并对要求得结论的演绎化推理，利用证等角可用的几种不同的方法完善的知识结构产生的解法的思考，通过构造全等三角形的基本模型。另一方面，求角度、求三边的数量关系，可采用猜测，度量验证，分析探究，逻辑推理，得出证明，从而形成数学活动经验，如三条线段的数量关系的证明可以采用截长补短方法、从而生成解法，形成新的数学活动经验与数学思维方式，提升学生的数学核心素养。

2.探究解法生成，培养学生数学关键能力。

解题教学中，引导学生已有锐角为45°的关联条件，猜想所求角∠BEC为45°角，引导学生度量线段长度，由45°的等腰直角三角形三边长 的比例关系，猜测三边的关系为 ，有利于学生提升数感能力；引导学生利用轴对称、构造全等三角形、旋转构造等腰直角三角形、利用相似三角形构造比例线段对应角相等、四点共圆多种不同证法，培养学生逻辑思维能力和几何直观能力；引导学生要证角等需要构造全等三角形、相似三角形、等腰直角三角形、等弧对等角，及要证三边关系，需要构造截长补短的图形、集中分散线段在同一图形中、利用轴对称构造全等三角形、利用相似三角形构造比例线段、利用轴对称构造全等三角形，培养学生创新意识与创新能力。通过变式与反馈再次培养学生数学关键能力，提升学生核心素养。

3.找寻丰富解法，提高学生思维品质和数学品格。

解题教学中，引导学生对数学本质的理解与探索有利提高学生思维品质，利用旋转构造两个三角形，从而构造出等腰直角三角形，证明出45°角和所求三边的关系，它的本质是原来△BCF与△ACD全等并可以通过旋转得到，现在只需把所求角或边所在的三角形，由△BCF与△ACD补上或剪去一个三角形得到新的两个三角形，同样利用轴对称构造全等三角形的本质就是出现∠BED的对称轴CE，在含锐角∠BEC或∠DEC的一个三角形，构造出另一个三角形。另外，在探索出一种解法后，引导学生克服困难，继续探究，引导挖掘另外的丰富解法，体验数学知识之间的巧妙联系，體验不同证法的异曲同工之妙，提高学生的思维品质和数学品格。

参考文献：

[1] 郑学涛.一道中考题的自然解法分析[J]. 中学数学教学参考：2016（10）29-30.

[2] 张进.探究一道竞赛题解法的心路历程[J]. 中学数学教学参考：2017（1-2）42-44.

[3] 汪晓勤.2017.HPM：数学史与数学教育[M].北京.科学出版社.

作者：连维勇

两环节+三反馈中学数学论文 篇3：

一道基于数学史的数学试题的命制与评析

摘要：卡莱尔的几何解法是数学史上解一元二次方程的著名方法之一。在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。在试题测评反馈、讲评拓展的基础上反思得到关于数学史类试题命制与数学史类试题融入数学教学的体会。

关键词：数学史;数学试题;卡莱尔的几何解法;一元二次方程

现各版本教材、各级各类考试中，以数学史为背景的阅读材料、习题、试题等日益增多，数学史素材的整理、裁剪和加工已成为试题命制的重要途径和方法。其中，2017年浙江省台州市中考数学卷第24题以直角三角板的移动操作为载体，融入卡莱尔的一元二次方程的几何解法，构思精妙，让人深感佩服。我們在一次命制九年级上学期期末考试数学卷压轴题的过程中，尝试重构卡莱尔的几何解法，将“圆和直线的交点”与“一元二次方程的根”关联，促使学生在运用圆、相似三角形等相关知识解决问题的过程中拓宽数学视野，激发学习兴趣，深化知识理解，激发创新意识。

一、卡莱尔的几何解法简介

19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔（Thomas Carlyle，1795—1881）在爱丁堡大学读书时，给出了一个十分新颖、简洁的任意一元二次方程实根的几何解法。这个解法后来被他的老师——苏格兰数学家莱斯利（John Leslie，1766—1832）收入《几何基础（第三版）》（1817）一书中，成为数学史上解一元二次方程的著名方法之一。具体如下：

三、命制设想

本题来源于数学史料，将数学史料中解决问题的思想、方法、结论加以迁移、应用、拓展，融历史于无形。具体设想如下：

本题共设五个环节，前三个环节中方程的二次项系为1，后两个环节中二次项系数非1，五个环节逐层递进，由简单到复杂、由特殊到一般，让在学生解决问题的过程中，感受问题研究的一般思路与方法。

命制“超级模仿秀”环节时，我们曾考虑直接呈现卡莱尔的几何解法史料。这样，整道题在布局上更美观，但对学生的阅读理解能力要求更高。在关注学生能力差异的同时，考虑到这一环节是几何解法构图的核心，我们最终决定以列举特例的形式呈现，让学生在阅读理解的基础上，模仿书写，加深对构图的认识。如此，不仅降低了起点，也为学生深入研究打好了基础。

“越战越勇”环节，第一空从代数角度出发，已知根写方程;第二空从几何角度出发，模仿构图，利用相似求定点B的坐标。两空求解过程相对独立，但数据间关联度很大，让学生进一步感知二次项系数为1的一元二次方程中一次项系数、常数项与几何解法构图中定点B的坐标之间的对应关系。此环节不仅是对第一环节构图法的灵活应用，考查了学生的逆向思维，也为下一环节归纳一般化结论奠定了基础。

“破晓”环节是对前面两个环节解题感悟的显性呈现。学生可在前两环节特例的基础上猜想一般性结论，然后利用第一环节的构图法进一步确认结论的正确性，从而揭开卡莱尔几何解法的神秘面纱，也为二次项系数非1的一元二次方程的几何解法提供思考的方向。

“奔跑吧”环节中一元二次方程的二次项系数非1，可以利用转化思想将系数化为1。这一思想与教材中求根公式推导过程的第一步一致，引导学生回归教材，使其发挥应有的“范本”功能。

“乘风破浪”环节要求模仿构图确定一元二次方程，经过类比操作验证，让学生意识到定点A的纵坐标并非一元二次方程的二次项系数，同时产生新的问题：能否类似卡莱尔的几何解法，利用定点的坐标直接表示一元二次方程ax2+bx+c=0的根？给学生留下广阔的思考空间，将问题探究引向深处。

四、测评反馈

（一）整体数据分析

本题满分12分，考试均分2.50分。各小题（环节）的分值与得分率如表1所示。

第一环节正确率为74%，在预估范围内，说明大部分学生能理解题意，并能再现解题过程。第二环节正确率大幅下降，说明学生灵活运用以及逆向思考的能力不足;而第一空正确率低于第二空，有些异常，说明学生对已知根求一元二次方程这个相对独立的知识点掌握得不是很好。第三环节正确率与第二环节基本持平，可以看出学生从数到字母的过渡掌握得较好。第四环节正确率偏低，说明学生对第一环节中构图的适用条件不清楚，将系数化为1的转化意识淡薄。第五环节正确率与预估基本吻合，说明能够深刻理解并运用构图法的学生甚少。

（二）典型错误分析

第二环节和第三环节的典型错误如下页图6、图7所示。图6说明学生已关注具体数值的符号问题，但在已知根直接写一元二次方程的符号处理上有误。图7说明学生意识到一般情况下的符号问题，但是没有处理好符号的统一性问题。测试后，与出现图7所示错误的一位学生当面交流，发现该生误认为在第一象限是“-b”，那么在第二象限一定是“+b”，即忽略了b本身的正负性，于是分情况来表示。

第四环节的典型错误如图8、图9所示。这样的错误说明学生只是简单地模仿第一环节构图，误认为定点A的纵坐标对应一元二次方程的二次项系数，而没有将系数化为1。图9更是说明学生没关注到常数项的符号与定点B纵坐标的符号的关系，符号意识与应用意识有待提高。

第五环节的典型错误有选CD和选BC。这两种错误首先是选择了两个答案，与图6所示的错误有相同的认识误区。选CD说明学生没有重构卡莱尔的图形，想当然地认为定点A的纵坐标即为二次项系数。选项B和C的两个方程之间没有必然的联系，说明学生对卡莱尔几何解法的理解比较模糊。

五、讲评拓展

卡莱尔的几何解法将圆和x轴交点的横坐标与一元二次方程的解建立了对应关系。命制试题时考虑到结构因素，无法面面俱到，只呈现了圆和x轴有两个交点的情况，因此，对只有一个交点、没有交点的情况，可以在讲评时拓展。具体操作如下：

结合图1，引导学生初步感知：若点B的横坐标-b确定，当纵坐标c较大时，圆与x轴没有交点（如图10）;当纵坐标c取某一特殊值时，圆与x轴只有一个交点（如图11）;当纵坐标c较小或为负值时，圆与x轴有两个交点（如图12）。

六、反思

（一）数学史类试题命制的体会

如何命制以数学史料为背景的数学试题呢？可选用显性的重现式，也可选用隐性的改编式或迁移式。例如，李隽易的《数学文化题编拟研究》一文例6显性重现文化物品“鲁班锁”，通过设问引导学生运用所学几何知识探究鲁班锁这一新几何体的几何性质。再如，上文试题隐性“分解”改编卡莱尔的几何解法，分层设计，丰富内涵，在考查基本知识与基本技能的同时，揭示了数学问题的本质，加深了学生对数学史料的理解。

数学史类试题的命制还应注重挖掘和拓宽数学史料中的相关内容，突出数学文化的核心价值，也可尝试开放性探究。例如，卡莱尔的构图法适合二次项系数为1的一元二次方程，上文命题时，我们引导学生思考可否直接构图表示二次项系数非1的一元二次方程的根，从而在拓宽学生思维的同时，培养学生敢于提问、善于思考的品质，强化学生的探究精神。

（二）数学史类试题融入数学教学的体会

数学史对学生的数学学习有重要的促进作用。融入数学史类试题的数学教学中，数学史可为教师提供丰富的教学素材，可帮助学生“发现”新知识或新的思想方法。例如，上文试题引导学生“发现”了一元二次方程的图形解法;讲评时研究“一元二次方程的根”与“圆和直线的交点”的关系，直观形象的表示让学生眼前一亮，帮学生打开了思维的一扇窗;“系数化为1”回归教材的设计，引领学生用好教材，理解教材意图，发挥例题应有功能;进一步可引导学生查阅法国著名数学家笛卡儿、德国数学家斯陶特等的一元二次方程的几何解法，让学生欣赏与热爱数学。

参考文献：

[1] 汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学——理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版，2019.

[2] 张安军.“古为今用”数学文化融入中考试题命制剖析——以“一元二次方程”几何解法为例[J].中学数学杂志，2020（6）.

[3] 李隽易.数学文化题编拟研究[J].数学通报，2018（9）.

作者：程银生 杨巧玲