由电势直接计算电场力的方法及应用

2022-10-27

1 直接由电势计算电场力的方法

1.1 电场力与电标势的关系

一带电体, 电荷密度为ρ, 置于外电场中E′, 则其受到的电场力为:

积分遍及电荷分布区域。设外电场E′在该区域产生的电标势为ϕ′, 则E′=-∇ϕ′, 代入 (1) 式中得:

式中第二项积分区域为V的包面。

(1) 式给出电场力与电标势的直接联系。由此, 我们已知电荷分布及电标势, 便可求出电场力。

(2) 式中ϕ′是外电场在受力电荷处产生的标势, 如果用所有电荷产生的电标势ϕ来代替ϕ′, 结果会怎样呢?下面我们对此进行分析。

设受力电荷自身产生的电标势用ϕ自表示, 则ϕ=ϕ′+ϕ自, 代入 (2) 式中得:

因为

而∫VñE帺dV是所有受力电荷相互作用力之和, 等于零, 所以:

上式说明, 受力电荷自身的电标势不产生纯力, (2) 式中的ϕ′可以用所有电荷产生的电标势ϕ来代替。

值得注意的是, 当电荷均匀分布时, ρ为常量, 由 (5) 式得:

1.2 电场力与电矢势的关系

电荷密度为ρ, 体积为V的带电体, 置于外电场E′中, 如果用A′表示外电场E′在该区域产生的电矢势, 则:, 代入 (1) 式中得:

积分遍及电荷分布区域。由矢量恒等变换关系得:

上式中, 若电荷均匀分布, ρ为常量, 则有:

需要说明的是, 由于电矢势仅定义于产生该矢势电荷的外部区域, 故以上方程中, A′只能是外矢势。

2 应用与讨论

2.1 由电标势求电场力

我们比较 (1) 式与 (6) 式, 大家不难发现, 应用 (6) 式解题具有以下特点: (i) 积分函数为标量, 易于积分; (ii) 电标势ϕ′或ϕ往往比电场强度E′易于求出; (iii) 体积分降为面积分, 使积分简化; (iv) 积分元为矢量, 在某些对称情况下, 有可能使计算简化。下面我们分析个常见题目。

例一个均匀带电圆球体, 所带电量为Q, 球体半径为a, 由两个分立的半球组成, 求上、下两半球间的作用力。

文献[3]中曾专门讨论过此例题, 并用麦克斯韦应力张量方法予以解决, 现在用电势来求, 更为简洁。

求上半球受到下半球的作用力。电荷均匀分布, 由 (6) 式求解。ϕ′是下半球在上半球处产生的电标势, 很难计算, 因而我们用整个球体产生的电标势ϕ来求解。

我们可以方便地求出上半个球体内任一点的电标势为:

到球心的距离。

上半个球体的包面可分为两部分, 即上半部半球面与水平圆平面。故积分也分成两部分。对上半部球面有:

k) 为垂直于上半球水平圆面向上的单位矢量。对水平圆面有:

我们再来比较一下 (1) 式与 (5) 式, 似乎只有电势有时比电场强度易求的优点了。

2.2 由电矢势求电场力

电矢势的提法, 文献[1]中有所介绍。电矢势不为大家所熟知, 也没有任何应用, 因而最常见电荷分布情况下的电矢势表达式我们也要通过计算获得。所以在应用公式 (9) 或 (10) 求电场力时, 须先求出带电体所在处的外矢势A′。电矢势的计算难于电标势, 且对电场强度E′的依赖度大, 故使计算复杂。我们尝试以电矢势计算下题。

例, 平行板电容器, 平行板为圆盘状, 半径为a, 板间距离为d (很小) , 带等量异号电荷, 电荷面密度为, 求极板间的作用力。

设上盘带负电, 下盘带正电, 我们求-ó盘受力。以下盘面中心为原点, 以垂直于盘面向上为z轴建立柱坐标系, 由电荷分布对称性知, r相同处, +ó盘在-ó盘处产生的电矢势A′大小相同。在-ó盘上取半径为r的圆为积分环路, 则:

方程左侧:

方程右侧:

由 (9) 式:, -ó盘面上每一面元受力都沿径向, 合力为零, 只有侧边缘受力无法抵消。设盘厚度为t, 类似电标势情形, 是长度积分元, 方向垂直于侧边缘向外, 则

显然, 此题由 (1) 式计算极为简洁。

由电矢势求电场力为我们提供了一种新的计算电场力的途径。目前用它来解决问题较之其它方法更繁杂, 它的用途还有待于大家进一步研究。

摘要：对直接由电势计算电场力的方法进行分析与讨论。

关键词：电场力,电标势,电矢势