在五种数学思想指导下解圆锥曲线题目

2022-11-14

圆锥曲线是高中数学的重要内容, 也是历年高考的必考内容, 要迅速而准确地解答有关圆锥曲线的题目, 必须有效贯彻五种“思想”。

1 方程的思想

解析几何的根本方法就是用代数方法研究几何图形的性质。而圆锥曲线的题目大多也是以方程的形式给出直线或圆锥曲线, 因此常用方程的思想来讨论直线与圆锥曲线问题。如解决与“距离”、“中点”有关的问题时, 一般是将直线方程代入圆锥曲线方程, 消去一个未知数, 化成关于x (或y) 的一元二次方程, 利用根与系数的关系得到x1x2、x1+x2 (或y1y2、y1+y2) , 进一步去解决问题。

〖例1〗。抛物线y=x 2+c与直线x+2y+b=0相交于A、B两点且 (0为坐标原点) ,

〖分析〗联立方程组, 消元得一元二次方程, 由根与系数的关系可得x1·x2和y1·y2, 然后由条件可求b, c的值。

解:由

得2x2+x+2c+b=0。设A (x1, y1) , B (x2, y2)

则x1+x2=-, x1·x2=

又|AB|=,

由 (1) (2) 解得b=3, c=-3或b=,

2 分类讨论的思想

分类讨论是中学数学解题的重要思想, 分类讨论解题的一般步骤是: (1) 确定分类的标准及对象; (2) 进行合理分类; (3) 逐类进行讨论; (4) 归纳各类结果。在圆锥曲线的题目中, 常常用分类讨论的思想。如轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数范围问题等都可能因变量范围不同而结果不同, 因此要对变量分类讨论才能确定最后结果。

〖例2〗求过点P (0, 1) 且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程。

〖分析〗利用判别式△=0求解, 但应对斜率不存在的情况进行讨论。

解: (1) 若直线斜率不存在, 则过P (0, 1) 的直线方程为x=0

由得x=0, y=0,

直线x=0与抛物线只有一个公共点。

(2) 若直线斜率存在, 设为k, 则过P的直线方程为y=kx+1

由方程组消元得:k2x2+2 (k-1) x+1=0

(1) 当k=0时, 则得

即直线y=1与抛物线只有一个公共点。

(2) 当k≠0时, 若直线与抛物线只有一个公共点,

则:△=4 (k-1) 2-4k2=0, ∴k=∴直线方程为y=x+1

综上所述, 所求直线方程为x=0, 或y=1, 或y=x+1。

3 函数的思想

在圆锥曲线的题目中, 常有一些点或线是处在运动变化中, 这就会引起一些相互制约的量, 它们之间可能构成函数关系。例如最值问题、参数取值范围问题等, 常用函数思想来处理这类问题。

〖例3〗直线m:y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点, 直线l过点P (-2, 0) , 又过AB弦的中点M, 求l在y轴上截距b的取值范围。

〖分析〗联立方程组, 利用△>0及x1+x2<0, x1x2>0建立关于k的不等式, 求出k的取值范围, 再用k表示b后, 用函数的单调性求b的范围。

解:由题意, 得, 消去y, 得 (1-k2) x2-2kx-2=0,

设A (x1, k x1+1) , B (x2, k x2+1) , 则x1+x2=, 设M (x, y) ,

则由于P (-2, 0) , M () , Q (0, b) 共线,

所以

即

由于直线m和双曲线的左支交于不同的两点,

所以解不等式组, 得1

设f (k) =-2 k 2+k+2, 则f (k) =, 因f (k) 在 (1, ) 上逐渐减小, 故f () 2

4 数形结合的思想

数形结合思想主要体现在两方面: (1) 借助图形性质使有关“数”的问题直观化、形象化。如研究两曲线位置关系问题;求直线斜率取值范围问题、数式的最值问题等, 都可画出图形, 把代数问题几何化, (2) 用数式的推理来揭示“图形”的性质, 即将几何问题代数化。如求轨迹方程问题、判断直线与圆锥曲线的位置关系问题等。

〖例4〗如图一, 若点A (3, 2) , F为抛物线y2=2x的焦点, P为抛物线上任意一点, 求|PF|+|PA|取最小值时点P的坐标。

〖解析〗抛物线y 2=2 x的准线方程为x=-, 过P作PQ垂直于准线于Q点。由抛物线定义得|PQ|=|PF|, 所以|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|, 要使|PQ|+|PA|最小, A、P、Q三点必共线, 即AQ垂直于准线, AQ与抛物线交点为P点。

从而|PF|+|PA|的最小值为3+, 此时P点坐标为 (2, 2) 。

〖例5〗如图二, 已知x, y满足, 求y-3x的最大值与最小值。

〖解析〗令y-3 x=b, 则y=3 x+b, 原问题转化为在椭圆上找一点, 使过该点的直线斜率为3, 且在y轴上有最大截距或最小截距。

由图可知, 当直线y=3 x+b与椭圆相切时, 有最大或最小的截距。

将y=3 x+b代入, 得169x2+96bx+16b2-400=0,

令△=0。解得b=±13。故y-3x的最大值为1 3, 最小值为-1 3。

5 化归与转化的思想

在直线和圆锥曲线相交的有关问题中, 如证明线段相等或求弦长等, 如果直接求交点, 再求长度, 思想很简单, 但计算复杂, 此时如进行合理转化, 可简化运算, 事半而功倍。

〖例6〗如图三, 直线l交曲线及渐近线于A、B、C、D四点, 求证:|AB|=|CD|。

【分析】此题若求交点, 然后再求距离, 显然比较复杂, 那么怎样把问题进行合理转化?即要证明|AB|=|CD|只要说明什么问题即可?从图中可知, 只要说明线段AD的中点与BC的中点重合, 即可说明|AB|=|CD|, 于是问题转化为证明线段A D与B C有相同的中点, 这样利用根与系数的关系求解不难。

【证明】设BC的中点为M (x0, y0) 且A, B, C, D, 的坐标依次为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , D (x4, y4) ,

并设l的方程为y=kx+t (k不存在时显然成立) , 代入双曲线方程, 整理得 (b2-a2k2) x2-2a2ktx-a2t2-a2b2=0,

把y=k x+t代入渐近线方程, 整理可得 (b2-a2k2) x2-2a2ktx-ation Herald图二图三图一用根与系数的关系求解不难。证明】设BC的中点为M (x0, y0) 且A, D, 的坐标依次为A (x1, y1) , B (x2, y2) , C3) , D (x4, y4) , 设l的方程为y=kx+t (k不存在时显然, 代入双曲线方程, 整理得 (b2-a2k2) x2-x-a2t2-a2b2=0, , y=k x+t代入渐近线方程, 整理可得 (b2-a2k2) x2-2a2ktx-a2t2=0,

∴B C与A D的中点横坐标相同, 于是它们的中点重合, 从而|AB|=|CD|。

〖例6〗使抛物线C:y=ax2-1 (a≠0) 上总有不同的两点关于直线l:x+y=0对称, 试求实数a的取值范围。

【分析】对称问题若直接计算会很复杂, 而将问题进行合理转化, 可便于计算且易于理解。

【解析】设点A (x1, y1) , B (x2, y2) 是抛物线C上关于直线l对称的两点 (x1≠x2) ,

故可设lAB:y=x+b由消去y, 得ax2-x- (1+b) =0 (1)

由于x1≠x2, 方程 (1) 有两个不相等的实数根,

又设AB的中点为M (x0, y0) , 则由 (1) 可得

由点M在l上, 可得

可得, 代入 (2) 得。

摘要：方程、分类讨论、函数、数形结合、化归与转化等思想方法是迅速而准确地解决圆锥曲线题目的有利的思想武器.

关键词：圆锥曲线,解题,思想