解决排列组合混合问题的策略

2023-01-14

排列组合问题是中学教学的重要内容之一, 是学习概率的基础, 其解题方法抽象性强, 不易掌握, 解题易犯“重复”或“遗漏”的错误, 且计算结果不大好检验。因此, 解决排列组合问题要讲究策略, 自先要认真审题, 要清楚是排列问题, 还是组合问题;其次要合理地、准确地应用分类与分步计数原理。下面将对几种典型的排列、组合问题进行策略分析, 大家共同寻找解决排列、组合问题的实战方法。

一、特殊元素优先安排的策略

对于带有特殊元素的排列事问题, 一般应先考虑特殊元素, 再考虑其他元素。

用0, 2, 3, 4, 5这五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有 ()

A、24个B、30个

C、40个D、60个

解析:因组成的三位数为偶数, 末尾的数字必须是偶数, 又0不能排在首位, 故○是其中的“特殊”元素, 应优先安排, 按0排在末尾和0不排在末尾分为两类: (1) 当0排在末尾时, 有个; (2) 当0不在排在末尾时, 三位偶数有个, 据加法原理, 其中偶数共有个, 选B

二、合理分类与准确分步的策略

解含有约束条件的排列组合问题, 应按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到分类标准明确、分步层次清楚, 不重不漏。

平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直, 则它们构成的矩形共有_____个。

解析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步, 先在4条平行线中任取两条, 有种取法;第二步再在5条平行线中任取两条, 有种取法, 这样取出的四条直线构成一个矩形, 据乘法原理, 构成的矩形共有个。

三、排列组合混合问题先选后排的策略

对于排列与组合的混合问题, 可采取先选出元素, 后进行排列的策略。

4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子, 则恰有一个空盒的放法有_____种。

解析:这是一个排列与组合的混合问题, 因恰有一个空盒, 所以必有一个盒子要放2个球, 故可分两步进行:第一步先选, 从4个球中任选2个球, 有种选法, 从4个盒子中选出3个, 有种选法, 第二步排列, 把选出的2个球视为一个元素, 与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作出排列, 有种排法, 所以满足条件的放法共有种。

四、正难则反、等价转化的策略

对某些排列组合问题, 当从正面入手情况复杂, 不易解决时, 可考虑从反面入手, 将其等价转化为一个较简单的问题来处理。

马路上有编号为1、2、3、……9的9只路灯, 为节约用电, 现要求把其中的三只灯关掉, 但不能同时关掉相邻的两只或三只, 也不能关掉两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有__种。

解析:关掉第一只灯的方法有7种, 关第二只、第三只灯时要分类讨论, 情况较为复杂, 换一个角度, 从反面入手考虑, 因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列, 于是问题转化为在6只亮灯中插入, 3只暗灯, 且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端, 即就是在6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯, 其方法有种, 故满足条件的关灯的方法共有10种。