论场强公式E=σ/(2ε0)和E=σ/ε0

2022-09-11

学习过《电磁学》后, 脑中盘旋着许多有关电和磁的疑问。经过再三的研习教材和反复的思考, 对这些问题有了自己的一些见解和看法。其中之一是有关较大带电平面周围的场强公式和导体表面附近的场强公式的, 它们之间相差两倍, 这是有什么原因引起的呢?这之间有没有一些内在而必然的联系呢?经过思考我有了想法与答案, 下面加以详细叙述。

1 场强公式推导及问题的提出

对于较大带电平面, 我们研究距离较近的场点电场时可将平面看作无限大。假设无限大带电平面上面电荷均匀分布, 面电荷密度为, 由对称性分析得, 电场分布必然对该平面对称, 而且离平面等远处 (两侧一样) 的场强大小相等, 方向处处与平面垂直, 并指向两侧。如图1所示为无限大带正电平面周围的场强分布。根据场强分布的这个特点, 我们选一个轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面, 如图2所示。由于没有电场线穿过圆柱面的侧面, 所以通过整个闭合面的通量等于穿过两个底面 (面积大小为) 的通量。由高斯定理得

而实际上无限大带电平面只是一种理想的物理模型, 实际中对于有限大带电平面附近该公式也成立[1]。

再来看带电导体表面附近的场强。如果把导体表面视为没有厚度的理想化的面, 在面的两侧, 场强有突变, 在内侧 (导体内) , , 在外侧 (导体外) , 。如图3所示, P点是导体表面附近的一点, 其场强垂直于导体表面。为研究其大小, 我们作微小高斯面。在导体表面上任取一个小面元, 取得足够小, 可以认为它上面的电荷分布是均匀的。设电荷面密度为, 则上的电量为。如图3围绕作一扁柱形闭合面S, 使上下底面都平行于, 上底面恰在导体之外, 下底面在导体表面内。应用高斯定理得;

上式说明处于静电平衡的导体表面附近的场强正比于该点处导体表面的局部面电荷密度[2]。这恰好与无限大带电平面的情况成2倍的关系, 两者之间似乎存在着其种关系。

因为在导体表面面元△S的电荷分布几乎是均匀的, 它附近的场强的分布也可看作是均匀的, 所以导体表面各个面元△S附近电场分布情况应该是等同的, 但为什么与较大的带电平面附近的场强有个2倍的关系呢?这是不是存在矛盾呢?

回头看上面的证明过程就不难看出较大带电平面中的场强的有效积分范围是2△S, 而导体表面场强的有效积分范围仅仅是△S (△S的内侧场强为零) , 更深入一些也就是说前者的电场分布在△S的两侧的, 而后者仅分布在一侧, 所以才有2倍的关系, 这是从高斯定理的角度来解释的。

但若剖根问底地问, 既然两种情况的电荷分布可看作等同, 而电荷分布决定电场分布, 电场强度为什么不相等呢?其实上面所说的完全等同只是对高斯面附近的描述, 两者之间还是有很大区别的。下面对这种区别加以解释。

2 问题的解决

对于较大带电平面, 它只是一个面, 其周围场点的场强由带电平面上所有电荷共同产生的。为了体现这个“共同产生”, 我这样来推导场强公式。利用图4所示的一个半径为α, 带电总量为的均匀带电细圆环在自己轴线上任一点P处产生的场强结果;

将无限大带电平面看作是一系列带电圆环的组合。如图5, 在面电荷密度为平面中任取其中一个圆环, 设其半径为, 宽度为, 其上所带电荷为, 产生的场强大小为

所有带电圆环产生的场强方向相同, 均沿轴正向, 则无限大带电平面产生的场强

对于导体表面, 利用式可以由导体表面某处的面电荷密度求出当地表面近邻处的场强。但不要认为导体表面近邻处某点的仅仅是由当地导体表面上的电荷激发的, 实际上它是由空间所有电荷 (包括该导体上的全部电荷以及导体外所有的其它电荷) 共图6同激发的, 而是这些电荷的合场强。当导体外的电荷位置发生变化时, 导体上的电荷分布也会发生变化, 而导体外面的合电场分布也要发生变化。这种变化将一直继续到使导体又处于静电平衡状态为止。

无论怎样的导体, 表面都是闭合面, 如图6所示, 导体表面可看作是所在处的面元△S和剩余部分S'的合成。在离它充分近的P点的场强应是两部分在P点产生场强的矢量和。取垂直△S向外方向的单位矢量为, 是导体外靠近△S中心的一点, 是导体内靠近△S中心的一点, 、都靠近△S中心, 故△S上的电荷在这两点产生的电场和便可看作很大的均匀平面电荷产生的电场, 即:

设其余部分S′在、两点产生的电场强度为和, 则

由于点在导体内, 故, , 因在从穿过△S中心到是连续的, 对于导体外一点有

在库仑1788年发表的论文中, 已讲到划分出△S的考虑方法, 后来拉普拉斯也向泊松讲过这种方法[3]。本文采用这种方法更好地说明了导体外场点场强的产生原因与结果。

3 结语

总而言之, 决定电场分布的不只是高斯面内电荷, 它是由整个带电体系的电荷分布所决定的。对上面两种情况之间的2倍关系, 我们之所以产生疑惑, 是因为我们错以为是高斯面内的电荷决定了电场分布。两个场强公式的证明和推导完毕, 可以看出两者之间的二倍关系并不存在着矛盾, 它们都可通过库仑定律和场强叠加原理推出的。

摘要：无限大带电平面 (或有限大带电平面的附近) 与带电导体表面附近的场强公式之间的差别是由电荷的分布决定的。

关键词：无限大带电平面,导体表面,高斯定理