纯净水安全监控问题

1 问题的分析

本题主要考虑纯净水的四类危害因素, 即电导率、菌落总数、大肠菌群、霉菌, 探讨了某城区九家生产并销售纯净水的公司的纯净水安全形势和评判排序问题。

2 基本假设

(1) 本文主要考虑电导率、菌落总数、大肠菌群、霉菌对纯净水的危害作用, 不再考虑其它对纯净水影响的因素。

(2) 电导率、菌落总数、大肠菌群、霉菌对水的危害作用相互独立。

(3) 附件中所给数据都是真实可靠的。 (4) 该城区有且仅有九家生产并销售纯净水的公司。

(5) 对于国家相关部门的各种专项检验, 该城区的九家公司都积极配合。

(6) 在国家相关部门专项检验之前, 各公司已经完成各个批次的生产。

(7) 各公司生产纯净水的风险度不考虑其它意外因素, 仅与该公司的生产工艺和设备有关。

(8) 各公司连续几年内处于稳定状态。

3 符号说明

P1i为第i种样品的电导率结果。

iP2为第i种样品的菌落总数结果。

P为第i种样品的大肠菌群结果。

iP4为第i种样品的霉菌结果。

W1i为经归一化后的第i种样品的电导率结果。

f为纯净水的污染指数。

W2i为经归一化后的第i种样品的菌落总数结果。

g为公司的风险度。

W3i为经归一化后的第i种样品的大肠菌群结果。

r为纯净水的危险指标。

W4i为经归一化后的第i种样品的霉菌结果;其中, i=12, , Λ35。

4 建立模型与求解

4.1 数据的归一化

纯净水的污染系数主要由纯净水的电导率、菌落总数、大肠菌群、霉菌这四种因素决定, 而这些因素所取参数的衡量范围不同, 因此要对数据进行归一化处理, 把所有的数据处理到相同的数量等级。这里采用简单的归一化:

4.2 模型Ⅰ (层次分析法获得权重系数)

层次分析法的思路是:分析系统中各因素之间的关系建立系统的递阶层次结构;然后对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较, 够造成对比较判断矩阵;由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重, 并进行一致性检验, 最后再计算各层元素对于系统目标的总排序权重, 并进行排序。

鉴于此, 将水质分为好、中、差三个等级, 危害水质的因素只有导电率、菌落总数、大肠菌群和霉菌。

我们可以根据题意比较准则层中各个因素的重要程度, 构造出它们两两成对判断矩阵:

矩阵A= (a ij) 4×4中的aij必须具有以下性质:

恒正性:aij>0互反性:规范性:aii=1传递性:aikakj=aij。

在构造出矩阵A后, 可以运用行和归一化方法计算出它们相对于准则层的相对权

重:

同理构造出三个等级在导电率、菌落总数、大肠菌群和霉菌两两成对判断矩阵:

进而得到权重系数 (λ1, λ2, λ3, λ4) , 最后我们采用一致性指标进行检验。

4.3 模型Ⅱ

由题意可知, 电导率越高, 菌落、大肠菌群、霉菌越多, 纯净水的污染程度越大。通过上面的加权得到纯净水的污染指数模型:

对于相同批次的不同样品, 取它们的平均值作为该批次的纯净水污染指数。

4.4 模型Ⅰ求解

首先利用层次分析法, 对数据进行了求权重系数, 因此得到如下评判矩阵:

经计算可知 (λ1, λ2, λ3, λ4) =0.5267, 0.3005, 0.1098, 0.063

4.5 模型Ⅱ求解

根据模型Ⅱ可求出所有批次的纯净水污染指数, 将其按从小到大的顺序进行排序, 结果见表1。

显然, 污染指数越小的纯净水越安全, 反之越危险。从上表可清晰地看出各个批次纯净水的安全性。

5 模型的推广

模型一具有广泛的普遍性和适用性, 只要改变其中的部分权重, 或增加若干个衡量目标的准则, 都可应用于其它的水质评判甚至是环境污染评判等类似问题。

模糊聚类分析模型对很多分类问题有非常好的效果, 如生物的分类等, 该模型具有广泛的普遍性和适用性, 也能很好的体现同类的特点, 具有很高的实用性。

摘要：本文针对纯净水的安全监控问题, 对影响纯净水的主要危害因素进行了深入研究, 运用层次分析法和主成分分析的思想, 建立了相应的纯净水安全形势和评判排序数学模型, 并借助Matlab软件对该城区所有批次的纯净水进行了科学合理的评判排序。

关键词：纯净水,层析分析,主成分分析,评判排序

参考文献

[1] 蔡锁章, 数学建模[M].北京:中国林业出版社, 2003, 7:152～189.

[2] 同济大学概率统计教研组.概率统计[M].上海:同济大学出版社.1994, 3:45～89.