高考热点之导数与不等式的相结合——谈恒成立问题

高考试题中经常出现含有参数的不等式恒成立问题,是高考数学的另一个重要知识点且长盛不衰,常考常新,现在以06年的部分高考题试题和07年的部分模拟试题结合谈一谈这个问题:

例1 (全国II)设函数式f(X)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.

基本思路:通过不等式恒成立,构造函数,令g(x)=(x+1)ln(x+1)-axn通过求导判断出g(x)的单调性n再求出g(x)≥g(0)成立的条件。

解:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,

对函数g(x)求导数:g'(x)=ln(x+1)+1-a

令g'(x)=0,解得x=ea-1-1,

(1)当a≤1时,对所有x>0,g'(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,

又g(0)=0,所以对x≥0,都有g<(x)>g(0),

即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax.

(2)当a>1时,对于0

又g(0)=0,所以对0

即当a>l时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.

综上,a的取值范围是(-∞,1]

评注:本题通过不等式恒成立求参数范围问题。主要考查函数的导数和利用导数判断函数的单调性,借助函数值的变化情况进行求解,其中主要利用分类讨论的数学思想方法。

例2 (全国卷1)已知函数。

(Ⅰ)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;

(Ⅱ)若对任意x∈(0,1),恒有f(x)>1,求a的取值范围。

基本思路:先求出函数f(x)的导数,通过分类讨论判断导数与0的大小关系,可判断函数的单调性,并在此基础上求使不等式恒成立的条件。

解:(I)略解:

(1)当a=2时,得f(x)在(-∞,1),(1,+∞)为增函数。

(2)(1)当0

(3)当a>2时,得f(x)在(-∞,),为增函数,f(x)在(—为减函数

(Ⅱ)(1)当0f(0)=1

(2)当a>2时,取,则由(I)知f(x0)

(3)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有ie ax≥1:,得

。综上当且仅当a∈(-∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

评注:本题考查复杂函数的求导、单调性的研究以及分类讨论思想的运用。

例3肇庆市2007届高中毕业班第一次模拟测试(理科)第20题

已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立。

(1)求实数a的取值范围:

(2)证明:

存在数列满足且。

基本思路:通过不等式恒成立,分离参数,令,通过求导判断得出g(x)的单调性,得使不等式恒成立。

解:(1)由题意,即是要使在区间(1,+∞)内恒成立。

设,则,

Q当x>1时,

∴在区间(1,+∞)内单调递减,

递减,

∴当x>1时,g(x)

故

(2)略。

例4江门市2007年高三调研考试(理1科)第20题

已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f (x)=|x+a|

(1)求函数f(x)的表达式。

(2)如果对于区间(0,1]中的任何x,恒有成立,求实数a的取值范围。

基本思路:先利用奇偶性关系求出函数在x>0时的表达式,第二问通过不等式恒成立,首先要正确化简含绝对值不等式,分离参数,其中可利用复合函数的单调性得出函数的最大值,另外令,通过求导判断g(x)的单调性得出函数的最小值。

解:(1)(略)得

(2)显然b>0,当x∈(0,1]时,;即,

∴在x∈(0,1]上恒成立。立。

一方面,在x∈(0、1]上单调递增,

∴最大值为1-b

∴a>1-b

另一方面

令,

当0

当b>1时,g(x)<0,单调递减,g(x)min=1+b

综上所述,当0

当b>1时,

a的取值范围是1-b

评注:不等式恒成立问题是高考中的一个难点,而多参数的恒成立问题更是让学生觉得不易解决,原因在于考生在平时学习中接触到此类问题时一般是仅含有一个参数的情况,对于多参数问题无论从心理上,还是实际解决的手段上都显得捉襟见肘。对此在教学中应对学生加强心理上的辅导以及在数学思想方法上的指导,从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高。

例5、湛江市2 00 7年普通高考测试题(理科)第2 0题

定义在D上的函数f(x),如果满足:,常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数的上界。

(1)试判断函数在[1,3]上是不是有界函数?请给出证明;

(2)若已知质点的运动方程为:

,要使在t∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数,求实数a的取值范围。

基本思路:先求出函数f(x)的导数,判断出f(x)在[1,3]的单调性得出函数f(x)的值域,其中第二问题要求理解导数的几何意义,求瞬时速度即对S(t)求导,其中以为M=1上界的有界函数转化为不等式恒成立的问题,分离参数,令,通过求导判断出g(t)的单调性,得g(t)≤g(0)使不等式恒成立。

解:(1)略

(2),由|S'(t)|≤1,得

令,则。

当t[0,+∞)时,有g(t)<0

∴在[0,+∞)上单调递减。

故当t=0时,有g(t)max=g(0)=1;

又,

当t→+∽时,,

∴g(t)∈(0,1],从而有,且,,∴0≤a≤1;

故所求a的取值范围为0≤a≤1。

评注:本题考查复杂函数的求导、单调性的研究以及分类讨论思想的运用。

所以在备考复习上,笔者认为由于不等式恒成立问题所涉及的知识面相对较大,因此首先应夯实基础,抓好对高中数学各主干知识的学习,特别是对函数、不等式内容的学习。最后若要真正培养起学生解决此类问题的能力,在高考复习的每个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,从而使学生对此类知识进行反复整合,并把相关知识链贮存于长时记忆之中,以便顺利建构于已有的知识系统中去,这更有利于解决问题时的快速提取与应用。

摘要：导数是高中数学新教材与新课标中新增的知识之一,体现了现代数学思想,在研究函数性质时,有独到之处。纵观各地的新课程高考试卷,大多数以一个大题的形式考察这部分内容。

关键词：高考热点,导数,不等式,结合