数学与战争的关系

第一篇：数学与战争的关系

论中国近代战争与外交的关系

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论中国近代战争与外交的关系

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年月论中国近代战争与外交的关系

摘要：一个国家的主权神圣不可侵犯，国家主权是一个国家最主要最基本的权利，主权是一个国家在国际法上所固有的独立处理对内对外事务的权利。然而，随着近代资本主义制度的建立，资本主义的不断完善，社会生产力迅速发展以及全球性的资本扩张，现代意义上的民族国家纷纷出现，国际社会真正形成，国与国之间交往沟通的需要日益迫切。在此背景下，外交地位空前提高。在近代，外交制度基本形成，外交活动日益频繁，外交范围大幅扩大，出现了以秘密外交，强权外交为主旋律的外交内幕。同时，在近代，外交也出现了许多发展，可以说，一部近代史就是一部外交形成史。恰逢此时的近代中国，毫无疑问，各项事务均或多或少的受到了外界势力的干涉与左右。鸦片战争因何爆发，中原大战起因何处，国共合作两兴两废为何龌龊不断，坑日战争初﹑中﹑后期形势变化缘由„„在这里，依据历史事例，结合外交史实，两者联系，浅谈中国近代战争与外交之间的密切关系。

关键词：中国近代史 外交 战争

1，要使用足够的引例，比如摘自那个时代的谁谁谁的书中记载 2，简化摘要

3，把最后一部分的结论修改，在战争与外交关系的基础上重点是中国战争与外交

中国近代史，一部人民反抗史，一部民族屈辱史，在这一时期，统治中国百余年的清帝国腐朽不堪，在外敌入侵与起义革命中分崩离析。通过革命建立在清廷废墟上的中华民国，内困于军阀林立，外苦于列强操控，主权不掌，国事凋敝，不能救国救民于水火。积贫积弱，外敌入侵，抗日一战，亡国灭种近在眼前人民奋不顾身，将士前赴后继，终于击退外敌。抗日结束，内战开始。解放战争后，国民党败走台湾，独守一隅，共产党建立中华人民共和国，近代史结束，中国走向新纪元。纵观近代，有文人墨客的逸事文章，有英雄百姓的奋身一跃，有文化科技的日新月异„„然而，近代史的主旋律是战争，是无尽的硝烟与不息的炮火，但在这炮火硝烟背后，是一张无形的大手，中国四万万人民的命运生死就在这无形的大手下波动起伏。

一﹑拒不外交到“打”开国门

第一次鸦片战争(1840年6月28日-1842年8月)是满清和英国就英国向满清走私鸦片引发的一场战争，战争的导火线是林则徐于1839年在广东进行的虎门销烟，中英矛盾逐次升级，而战争以中国失败并赔款割地告终。由此签署的《南京条约》是近代中国的第一个不平等条约，除赔款外，将香港岛永久让予英国，并使英国得到领事裁判权。

在鸦片战争后1843年英国政府又强迫清政府订立了《五口通商章程》和《五口通商附粘善后条款》作为《南京条约》的附约，增加了领事裁判权、片面最惠国待遇等条款。列强不欲英国坐大，纷纷与中国签订更多不平等条约，中国的主权遭到进一步破坏。鸦片战争的失败和《南京条约》等一系列不平等条约的签订，使中国社会发生了根本性的变化。政治上独立自主的中国，战后由于领土主权遭到破坏，自给自足的自然经济解体，逐渐成为世界资本主义的商品市场和原料供给地，中国开始沦为半殖民地半封建社会。

这样看来，作为中国近代史开端的鸦片战争，其导火索为虎门销烟，其实质为英国为了开拓中国市场。然而，当鸦片战争因为开启中国近代史而备受瞩目时，隐在其后的中英第一次外交却往往被忽视，其实，这次不起眼的外交事件才是鸦片战争真正的第一导火索。

1793年(乾隆五十八年)，英使乔治·马戛尔尼来华，清廷以为英使是为了向乾隆帝贺寿而来，称使团带来的礼物是贡物。马戛尔尼坚持不肯行三跪九叩礼，经过连番争辨，最终行英式的一膝一跪之礼，使乾隆心中不悦，而使团在觐见皇帝后被勒令离去。马戛尔尼提出的增开商埠、减免课税等要求都被清廷以不合天朝体制为由而拒绝。中英两个超级大国的第一次握手，就这样失败了。

作为鸦片战争的第一导火索，马嘎尔尼访华是英国希望进入中国市场的一次尝试，然而这次尝试的失败以及资本主义发展对中国市场的需求致使英国采取了更加激烈的方法，“打”开中国国门。同时，外交与战争之间交错的关系不只是诱因这一种。在鸦片战争期间，外交与战争同步，英舰以惊人的速度攻城略地，抵达天津大沽口外，主张战争的道光帝，眼见英舰迫近，慑于兵威，开始动摇，1840年8月20日，道光帝批答英国书，令琦善转告英人，允许通商和惩办林则徐，以此求得英舰撤至广州，并派琦善南下广州谈判;同时，英方也同意南下广东进行谈判。12月，琦善通过私人翻译鲍鹏与义律谈判，拖延时间。当发现清朝只是拖延时间时，英国再次由外交转为战争，被再次击败的清钦差大臣琦善与英国统帅兼全权代表义律签订了《穿鼻草约》，对该条约都不满意的中英两国再次发动战争，并以英国战争胜利，签订《南京条约》告终。在第一次鸦片战争中，战争与外交相互影响，并首次使外交作为一种对外形态出现在了清帝国官员的意识里，逐步取代了一味天朝上国外使纳贡的对外思想。

二﹑外交影响到外交决定

自鸦片战争之后，中国被一步步打开国门，主权相继沦丧。第二次鸦片战争，中法战争，甲午战争，由于清帝国武力低弱，对外战争一败再败，致使国外势力对中国事务愈加干涉，对华影响逐渐加深。在清帝国中枢，权力核心由军机处转向对外机构，成立外交部，为六部之首，1861年，建立总理各国事务衙门，成为办洋务及外交事务而特设的中央机构。

逐渐增强的外交影响由量变走向质变，转折点就是八国联军侵华。1900，俄英奥日美法德意八国组成侵华联军，由天津登陆，在击退义和团和反抗清军后进逼北京慈禧光绪等清帝国核心官员纷纷逃跑，占领北京的联军在经过谈判与清朝签订了《辛丑条约》，标志着中国完全沦为半殖民地半封建社会，而清中央政府也成为列强走狗，成为完全的反动势力。自此，位于东郊民巷的各国驻华使团便代替清政府成为中国政治经济的统治核心，外交影响成功蜕变为外交决定。

1911年，在广州起义，自立军起义，黄花岗起义等多次反清斗争都失败的背景下，以共进会与文学社为首的湖北新军发动起义，并成功建立政权，随后，孙中山等革命领袖宣布响应革命，中国南方大部省份纷纷独立。然而，新兴的政权并不符合列强的利益需求。于是，在列强的支持下，袁世凯接受清政府命令，带北洋军镇压革命。为维护革命成果，结束战争的中华民国宣布由袁世凯接替临时大总统孙中山成为民国第一总统以获取列强支持。再一次，外交改变了中国的历史进程。

成为总统后的袁世凯并不满足，在英日两国的支持下，袁世凯登基称帝，于是引发了护国战争。仓皇下台的袁世凯不久便离世了，失去对华控制的列强纷纷寻找其他代理人。而各代理人为了增强自身实力与话语权，多次发动战争，各系军阀你来我往，直奉大战，直皖战争，中原大战，四川之变等战争使本身就贫弱不堪的中国陷入了长期的动荡，而正是这些因列强强权外交引起的战争使列强们在中国的土地上大肆劫掠，据不完全统计，仅在战争赔偿方面，列强们一共获得了1，326，323，847银元的战争赔偿。同时，英，俄，日强占中国大量领土资源，以日本为例，侵占我国东三省大部，攫取煤炭6亿吨，铁矿8亿吨，其他资源不计其数。

1924年1月中国国民党第一次全国代表大会的召开，标志着国民党改组的完成和国共合作的正式建立。改组后的国民党由一个资产阶级性质的政党变成工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级的革命联盟。在国共第一次合作中，中共帮助国民党组建省、市地方党部。1924年，合作建立了黄埔军校，在大革命期间培养了大批军事人才。工农运动得到大力开展。在国共两党努力下，全国掀起国民会议运动、五卅运动和省港大罢工，把革命推向高潮。国民革命军两次东征消灭了陈炯明的势力，广东革命根据地得到巩固和统一。并合作北伐，使革命势力从珠江流域发展到长江流域。基本推翻了北洋军阀的反动统治，并收回了汉口、九江英租界。为何合作如此融洽的国共两党却突然分道扬镳，其幕后黑手依旧是外交的纵横角力。国共第一次合作，苏俄在其中起到了巨大作用。身为社会主义国家的苏俄在成立之初便受到了资本主义国家的排斥与敌对，急于突破外交僵局的苏俄遇到了身处困境的中国，两国一拍即合，于是领袖党派国民党便与社会主义党派共产党相互联合，以寻求苏俄的支援与帮助。然而，面临共产党不断发展已惴惴不安的蒋介石遇到了美国伸来的橄榄枝，于是，国民党毅然选择了美国的支持，与共产党决裂。第一次国共合作失败。

历史往往偶然相同，在取得了抗日战争的伟大胜利后，第二次国共合作仍然被同一个原因击破。为了在华利益，美国政府支持蒋介石发动战争消灭共产党政权。于是刚刚获得抗日战争胜利的中国又一次硝烟四起。

三﹑外交与战争密切关系实质

每个主权国家大都对本国军事实力的强弱给予高度是重视。在其力所能及的条件下，军事实力的增强通常会被各国置于优先考虑的问题之列。这是因为，在一个国家的综合国力中，军事实力的地位永远都是不能被忽视或替代的。

就一国的外交活动而论，其目的的大小﹑范围的宽窄﹑影响的强弱等等，都必须凭借本国的实力，尤其是本国的军事实力。周恩来曾深刻指出：“国家这个统治武器，最主要的是军事和监狱。这些东西表面是看同外交并无多大关系，实际上却是外交的后盾。”军事实力作为一个国家的外交后盾，具体来讲，主要表现为一下两个方面：一方面，军事实力可以构成一种威慑力量，使“亡我之心不死”的国家不敢轻举妄动。当国与国之间产生纠纷时，可以尽量争取外交手段解决，而不是首先选择军事手段解决。另一方面，军事实力可以用作一种威胁手段。有的霸权主义国家在开展外交活动是，动辄便向小国，弱国“耀武扬威”，以炫耀武力的方式来获取其外交得分。实际上，在中国近代史上的诸多入侵战争，便是列强为获取外交得分而发动的，借助战争加强外交，依靠外交获取利益。

在各国的总体战略中，外交战略与军事战略通常都是相互协调﹑相互配合﹑密切关联的。在绝大多数情况下，各国外交战略与军事战略的基本目标都是一致的。

对一国而言，其军事战略的基本目标，在任何时候都是要维护本国的国家安全。一个国家外交战略的主要目标，是要维护本国的国家利益。而在外交战略所维护的国家利益中，国家的安全利益向来都是举足轻重的。所以说，各国的外交战略的主要目标之一都是要维护本国的国家安全。军事战略与外交战略基本目标的一致性，使其在实际运作中必然互相协调﹑互相配合。从某种意义上讲，各国的军事战略大都具有保障本国的外交战略得以成功实施的客观作用。

就具体形式来说，军事行动与外交行动往往都是一战一和，处于一个国家所走的两端。但是，二者在实践中往往都是互相影响﹑互相作用的。单就外交行动来看，军事行动对它所产生的直接或间接的影响是绝对不能被低估的。军事行动对外交行动所产生的主要影响之一，是各国在具体采取外交行动时，往往同时与军事行动并用。在此期间，一国的外交行动，往往直接的服务于军事行动。在第二次世界大战早期，面临以英法为首的旧欧洲势力，希特勒一方面采取军事行动直接侵占，另一方面结好苏俄，减少军事阻力。同样，在抗日战争期间，以国民党为首的中国政府和以军部为首的日本政府围绕侵华战争展开外交活动，尤其是两方在美国参战问题上外交活动不断。军事行动对外交行动所产生的主要影响之二，是各国的军事行动通常都具有明确的外交目的。例如，近代史上著名的“炮舰外交”，在中国近代史的百年中，早期的列强发动战争迫使清政府签订诸多不平等条约。

在国际交往中，外交手段与军事手段往往是交替使用﹑配合使用甚至同时使用的。从外交实践来看，各国的外交在一定程度上都深受来自军事方面的影响。在一定时期，军事对一国外交的影响尽管会有所不同，但绝对不容对此加以忽略和否认。

结尾：中国近代史是一部多样的历史，正如“一千个人眼中有一千个哈姆莱特”，本文在中国近代史经济政治军事外交之间错综复杂的关系中，仅摘取军事与外交的部分关系，结合近代史实，加以阐述和解析，旨在给大家提供一个对中国近代史不同的了解角度。因能力所限，本文不可避免的会出现一些疏漏与错误，思想思路也许略有偏颇，望老师加以指正。

第二篇：数学与战争论文

数学与战争

——数学的重要性

简述：这篇文章主要叙述了数学与战争的关系，借助了几个典型的案例来得出数学的重要性，并且同时简介了几个简单的战争中的数学模型。

关键词：数学与战争、密码破译、军事边缘参数、兰彻斯特作战模型。 正文：

提起数学与军事，人们可能更多地想到数学可以用来帮助设计新式武器，比如阿基米德的传闻故事：阿基米德所住的 Syracuse 王国遭到罗马人的攻击，国王 Heron 请其好友阿基米德帮忙设计了各式各样的弩炮、军用器械，利用抛物镜面聚太阳光线，焚毁敌人船舰等。当然，这样的军事应用并没有用到较高层次的数学。其实，古时数学用于军事只到这种层次。《五曹算经》中的兵曹，其所含的计算，仅止于乘除;再进一步，也不过是测量与航海。

一直到二十世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战事有密切的关系，例如数学的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达及声纳、原子弹、密码与情报、空照地图、气象学、计算器等等有关，而直接或间接影响到武器或战术。

历史上有太多运用数学作战胜利的例子。例如著名的中途岛之战，由于美国破译了日本密码，使日本4艘航空母舰，1艘巡洋舰被炸沉，330架飞机被击落;几百名经验丰富的飞行员和机务人员阵亡。而美国只损失了1艘航空母舰，1艘驱逐舰和147架飞机。 又如1943年3月2日至3日的俾斯麦海海战，为了阻止日本联合舰队运送第51师团增援莱城，盟军西南太平洋航空兵在乔治·丘吉尔·肯尼的指挥下，以110架轰炸机，50艘战斗机对在俾斯麦海对木村昌福指挥的日本运输船队进行水平跳弹攻击，美军只付出了6艘飞机的代价，就击沉了日本全部8艘运输船，8艘护航驱逐舰中的四艘，7000日军中只有800人赤裸裸的游泳到莱城，3000人淹死，其余3000人被救起返回。这次海空战是日本在新几内亚战争的转折点，日军大本营称之为俾斯麦海峡的悲剧。

可见数学在战争必要性。军事和数学的关系很密切，任何一个时代的军事家基本上都有着十分睿智的数学大脑。你可以从电影《美丽心灵》里面看出来。阿基米德就曾经使用数学方法打败过罗马军队。

早在1935年，英国数学家图灵在剑桥大学获博士学位后去了美国的普林斯顿，他为设计理想的通用计算机提供了理论基础。1939年图灵回到英国，立即受聘于外交部通讯处。当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”，图灵把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔，运用图灵的可计算理论，英国设计了一架破译机“Ultra”专门对付“Enigma”，破译了大批德军密码。1941年5月21日，英国情报机关终于截获并破译了希特勒给海军上将雷德尔的一份密电。从而使号称当时世界上最厉害的一艘巨型战列舰，希特勒的“德国海军的骄傲”——“俾斯麦”号在首次出航中即葬身鱼腹。

所以数学往往可以决定一场战争，甚至可以决定一个国家的命运。而数学模型又是其中的关键。

就如著名的兰彻斯特数学作战模型，因兰彻斯特所创，故有其名。1914年，英国工程师兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列论文中，首次从古代使用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行战斗的不同特点出发，在一些简化假设的前提下，建立了相应的微分方程组,深刻地揭示了交战过程中双方战斗单位数(亦称兵力)变化的数量关系。第二次世界大战后，各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况，从不同角度对兰彻斯特方程进行了研究与扩展，使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基本理论之一。有些学者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论。兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所构成的各种形式、各种规模的作战模型，在军事决策的各有关领域中得到了广泛的应用。

当然还有许多数学在战争上的运用，如：军事边缘参数，它是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、天侯、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算 山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。

有这么一句话“一个数学家可顶

10个师”，而美国在十九世纪40年代就意识到了这一点。1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86%。美国的“科学研究和发展局”于1940年成立了“国家防卫科学委员会”，为军方提供科学服务。1942年，NDRC又成立了“应用数学组”，它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。

所以我们中国也不能落后啊!我们应该继续在这方面加大投入，当然，作为军校学员也得加油，努力学习军事知识与数学基础，为明日祖国的国防事业献一份力。

第三篇：信息技术与数学教学的关系

浅谈新课标下信息技术在数学教学中的作用与模式

北京房山中学 周立华

随着教育教学改革的不断深入，特别是《标准》的实施，对于数学课堂教学提出了新的要求，必须努力改进教学手段和教学方法.由于数学学科其自身的特点，似乎就决定了其枯燥性和单调性。数学的确也没有其他学科形象生动而具有趣味性，学生学起来也觉得有点枯燥无味。信息技术手段介入数学教学之后，给教师创造性的教学提供了新的发展空间，对丰富和改进学生学习方式提供了技术支持和可行平台。信息技术与课程整合是指“在课程教学过程中把信息技术、信息资源、信息方法、人力资源和课程有机结合，共同完成课程教学任务的一种新型的教学方式”。作为一名教师，应努力学习并充分利用现代化的信息技术，大胆改革教学手段和教学方法，在课堂教学中推进教育教学改革，根据教学内容恰当地运用信息技术辅助教学，下面就结合自己的教学实例浅谈信息技术在高中数学教学中的应用。

一.借助信息技术创设情境，激发学生学习兴趣。

教学中借助多媒体图、文、声、像并茂的特征，充分展现知识的形成过程，巧妙寻找契机，创设教学情景，使学生保持旺盛的学习兴趣，给课堂教学增添无穷的魅力，对提高学生数学素养起到事半功倍的效果。在数学教学中,老师有意识的创设问题情景,让学生在一定的情景之中最充分的调动各种感知器官,去感受知识,使学生的兴趣得以提高。

[案例1]：指数函数的引入举细胞分裂的例子，这个例子老生常谈，学生也不太感兴趣，我的引入是这样的：1964年10月16日下午3 时整，在新疆罗布泊上空升起一朵巨大的蘑菇云，中国第一颗原子弹爆炸成功，顿时振奋了国威。接着展示原子弹爆炸原理的flash课件，学生好奇心强，易于接受新鲜事物,夺目的色彩，美丽的图画，都能吸引学生的注意力。而多媒体的使用便可以提供这种生动、形象、直观、感染力强的教学信息，唤起学生的好奇心和求知欲，进而使学生对所学内容产生浓厚兴趣。这样就自然而然地导入了新课---提问题，这样教学，不仅强化了学生的感性认识，而且激起了学生强烈的学习欲望，使学生要学、乐学，进而主动去学。而且这样做不但例子生动形象，激发学生兴趣，还能激发学生的爱国情感。

[案例2]：在学习《三视图》时，我先在网上搜索，发现许多图片、课件和文字说明。上课时先展示各种建筑、飞机、坦克的图片，学生看得入神，我说：你们想当飞机、坦克的设计师吗?要当设计师就要从绘图识图开始，三视图是制图的基础。这样引入既提高了学生的兴趣，又使学生明白《三视图》在实际中的重要作用，增强了学生学习的内在动力。然后通过下载的课件，展示了三视图的成像原理，学生轻轻松松就突破了难点。

二、信息技术轻松把数学课变成“实验课”

信息技术的融入使教学模式从教师讲授为主转为学生动脑、动手自主研究等方式。如果把数学课堂转为“数学实验课”，学生通过自己的活动得出结论，会起到事半功倍的作用。 [案例3]：《指数函数及其性质》这节课时，“传统方式”只用“描点法”作出两个图象，然后直接给出指数函数是有些“强加于人”的，例如，学生对为什么要把底数分为以讨论就不一定理解，学习过程比较被动。

的性质。这两种情况加

安排学生到机房进行上机操作，学生利用《几何画板》通过亲自动手绘制指数函数的图象，再让学生自由选择的值，并在同一坐标系内作图象。在此过程中，学生可清楚地看到底数如何影响并决定着函数然聚集，学生可以清楚地看到么以

的性质。由于函数的图象随着

自

这条分界线，这样呈现内容，对学生发现和熟悉“为什为分界点”“过点(0，1)为什么要作为性质之一”等，都营造了很好的环境，使教学的开放性、“探索式学习”等成为可能。显然，假如没有信息技术，上述过程很难实现。 [案例4]：在《函数作课件，把

的图像》一节的教学中，用《几何画板》制均设为参数，让学生自己动手，通过参数变化、观察图象体会周期变换、

的图像通过变换得到相位变换和振幅变换，同时还能展示由的图像的全部过程。

在数学实验课过程中，学生学习积极性非常高，求知欲望非常强。因此可见，信息技术的使用，调动了学生学习的积极性、创造性，改进学生的学习方式，促进他们主动地学习和发展。

三.借助信息技术变抽象为形象直观

信息技术可以发展学生思维，帮助学生形成更高效的概念与能力。它能够展开知识的形成发展过程;能够化抽象为具体、化静为动等。学生可以达到传统途径下无法实现的领悟层次，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力得到更好的训练，而且还有效地培养了学生的发展思维和直觉思维。

[案例5]：在选修2-1《曲边梯形的面积》一节的教学中，定积分的方法和极限的思想是学生学习的难点，教学中我设计了课件《曲边梯形的面积》：求函数围成的曲边梯形的面积。课件设计思路如下：①构建参数，将区间分成等分，②在每一等分上用矩形的面积代替小曲边梯形的面积，③再求这些小矩形的面积之和，③在演示课件时，让参数n变化，观察矩形面积的变化。课件用形象直观的方式展示了定积分的“分割-近似代替-求和-取极限” 这一高深的数学思想和方法。

四、利用信息技术呈现以往教学手段难以呈现的内容

“数学是思维的体操”，数学有助于人的思维能力和创新能力的培养。而且是其它学科无法比拟的。 如对学生的空间想象能力、抽象能力、概括能力和推理论证能力的培养等。 但培养这些能力必须以一定的数学知识和数学模型为载体，通过对它们的研究起到举一反

三、触类旁通的作用。而信息技术又可以简单地将研究过程中碰到的难以呈现的内容形象的、具体的展现在学生眼前，从而起到更好的效果。

(一)让几何体动起来

与立体几何教学过程中，引入信息技术，用多媒体辅助教学，将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同角度去观察图形，从头脑中对图形有了深刻印象，从而培养了他们的想像力和创造力，课堂效率也将大大提高。

[案例6]：在旋转体的定义教学中，先让学生看一段陶瓷制作中拉胚的过程，以实例使同学们对旋转体有一个鲜活的认识，再用课件就可以清楚地让学生看到圆柱、圆锥、圆台分别是矩形、直角三角形、直角梯形绕一边旋转而成。在“侧面积”教学中，通过课件可以展示各种多面体和旋转体的侧面展开图。在体积的教学中，通过课件展示斜棱柱与直棱柱、正棱柱之间的关系，展示圆柱、圆锥、圆台之间的关系。

在讲棱锥与圆锥的体积时，用课件展示三个同样大小的三棱锥补成一个三棱柱，使学生很轻松的根据祖暅原理得出三棱锥的体积是等底面积等高的三棱柱体积的三分之一的结论，进而得出锥体体积的计算公式，这样直观的动态的画面在给以美的享受的同时，培养了学生的想象力和创造力，使学生更乐于接受较抽象的立体几何知识。

(二)信息技术在解析几何中的应用

在解析几何中，圆锥曲线及常见图形，在数学和其他科学技术领域中，有着大量的应用，那怎样的曲线是圆锥曲线?古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，当平面与圆锥面的轴线所成角变化时，获得不同的截线，即椭圆、抛物线、双曲线，在引入圆锥曲线概念时，为让学生更清楚的看清圆锥曲线的区别和联系，用 Flash动画演示，让平面与圆锥面的轴线所成角发生变化，让学生观察所截曲线的形状的变化，进而使学生得出

在每个取值范围所得的曲线是何种曲线的结论，借助于多媒体手段，使学生对圆锥曲线的形状及性质有了更深的记忆，比传统教学中，让学生死记硬背圆锥曲线的形状及性质效果好的多。而在椭圆定义时，在平面上取两点、

和

，把一条长度为定值且大于|

|的细线两端固定在两点，用笔尖把细线拉紧，并使笔尖在平面慢慢移动，用动画演示整个过程，使学生清楚的看到一个椭圆形成的过程，由此得出椭圆定义。双曲线的定义、抛物线定义也可用类似的方法得出，此过程还可由学生操作，提高他们对这部分知识学习的兴趣，使他们对圆锥曲线的定义及性质了如指掌。

[案例7]：在讲直线与圆锥曲线的位置关系时，有这样一个例题，已知点A(0，2)和抛物线C：y=6x，求过点A且与抛物线C相切的直线的方程，在讲此题时，可用动画演示，直线绕定点A(0，2)旋转，让学生观察直线和抛物线的位置关系，当转到相切位置时，2不再旋转，学生很容易得到这样一个结论，与抛物线相切且过点A的直线有两条，其中一条无斜率，进而设出直线方程并与抛物线方程联立，得出直线的方程，展示几何图形变形与运动的整体过程，在解析几何的教学中是非常重要的。

这样信息技术在解析几何教学中，充分显示了它的优越性，它能做出各种形式的方程的曲线，能对动态的对象进行“追踪”并显示该对象的轨迹，能通过拖动某一点或线，观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系，总之在解析几何的教学中，恰当运用信息技术可大大提高课堂效率。

(三)信息技术让函数真的“运动变化”

“函数“是中学数学中最基本最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分，同时函数是以运动变化的观点，对现实世界数量关系的一种刻画，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。

[案例8]：三次函数是一种较重要的函数， 《三次函数的图象和性质的应用》中，用《几何画板》制作课件，分别作出三次函数

与其导函数

的图象，然后①让由正到负变化，引导学生观察图象的变化;②让c变化，使导函数的图象由在x轴上方→与x轴相切→与x轴相交;通过观察引导，学生就非常清楚地领会了三次函数与其导函数的图象有下面的这几种情形：

然后就轻松地总结出了三次函数的性质：

1、三次函数的极值点有0个或2个，分别对应其导函数的情形

2、导函数与x轴的交点对应着三次函数图象上斜率为0的点(不一定是极值点)

3、导函数图象在x轴上方部分对应着三次函数的递增区间，下方部分对应着三次函数的递减区间

4、三次函数的图象只有上述的6种情形

学生真正认识到其图象的分类和实质，以后对三次函数的性质的题目，也就不存在什么问题了，让老师不得不感叹几何画板的魅力。

以上就是我在教学中的一些收获.总的来说，信息技术的使用只是教学的手段之一，并不是教学的目的，目的是更好地使学生理解数学的本质，但是提高课堂的效率信息技术使用要恰如其分。我会在今后的教学不断实践，不断地积累经验，来掌握信息技术应用的方法，真正实现教师在教学中的角色转变，充分调动学生的积极性，使学生成为知识的发现者。努力做到信息技术与数学教学的有效整合，实现信息技术在数学教学中运用的最高境界!

参考文献

1. 程庭喜，崔海友，邹应贵 《几何画板与课程整合创新实践》北京：科学出版社。

2.教育部基础教育司。《数学课程标准研修》北京：高等教育出版社。 3.陈瑞阁.《浅谈多媒体在数学教学中的运用》 中国地质教育

4.北京教育科学研究院，基础教育教学研究中心，《现代信息技术与中小学各学科整合的研究》首都师范大学出版社

5.杨东升.《浅谈信息技术在数学教学中的应用》 .甘肃教育·数学教学

第四篇：数学史与中学数学教育的关系研究 (1)

数学史融入中学数学教育的研究

摘要：数学史在数学教育中的作用可以概括为以下几方面：数学史对理解数学发展的作用;数学史对学生掌握数学思想的作用;数学史对开发学生数学思维的作用;数学史在课堂教学中的作用。数学史教育应遵循以下几个原则：科学性、匹配性、实用性、多元性、趣味性、探索性。

关键字：数学史，数学教育，数学教学

李文林先生指出数学史研究的目的有三个：历史的目的、数学的目的、教育的目的。而教育的目的是数学史研究的重要目的，数学史与数学教育相互依存、不可分割，数学教育的发展谱写数学史，数学史支持数学教育发展，数学史是数学教育的有机组成部分。以下是数学史与数学教育的具体关系：

一、数学史具有重要教育价值

全面认识数学史的教育价值，有利于改变教师思想上的一些狭隘的看法，从根本上接受数学史，从而在课堂中自觉地使用数学史，给学生展现一个更加全面、丰富和深刻的数学。

(一)有利于激发学生的学习兴趣

“兴趣是最好的老师”当学生对数学这门学科产生兴趣后，就会变被动学习为主动学习，最大限度调动其积极性，增强内在学习动机。在课堂上，教师可以生动地介绍数学家的趣闻轶事，讲解一些重要概念形成发展的过程，世界上各个国家数学的成果，以及中西数学不同的发展轨迹等等。利用好这些素材，将为抽象的数学课抹上生动的色彩。例如，等差数列的求和公式的推导，我们可以看到很多资料上采用的是高斯的故事引入此问题。这种方法是可以采用的。然而，我们还可以引用古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”和我国古代传统的“垛积术”。通过数形结合的方法，带给学生视觉上的冲击，极大地激发了学生探索学习的兴趣。

(二)有利于学生人格的培养

学生人格的培养是一个长期持续的过程。数学史蕴含着大量生动的史实，它们可以滋养学生的心灵，有利于学生健全人格的培养。比如一些数学家发现定理的艰难历程，一些数学分支历经千年的形成过程等等。这些素材会带给学生浓厚

的文化熏陶，有利于学生科学的人生观和价值观的形成。比如我们可以介绍古代数学家，如刘徽、祖冲之、秦九韶等等他们的伟大成就。这无形中告诉学生应该向古人学习，学习他们专研的精神和爱国情怀。同时从另一方面又证实了古人的智慧。中华民族历来就是一个充满智慧的民族，尽管在现代数学发展方面来讲，我们和西方国家有一定的差距，但只要我们锲而不舍，刻苦专研，一定可以缩小差距，甚至在某些方面超过他们。

(三)有利于重要概念的理解

教科书不是按照历史发展顺序来编写的，而是编写者经过筛选后按照学生一定的认知结构重新编排的。同时，教科书也省去了很多历史的成分。因此学生接触这些知识是支离破碎的，是枯燥冰冷的。若要想真正弄清楚某个概念形成的过程，比如函数，需要历史还原它的过去，从而帮助学生更好的理解。

(四)有利于整体知识的把握

要想了解数学的现状，最好的方法就是回到它的过去中去。教科书只是零星地记录了一些知识点，不可能看清数学的全貌，当然学生就不可能从整体上去感知和把握知识。历史是一面镜子，可以照出数学的全貌，道出数学的起源和发展，诉说数学的过去现在并预测它的未来。

二、数学史教育的基本原则

数学史教育应遵循以下几个原则：科学性、匹配性、实用性、多元性、趣味性、探索性。

(一)科学性

科学性是第一位的原则。教师向学生传授的数学史知识必须是正确的。我们应该尊重历史，尊重事实，既不可随意编造，也不能无端拔高，更不可艺术加工，把数学史当作故事，随意虚构。特别是在讲授中国的数学史时，实事求是更能激发民族自尊心和爱国主义热情。

(二)匹配性

选取的数学史料应与所讲内容密切相关，有利于数学内容的理解。不能漫无目的选取很多历史的东西，这样是不可取的。教师应仔细专研教材，认真收集寻找最适合的史料，并且将其有机的融入数学教学过程中。例如在讲解函数的定义时，可以收集函数的发展历程。同时函数体现了由常量数学到变量数学的过渡，

因此有必要收寻那一段数学史。当然这里的原始材料很多，教师要找出最利于学生学习的东西。在遵循学生认知规律基础上，选取的材料有利于学生对数学的理解。

(三)实用性

在加工史料时，切不可堆砌很多历史内容，应该考虑它们对于课堂教学的实用性。所谓实用性，就是对于课堂教学来说有帮助的。现在课堂教学出现了这样的情况，认为数学史是教学的点缀，随意的讲讲数学史，简单提及某个数学家的事迹和成就就不了了之了，这是一种很不可取的做法。这种做法将教学和数学史是完全分开的，没有做到数学史为课堂教学服务。因而，我们应该在认真分析教材的基础上，找出与之匹配的数学史，从而将其有效的整合起来。比如，数学史上那些富含数学思想方法的史实就是教学时需要重点挖掘的知识点。因此，教师需要在实用性上下功夫。

(四)多元性

在介绍相关史实时，应尊重历史，介绍全人类不同民族的优秀成果，不可随意带入个人色彩。过去，我们有些教师在教学过程中，总是介绍中国的成果比其他国家的早多少年。这种狭隘的民族主义不利于学生多元文化的培养和健全人格的建立。当然认为中国数学对于世界数学的发展没有太多作用也是不客观的看法。《古今数学思想》的作者克莱因在书中省略了中国数学的成就，认为它对世界的数学主流的发展没有什么影响。事实上并非如此。中国数学对世界数学的发展也有作用，甚至有些还名列前茅。数学是全人类智慧的结晶，不同民族的数学成果是一个不可分割的整体。在数学的王国里，应该没有民族的偏见，没有文化的优劣。对于教师而言，应该用全面、开放、包容的眼光看待世界，看待各国的数学成就。这种感觉将无声地传达给学生，我们有勇气承认自己的不足但又要保持对外开放的心态

(五)趣味性

选取的史料应能激发学生的兴趣，促进学生的理解。数学这门学科由于具有高度的抽象性，学习起来比较枯燥乏味。因此，在史料的选取上应灵活多样，形式多变。比如学生学习负数时可以介绍负数的发展历程，展现数学家对负数的逃避到最后的认同和使用的过程。同时还可以介绍各国数学家的奋斗历程，中国古

代的如刘徽、祖冲之、秦九韶等，近代的如熊庆来、陈建功、苏步青、华罗庚、陈省生等。国外的如欧几里得、毕达哥拉斯、高斯、笛卡尔等。通过他们的奋斗史，不仅可以激发学生学习的热情，还可以从这些大家身上学到勤奋执着、坚持不懈的奋斗精神。介绍数学史上的一些名题不失为一种好的方法。如一些代表性的证明勾股定理的方法是可以介绍的。从这些证法当中我们可以看到东西方数学在思维上的差异。这样，呈现给学生的数学是有血有肉、充满灵气的，而不是一堆堆僵硬的公式、定理和做不完的题。

(六)探索性

数学课堂如果全凭老师一个人不停讲解数学史，是非常乏味和枯燥的。这种老师满堂灌的做法只会削弱学生学习的热情，不利于学生探索性思维的形成和发展。因此，在课堂教学中，教师可以改变教学形式，引用灵活多变的方式，积极促进学生展幵讨论，变被动学习为主动学习。

三、数学史融入中学数学教育的方式方法

(一)课堂教学，进行数学史的渗透

课堂是学生学习数学的主要场所，学生学习数学的知识、思想、方法主要在课堂中。作为数学教师，要精心备好课，在介绍相关知识时，要把该知识的发现、发展的过程呈现给学生，有助于学生的学习和理解。在整个数学课堂中，教师有计划、有步骤的渗透数学史。可以是课题引入，通过故事讲授该知识的的发现发展过程;介绍定理的证明过程，可以是不同人的不同证法，并让学生进行比较;介绍相关知识的应用，让学生体会数学的作用。可以在新学期幵始时渗透数学史;可以在讲授某一章新知识前渗透相关数学史;在学习新知识时介绍相关数学史;在练习题中或复习时也能讲授数学史内容。有助于学生更好地理解数学，激发学生学习的兴趣，掌握数学思想方法。例如，在学习勾股定理时，可以很好地渗透数学史。见后面的案例设计。

(二)组织专题报告、进行专题介绍

学生的学习仅仅依靠课堂是不够的，还必须在课外延伸。学生在课外，要经过一定的训练，才能提高解题能力。通过组织专题报告、进行专题介绍，可以让学生更好地学习数学史，更好地理解数学、学习数学。例如，专题介绍圆周率。介绍：的历史，我国古代的数学家对的研究。我国古代数学家在这方面做出了举

世瞩目的成就，但这些成就并不是一織而就的，经过了历代数学家的辛苦研究。《周牌算经》有记载“周三径一”，称之为“古率”;西汉末年的数学家刘飲确定圆周率为，不再使用“古率”;东汉时的张衡确定圆周率为;三国时的数学家刘徽创立“割圆术”，奠定了圆周率的研究工作理论基础并提供了科学的算法，刘薇得出了圆周率精确到小数点后两位的近似值，化成分数为这就是有名的“徽率”;南北朝时期数学家祖冲之应用刘薇的方法，通过计算圆内接正多边形的方法，计算出的圆周率精确到了小数点后第七位，得到〈〈，这项纪录一直保持了将近一千年。外国数学家阿基米德、阿尔卡西等的研究以及牛顿发明微积分后西方数学家用分析的方法得出的关于的值的各种表达式。引导学生探讨圆的周长和直径的比是一个常数，为什么是一个无理数?学习正多边形和圆的知识时，再次探讨的值，正多边形的周长接近于圆的周长，用“割圆术”的思想来证明为常数，让学生初步体会这种极限的思想。例如，专题介绍负数。负数是学生开始接触的一类新数。要求学生会借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性;会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中的具有相反的意义的量。让学生认识到数和数学的发展是随着社会的发展而发展的，是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的。由记数、排序，产生数、、„等自然数;由表示“没有”“空位”产生数由分物、测量产生分数„。数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的激发学生学习的兴趣。在天气预报电视屏幕上，我们经常看到，这一天长沙的的最低温度是°，读作负：，表示零下。这里，出现了一种新数——负数我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示。有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用。介绍负数的历史。据史料记载，早在两千多年前，我国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则。中国很早就幵始使用负数，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负;以盈余为正，亏损为负。最早记载负数的是我国的数学著作《九章算术》。我国三国时期的数学家刘徽在建立负数的概念上有重大贡献。刘徽首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了正确区分正负数的方法，他说：“正算赤，负算黑;否则以斜正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色

的小棍摆出的数表示负数;也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。在算筹中规定“正算赤，负算黑”，就是用红色表示正数，黑色表示负数。由于记录时换色不方便，到了世纪，数学家还创造了在数字上面画斜杠来表示负数的方法。负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。在印度，数学家婆罗摩笼多于公元年才认识负数可以是二次方程的根。而在欧洲世纪最有成就的法国数学家丘凯把负数说成是荒谬的数。直到十七世纪荷兰人日拉尔(年)才首先认识和使用负数解决几何问题。通过介绍负数专题讲座，让学生知道自演绎数学产生后，人类花了年才发现负数，又花了年人类才接受负数;让学生知道学习负数时遇到的困难也是历史上的数学家们遇到过的，可以消除学生学习过程中的恐惧感。

(三)举办各种活动，普及数学史料

还可以通过举办黑板报、手抄报比赛，让学生查阅有关数学家故事、数学知识的发生发展过程、数学与其他科学的联系、数学在实际生产生活中的应用、数学的各个分支及其发展和联系。定期举办班会，有条件的时候，还可以邀请有关专家做讲座。例如，班上举办了几期手操报比赛，每期指定一个主题，有数学家故事，生活中的数学、数学与科技、数学问题，数学趣题、数学技巧等等。每一期，学生为了完成手操报，自己会查阅资料，并与同伴进行研究。例如，有一期手抄报是数学家的故事。学生们查阅了很多资料，写出了很多数学家的故事。有关于数学家生平的故事，有关于某位数学家发现某一定理的经过的故事，有关于数学家生活的故事，还有关于数学家的奇闻趣事的。看到学生们的手抄报，可以增长很多见识，受到很多启发。例如，有一期手抄报是生活中的数学。有学生写到了生活中的几何图形，展示几何方面的知识;有学生写到了自然界的神奇图形，如蜂窝等;有学生写到了上学怎样可以少走弯路;有学生写到了怎样存钱才划算;有学生写到了在押数游戏怎样取胜„„学生们观察了一些数学现象，或是提出了自己的想法，或是提出了疑问，或是提出了解决方案。这样，经过长期的练习，可以提高学生学习的兴趣，培养学生的观察能力、动手研究能力、解题能力。

(四)了解历史中的数学活动

用历史来丰富数学教学和数学学习,一个直接的方法是让学生去解一些早期数学家感兴趣的问题。这些问题让学生回到问题提出的时代,反映当时人们所关

心的数学主题。学生在解决源于数世纪以前的问题时,会经历某种激动和满足。教师可以搜集历史上的不同时期和不同文化的数学问题,并布置给学生去解决、比较。

四、教师对数学史融入数学教育的影响

(一)数学教师的继续教育

在教师教育的计划中，开设的数学史课程应该是教育取向的数学史课程,数学史教育者(特别是教师教育者)的一个重要任务就是精心选择那些和教师将来的教学有关的数学史知识，并对他们的教育意义加以分析。这个任务，需要联合数学史家和数学教育家的共同力量才能完成。绝大部分中学数学教师希望能够有学者把数学史著作改编成适合教师阅读并易于在课堂上使用的数学史读物。由于中学教学任务量较繁重，教师很少有时间去接触原始的数学史书籍，以及其他的教育学、心理学书籍。如此现状怎样改变?开设实质性的培训，以增长教师知识，改变教师的观念，针对教师的要求编写一些适合教师阅读和使用的数学史书籍，鼓励教师去浏览数学史原著，并编写数学史在数学教学中渗透的案例，感谢华东师范大学的汪晓勤教授，他编写的由科学出版社出版的《中学数学中的数学史》是最适合中学教师阅读的书籍。另外在教师培训教育的过程中，强调未来的数学教育开设数学史课程是非常必要的，特别是开设的课程要注重挖掘数学史料的价值。当然这需要得到一些相关部分的认可，才可以得以实现。

(二)教师缺乏必要的教学资料

无论是教师还是课程开发者都可以找到大量的历史资料，但要使之能够用于教学，还必须根据教学需要对这些资料进行改编，也就是要将原始文献和二手文献加工成教学资源，而这个工作的要求非常苛刻并且要花费大量的时间，事实上，大部分教师并不具备开发这些资源的能力和时间，这才是教师们声明自身缺乏必要资料的真正原因，也是教师们不愿意应用数学史的一个重要原因。要改变资源缺乏的现状，需要数学史家和数学教育工作者(特别是数学教师)的共同努力，一方面，教师可以对教学内容进行历史的透视，即针对教学内容搜寻历史，这时，数学史家的工作必不可少。另外一方面,数学史家在研究历史时，应该考虑它的教学意义，亦即根据历史审视教学。

从教学的实际情况看，现行的数学教材已经有了一些数学史材料供学生阅读，

一些数学教学杂志设置了专门的数学史栏目，适合中学教师使用的数学史著作开始出现，这些状况，可以说是一个不小的进步。尽管数学史不是解决一切数学教育问题的灵丹妙药，但它对数学的促进作用是我们能够看到的。

参考文献

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第五篇：高一数学空间图形的基本关系与公理教

案

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空间图形的基本关系与公理

一.教学内容：

空间图形的基本关系与公理

二.学习目标：

、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理;掌握平面的基本性质、公理4和等角定理;

2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法;

3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度;体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。

三、知识要点

(一)空间位置关系：

I、空间点与线的关系

空间点与直线的位置关系有两种：点P在直线上：;点P在直线外：;

II、空间点与平面的关系

空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：;

III、空间直线与直线的位置关系：

IV、空间直线与平面的位置关系：

V、空间平面与平面的位置关系：平行;相交

说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。

(二)异面直线的判定

、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可;

2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。

(三)平面的基本性质公理

、公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内，或曰平面经过这条直线)。

2、公理2

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即确定一个平面)。

3、公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。

4、平面的基本性质公理的三个推论

经过直线和直线外一点，有且只有一个平面;

经过两条相交直线，有且只有一个平面;

经过两条平行直线，有且只有一个平面

思考：

公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢?

平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的?

(四)平行公理(公理4)：平行于同一条直线的两条直线平行。

(五)等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(六)空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。

【典型例题】

考点一

空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。

例1.下列命题：

空间不同的三点可以确定一个平面;

有三个公共点的两个平面必定重合;

空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面;

④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形;

⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。

其中正确的命题是

。

解：⑥。

例2.空间中三条直线可以确定几个平面?试画出示意图说明。

解：0个、1个、2个或3个。分别如图(图中所画平面为辅助平面)：

考点二

异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。

例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、cD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是____________________?

解：3对，分别是AB、GH;AB、cD;GH、EF。

考点三

“有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。

例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。

已知：直线a∥b。

求证：过a，b有且只有一个平面。

证明：存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。

唯一性(反证法)：假设过a，b有两个平面。在直线上任取两点A、B，在直线b上任取一点c，则A、B、c三点不共线。由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理1可知：都过点A、B、c。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。

综上所述：过a，b有且只有一个平面。

考点四

共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。

例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。

已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。

证明：因为，故a，b共面。

I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平面内，故a∥b;故a∥b∥c。

II、若，则，故知

综上所述：命题成立。

说明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上;证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。

考点五

共线的判断与证明：常见题型是三点共线。

例6.如图，o1是正方体ABcD-A1B1c1D1的面A1B1c1D1的中心，m是对角线A1c和截面B1D1A的交点，求证：o

1、m、A三点共线。

证明：连结Ac.因为A1c1∩B1D1=o1，B1D1平面B1D1A，A1c1AA1c1c，所以o1∈平面B1D1A且o1∈AA1c1c。同理可知，m∈平面B1D1A且m∈AA1c1c;A∈平面B1D1A且A∈AA1c1c。所以，o

1、m、A三点在平面B1D1A和AA1c1c的交线上，故o

1、m、A三点共线。

说明：证明三线共点问题的常见思路是证明第三点在前两点所确定的直线上;或者证明三点是两相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上。

考点六

共面问题的判断与证明：此类题型常见的是四点共面或三线共面，如证明某个图形是平面图形。

例7.如图，在空间四边形ABcD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是Bc、cD上的点，且cG=Bc/3，cH=Dc/3。求证：E、F、G、H四点共面;直线FH、EG、Ac共点。

证明：如图，连结HG，EF。在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，故EF是△ABD的中位线，故EF∥BD。在△cBD中，cG=Bc/3，cH=Dc/3，故GH∥BD，故EF∥GH，从而GH、EF可确定一个平面，即G、H、E、F四点共面。

由于E、F、G、H四点共面，且FH与EG不平行，故相交，记交点为m，则m∈FH，FH面AcD，故m∈面AcD;m∈EG，EG面ABc，故m∈面ABc。从而m是面AcD和面ABc的公共点，由公理3可知，m在这两个平面的交线Ac上，从而FH、EG、Ac三线共点。

说明：共面问题的常用的处理方法是利用平面的基本性质公理2及三个推论，先证明部分元素确定一个平面，再证剩下的元素也在此平面上;有时也可先证部分元素共面，剩下的元素共面，然后证明这两个平面重合(此时也可用反证法)。

[本讲涉及的主要数学思想方法]

、数学语言是数学表述和数学思维不可缺少的重要工具，必须能将这三种语言即文字语言、符号语言和图形语言进行准确的互译和表达，这在空间关系的证明与判断中显得十分重要;

2、空间观念和空间想象能力：高考中立体几何题的题型功能最重要的一点就是考查考生的空间观念和空间想象能力，因为我们是通过平面图形(直观图)去研究空间关系，所以同学们在学习过程中一定要多观察、多思考，动手做一些空间模型或通过电脑动画模拟一些空间图形，培养空间概念，提高空间想象能力。

【模拟试题】

一、选择题

、在空间内，可以确定一个平面的条件是(

)

A.两两相交的三条直线

B.三条直线，其中的一条与另两条分别相交

c.三个点

D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点

2、(XX辽宁卷)在正方体ABcDA1B1c1D1中，E、F分别为棱AA

1、cc1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，cD都相交的直线(

)

A.不存在

B.有且只有两条

c.有且只有三条

D.有无数条

*

3、已知平面外一点P和平面内不共线的三点A、B、c。A'、B'、C'分别在PA、PB、Pc上，若延长A'B'、B'C'、A'C'与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点(

)

A.成钝角三角形

B.成锐角三角形

c.成直角三角形

D.在一条直线上

4、空间中有三条线段AB、Bc、cD，且∠ABc=∠BcD，那么直线AB与cD的位置关系是(

)

A.平行

B.异面

c.相交

D.平行或异面或相交均有可能

5、下列叙述中正确的是(

)

A.因为P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。

B.因为P∈α，Q∈β，所以α∩β=PQ。

c.因为，c∈AB，D∈AB，因此cD∈α。

D.因为，所以A∈(α∩β)且B∈(α∩β)。

6、已知异面直线a，b分别在平面α，β内且α∩β=c，那么c(

)

A.至少与a，b中的一条相交;

B.至多与a，b中的一条相交;

c.至少与a，b中的一条平行;

D.与a，b中的一条平行，与另一条相交

7、已知空间四边形ABcD中，m、N分别为AB、cD的中点，则下列判断正确的是(

)

二、填空题

8、在空间四边形ABcD中，m、N分别是Bc、AD的中点，则2mN与AB+cD的大小关系是

。

9、对于空间中的三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点;三条直线两两平行;三条直线共点;④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交。其中，能推出三条直线共面的有

。

三、解答题

0、正方体ABcD-A1B1c1D1中，E、F分别是AB、AA1的中点。

求证：cE、D1F、DA三线共点;

求证：E、c、D

1、F四点共面;

1、在正方体ABcD-A1B1c1D1中，若Q是A1c与平面ABc1D1的交点，求证：B、Q、D1三点共线。

2、如图，已知α∩β=a，bα，cβ，b∩a=A，c//a.求证：b与c是异面直线。

*

13、(XX高考题改编)正方体ABcD-A1B1c1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、c1B1的中点，试作出正方体过P、Q、R三点的截面。