证明举例单元测试

第一篇：证明举例单元测试

第六章 证明(一)单元测试

第六章 证明

(一)单元测试

一、填空题

1.命题“任意两个直角都相等”的条件是________，结论是___________，它是________(真或假)命题.2.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________.

ECDAFBE

3、在△ABC中，∠C=2(∠A+∠B)，则∠C=________.4.已知，如图，AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=__________.

5.已知，如图，AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152°,则∠BED=__________.

6下列命题：①对顶角相等;②等腰梯形同一底边上的两底角相等;③菱形的对角线相等;④两直线平行，同位角相等.其中逆命题为假命题的有 _______________(填序号)

7、如下图已知AB∥CD，∠1=∠2，若∠1=50°，则∠。

A B A E C DC

8、如上右图在三角形ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，A=70°，则∠

9、.如图，∵∠，

∴ AB∥CD()。

∵ ∠BGC=，

∴ CD∥EF()。

∵AB∥CD，CD∥EF

∴AB∥，()。

10、 三角形的三个外角中，最多有个锐角，最多有B C E D F

角.

11、 已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=60°,那么∠.12、三角形ABC中，∠A=90°，∠B-∠C=24°，则∠

13、三角形三个内角之比为1：2：3，最短边为2cm，则最长边是。

二、选择题

1.下列语言是命题的是()

A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗?

C.延长线段AO到C，使OC=OAD.两直线平行，内错角相等.2.下列语句错误的是()

A.同角的补角相等B.同位角相等

C.同垂直于一条直线的两直线平行D.两条直线相交只有一个交点

3.下列句子中,不是命题的是()

A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;

C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.

4、三角形的一个内角的平分线与它的外角平分线的位置关系是()

A.平行B.相交C.垂直D.互为反向延长线

5.下列命题是真命题的是()

A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;B.两互补的角一定是邻补角

C.如果a2=b2,那么a=b;D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等

6.下列命题是假命题的是()

A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c;

B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°

C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等;

D.矩形的对角线相等且互相平分

7.下列叙述错误的是()

A.所有的命题都有条件和结论;B.所有的命题都是定理;

C.所有的定理都是命题;D.所有的公理都是真命题.8.下列命题中,真命题有()

①如果△A1B1C1∽△A2B2C2,△A2B2C2∽△A3B3C3,那么△A1B1C1∽△A3B3C3 ;

②直线外一点到这条直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离;

③如果x

4x22 =0,那么x=±2;④如果a=•b,那么a3=b

3A.1个B.2个C.3个D.4个

9、若三角形三个外角的比是3：4：5，那么这个三角形是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.斜三角形

10.下列命题：①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶

角;④同位角相等.⑤两个角的两边分别平行，那么这两个角相等

其中错误的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.“同角或等角的补角相等”是()

A.定义B.公理C.定理D.假命题

12.“如果两个角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角”是()

A.假命题B.真命题C.定义D.定理

13.下列说法中，错误的是()

A.要说明一个命题为真，必须给出证明(过程)。

B.要说明一个命题为假，只要举一个反例即可。

C.公理是不需要证明的真命题。

D.定理中有的是真命题有的是假命题。

14.下列命题是真命题的是()

A.一个角的补角总是大于这个角B.两直线平行，同位角相等

C.邻补角相等D.相等的角是对顶角

15.下列不属于定义的是()

A.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

B.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

C.对顶角相等

D.由不等号连接的式子叫不等式

16.下列命题是假命题的是()

A. 锐角小于90°B.平角等于两直角

C.若a>b，则a2>b2D.若a2≠b2，则a≠b

17.下列说法不正确的是()

A.证实命题正确与否的推理过程叫做证明

B.命题是判断一件事情的句子

C.公理的正确与否必须用推理的分法来证实

D.要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可

三、解答题

1、请举出反例说明下列命题是假命题，.

(1)对角线相等的四边形是矩形.

(2)如果a+b>0，那么ab>0：

(3)如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数.

(4) 若a>b，则2a>2b

2、把下列命题改写成“如果…，那么….”的形式

1)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

2)三条边对应相等的两个三角形全等

3)菱形的对角线互相垂直

4)同角的余角相等

5)负数之和仍为负数.

6)邻补角的平分线互相垂直

7)直角三角形的两个锐角互余

8)乘积为1的两个数互为倒数

9)等角对等边 3.已知，如图，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=26°,求

12∠

C.4、已知，如图AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C.求证：∠1=∠

2.

1)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等

如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等

2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如果是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方

3)三条边对应相等的两个三角形全等

如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等

4)菱形的对角线互相垂直

如果一个四边形是菱形，那么它的对角线相互垂直

5)同角的余角相等

如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等

6)同位角相等

如果有两个角是同位角，那么这两个角相等

7)角平分线上的点到这个角两边的距离相等

如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等

8)等角的余角相等.

如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等.

9)负数之和仍为负数.

如果几个负数相加，那么它们的和为负数.

10)邻补角的平分线互相垂直

如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线互相垂直.

11)直角三角形的两个锐角互余

如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余

12)对顶角相等

如果两个角是对顶角，那么两个角相等

13)乘积为1的两个数互为倒数

如果两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数

14)等角对等边

如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

第二篇：第一章证明(二)单元测试题(含答案)

.cn

第一章证明

(二)单元测试题

一、选择题：(每小题3分，共21分)

1、一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是()A.直角三角形

B.等腰三角形C.锐角三角形

D.钝角三角形 2.若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为(

) A.50

B.80

C.50或80

D.65或50

3.如图，已知△ABC为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于()

A.315°B.270°C.180°D.135°

第3题

A

D

B

C

第4题

4.如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于() A.50°B.20°C.25°D. 40°

5.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠AOB∠AOB的依据是()

A.S.S.S. B.S.A.S.　C.A.S.A.D.A.A.S.

A

6.如图，在等边△ABC中，AC9，点O在上，且，点是上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是() A

.

4A

B.

5C.6D.8

P C

E D

P

第6题

B

第7题

- 1 -

7.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

① AD=BE;② PQ∥AE;③ AP=BQ;④ DE=DP;⑤ ∠AOB=60°.恒成立的有()A.①②③

B.①②③⑤

C.②③④⑤

D.①③④

二、填空题(每小题3分，共27分)

8. 命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是.

9、图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有

B

(第10题图)

D

C

第9题

10.如图，已知AE=CF，∠A=∠C，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个条件______________________(只需写一个).

11. 11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.12. 如图，在等边△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且ADCE，则

BCDCBE

B

第12题

A

B

C

D

a

第13题

第14题

13如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm.

14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A，B，C，D的面积之和是.

Rt△ABF中，AFB90，AF3，

15、如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”.AB5.四边形EFGH的面积是

B

第15题

第16题

C

16.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是

，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的π

(结果保留根号)

侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是

三、解答题(共72分)

17.(8分))如图，在Rt△ABC中，

，

点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.

试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

18、(本题10分)文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”(如图)，她们对各自所作的辅助线描述如下： 文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”; 彬彬：“作△ABC的角平分线AD”. 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，

说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正.” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里. (2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程.

(第18题图) 已知：如图，在△ABC

中，BC. 求证：ABAC.

19.(本题10分)把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F.

探索AF与BE的位置关系，并说明理由。

20、(本题10分)有一个角为30°且腰长为2的等腰三角形，你能求出腰上的高吗?

21. (本题10分)如图a，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在EF上(如图b)，折痕交AE于G.

E

C

19题

A

图a

G

图b

图c

(1)求∠ADG的度数。

(2)活动探究：你能利用图b折出一个等边三角形吗?你能证明你的结论吗?

22.(8分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若

23. (12分)如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110，BOC.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD. (1)判断△COD的形状，并证明你的结论。

(2)当150时，试判断△AOD的形状，并说明理由;

2，求BE的长.

D

(3)探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形?22. C 并按要求进行证明.

24.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE.求证：ABCD.

D

B E

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰

三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证ABCD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形.

现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.B

21.(2013山西，21，8分)(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。

(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)。

①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。

D

D E F

(1)

C

B CF∥AB

F (2)

F

E

E

EF=DE (3)

D

(2)猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。

第三篇：高中数学选修1-2第2章《推理与证明》单元测试题

选1-2第二章《推理与证明》单元测试题

一. 选择题：

1.下列推理是合情推理的是( )

①由圆的性质类比出球的性质;

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，由此推出三角形的内角和是180; ③ab,bc,则ac;

④三角形内角和是180，四边形的内角和是360，五边形的内角和是540，由此得凸n 边形的内角和是(n2)180

A.①②B.①③④C.①②④D.②④

2.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，是因为( )

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

3.数列1,3,6,10,的一个通项公式是 (

A.ann2n1B.an) C.ann(n1)2n(n1)2D.n1

24.若a,b,c满足cba，且ac0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )

A.abac

 B.c(ba)0C.cbca 22D.ac(ac)0 5.已知aR，不等式x

A.2n14a2，x23，,可推广为xnn1，则a的值为 () xxxB. n2C.22(n1)D.n n

6.设a,b,c为整数，则a111,b,c这三个数 ( ) bca

A.都不大于2B.至少有一个不大于2C.都不小于2D.至少有一个不小于2

7.要证a2b21a2b20,只要证明 ()

a4b

40A.2ab1ab0B.ab122222

(ab)2

1a2b20D.(a21)(b21)0 C.2

8.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程axbxc0(a0)有有理数根，那么a,b,c中至少有一个是偶数时”下列条件假设中正确的是 ( )

A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数2

C.假设a,b,c中至多有一个偶数D.假设a,b,c中至多有两个偶数

9.平面上有条直线，期中任意的两条不平行，任意三条不共点。f(k)表示nk时平面被分成的区域数，则f(k1)f(k1) ()

A.kB.k1C.k1D.k2

10. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖。”乙说：“甲、丙都未获奖。”丙说：“我获奖了。”丁说：“是乙获奖了。”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是 ()

A.甲B.乙C.丙D.丁

二. 填空题：

11.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个小正方形

.x2y

212.若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线的切点为P

1、P2，则直线P1P2(称为ab

xxyy切点弦P1P2)的方程是0

2021.那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0,y0)在双曲线ab

x2y

221(a>0,b>0)外 ，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P

1、P2，则切点弦P1P2的直线2ab

方程是.

13.如果a+bb>ab+ba，则a、b应满足的条件是________.

14.若0a1,0b1，且ab，则在ab,2,a2b2,2ab中最大的是________.

15.半径为r的圆的面积Srr，周长Cr2r，若将r看作0,上的变量，则2r2r

2①.①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.

对于半径为R的球，若将R看作0,上的变量，请你写出类似于①的式子：______________________________________②;

②式可用语言叙述为_______________________________.三. 解答题：

16.用三段论证明函数f(x)x2x在,1上是增函数. 2

17.已知：sin30sin90sin1502223 2

sin25sin265sin2125

18.已知a,b,c均为实数，且ax2y

求证：a,b,c中至少有一个大于0.

23 2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明. 2,by22z3,cz22x6，

19.已知abc, 求证：

114. abbcac

220.设a,b,c为任意三角形三边长Iabc,sabbcac.试证：I4s.

21.通过计算可得下列等式：

221221

13222221

4232231

┅┅

(n1)2n22n1

将以上各式分别相加得：(n1)2122(123n)n. 即：123nn(n1) 2

2222类比上述求法：请你求出123n的值.

选1-2第二章《推理与证明》单元测试题

命题人：实验中学李红英

参考答案

一. 选择题

1——5 CCCCD6——10 DDBBC

1.C

2.C

3.C提示：an123n

4.C

5.D提示：xn(n1) 2axxxaa nnnnnnnxxn

6.D提示：反证法

7.D提示：对左边分解因式可得.

8.B

9.B

10.C提示：假设获奖人分别为甲、乙、丙、丁一一验证.

二. 填空题

11. 28提示：123728 12. x0xy0y21 a2b

13.a,b0,且ab提示如下：

(aab)(abba)a(ab)b(ba)=

14.ab a2a0 

43215. R4R球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 3

三. 解答题

16. 证明：若对于区间I上任意的x1,x2，且x1x2，都有f(x1)f(x2)0，则f(x)在I 上单调增.

任取任意的x1,x2(,1，且x1x2，

2f(x1)f(x2)x122x1x22x2(x1x2)(2x1x2)0

所以f(x)在(,1是单调增函数.

17. 解： 一般性的命题为sin(60)sinsin(60)2223 2

1cos(21200)1cos21cos(21200)证明：左边 222

3[cos(21200)cos2cos(21200)]232

所以左边等于右边

18. 证明：假设a,b,c都不大于0，即a0,b0,c0，得abc0，而abc(x1)2(y1)2(z1)2330，即abc0，与abc0矛盾，

a,b,c中至少有一个大于0.

19. 证明：acacabbcabbc abbcabbc

2

bcab2abbcb，4(abc) cacac1144, .abbcabbcac

220.证明：要证I4S，即证(abc)24(abbcac)

只需证 a2b2c22(abacbc)

即证abc2ab2bc2ac0

即证(a2abac)(b2bcab)(c2acbc)0只需证abc,bac,cba.

因为a,b,c是三角形的三边，所以以上都成立，所以原命题得证.

21.解：21313113232321 332332222

4333332331┅┅

(n1)3n33n23n1

将以上各式分别相加得：(n1)13(123n)3(123n)n 所以： 123n



222233222211n[(n1)31n3n] 321n(n1)(2n1) 6

第四篇：7、八年级数学上册平行线的证明单元测试题(北师大版)-

八年级数学上册平行线的证明单元测试题(北师大版) 120分60分钟完卷姓名：________得分：________

一、选择题：将正确的答案直接填在表格中(本大题共10个小题，每小题4分，

(1)动物都需要氧气;

(2)同位角相等;

(3)若两直线被第三直线所截，同位角相等，则内错角一定相等;

(4)平面内过一点只能作一条直线与已知直线平行。

A.1个B. 2个C. 3个D. 4个

2. 下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是 ()

BAABA1B A2EB

11

12CDC2DFC DDCFBCDA

3. 如图所示，AB∥CD，AD∥BC，则下列各式中正确的是()

DC

A. ∠1+∠2>∠3B.∠1+∠2=∠

3C. ∠1+∠2<∠3D. ∠1+∠2与∠3无关 134. 如图所示：AB∥CD，MP∥AB，MN平分∠AMD， AB若∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP为()

A.10°B.15°

C.5°D.7.5°

5. 一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

那么这两个角()

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不能确定

6. 如图所示，△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，若 ∠D=25°，则∠A=()

A. 25°B.50°C.65°D.75°

7. 在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的 2倍，则这个三角形中最小的角是()C A.15°B. 30°C. 60°D. 90°

8. 如图所示，∠

1、∠

2、∠

3、∠4恒满足的关系式是()A. ∠1+∠2=∠3+∠4B. ∠1+∠2=∠4-∠3

5C. ∠1+∠4=∠2+∠3D. ∠1+∠4=∠2-∠

349. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画 这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张透明的纸

得到的，如图：

从图中可知，小敏化平行线的依据有①两直线平行，同位角相等;②两直线平行，

内错角相等;③同位角相等，两直线平行;④内错角相等，两直线平行。()

A. ①②B.②③C.③④D. ①④

10.已知△ABC的三个内角，∠A、∠B、∠C满足关系式：∠B+∠C=2∠A，则此

三角形()

A.一定有一个内角是45°;

B一定有一个内角是60°;

C.一定是直角三角形;

D.一定是钝角三角形。

二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)

11.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是____________________，结论

是，这个命题是真命题还是假命题：。

12. 一名道路勘测员从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向

南偏西15°方向走到C点，则∠ABC的度数是。

13.把命题“相似多边形的面积比等于相似比的平方”改写成如果

14. 若一个三角形的三个内角之比为4︰3︰2，则这个三角形的最大内角为A15.如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共 DE有

16.把一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，

BC

如果∠1=55°，那么∠2等于。

17. 三角形的第二个角是第一个角的1.5倍，第三个角

比这两个角的和大30°，则最大角的度数为。

18.如图所示，三角形的两内角平分线的交角

∠BOC=;两外角平分线的交角∠BO′C=。

三、解答题(本大题共5个小题，共48分)

19. (8分)如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B=50°，∠EDA=60°，求∠CDO.20. (8分)如图所示，∠1=∠2，∠3=∠B，FG⊥AC于G，猜想CD与AB的关系，

并证明你的猜想。

21. (10分)如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C

的大小关系，并对结论进行证明。

22. (10分)如图所示，∠xOy=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动，

BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C。试问：

∠ACB的大小是否随B、B的移动发生变化?如果保持不变，请给出证明;如

果随A、B的移动发生变化，请给出变化范围。

23. (12分)我们知道：“在三角形的每个顶角处各取一个外角，它们的和就是

这个三角形的外角和”。

(1)猜想三角形的外角和是多少度?证明你的结论。

(2)如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，

那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠

D、∠E、∠G的和是多少?并用(1)的结论证明你的猜想。

第五篇：立体几何证明题举例

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点. 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;

(2)直线A1F∥平面ADE.证明 (1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱， 所以C C1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.

又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，

C C1∩DE=E，

所以AD⊥平面BC C1 B1.

又AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.

(2)因为A1 B1=A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1. 因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1， 所以C C1⊥A1F.

又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1=C1， 所以A1F⊥平面BC C1 B1.

由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点.

(1)求证：BD⊥平面CDE;

(2)求证：GH∥平面CDE;

(3)求三棱锥D-CEF的体积.

[审题导引] (1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE;

(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE;

(3)变换顶点，求VC-DEF.

[规范解答] (1)证明 ∵四边形ADEF是正方形，

∴ED⊥AD，

又平面ADEF⊥平面ABCD，

平面ADEF∩平面ABCD=AD.

∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.

又BD⊥CD，且ED∩DC=D，

∴BD⊥平面CDE.

(2)证明 ∵G是DF的中点，又易知H是FC的中点，

∴在△FCD中，GH∥CD，

又∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

(3)设Rt△BCD中，BC边上的高为h，

∵CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，

11∴BC=2，BD3，∴2×2×h=2×3，

33∴h=2C到平面DEF2，

1133∴VD-CEF=VC-DEF=2×=. 3223

【例2】如图所示，已知在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形.

(1)求证：DM∥平面APC;

(2)求证：平面ABC⊥平面APC;

(3)若BC=4，AB=20，求三棱锥D-

BCM的体积.

[审题导引] (1)只要证明MD∥AP即可，根据三角形中位线定理可证;

(2)证明AP⊥BC;

(3)根据锥体体积公式进行计算.

[规范解答] (1)证明 由已知，得MD是△ABP的中位线，所以MD∥AP. 又MD⊄平面APC，AP⊂平面APC，故MD∥平面APC.

(2)证明 因为△PMB为正三角形，D为PB的中点，

所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.

又AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.

因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.

又BC⊥AC，AC∩AP=A，

所以BC⊥平面APC.

因为BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.

(3)由题意，可知MD⊥平面PBC，

所以MD是三棱锥D-BCM的一条高，

11所以VM-DBC=S△BCD×MD=221×53=107.

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