单调性与最大最小值检测试题

2024-04-22

单调性与最大最小值检测试题（精选5篇）

篇1：单调性与最大最小值检测试题

单调性与最大最小值的检测试题

1.函数f(x)=9-ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为( )

A.9 B.9(1-a)

C.9-a D.9-a2

选A.

2.函数y=x+1-x-1的值域为( )

A.(-∞，2 ] B.(0，2 ]

C.[2，+∞) D.[0，+∞)

选B.

3.函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )

A.0或1 B.1

C.2 D.以上都不对

选B.

4.(高考山东卷)已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1.则xy的最大值为________.

答案：3

1.函数f(x)=x2在[0,1]上的最小值是( )

A.1 B.0

C.14 D.不存在

选B.

2.函数f(x)=2x+6，x∈[1，2]x+7，x∈[-1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为( )

A.10,6 B.10,8

C.8,6 D.以上都不对

选A.

3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为( )

A.1 B.2

C.-1 D.不存在

选A

4.函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为( )

A.2 B.12

C.13 D.-12

选B.

5.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )

A.90万元 B.60万元

C.120万元 D.120.25万元

选C.

6.已知函数f(x)=-x2+4x+a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的最大值为( )

A.-1 B.0

C.1 D.2

选C.

7.函数y=2x2+2，x∈N*的`最小值是________.

答案：4

8.已知函数f(x)=x2-6x+8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________.

答案：(1,3]

9.函数f(x)=xx+2在区间[2,4]上的最大值为________;最小值为________.

答案：23 12

10.已知函数f(x)=x2 -12≤x≤11x 1

求f(x)的最大、最小值.

解：当-12≤x≤1时，由f(x)=x2，得f(x)最大值为f(1)=1，最小值为f(0)=0;

当1

即12≤f(x)<1.

综上f(x)max=1，f(x)min=0.

11.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600-300050=12.所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金为x元.则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50，

整理得

f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.

所以，当x=4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大.最大月收益为307050元.

12.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.

解：f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a.

①当a<0时，由图①可知，

f(x)min=f(0)=-1，

f(x)max=f(2)=3-4a.

②当0≤a<1时，由图②可知，

f(x)min=f(a)=-1-a2，

f(x)max=f(2)=3-4a.

③当1≤a≤2时，由图③可知，

f(x)min=f(a)=-1-a2，

f(x)max=f(0)=-1.

④当a>2时，由图④可知，

f(x)min=f(2)=3-4a，

f(x)max=f(0)=-1.

综上所述，当a<0时，f(x)min=-1，f(x)max=3-4a;

当0≤a<1时，f(x)min=-1-a2，f(x)max=3-4a;

当1≤a≤2时，f(x)min=-1-a2，f(x)max=-1;

当a>2时，f(x)min=3-4a，f(x)max=-1.

篇2：单调性与最大最小值检测试题

1.函数f(x)＝9－ax2(a＞0)在[0,3]上的最大值为( )

A．9 B．9(1－a)

C．9－a D．9－a2

选A.

2．函数y＝x＋1－x－1的值域为( )

A．(－∞，2 ] B．(0，2 ]

C．[2，＋∞) D．[0，＋∞)

选B.

3．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上取得最大值3，最小值2，则实数a为( )

A．0或1 B．1

C．2 D．以上都不对

选B.

4．(高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1.则xy的最大值为________．

答案：3

1．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是( )

A．1 B．0

C.14 D．不存在

选B.

2．函数f(x)＝2x＋6，x∈[1，2]x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为( )

A．10,6 B．10,8

C．8,6 D．以上都不对

选A.

3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为( )

A．1 B．2

C．－1 D．不存在

选A

4．函数y＝1x－1在[2,3]上的最小值为( )

A．2 B.12

C.13 D．－12

选B.

5．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )

A．90万元 B．60万元

C．120万元 D．120.25万元

选C.

6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

选C.

7．函数y＝2x2＋2，x∈N*的`最小值是________．

答案：4

8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．

答案：(1,3]

9．函数f(x)＝xx＋2在区间[2,4]上的最大值为________；最小值为________．

答案：23 12

10．已知函数f(x)＝x2 －12≤x≤11x 1＜x≤2，

求f(x)的最大、最小值．

解：当－12≤x≤1时，由f(x)＝x2，得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；

当1＜x≤2时，由f(x)＝1x，得f(2)≤f(x)＜f(1)，

即12≤f(x)＜1.

综上f(x)max＝1，f(x)min＝0.

11．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600－300050＝12.所以这时租出了88辆车．

(2)设每辆车的月租金为x元．则租赁公司的月收益为f(x)＝(100－x－300050)(x－150)－x－300050×50，

整理得

f(x)＝－x250＋162x－21000＝－150(x－4050)2＋307050.

所以，当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大．最大月收益为307050元．

12．求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.

①当a＜0时，由图①可知，

f(x)min＝f(0)＝－1，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

②当0≤a＜1时，由图②可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(2)＝3－4a.

③当1≤a≤2时，由图③可知，

f(x)min＝f(a)＝－1－a2，

f(x)max＝f(0)＝－1.

④当a＞2时，由图④可知，

f(x)min＝f(2)＝3－4a，

f(x)max＝f(0)＝－1.

综上所述，当a＜0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；

当0≤a＜1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；

当1≤a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；

篇3：单调性与最大最小值检测试题

1965年, Zadeh提出的Fuzzy集理论[1], 为人们表达不确定概念提供了有力的工具, Gau和Buehrer[2]在1993年提出了Vague集的概念, 它是Fuzzy集理论的推广, Vague集对不确定模糊信息刻画得更加精确, 处理更灵活。Vague集已经成功应用于人工智能、信息融合和模糊控制等领域, 在这些应用中, 合理有效的相似度量方法会影响到应用的结果, 因此对Vague集的相似度量方法的研究具有重要的意义。

目前, 许多学者从不同的角度对Vague集相似度量进行了研究, 提出了多种相似度量方法[3,4,5,6,7,8], 虽然这些方法满足相似度量基本准则, 但是这些方法都存在不同程度的缺陷, 如王伟平等[3]从未知度增加会减少相似度的角度出发, 提出的相似度量方法侧重于考虑未知度增加对相似度的影响, 而没有考虑未知度距离的影响。例如x1=[0.2, 0.5], x2=[0.3, 0.5]x3=[0.4, 0.4], MW (x1, x2) =MW (x1, x3) =0.825, 通过10人投票模型可解释为第一种情况是2人投赞成票, 5人投反对票, 3人投弃权票与3人投赞成票, 5人投反对票, 2人投弃权票的相似度;第二种情况是2人投赞成票, 5人投反对票, 3人投弃权票与4人投赞成票, 6人投反对票, 0人投弃权票的相似度, 计算结果是第一种情况与第二种情况的相似度相同。从直观上看, 这明显是不合理的。

江伟等[4]利用包含度理论研究相似度量, 但是在使用中只注重数据之间的包含关系, 没有考虑未知度因素, 导致遗失很多有用信息, 孙义阳等[6]利用支持度和反对度的最大最小值关系提出的相似度量公式只考虑了赞成度和反对度之间的关系, 没有考虑其他因素之间的关系, 例如x=[0.2, 0.4], y=[0.2, 0.4], 用江伟的相似度量公式计算得到MJ (x, y) =1, 孙义阳的相似度量公式计算得到MJ (x, y) =1, 10人投票模型可解释为2人投赞成票, 6人投反对票, 2人反对票与自己的相似度完全相似, 由于在第一轮投票中有人投了弃权票, 投弃权票的人在第二轮投票中可能投赞成票也可能投反对票, 存在不确定因素, 因此只要存在投弃权票的情况就不能认为完全相似, 可见江伟和孙义阳提出的相似度量方法还存在不足之处。

蔡正琦等[5]通过区间范围相似程度来分析影响Vague相似度量的主要因素提出的相似度量公式和王万军[7]利用处理确定不确定信息的联系数理论提出的相似度量公式, 实际上都是从考虑影响相似度的主要因素出发去研究相似度量, 但是考虑的主要因素不够全面, 没有考虑未知度增加对相似度的影响, 当x=[0, 0], y=[0, 0], MC (x, y) =MWWJ=1, 10人投票模型解释为0人投赞成票, 0人投反对票, 10人投弃权票时认为与自己的相似度完全相似, 由于有人投弃权票, 表明存在不确定性, 弃权票数相同, 如果只通过未知度相减来表示未知度对相似度量的影响, 则会产生错误的判断, 故蔡正琦和王万军提出的相似度量公式存在不足。

陈均明[8]通过分析未知度之和、未知度之差对相似度量的影响, 在全面考虑了影响相似度量的因素之后, 提出一个相似度量方法, 该方法数据区分能力较好, 但是有些数据无法合理区分, 比如两组数据x1=[0, 0], y1=[0, 0]和x2=[0.2, 0.5], y2=[0.4, 0.4]相比, 显然前者的未知因素比后者大, 前者的相似度应该较小, 但是计算结果是MCJM (x1, y1) =0.8333, MCJM (x2, y2) =0.825, 显然是不合理的。

因此, 在计算相似度时, 应该考虑所有影响相似度量的因素, 合理设置系数, 本文从Vague值的区间最大最小值的角度对Vague集相似度量方法进行探讨, 在定义相似度量方法时, 除了考虑赞成度和反对度的最大最小值关系之外, 为了确保用信息不会丢失, 还考虑了它们的补集之间的最大最小值关系, 设置了合理的系数, 在此基础上提出了一个新的相似度量方法。

1 基本概念

定义1设U={x1, x2, …, xn}是一个论域, 对于U的任一元素x, U中的一个Vague集A是由真隶属函数tA和假隶属函数fA所描述:

满足0≤tA (xi) +fA (xi) ≤1, 其中tA (xi) 是支持x∈A的证据的隶属度下界, fA (xi) 是反对x∈A的证据的隶属度下界, 称πA (xi) =1-tA (xi) -fA (xi) 为x对于Vague集A的不确定度 (未知度) , 是x相对于A的位置信息的一种度量。显然0≤πA (xi) ≤1, πA (xi) 值越大, 说明x对于A的未知信息越多。

设A为一个Vague集, 当U离散时, 将其表示为:

当U连续时, 将其表示为:

定义2设论域U={x1, x2, …, xn}, A是U上的一个Vague集, , A的补集

定义3称SA (x) =tA (x) -fA (x) (-1≤SA (x) ≤1) 为x的核, 它表征现有证据对元素x支持和反对两种力量的对比, 看作整体支持 (肯定) 度。

定义4设论域U={x1, x2, …, xn}, A和B是U上的两个Vague集, , 则对, tA (xi) ≤tB (xi) 且fA (xi) ≥fB (xi) 。

2 新的Vague集相似度量方法

2.1 现有Vague集相似度量方法的不足

目前, 已经有很多文献对Vague集相似度量方法进行了研究, 由于考虑的因素不全面, 系数设置不合理, 导致对于一些Vague值数据无法进行有效区分, 有些方法的计算结果缺乏合理性。如王伟平等[3]提出的相似度量方法:

虽然考虑了未知度之和因素, 但是没有考虑未知度的距离因素, 考虑的因素不全面, 造成一些数据无法有效区分。

江伟等[4]提出相似度量方法:

但是在实际应用中, 包含度理论在处理模糊信息时, 往往会将未知度信息丢失, 导致度量结果与实际不符。

蔡正琦等[5]提出的相似度量方法:

该相似度量方法没有考虑到未知度增加会导致相似度减少, 不同的未知度因素不应该被简单的抵消, 因此, 无法有效区分支持度相同、反对度相同和未知度存在且相同的情况。

孙义阳等[6]提出的一种Vague集相似度量方法:

该方法考虑的因素较少, 在实际度量过程中, 丢失了一些信息, 导致度量结果不准确。

王万军[7]提出的联系数相似度量方法:

该方法本质上还是考虑支持度、反对度和未知度因素对相似度量的影响, 由于忽略了存在未知度因素就会存在不确定性的问题, 导致了一些不合理的计算结果。

陈均明等[8]提出了相似度量方法:

该方法具有较好的数据区分能力, 由于系数设置不合理, 导致有些数据虽然能够区分, 但是仍然存在不合理性。

2.2 基于最大最小值的Vague值相似度量方法

目前, 对于相似度量的基本准则还没有一个统一、明确和全面的理论描述, 但关于相似度量的合理性已经形成了一些共识, 其中, 王伟平等[3]给出了在Vague值之间的相似度量的基本准则是目前评价相似度是否合理的较为全面的标准。

设x=[tA (x) , 1-fA (x) ], y=[tA (y) , 1-fA (y) ], z=[tA (z) , 1-fA (z) ]是Vague集A中的三个Vague值, M (x, y) 表示两个Vague值x, y之间的相似度, M (x, y) 应满足下列准则:

准则1 (规范性) 0≤M (x, y) ≤1;

准则2 (对称性) M (x, y) =M (y, x) ;

准则4M (x, y) =0, 当且仅当x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0];

准则5 (单调性) 若, 则:

相似度量方法在满足相似度量基本准则的前提下, 还应该符合人们的直觉看法, 且具有良好的相似度量区分能力。

对于Vague集中的任意两个元素x=[tx, 1-fx]和y=[ty, 1-fy]之间的相似度量, 可以认为是区间值之间的接近程度, 如果只考虑支持度的接近程度和反对度的接近程度, 会将一些信息丢失, 导致相似度量结果不准确, 因此, 可以考虑tx和ty, fx和fy, 1-fx和1-fy, 1-tx和1-ty之间的大小关系, 下面给出一个基于最大最小值的Vague值相似度量方法:

定义5设x=[tx, 1-fx], y=[ty, 1-fy]是Vague集A上的两个Vague值, tx, ty分别是x和y的支持度, fx, fy分别是x和y的反对度, 则Vague值x和y的相似度量M (x, y) 定义为:

定理1设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则0≤M (x, y) ≤1。

证明:由Vague集的定义得到tx∈[0, 1], ty∈[0, 1]fx∈[0, 1], fy∈[0, 1], 1-fx∈[0, 1], 1-fy∈[0, 1], 1-tx∈[0, 1], 1-ty∈[0, 1]

当tx≥ty时, fx≤fy, 1-fx≥1-fy, 1-tx≤1-ty

所以0≤M (x, y) ≤1。

定理2设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则M (x, y) =M (y, x) 。

证明:显然易得M (x, y) =M (y, x) 。

定理3设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则

证明:显然易得

定理4设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 则M (x, y) =0, 当且仅当x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0]。

证明:由M (x, y) =0得到:

得到:

因此, 得到Vague值x和y仅有的两种组合, x=[0, 0], y=[1, 1];或x=[1, 1], y=[0, 0]。

定理5设A是论域U上的一个Vague集, M (x, y) 是Vague值x和y的相似度量, 若, 则M (x, y) ≥M (x, z) , 且M (y, z) ≥M (x, z) 。

证明:设x=[tx, 1-fx]y=[ty, 1-fy]z=[tz, 1-fz], 由得到tx≤ty≤tz, fx≥fy≥fz

同理可证M (y, z) ≥M (x, z) 。

2.3 基于最大最小值的Vague集相似度量方法

定义6设A和B是论域U={x1, x2, …, xn}上的两个Vague集, 其中:

则Vague集A和B的相似度量定义为:

定理6M (A, B) 满足准则1—准则5。

容易证明M (A, B) 满足Vague的基本准则。

3 实例分析

下面通过表1实例说明王伟平[3]提出的相似度量方法MW (x, y) 、江伟[4]的相似度量方法MJ (x, y) 、蔡正琦[5]的相似度量方法MC (x, y) 、孙义阳[6]的相似度量方法MS (x, y) 、王万军[7]的相似度量方法MWWJ (x, y) 和陈均明[8]的相似度量方法MCJM (x, y) 的不足之处以及本文提出的相似度量方法的优越性和有效性。

第1组数据中, x和y的赞成度和反对度都为0, 未知度都为1, 表示存在不确定性, x和y不完全相似, 但是MJ、MC、MS和MWWJ认为x和y完全相似, 显然是不合理的。在赞成度和反对度都为0的情况下, 存在的不确定性最大, MCJM却认为x和y的相似度为0.8333, 也就是表示它们的相似度很大, 这显然是不符合实际的, 只有MW和M符合人们的直觉。

在第2组数据和第3组数据中, x和y的相似度是不同的, MW认为两组数据的相似度相同, 显然不正确, 此外, MWWJ认为两组数据的相似度差距较大, 也是不正确的, 只有MJ、MC、MS、MCJM和M能够有效、合理地区分两组数据。

MCJM认为第1组数据中x和y的相似度大于第3组数据中x和y的相似度, 这显然不符合实际。

在第4组数据和第5组数据中, 未知度相同且不为0, 表示存在不确定性, MJ、MC、MS和MWWJ认为x和y完全相似, 显然是不合理的, 只有MW、MCJM和M能够有效区分两组数据。

由表1中的数据所示, 本文提出的相似度量方法克服了现有相似度量方法MW (x, y) 、MJ (x, y) 、MC (x, y) 、MS (x, y) 、MWWJ (x, y) 和MCJM (x, y) 中出现的考虑因素不全面, 系数设置不合理的问题, 不仅能有效区分所有5组数据, 而且5组数据的相似度量结果都符合人们的直觉, 因此, 与现有相似度量方法比较, 新方法更加适用于Vague集的相似度量, 具备一定的合理性和优越性。

4 结语

Vague集的相似度量是人工智能、信息融合和模糊控制等领域中用到的关键技术之一, 寻找一个合理有效的相似度量方法具有重要意义。本文分析了现有的相似度量方法, 指出了这些相似度量方法由于考虑影响相似度量的因素不全面、系数设置不合理造成无法合理有效地区分数据。为了克服这些方法的不足之处, 通过分析了支持度、反对度及其补集的最大最小值关系, 提出了一种新的相似度量方法, 并证明该方法满足相似度量基本准则。通过与现有相似度量方法的比较, 说明了本文提出的Vague集相似度量方法具有较强的区分能力, 能够合理、有效地区分数据。

参考文献

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control, 1965 (8) :338-356.

[2]Gau Wenlung, Buehrer D J.Vague Sets[J].IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1993, 23 (2) :610-614.

[3]王伟平, 吴祈宗, 李玉玲.Vague集之间相似度量的基本准则与一般方法[J].计算机工程与应用, 2008, 44 (4) :73-76.

[4]江伟, 梁家荣.一种新的基于包含度的Vague相似度[J].软件导刊, 2012, 11 (3) :14-16.

[5]蔡正琦, 普措才仁, 田双亮, 等.Vague集相似度量的新方法[J].计算机工程与应用, 2011, 47 (12) :31-33.

[6]孙义阳, 辛小龙.一类新的Vague集间的相似度量方法及其应用[J].计算机工程与应用, 2008, 44 (20) :70-72.

[7]王万军.基于Vague集相似度量的一种联系数方法[J].计算机工程与应用, 2012, 48 (1) :132-134.

篇4：单调性与最大最小值检测试题

导入新课

思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为10000x

2m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短? 学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+

10000x),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］； ③f(x)=x+2x+1;④f(x)=x+2x+1,x∈［-2,2］.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课新知探究提出问题

①如图1-3-1-11所示，是函数y=-x-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.22

2图1-3-1-11 ②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？

③你是怎样理解函数图象最高点的? ④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？

图1-3-1-12 ⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？

⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？ ⑦函数最大值的几何意义是什么？ ⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？ ⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？ ⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？

讨论结果: ①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.⑦函数图象上最高点的纵坐标.⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题

①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？

活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果：①函数最小值的定义是: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例

思路1 例1求函数y=2x1在区间［2，6］上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=2x1的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设2≤x1

2[(x21)(x11)](x11)(x21)=

2(x2x1)(x11)(x21)

∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函数y=

2x1在区间［2，6］上是减函数.2所以，当x=2时，函数y=当x=6时，函数y=2x1x1在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；

25在区间［2，6］上取得最小值f(6)=.变式训练

1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t+2t-1(t≥0)取最小值－1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.答案：-1 3.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13所示.2

图1-3-1-13 由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地

2面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？

活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.2

2图1-3-1-14 由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当t=14.72(4.9)=1.5时，函数有最大值, 即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练

1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）A.323cm2

B.4cm2

C.32cm2

D.23cm2

解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x)cm，两个三角形的面积和为S，则S=34x2+

34(4-x)2=

32(x-2)2+23≥23.当x=2时，S取最小值23m2.故选D.答案：D 2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则 y=(x-8)［60-(x-10)·10］

=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2 例1已知函数f(x)=x+1x,x>0，（1）证明当00的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则 f（x1）－f（x2）=（x1＋

1x1）－（x2+

1x2）=（x1－x2）+

x2x1x1x2=

(x1x2)(x1x21)x1x2，∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2），即当00，∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+又f(1)=2，则函数f(x)=x+

1x1x,x>0取最小值.,x>0取最小值是2.1x解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图1-3-1-15所示，图1-3-1-15 由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+

1x,x>0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练 1.求函数y=3x12x（x≥0）的最大值.3x12x解析:可证明函数y=∴函数y=3x12x（x≥0）是减函数，（x≥0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.2x,解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=2,2x,x1,1x1,其图象如图1-3-1-16所示.x1，图1-3-1-16 由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，图1-3-1-17 观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0

14≤

14, 例2将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？活动：让学生思考利润的意义，以及利润和售价之间的函数关系.设出一般情况，转化为求二次函数的最值.解决此类应用题，通常是建立函数模型，这是解题的关键.解：设每个售价为x元时，获得利润为y元，则每个涨（x-50）元，从而销售量减少10(x-50)个,共售出500-10(x-50)=1000-10x(个).∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x＜100）.∴当x=70时,ymax=9000, 即为了赚取最大利润，售价应定为70元.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是：①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练

1.已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数.当m=商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？

解：设商品现在定价a元，卖出的数量为b个,当价格上涨x%时，销售总额为y元.由题意得y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab100001212时，该［-mx2+100(1-m)x+10 000］.ab20000当m=时,y=［-(x-50)2+22 500］，98则当x=50时，ymax=ab.即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.2.2007天利第一次全国大联考江苏卷，18某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：1400xx2,R(x)=280000,0x400,x400,其中x是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数.（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益＝总成本＋利润）.分析：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力.（1）利润＝总收益－总成本；（2）转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值.解：（1）设月产量为x台，则总成本为20 000+100x，12x300x20000,0x400,从而f(x)=2

x400.60000100x,12（2）当0≤x≤400时，f(x)=(x-300)+25000;

2当x=300时，有最大值25000；当x>400时，f(x)=60000-100x是减函数;又f(x)<60000-100×400<25000, 所以，当x=300时，有最大值25000, 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元.知能训练

课本P32练习5.［补充练习］

2007上海市闵行五校联合调研，20某厂2007年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与去年促销费m（万元）（m≥0）满足x=32m1.已知2007年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2007年该产品的利润y万元表示为年促销费m（万元）的函数；（2）求2007年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？

分析：（1）年利润＝销售价格×年销售量－固定投入－促销费－再投入，销售价格＝1.5×每件产品平均成本；（2）利用单调法求函数的最大值.解：（1）每件产品的成本为y=1.5×816xx816xx元，故2007年的利润

2m1×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(316m116m1)-m=2816m1-m（万元）（m≥0）.16m1（2）可以证明当0≤m≤3时，函数y=28-m是增函数，当m>3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28拓展提升问题：求函数y=1xx12的最大值.探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，图1-3-1-18 故图象最高点是(则函数y=1xx121423,).43的最大值是.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x<当x≥1212时，函数y=

11xx12是增函数；

时，函数y=12则当x=时，函数y=xx1122是减函数.取最大值

43xx1, 即函数y=1xx112的最大值是

43.(方法三)函数的定义域是R，由y=xx12,得yx2+yx+y-1=0.∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.当y≠0时，则关于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程，则有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0

243.的最大值是

43.axdx22点评：方法三称为判别式法，形如函数y=

bxcexf(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx+nx+k=0；②分类讨论m=0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0,即关于y的不等式，n24mk0,解不等式组

m0.2m≠0.此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.课堂小结

本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：①图象法，②单调法，③判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域.作业

课本P39习题1.3A组5、6.设计感想

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤.备课资料

基本初等函数的最值

1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k<0时，函数y=kx的最大值为f(a)＝ka，最小值为f(b)＝kb.2.反比例函数：y=kx(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b］（ab>0）上

kx存在最值，当k>0时，函数y=数y=kx的最大值为f(a)＝

kaka，最小值为f(b)＝

kb；当k<0时，函的最大值为f(b)＝

kb，最小值为f(a)＝.3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R上不存在最值.在闭区间［m,n］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k<0时，函数y=kx+b的最大值为f(m)＝km+b，最小值为f(n)＝kn+b.24.二次函数：y=ax+bx+c(a≠0):

当a>0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最小值f(2

b2ab2a)=

b4ac4ab4ac4a22，无最大值；

当a<0时，函数y=ax+bx+c在定义域R上有最大值f(2)=，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：(1)若b2a2＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).b2ab(2)若p≤①当p≤②当③当≤q，则f(x)min=f(＜pq2b2ab2ab2a),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：

2apq2pq2b2a时，则f(x)max=f(q);＝＜时，则f(x)max=f(p)＝f(q);＜q时，则f(x)max=f(p).(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).b2a由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值

b2a2是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当b2a［p,q］时,二次函数f(x)=ax+bx+c(a